高中数学课堂讲义-随机事件与概率：事件的相互独立性

高中数学课堂讲义一随机事件与概率:事件的相互独

立性

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点事件的相互独立性...................................................1

3.相互独立事件的判断.........................................................2

4.相互独立事件概率的计算.....................................................4

5.相互独立事件概率的实际应用.................................................5

6.不同赛制的可行性探究.......................................................7

7.课堂作业....................................................................9

1.教学大纲

新课程标准解读核心素养

1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独

数学抽象

立的含义

2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率数学运算

3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学

没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.

［问题］(1)上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？

(2)互斥事件与相互独立事件有什么区别？

2.知识点事件的相互独立性

1.相互独立事件的定义

对任意两个事件A与3,如果P(A8)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B

相互独立，简称为独立.

2.相互独立事件的性质

当事件A,8相互独立时，事件A与事件方相互独立,事件了与事件8相

互独立,事件X与事件下相互独立.

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两个事件独立与互斥的区别

两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个

事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.

一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发

生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.

0想一想

若事件A与8相互独立，那么A与力，了与8,了与方相互独立吗？

提示：相互独立.

0做一做

1.判断正误.(正确的画“，错误的画“义”)

(1)不可能事件与任何一个事件相互独立.()

(2)必然事件与任何一个事件相互独立.()

(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立.()

答案：(1)V(2)V(3)X

2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获

一等奖的概率分别为］2和3本甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人

中恰有一人获得一等奖的概率为()

「5r5

C7Dl2

解析：选D根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没

有获得乙获得，则所求概率是—号)=卷，故选D.

3.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为

0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为.

解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两

站预报都准确的概率为0.8X0.7=0.56.

答案：0.56

3.相互独立事件的判断

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［例1］(链接教科书第248页例1)判断下列各对事件是不是相互独立事件：

(1)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个,

取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；

(2)掷一枚骰子一次，”出现偶数点”与“出现3点或6点”.

［解］(1)''从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为若这一

O

事件发生了，则''从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率

为生若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为*可见，前一事件是否发

生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件.

(2)记4=”出现偶数点"，B="出现3点或6点”，则4={2,4,6},B

={3,6},AB={6},

31211

所以P(A)=d=］,P(8)=d=1,P(A3)=d，

所以P(AB)=P(A)P(B),

所以事件A与B相互独立.

两个事件是否相互独立的判断

(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；

(2)定义法：如果事件A,8同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件5

发生的概率的积，则事件A,8为相互独立事件.

［跟踪训练］

从52张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件

B为“抽得红牌”，记事件。为“抽到J”.判断下列每对事件是否相互独立？

为什么？

(1)A与B；(2)C与A.

解：(1)尸(4)=今=卡，P(fi)=52=2,

事件A3即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，

21

故尸(48)=豆=而，从而有P(A)P(B)=P(AB),因此事件A与8相互独立.

(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件.

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4.相互独立事件概率的计算

［例2］(链接教科书第248页例2)甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们

能译出密码的概率分别为导色求：

(1)两个人都译出密码的概率；

(2)求至少1个人译出密码的概率；

(3)恰有1个人译出密码的概率.

［解］记“甲独立她译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,

A,B为相互独立事件，且P(A)=g,P(B)=".

⑴两个人都译出密码的概率为尸(AB)=P(A>P⑻=(X；=*.

(2)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所

————23

以至少有1个人译出密码的概率为1-P(AB)=1-P(A)P(B)=］--XJ=

1

2,

(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙

译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为

————一——一1(n

P(ABUA8)=尸(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)尸(5)=炉11一/+

［母题探究］

1.(变设问)若本例条件不变，求两个人都译不出密码的概率.

解：两个人都译不出密码的概率为

尸(AB)=P(A)P(B)=［1-W)M1一砌=(L；)x(l—

2.(变设问)若本例条件不变，求至多1个人译出密码的概率.

解：“至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以

至多1个人译出密码的概率为1—P(AB)=1—P(A)P(B)=1—

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1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤

(1)首先确定各事件之间是相互独立的；

(2)确定这些事件可以同时发生；

(3)求出每个事件的概率，再求积.

2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件,

即各个事件是相互独立的，而且它们可同时发生.

［跟踪训练］

甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率

分别为32i3r1且各自能否被选中互不影响.求：

(1)3人同时被选中的概率；

(2)3人中恰有1人被选中的概率.

23

解：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=§,尸⑻=：,

P(Q=/

2311

(1)3人同时被选中的概率P]=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=5X4X3=：T6,

______________?

(2)3人中恰有1人被选中的概率尸2=P(A3CUABCUABC)=^X

5.相互独立事件概率的实际应用

［例3］(链接教科书第249页例3)

Ti

-II———

三个元件7L72,73正常工作的概率分别为1点水3水3将它们中的某两个元

件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率.

［解］记”三个元件小，72,73正常工作”分别为事件4,A2,A3,则尸(4)

133

=1,P(A2)=4，尸(A3)=a.

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不发生故障的事件为(A2UA3)4,

则不发生故障的概率为

P=P[(/2U4)4]

=P(A2UA3>P(AI)

=[1-P(T2)-P(T3)]-P(AI)

一C4X4jX2-32-

求较复杂事件的概率的方法

(i)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；

(2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关

系式；

(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件

的概率，再求出符合条件的事件的概率.

[跟踪训练]

某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一

轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的

概率分别为4点§3§251,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

解：记”该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为4(i=l,2,3,4),则P(Ai)

=1,P<2)=|,P(43)=|,P(A4)=1.

(1)”该选手进入第四轮才被淘汰”记为事件B,P(B)=P(y4iA2A3T4)=

P(4)P(A2)P(A3)P(A4)Xm义5义(1一寸=耐.

(2)“该选手至多进入第三轮考核”记为事件C

法一：P(O=p(TiuAiT2uA1A2T3)=P(T1)+P(AI)P(72)+

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——14_101

P(4)P(A2)P(A3)=g+§X-l25,

4321

法二：”该选手进入第四轮没有被淘汰”记为事件。，则

_24

=625-

因为。与8UO为对立事件，B与。为互斥事件，所以P(O=1-P(5UO)

9624101

=1—P(B)—P(0=1-625-625=125-

6.不同赛制的可行性探究

乒乓球比赛规则如下：

在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为

胜方；一场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；

一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超

过1分钟的休息时间.

某校要通过选拔赛选取一名学生参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘

汰制，败者直接出局.现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制.

［问题探究］

1.若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6,现采用三局两胜制，则这场

比赛中甲获胜的概率是多少？

提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6,采用三局两胜制时，甲

获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互

不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为PI=0.62+2X0.62

X(1-0.6)=0.648.

2.若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6,现采用五局三胜制，则这场

比赛中甲获胜的概率是多少？

提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6,采用五局三胜制，若甲

最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由

33

独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P2=0.6+3X0,6

X(1-0.6)+6X0.63X(1-0.6)2=0.68256.

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3.两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明

理由.(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同)

提示：甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p>；.采用三局两胜制

时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而

这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3=p2+2〃2(l—p).

采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是

甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4=p3+

3P3(1—p)+6p3(l—p)2.而P4—P3=p2(6p3—15P2+12p-3)=3P2(p—1)2(2p—1).

因为P>3，所以24>P3,即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大.

所以五局三胜制更能选拔出最强的选手.

［迁移应用］

(2020・全国卷I)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每

场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰;

当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获

胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为去

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

解：⑴甲连胜四场的概率为七

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，

至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为上；

乙连胜四场的概率为上

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丙上场后连胜三场的概率为

O

所以需要进行第五场比赛的概率为

,1113

1161684,

(3)丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为J；

O

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、

轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为白，

10OO

因此丙最终获胜的概率为"点+2+卜看

7.课堂作业

1.如图，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那

么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()

C.1D.g

42

解析：选A左边圆盘指针落在奇数区域的概率为]=东右边圆盘指针落

2224

在奇数区域的概率也为则两个指针同时落在奇数区域的概率为1><]=§.

2.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为哥哈两个

零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

()

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11

c-D

46-

解析：选B恰有一4s—品即有一^个是一^品、一个不是一^品，故所

求概率为|x(l-翥+(1-|区=2+川=1+触总故选B.

3.某单位对应届大学毕业生进行“创业扶持”，若甲、乙两人获得扶持资

金的概率分别为2争咤3两人是否获得扶持资金相互独立，则这两人中至少有一

人获得扶持资金的概率为()

22

A记B5

T屋

。25u15

22332

解析：选c两人中至少有一人获得扶持资金的概率为P=5X5+]X]+5

v3_j9

X5-25,

4.周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题

的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是()

A.0.80B.0.75

C.0.60D.0.48

解析：选B设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事件8,

则尸(A8)=P(A)P(B)=0.8XP(B)=0.6,故P(B)=0.75.故选B.

12—

5.已知A,B是相互独立事件，且P(A)=1,P(3)=1,则P(AB)=,

P(AB)=.

解析：•••A,8是相互独立事件，

...A与石，了与方也是相互独立事件.

又•.•尸(A)=,P(B)=|,

—1—21

故P(A)=,P(B)=l-3=3,

——111

，P(AB)=P(A)P(B)=2X3=6J

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-------——111

P（AB）=P（A）P（5）=2X3=6.

答案.I

[A级基础巩固]

1.社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”，甲、乙两人能

荣获一等奖的概率分别为各埠两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至

少有一人获得一等奖的概率为（）

,3-2

A-5B15

J5u15

解析：选c由题意可知，甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为（i一|）x

H2213

故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为.故选

=TIJ7,1X—J.1JC.

2.在某道路A,B,C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的

时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不

停车的概率为（）

A7口25

A-64B192

C叵D正

J92口576

573

解析：选C由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为方，右，

.57335

在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为方

L4JL乙t1374

3.从甲袋中摸出1个白球的概率为小从乙袋内摸出1个白球的概率是多

从两个袋内各摸1个球，那么概率为焉的事件是（）

A.2个球都是白球B.2个球都不是白球

C.2个球不都是白球D.2个球恰好有1个白球

解析：选C从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故

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两个球都是白球的概率为Pi=1x1=^,

，两个球不都是白球的概率为P=1-P1=7.

4.设两个独立事件A和3都不发生的概率为"，A发生8不发生的概率与

8发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于()

A2b±

入9D18

C.1D.1

解析：选D由题意，PCA)-P(~B)=^,

P(A)P(B)=P(A>P(石).

设P(A)=x,P(B)=y,

(l-x)(l-y)=x,

贝9

。一元)y=x(l-y),

,1

即LL>+町=§,

尸y.

/.x2—2x+1=/,

1=一；或1=；(舍去)，

,.尤3.

5.分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A,“第2

枚为正面”为事件8,“2枚结果相同”为事件C,有下列三个命题：

①事件A与事件B相互独立；

②事件8与事件C相互独立；

③事件C与事件A相互独立.

以上命题中，正确的个数是()

A.0B.1

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C.2D.3

解析：选DP(A)=2,P(B)=],P(C)=2,

P(AB)=P(AC)=P(BC)=不

因为尸(A3)=1=P(A)P(B),所以A,B相互独立；

因为P(AC)="=尸(A)尸(0,所以A,。相互独立；

因为尸(BC)=；=P(3)P(C),所以8,。相互独立.

6.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9,在两批种子中各取一粒，

则恰有一粒种子能发芽的概率是.

解析：所求概率P=0.8X0.1+0.2X0.9=0.26.

答案：0.26

7.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,

丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对

丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，

则乙连胜四局的概率为.

解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，

二概率P=(l-0.4)X0.5X(1-0.4)X0.5=0.09.

答案：0.09

8.台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，

大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗

卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分

别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗卫星预报准

确的概率是.

解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件了，

~B,~C,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(A)=0.2,P(石)=0.3,P(~C)

=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB下，ABC,~ABC,ABC,这四个事件

两两互斥.

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至少两颗卫星预报准确的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABQ+

P(ABQ=0.8X0.7X0.1+0.8X0.3X0.9+0.2X0.7X0.9+0.8X0.7X0.9=0.056

+0.216+0.126+0.504=0.902.

答案：0.902

9.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了

的号码不再重复，试求下列事件的概率.

(1)第3次拨号才接通电话；

(2)拨号不超过3次而接通电话.

解：设4=｛第i次拨号接通电话｝,i=l,2,3.

(1)第3次才接通电话可表示为了IN2A3,

_______gQ11

于是所求概率为P(A1A2A3)=mXGXQ=R.

1Uyo1U

(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为4+NIA2+NI72A3,由于事件

Ai,A1A2,AiA2A3两两互斥，

于是所求概率为P(Al+714+工1T2A3)

=P(4)+P(AIA2)+P(A.1A2A3)

10十109十1098IO-

10.甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6,

且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：

(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；

(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；

(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

解：记“甲第i次试跳成功”为事件4,“乙第i次试跳成功”为事件3,

依题意得P(A,)=0.7,P(8)=0.6,且4,8相互独立.

(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件Xi了2A3,且这三次试跳相互独

立.

所以P(~A1'AIA3)=P(~A2)P(A3)=0.3X0.3X0.7=0.063.

第14页共18页

(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C,则P(C)=1

-P(Ai)P(-Bi)=l-0.3X0.4=0.88.

(3)记“甲在两次试跳中成功/次”为事件M0=0,l,2),“乙在两次试跳中

成功/次”为事件20=0,1,2),因为事件''甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次

数恰好多一次”可表示为MiNo+MWi,且MiNo,M2M为互斥事件，则所求的

概率为

P(MINO+M2NI)

=P(MiNo)+P(M2M)

=P(M)P(No)+P(M2)P(M)

=2X0.7X0.3X0.42+0.72X2X0.6X0.4

=0.0672+0.2352=0.3024.

所以甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.

[B级综合运用]

11.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是多且是互相独立的，则灯

亮的概率为()

解析：选C记“A,B,C,。四个开关闭合”分别为事件A,B,C,D,

可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P(三)P(万)口一

11rli、3313

坳=5乂7、1—5X5=%•所以灯亮的概率为1—7=左•故选C.

22\ZZylololo

1——1——1

事件相互独立，如果

12.A,B,CP(AB)=Q0P(BG0=Q,P(0ABC)=R

则P(B)=，P(TB)=.

第15页共18页

解析：•.•/W/)=P(AB)PG)=,a)=I

—31

.•.P(c)=不即尸(。=不

又p(万c)=p(石)P(o=(,

—11

.•.P(8)=2,P(B)=£

又P(AB)=:,则P(A)=；,

：.P(AB)=PCA)P(B)=(1-3)X2=3

答案：||

13.在某校运动会上，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛

一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比

赛中，甲胜乙的概率为:，甲胜丙的概率为匕乙胜丙的概率为/

(1)甲队获第一名且丙队获第二名的概率为；

(2)在该次比赛中甲队至少得3分的概率为.

解析：(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A,

则P(A)=gx3(L扪卷.

(2)甲队至少得3分有两种情况