高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (59)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（59）

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.（）分）

1.己知三棱锥4一BCD满足AB=CD=2V13MC=BD=10,AD=BC=4西，则三棱锥4一BCO

外接球的表面积为（）

A.116兀B,1287rC.1327rD.1567r

2.已知在体积为27的正方体ABCD-A/iCiDi中，E,F分别是久久，好久的中点.若平面BEFn

平面BCC]Bi=Z,则/在正方形BCCiB]中的线段长度为（）

A.V10B.逆C.迪D.V13

22

3.已知正方体4BCC-48传1。1中，E,尸分别是A8,4劣的中点，G,H分别在线段C8,CD

上，且CH=CG=^CB.若GC平面a,H€平面a,E/7/平面a,则如“与平面a所成角的正切值

为

B.叵cD.叵

19-f38

4.在三棱锥S-ABC中，AB1BC,AB=BC=2,SA=SC=2>/2,二面角S-AC-B的余弦值

是若s,A,B,C都在同一球面上，则该球的表面积是（）

A.67rB.87rC.127rD.18TT

5.四面体P-4BC的四个顶点坐标为P（0,0,2）,4（0,0,0）,S（0,273,0）,C（3,V3,0）,则该四面

体外接球的体积为（）

A.狰B.史叵兀C.20TTD.竺纭

333

6.三棱锥P-4BC的所有顶点都在半径为2的球O的球面上.若^P4c是等边三角形，平面P4C1

平面ABC,AB1BC,则三棱锥尸48c体积的最大值为（）

A.2B.3C.2V3D.3V3

7.在三棱锥P—4BC中，PA=PB,E是4B的中点，△力BC与△PCE均是正三角形，AB=3,则

三棱锥P-4BC的外接球的表面积为

A.8兀B.127rC.137rD.14兀

8.以正方体的顶点为顶点的四棱锥共有（）

A.56个.B.48个.C.40个.D.24个.

9.在正四面体（每一个面都是正三角形的四面体）48CD中，E,尸分别在AB,AC上，满足BE=3,

EF=4,且EF与平面BCD平行，则aOEF的面积为（）

A.2V33B.2V34C.2^35D.12

10.在正三棱锥内有一半球，其底面与正三棱锥的底面在同一平面内，正三棱锥的三个侧面都和半

球相切.如果半球的半径等于1,正三棱锥的底面边长为3a，则正三棱锥的高等于（）

A.V2B.2V3C.V6D.V3

11.已知P为一圆锥的顶点，A8为底面圆的直径，P4LPB,点M在底面圆周上，若M为灿的中

点，则异面直线AM与PB所成角的大小为（）

A产BjC谭D了

12.如图：AB是圆锥底面圆的直径，PA,尸8是圆锥的两种母线，P'为

底面圆的中心，过尸8的中点力作平行于阳的平面a,使得平面a与

底面圆的交线长为4,沿圆锥侧面连接A点和。点，当曲线段AQ长

度的最小值为更|P川时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点

2•

均在球面上）的半径为（）

['a…尹

A.4V2

B.3V2

C.越

2

DW

4

二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）

13.（1）如图，已知二面角a—1-/?的大小为60,其棱上有A,B两点,直线AC,8。分别在这个

二面角的两个半平面内，且都垂直于A8,已知AB=2,AC=3,BD=4,则线段CO的长为

（2）经过点（2,1）,且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为

(3)已知在四面体ABC。中，AB=AD=BC=BD=DC=2百，二面角A-BD-C'的大小为

120。，则四面体A8CQ的外接球的表面积为.

(4)如图，四边形ABC。中，AB=AD=CD=1,BD=巾.,BD1CD,将四边形ABC。沿对

角线BO折成四面体4一BCD,使平面ABDJ_平面BCD,则下列结论：①AC1BD;②C4'与

平面4BD所成的角为30。；(3)/.BA'C=90°；④四面体4-BCD的体积为:其中正确的是

(5)已知点尸在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为

且先＜与+2,则会的取值范围是.

14.对于四面体4-BCD,下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).

①若4B=4C=AD,则由顶点A作四面体的高，其垂足是ABCD的三条中线的交点；

②若四面体ABCQ是正四面体，则异面直线A3与8所成角是9(1;

③若A8,AC,AO两两相互垂直，则由顶点4作四面体的高，其垂足是4BCD的三条高线的交

点;

④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；

15.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖嚅，

在鳖腌4-BCD中，ABBCD,且有BD1CD,AB=BD=2,

CD=1,点P是AC上的一个动点，则三角形PB。的面积的最小值为

16.在三棱锥P-ABC中,AB1BC,三角形PAC为等边三角形，二面角P-AC-B的余弦值为一逅，

3

当三棱锥P-ABC的体积最大值为g时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

17.将正三棱锥P-ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥"P—ABC-Q,如图，下列关于

该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有.

①PQ平面ABC；

②若P,A,B,C在同一球面上，则。也在该球面上；

③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB=V2PA;

④若AB=^PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心.

18.三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰三角形，“=120。，侧面PAB是等边三角形且与底面ABC

垂直，AC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为.

19.已知圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角等于5的扇形，则这个圆锥的体积是.

20.在三棱锥P-4BC中,481BC,三角形PAC为等边三角形，二面角P-4C-B的余弦值为一渔，

3

当三棱锥P-ABC的体积最大值为g时，三棱锥P-4BC的外接球的表面积为.

2

21.如图，正方体4BCD-41B1GD1的棱长是小5是4Bi的中点，P是力道1尸/------

的中点，点。在正方形DCGDi及其内部运动，若PQ〃平面SBG，则A/

点。的轨迹的长度是.n：\/L

22.在三棱锥P-ABC中,AB1BC,三角形PAC为等边三角形,二面角P-AC-B的余弦值为一江,

3

当三棱锥P-ABC的体积最大值为g时，三棱锥P-4BC的外接球的表面积为.

23.如图，在正三棱柱ABC-4/©中，。为棱CCi上的点，且6。=2DC.

若四棱锥B-A&DC的体积为4m3,则正三棱柱4BC-4B1G的体积

为m3.

24.若一个圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4,圆台的侧面积为400兀，则该圆台的母线长为

三、多空题(本大题共2小题，共8.0分)

25.在棱长为1的正方体ABCD-4/GD1中，点P是底面ABCD内的动

点，tan/CiPD21,则动点P的轨迹的面积为动线段的

轨迹所形成儿何体的体积是_(2)_

26.如图，在四棱锥P-4BCD中,PDABCD,AB1AD,AB//CD,AD=CD=PD=2,AB=1,

E,F分别为棱PC,PB上的点，若E为PC的中点时，则BE与平面PC。所成角的正弦值为

若丽=2就时，则(4F+EF)2的最小值为_(2)_.

四、解答题(本大题共4小题，共48.0分)

27.如图，在四棱锥P-4BCD中，AB〃CD,NABC=90°,ZL4DP是等边三角形，4B=AP=2,BP=3,

AD1BP.

A

B

(1)求8(7的长度；

(n)求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值.

28.如图所示，正方体4BC0-必勺口久的棱长为2,A4、N分别为A&［的中点，过点M、N、

Bi的截面将正方体分为两部分.

_____c

zx

AMB

(1)求三棱锥4-MN/的高：

(2)作出完整的截面，并说明截面与正方体各棱交点的位置，不需要证明;

(3)计算截面的面积.

29.如图甲，已知在等腰梯形ABCQ中，AB=2CD=4,AD=BC=2,484。=60。，点E为线

段AB的中点，连接CE,DE,AC,且AC与。E交于点F,将三角形AOE沿线段QE折起到

POE的位置，使得「。=声，如图乙所示.

(1)证明：BC_L平面PCF；

(2)求三棱锥E到平面P3C的距离.

30.已知多面体P-4BCDE的底面A8CZ)是边长为2的菱形，PAABCD,ED“PA,且24=

2ED=2.

(1)证明：平面PAC1平面PCE；

(2)若乙4BC=60°,求三棱锥P-ACE的体积.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查几何体内接球问题，及球的体积公式.

把该三棱锥的四个顶点作为一个长方体的四个顶点，该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线长,

求出长方体的体对角线长，即可得出.

解：如图所示，该三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，

设长，宽，高分别为a,b,c,

（a2+b2=52

则,2+©2=100，三式相加得：a2+b2+c2=116,

I/+=80

因为该三棱锥的外接球直径为长方体的体对角线长，

则球的半径R=西正=叵，

22

球的表面积5R247rx"6116TT.

1

故选A.

2.答案：D

解析：

本题考查简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，平面的基本性质及应用，考查逻辑推理能

力和空间想象能力，属于中档题.

先由题意作出平面8EF与平面BCG/的交线/,再计算在正方形BCG当中的线段长度即可.

解：如图，延长£F,BiG交于点P,

连接BP与CG交于Q,

则3Q为平面8EF与平面BCC/i的交

线/在正方形BCG当中的线段，

由题意，正方体的棱长为3,

■■E,F分别是4也，Ci%的中点，

PC1=FG=泉

又RtAPC'QsRtAPB^B,且最=

CiQ_1

B]B—3，

从而GQ=1,贝IJCQ=2,

故在RMBCQ中，BQ=V324-22=713.

故/在正方形BCC1当中的线段长度为VII.

故选。.

3.答案：B

解析：

本题考查简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，线面平行的判定，直线与平面所成角，考

查逻辑推理能力和空间想象能力及计算能力，属于中档题.

由题意，在62,当口上分别取点M,N,使QM=QN=：BC,连接M”，NG,则四边形MNGH

是矩形，且所在平面为a平面，取的中点。，连接。“，OG，GH,可得4G“。为G"与平面a所

成角，不妨设正方体棱长为3,利用直角三角形计算可得.

解：如图，由题意，在GDi，81cl上分别取点M,N,

使G"=GN=连接MH,NG,则四边形MNGH

是矩形，

E,尸分别是AB,4也的中点，取AO的中点尸，连

接FP,PE,贝IJFP//M”，PE//HG,

尸PClPE=P,MHCHG=H,.•.平面EFP〃平面MNGH,

又EFu平面EFP,EF〃平面MNGH,

又G€平面MNGH,He平面MNG，，.,.平面A/NG”即为a平面，

取A/N的中点。，连接。”，。的，JH,则。•平面a,。为垂足，

可得NGH。为与平面a所成角，

不妨设正方体棱长为3,则C1M=1,MO吟MH=3,则OH=心+(丹=苧,

匹/—

tan4C/O=^=,,

2

即G”与平面a所成角的正切值为等.

故选艮

4.答案：C

解析：

本题考查考查二面角，球的表面积、棱锥的结构特征，考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，

是中档题.

取AC的中点。，连接S£>,8£>,可以得证得NSDB即为二面角S-4C-B的平面角，由coszSOB=

3

求得SB=VH,从而可以判断ASCB和AS/IB为直角三角形，从而得到SB中点E为该球的球心，从

而求得球的半径，根据球的表面积公式求解即可.

解：取AC的中点。，连接SO,8D,因为SZ=SC,AB=BC,所以SD1AC.

BDVAC,可得NSDB即为二面角S-AC—B的平面角，故cos/SDB=一3.

3

在RtASDC中，SD=y/SC2-CD2=V6,同理可得BD=应，

由余弦定理得cosNSOB=SDIBD-SB?=_旦解得SB=G

2SDxBD3

在ASCB中，SC2+CB2=8+4=(V12)2=SB2,所以△SCB为直角三角形，

同理可得4S4B为直角三角形，取SB中点E.则SE=EB=V3.

^.Rt^SCB^Rt^SAB^>,EA=^-=y/3,EC=曰=8，

所以点E为该球的球心，半径为旧，所以球的表面积为S=4x7rx“l)z=127T.

故选：C.

解析：

本题考查空间直角坐标系，空间几何体的外接球，球的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理

论证能力，运算求解能力，应用意识.

求出外接圆半径为2,即可求出球半径R=75r乔=遍，由此即可求出答案.

解：由题意知，该四面体侧棱24JL底面ABC,且底面是边长为2b的正三角形，

侧棱PA=2,所以底面正三角形的外接圆半径为2,

则球心必在过PA中点且平行于底面的平面上，

所以球半径R=后中=的，所以球的体积为：兀（通＞=等7r.

故选8.

6.答案：B

解析：

本题考查三棱锥的外接球，考查基本不等式求最值，属于较难题.

由题意求得P4=AC=PC=2百，贝UP。11AC且POi=3,又由平面PAC1平面ABC,可得P01，平

面ABC,即三棱锥P-力BC的高九=3,在A/IBC中，利用基本不等式求得面积的最大值，进而可得

三棱锥体积的最大值，得到答案.

解：由题意知，三棱锥P-ABC的所有顶点都在半径为2的球。的球面上，△P4C是等边三角形,

如图所示，可得PA=4C=PC=2g,

则PR1ACS.PO1=3,

又由平面P4CJ■平面ABC,平面P4Cn平面力BC=AC,P。】u平面PAC,

所以POi_L平面ABC,

即三棱锥P-力BC的高h=3,

又在三角形ABC中，AB1BC,

设4B=a,BC=b,则a2+从=AC2=12,

所以SAABC||(a2+X)=3,

当且仅当a=b时取等号，即S-Bc的最大值为3，

所以三棱锥P-ABC体积的最大值为U=g(SA4Bc)max•九=：x3x3=3.

故选8.

7.答案：C

解析：略

8.答案：B

解析：

本题考查了分类加法计数原理，棱锥共有5个顶点，其中有4个顶点共面，另一个不在这个面内.须

先在8个顶点中找到4点共面的情况，在找第5个顶点，即可数能构成多少个四棱锥.

解：要构成四棱锥，须有4个点共面.

4点共面时，这4个点可以在正方体的表面的4个顶点，

也可以是对角面的4个顶点，共6+6=12种情况，

每一种情况都可构成4个四棱锥，

•••一共可构成48个四棱锥，

故选B.

9.答案：A

解析：解：依题意，A8CD为正四面体，所以每个面都是正三角形,

•••EF与平面8co平行，EFu平面ABC,

平面4BCn平面BCD=BC,

所以EF〃BC,

所以三角形AEF为等边三角形，

所以4E=AF=EF=4,AB=AE+BE=3+4=7.

又因为三角形AQE三三角形ADF,

所以由余弦定理DE=DF=V42+72-2x4x7xcos60°=V37.

取EF中点G,连接OG,则CG='DE%—EG?=7573=反

所以三角形。EF的面积S=[xEFxDG=X4xV33=2V33.

故选：A.

由£F与平面BCD平行，可得EF〃BC,所以4E=AF=EF=4,AB=AE+BE=7.又三角形4?£三

三角形AOF,所以三角形。EF为等腰三角形，然后求边长，面积即可.

本题借助正四面体考查了空间直线的位置关系、三角形的全等、余弦定理等知识，考查空间想象能

力和计算能力.属于中档题.

10.答案：D

解析：解：根据题意，画出图形如下，

其中，立体图形只画出了半球的底面.

••・正三棱锥的底面边长为3VL

:.0D=—,

2

设三棱锥的高P。=X，在纵切面图形可看出,

纵切面

Rt△PEOsRt△POD,

•••x=V3

故选：D.

画出图形，设三棱锥的高PO=x,在纵切面图形可看出，RtAPEOsRt4P0D,即可求出高的值.

本题考查几何体的内接球的问题，三角形相似的应用，考查空间想象能力以及计算能力.

11.答案：C

解析：

本题考查空间几何体的结果特征，考查异面直线所成角的求法，属基础题.

依题意，在底面上取M关于AB对称的点为N,连接PN,BN,贝

所以4PBN为异面直线AM与PB所成的角或其补角，

又可判断E1PBN为等边三角形，即可求得结果.

解：设底面半径为凡由P4_LPB得PA=&/?,在底面上取M关于A8对称的点为N,

连接PN,BN,则BN〃M4所以"BN为异面直线AM与PB所成的角或其补角.易知BN=PB=PN=

V2R，

所以E1PBN为等边三角形，所以“BN=g,

故选C

12.答案:D

解析：

本题考查了由平面展开图求立体几何中的最值问题，是中档题.

解决问题的关键在于根据线面平行的性质定理，平面a与底面圆的交线一定经过底面圆心P',设圆锥

的侧面展开后的扇形圆心角为28,则在展开图中，点A到直线PB的距离最小,再进一步计算求值.

根据线面平行的性质定理，平面a与底面圆的交线一定经过底面圆心P',所以底面圆的半径为2,设

圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为2。，如图，

ft

□

曲线段A。的最小值为线段A。，所以AD=渔|P川，所以cosO=Y驾学”=j

2112X刖川22

所以9=60。,因为底面圆的周长为4兀，所以母线长为6,PP'=4V2,根据图形，球心一定位于PP'

所在直线上，设球心为。，半径为R,所以(PP'-R)2+P£2=R2,所以(4&-/?)2+22=/?2,所

以R2.

4

故选O.

13.答案：(l)g；

(2)x+y—3=0或x—y—1=0；

(3)28兀；

(4)③；

⑸+x)

解析：

(1)本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.推导出”=

CA+AB+前,两边平方由此能求出CC的长.

解：•.•二面角a—的大小为60。，其棱上有A,8两点，\Va/\

ZX7

直线4C,8。分别在这个二面角的两个半平面内，

且都垂直于AB,AB=2,AC=3,BD=4,

・・・CD=CA+AB+BD,

.-.CD2=(CA2+AB2+BD)2=CA2+AB2+~BD2+2CA-AB+2CA-BD

+2AB-BD

=44-9+16+2|C3I-l-^|cosl200=17,

\~CD|=",

即CD的长为旧.

故答案为VT7.

(2)本题考查用截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，设出直线方程是解决问题的关键,

属基础题.

设直线方程为?+?=1或；+9=1，把点(2,1)代入直线方程解a可得.

解：由题意，设直线方程为”1或=+方=1,

把点(2,1)代入直线方程得三+工=1或三+2=1,

解得a=3或Q=1,

・・・所求直线的方程为?+9=1或彳+5=1，

即x+y-3=0或4—y—1=0.

故答案为：x+y-3=0或x-y-1=0.

(3)本题考查球的表面积的求法，二面角，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

解：设BO的中点为E,连接AE,CE,

.•ABADBC=BDDC=2瓜，二AE1BD,CE1BD,

•••/AEC为二面角.4-BD-C的平面角，则ZAEC=120，

设四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为R,

•••过点。做平面CDB的垂线，垂足为三角形CDB的中心H,

过点。做平面AQB的垂线，垂足为三角形AQB的中心F,

•••OHL平面BCD,OF，平面BAD,

：.OH1EC,OF1AE,•♦.点E,F,O,〃共面，

ZAEC+ZHOF=180°,二zHOF=60°,

•••AB=AD=BC=BD=DC=2聒,连接OE,AOFE^AOHE.•••Z.EOH=30°,

ABCD中，CH=-x—x2V3=2,EH=ix—x2V3=1，

3232

RtAOHE中，OH=V3>

.­•RtAOHC中，CO=R=VOW2+HC2=V3T4=夕.

所以外接球半径R=V7,

S=4nR2=7x4兀=28n,

故球。的表面积为287r.

故答案为287r.

(4)本题主要考查了线面垂直的判定和性质，线面角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想

象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个选项逐一判定.

根据题意，依次分析结论：对于①可利用反证法说明真假，若①成立可得BD14C,产生矛盾；对

于②由CA与平面4BD所成的角为4cAD=45。，知②不正确；对于③△B4D为等腰Rt△,CD1平

面ABD,得平面ACD,根据线面垂直可知NBA'C=90。，对于④利用等体积法求出所求体积

进行判定即可，综合可得答案.

解：•••四边形ABC。中，AB=AD=CD=1,BD=V2，BD1CD,平面48。_L平面BCD,

则由4。与BO不垂直，BD1CD,故8。与平面4CD不垂直，

则8。仅与平面HCD中与CQ平行的直线垂直，故①不正确；

由BD1CD,平面ABD1平面BCD,易得CDJ_平面A'BD，

,CD_LA'B，CD±A'D.

A'DCD，.•.A'CD为等腰直角三角形,

AADC=45。，

则C4'与平面A'BD所成的角为45,知②不正确；

由题设知：△B4C为等腰直角三角形，CDL平面A'BD,

因为43c平面AB。，

所以CDJ.4B,又因为4'D_L4'B,A'DnCD=D,

BAJ_平面A'C。，

所以BA'14C,

得N/M'C901于是③正确；

VA'-BCD=VC-A'BD=^xlxlxl=

1

0

,故④不正确；

因此正确的结论是③.

故答案为③.

(5)本题考查了平行线的性质、斜率的意义及其应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

解:设「。1，%),(2(如乃)，线段尸0的中点”(凡,%)，

由于点P在直线％+3y-2=0上，点。在直线%+3y+6=0±,

r

x1+3yl-2=0

x2+3y2+6=0

可以得到，—=殉，

为+乃_笫

I-y。

得出见十3yo4-2=0,即MQo，yo)位于直线x+3y+2=0上，

又因为%<%o+2,

所以M(%o，yo)位于直线%+3y+2=0与直线％-y+2=0交点的右下部分直线上，

设两直线交点为F,可得F(-2,0),

设直线x+3y+2=0与与y轴交点为R(0,-g),

台即为直线M。的斜率，

x0

当例点位于kR之间时，称的取值范围为(0,+8)；

当用点位于R的右下方时，0M会无限趋近于与直线x+3y+2=0平行，但是永远不能达到平行,

所以资的取值范围为(一4一),

“0.5

综上，争勺取值范围为(一工-；)U(().+3C).

故答案为(―0C,--)<J(().+x).

<)

14.答案：②③④

解析：

本题主要考查三棱锥的结构特征，属中档题.

①根据三角形BCD三条中线的交点即重心不一定与四面体的高即其垂足重合判断;②根据条件推知

ABJL平面C0E进而判断;③由对棱垂直，根据三角形的垂心与四面体的高的垂足位置关系判断;④

由棱中点两两连接构成平行四边形判断。

解：①因为三角形BCQ为不定三角形，三条中线的交点即重心，则重心为不定点，故其垂足不一定

是4BC。的三条中线的交点，故错误：

②因为四面体ABC。是正四面体，取A8中点E,贝IJABLCE,力B，DE,又CEnDE=E,可推知

CDu平面CDE,所以异面直线48与CO所成角为90。，故正确；

③因为AB,AC,A。两两相互垂直，所以AB14C0,因为CDu面AC。，所以4B1C0,记4在面

28的垂足为。，>101CD,AOCtAB=A,所以CO1面AO8,

8。u面4OB,所以CD1OB,同理可得C01BD,DO1BC,所以。为三条高线的父点，即为三角

形的垂心，故正确；

④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以

三条线段相交于一点，故正确.

故答案为②③④.

15.答案：延

5

解析：

作PQ1BC于Q,QM1BD于M,连结PM推导出PQ〃AB,QM〃CD,PM1BD,推导出PQ+2QM=2,

4

当

X=-时

设QM=x,(0<%<1),则PQ=2-2%,PM=y/x2+(2—2x)2=v5x2—8%+4,5

PMmin=辿，由此能求出三角形PBD的面积的最小值.

本题考查三角形面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.

解：作PQ1BC于Q,QM18。于M,连结PM,

•••在鳖嚅4-BCO中，AB_L平面BCD,BCu平面BCD,

：.AB1BC,又PQ1BC,

•••PQ//AB

"ABJL平面BCD,BDu平面BCD,

BD1.AB,•••BD1PQ,又QM1BD,

vQMdPQ=Q,QMu平面PQM,PQu平面PQM,

•••BDJL平面PQM,

•：PMu平面PQM,BD1PM,

•••QM1BD,CD1BD,：.QM//CD,

VPQ//AB,QM//CD,

PQ_QCQM_BQ

‘『店’了=有

・・・PQ+2QM=2,

设QM=x,(0<%<1),则PQ=2-2x,

PM=收+(2-2x)2=V5x2-8x+4,

・・,x=g时,PMmin—当，

・・・三角形PBD的面积的最小值：

x2x

(5APBD)min=1=等.

故答案为：沮

5

16.答案：87r

解析：

本题考查简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，球的表面积和体

积，涉及二面角，利用基本不等式求最值，考查空间想象能力，逻辑推理能力和计算能力，属于综

合题.

由题意，设APAC的边长为a,AB=x,BC=y,利用基本不等式求出a,再设APAC外接圆的圆心

为。1，三棱锥P-4BC的外接球的球心为。，求出POi和。。「利用R2=0］。2+pog,求出辟即可.

解：如图，

设△PAC的边长为a,AB=x,BC=y,

由题意，x2+y2=a2,

取AC的中点。，连接P。，贝iJPDIAC,PD=-a，

2

过点P作PEJ■面4BC,垂足为E,连接ED,ACu面ABC,•••PEIAC,PDCPE=P,

ACPDE,EDcffiPDE,ACLED,

"DE是二面角P—AC—B平面角的补角，

•••二面角P-AC-B的余弦值为一些，

3

•••cosZ.PDE=—.贝Usin/PDE=—)

33

可得PE=PDxsin^PDE=—ax—=i,

232a

•••三棱锥P-ABC的体积U=|xSAABCxPE=|x|xyx|a,

x2+y2=a2>2xy,BPxy<y,当且仅当x=y时，即x=y=?a时，取等号，

.•WW±a3,•.•三棱锥P-4BC的体积最大值为:，

・,・=I，解得a=2,

243

设△P4C外接圆的圆心为Oi，三棱锥P-4BC的外接球的球心为为△ABC外接圆的圆心，则。。1

面ABC,A0D1FD,4PDE+乙ODO】=90&,

・•・sin/-0D01=cos^PDE=与，cosz.ODO1=sin乙PDE=亨，tanz.0D01=V2,

则POi=-PD=-x—a=—a=—»

133233

1

0c1n。=-PnDn=-*x、,——炳a=W——a=W——，

133263

。。1=OiOtan/。。。1=—axV2=—，

63

R2=OjO2+PO”£+芍=2,

故三棱锥P-力BC的外接球的表面积为4兀辟=4兀x2=87r.

故答案为87r.

17.答案：①④

解析：解：①由"倒影三棱锥"的几何特征可知PQ工平面ZBC.故①正确；

当P,A,B,C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球体的大圆，则。不在该球面上，故②不

正确；

若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P-ABC的外接球半径与等边三角形A8C外接圆的半径

相等，可设为R,

则4B=2Rx苧=bR,所以48=苧P4,故③不正确；

由③推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为△力BC的中心，即PQ的中点，故④正确，

故答案为：①④.

①②由"倒影三棱锥”的几何特征可知PQ_L平面4BC.故①正确，当P,A,B,C在同一球面上时,

若△力BC的外接圆不是球体的大圆，则。不在该球面上，故②不正确，进而求解.

考查“倒影三棱锥”这一新知识的接受、理解运用能力，结合外接球的知识即可求解.

18.答案:207r

解析：

本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

由题意画出图形，设出三角形ABC外接圆的圆心G,由己知结合正弦定理求得CG,再设出三角形

PAB的外接圆的圆心，作相交线得到三棱锥的外接球的球心，解三角形求得三棱锥的外接球的半径，

则答案可求.

在等腰三角形ABC中，由4(7=120。，得乙4BC=30。，

乂AC=2,设G为三角形ABC外接圆的圆心，

则“AJ=_2_2CG,

八'sin△ABCsin30°=

・•・CG=2.

再设CG交A3于。，可得CD=1,AB=2V3,则DG=1.

在等边三角形P4B中，设其外心为H,则BH=PH=|PD=2,DH=1,

过G作平面ABC的垂线，过H作平面PAB的垂线，两垂线相交于O,

则。为该三棱锥的外接球的球心，则半径R=0B=V22+I2=V5.

•••该三棱锥的外接球的表面积为4兀x(V5)2=207T.

故答案为207r.

19.答案：运兀

解析：

本题考查圆锥的结构特征及体积的求法，属于较易题.求出圆锥的底面半径及高是关键.

解：扇形的弧长为4x5=2〃，圆锥的底面半径为r=l,母线长尾4,

圆锥的高为“P—1=V15-

所以圆锥的体积V=1X兀x同=运m

33

故答案为叵7r.

3

20.答案:87r

解析:

本题考查简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，球的表面积和体

积，涉及二面角，利用基本不等式求最值，考查空间想象能力，逻辑推理能力和计算能力，属于综

合题.

由题意，设APAC的边长为a,AB=x,BC=y,利用基本不等式求出a,再设APAC外接圆的圆心

为。1，三棱锥P—ABC的外接球的球心为O,求出POi和。0「利用R2=。。工+P出，求出R2即可.

解：如图，设APAC的边长为a,AB=x,BC=y,

由题意，x2+y2=a

取AC的中点D,连接PD,则PD14C,PD=-a,

过点P作PE_L平面ABC,垂足为E,连接EC,ACu平面ABC,,PE1AC,PDnPE=P,

ACPDE,EDU平面POE,.-.AC1ED,

NPDE是二面角P-AC-B平面角的补角，

•••二面角P-AC-B的余弦值为一些，

3

COSZ.PDE=—,则sin/POE=—,

33

可得PE=PDxsin乙PDE=-ax—=-a,

232

•••三棱锥P-ABC的体积U=|xSAABCXPF=|x|xyx|a,

vx2+y2=a2>2xy,BPxy<y,当且仅当x=y时，即x=y=乎a时，取等号，

■-V<^a3,•.•三棱锥P-4BC的体积最大值为土

-a3=解得a=2,

243

设^PAC外接圆的圆心为01，三棱锥P-4BC的外接球的球心为O,D为A48C外接圆的圆心，则。01

平面ABC,A0DLED,"DE+4ODO1=90。，

:.sin/-ODO1=cosZ-PDE=—，cosZ-ODO^=sinZ-PDE=高，tanz.ODO1=&，

则POi=2pD=2x3a=辿,

13323

八c1cc1V3x/3

13323

001=。山xtanzODOi=yxV2=y,

R2=00l+POl=-+—=2,

1199

故三棱锥P—ABC的外接球的表面积为4兀/?2=47rx2=8兀.

故答案为87r.

21.答案:在a

2

解析：

本题主要考查正方体的结构特征以及线面平行的性质，属于中档题.

分别取。C上靠近C的四等分点F,D1G上靠近的四等分点£,连接EF,PE,PF,可以得到点。

在线段EF上运动，进而得解.

解：分别取OC上靠近C的四等分点F,AG上靠近久的四等分点E,连接EF,PE,PF,如图所示.

则易得EF//SB,PE//SG，EFOPE=E,SBnSG=S,

所以平面PEF〃平面SBG，故点Q在线段E尸上运动，EF=SB

所以点Q的运动轨迹的长度为在a.

2

故答案为匹a.

2

22.答案：87r

解析：

本题考查简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，球的表面积和体

积，涉及二面角，利用基本不等式求最值，考查空间想象能力，逻辑推理能力和计算能力，属于综

合题.

由题意，设APAC的边长为a,AB=x,BC=y,利用基本不等式求出a,再设APAC外接圆的圆心

为。1，三棱锥P-4BC的外接球的球心为。，求出POi和。。「利用R2=0］。2+pog,求出辟即可.

解：如图，

设△PAC的边长为a,AB=x,BC=y,

由题意，x2+y2=a2,

取AC的中点。，连接P。，贝iJPDIAC,PD=-a，

2

过点P作PEJ■面ABC,垂足为E,连接ED,ACu面ABC,•••PEIAC,PDCPE=P,

ACPDE,EDcffiPDE,ACLED,

"DE是二面角P—AC—B平面角的补角，

•••二面角P-AC-B的余弦值为一些，

3

•••cosZ.PDE=—.则sin/PDE=—)

33

可得PE=PDxsin^PDE=—ax—=i,

232a

•••三棱锥P-ABC的体积U=|xSAABCxPE=|x|xyx|a,

x2+y2=a2>2xy,BPxy<y,当且仅当x=y时，即x=y=?a时，取等号，

.•WW±a3,•.•三棱锥P-4BC的体积最大值为:，

・,・=I，解得a=2,

243

设△P4C外接圆的圆心为Oi，三棱锥P-4BC的外接球的球心为为△ABC外接圆的圆心，则。。1

面ABC,A0D1FD,4PDE+乙ODO】=90&,

・•・sin/-0D01=cos^PDE=当，cos/-ODOr=sinZ-PDE=亨，tanziODOi=V2,

则POi=-PD=-x—a=—a=—»

133233

0c1n。=-1PnDn=-1x、,——陋a=W——a=瓜——，

133263

。。1=OiOtan/。。。1=—axV2=—，

R2=OjO2+POӣ+5=2,

故三棱锥P-力BC的外接球的表面积为4兀辟=4兀x2=87r.

故答案为87r.

23.答案：9

解析：

本题考查三棱柱及四棱锥的体积的求法，考查运算求解能力，是中档题.

设正三棱柱ABC-的底面边长为a,侧棱长为6,则可分别求出四棱锥B-441DC及正三棱柱

ABC-4B1G的体积，根据体积比可得结论.

解：设正三棱柱4BC-4B1C1的底面边长为“，侧棱长为6,

2

则由正三棱柱的性质及题设条件得，四棱锥B—MDC的体积：V1=lx^b+b)a-^a=^ab,

正三棱柱力BC—AiBC的体积匕=-ya2b＞所以卷=g，

因为匕=4,所以％=9.

故答案为9.

24.答案：20

解析：

本题主要考查圆台的结构特征，属于中档题；

根据已知所给比例信息，可设出上底半径为r,则下底半径和高分别为4r和4r,

再由勾股定理表示出母线长；

根据圆台的侧面积公式可得兀(r+4r)-5r=400兀；

求解即可得r的值，进而得到圆台的母线长；

解：根据题意可设圆台的上底面的半径为r,下底面半径和高分别为4r和4r,

则圆台母线的长为J(4r)2+(4r-「尸=5r;

因为侧面积为400兀；

所以zr(r+4r)-5r=400TT;

解得r=4;

所以圆台的母线长为