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文档简介
数学文化的探究教学案例设计
数学文化的探究教学案例设计
——数列的递推公式
浙江师范大学与浙江省丽水市的两所中学合作开展一
年的校本教研培训活动,培训形式除了专家讲学外,大量的
是“同课异构”式的教研活动。2008年3月14-15日在浙江
丽水中学、丽水学院附中就高一年级的高中新课程必修5第
2章:数列的递推公式(数列复习课第1课)进行了4节公
开课教学。同一内容分别由浙江丽水中学、温州中学与丽水
学院附中的教师执教,其中温州中学执教的李芳老师的教学
设计是在温州中学特级教师马玉斌老师以及浙江师范大学
张维忠教授等专家指导下完成的,而且她又是唯一有机会就
同一内容讲授2次的执教老师。下面给出的是李芳老师前后
两次上课的教学实录与我们的思考。
1初次上课的教学设计
1.1回顾
回顾一:复习等差数列、等比数列的定义式(递推公式)
及通项公式,为后面由递推公式推导通项公式做铺垫。
回顾二:必修5中2.1的例2:谢宾斯基三角形
(1)介绍数学的历史与文化
上世纪初,波兰的数学家谢宾斯基想找到一个图形,当
它的面积无限减小时,它的周长则无限增大(用几何画板进
行迭代演示)。
(2)数一数
将上述迭代过程逐一展示,让学生数数在每个图形中绿
色三角形的个数依次为多少?引出该等比数列的递推式及
通项公式。
1.2探究
(3)再数一数:每个图形中绿色、黑色三角形的总个
数依次为多少?
学生容易先得出前三项为1,4,13。
探究一:第4项是多少(从特殊到一般,引出递推公
式)?
方法一(几何方法)
从第二个图象起,每一个图象可以看成由前一个图象的
三份缩影加上中间一个黑三角形。因此,。
方法二(代数方法)
从前三项的数值上也可以发现:,
方法三(代数方法)
()
方法四(几何方法)
从第二个图象起,每一个图象是在前一个图象的每个绿
三角形中挖走一个中心三角形,这样如图所示的圈内一个三
角形就变为四个三角形,增加三个三角形。
在第个图形中,绿三角形的个数为,所以,即。
归纳:当我们面对较为一个复杂的数列时,很难一眼看
清其全貌的话,可以先寻找出其递推关系,这就是本堂课复
习的重点一一数列的递推公式。
递进:然而,我们得到该数列的递推公式便满足了吗?
请问,它的第5项是几?第6项是几?(学生轻松回答)那
么,第100项是几呢(学生一时语塞,随即提笔思考)?
探究二:第100项是多少?(引出求通项公式的方法)
方法一的引导:
教师让学生观察递推公式,提问:从而,诱导出利用“累
加法”来解决此问题。
教师小结以上解法:
其一,用了累加法,此法早在等差数列中由定义式推导
通项公式就曾用过,类似的还有累乘法;
其二,用了等比数列求和公式。
方法二的引导:
教师再让学生观察递推公式。在递推式中,若去1,就
是等比数列;若改3为1,则是等差数列。是否可构造以3
为公比的等比数列呢?如何把常数1进行分配呢?假设等式
左边分得m,则右边就得3m。所以有:
小结:这可谓“殊途同归”!同一个数列有两个不同的
递推公式,两个不同的递推公式推出同一个通项公式,虽分
别用了“累加法”和“构造法”,但却都是化归为等差或等
比数列的有关概念来解决!
探究三:试由递推公式推得数列的通项公式
给学生一些思考时间。部分学生均只能由已知条件求出
第3项为9,第4项为13,则猜想就是前面的数列。教师则
引导从开始出发,是否可再构造等比数列?即
即为探究二中的两个递推公式,当然此数列就是前面的
数列。
1.3巩固思考
意图:(1)让学生再次经历特殊到一般的归纳过程,培
养合情推理的能力;(2)从归纳的结果中发现通项的分母为
等差数列的通式,从而为严格论证开启思路。
1.4归纳小结
当我们研究一个较为复杂的数列时,若不能马上得出它
的通项公式,可以先通过其特殊项或其蕴含的几何背景来发
现它的递推公式,然后利用累加法、累乘法、构造法等,将
递推公式化归为等差数列、等比数列的有关问题,从而最终
求出数列的通项公式!
1.5课外作业
2改进后上课的教学设计
以上是第一天在丽水中学上课的课堂实录,课堂上学生
探究的效果不理想,前段与后段较好,中间探究部分还不能
很好地引起大多数学生的共鸣。在当天的评课专题研讨会上
专家与丽水中学的数学老师给出了许多建设性的改进意见,
李芳老师将案例做了如下的修改,第二天在丽水学院附中授
课,教学效果甚好。以下是第二天在丽水学院附中上课的课
堂实录(为了便于前后对照,下面标题的序号与前面初次上
课的教学设计标题序号相同,内容相同部分将略去)。
1.1回顾
改进:知识直接性复习引入改为问题背景式引入
如:写出下列数列的通项公式?
(1)1,3,5,7,
(2)1,4,16,64,
学生回答:;
老师提问:你是怎么求出来的?(等差、等比数列的通
项公式)为什么数列(1)是等差数列(2)等比数列?(因
为:)这样就复习了前面的知识,为后面的探究作好铺垫。
1.2探究
探究二改进:提出问题,即数列的第100项是多少?(引
出求通项公式的方法)
一开始,教师先不引导,而是给学生一定的思考时间。
(教师的行为改变了,学生的反映也随即发生了变化)
不久,学生甲在其草稿纸上写下:
教师小结以上解法:
其一,其二,同初次上课的教学设计。
其三,从学生探究的结果出发,其表达式子中是否存在
等比数列?等比数列的本质是什么?等形式,再启发学生化
归为:,
等形式,进而发现数列等均应为等比数列(为另一递推
公式构造等比数列推导通项公式创造条件)。
探究三改进:寻找递推公式中的几何背景
先给学生充分的思考时间。
学生甲:我求得了所以我猜测就是前面的数列,即当然
这有一定的局限性。
学生乙:我根据式子的特征,将一个移到等号左边,得:,
则为以3为公比的等比数列。
教师小结:
其一,对于乙的解法,教师先给与充分肯定,再提出思
考,你怎么看出从等号右侧移一个到左侧呢?一般情况下,
如何解决呢?引出利用待定系数法构造等比数列的方法(见
初次上课的教学设计)。
其二,前面的递推式我们均能从几何背景找到它们的解
释,对于此递推公式,仍能从谢宾斯基三角形中得到验证
吗?
四个图案⑶的缩影去除三个图案⑵的缩影即可得图
案(4),即有。同时,辅以几何画板的动画演示,结果更加
形象,引起学生极大的兴趣!
3讨论与反思
《普通高中数学课程标准(实验)》指出:“数学是人类
文化的重组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用
和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,
社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数
学的美学价值,数学家的科学精神。”[1]而“数列的递推公
式”是高中新、旧教材均有的代数内容,看起来比较简单。
即:了解递推公式是给出数列的一种方法并能根据递推公式
写出数列的前几项。但笔者给出的教学设计却是“源于教材,
高于教材。”谢尔宾斯基三角形原本是新教材中的一个例题
(文献[2]中2.1的例2),只给出了数列前面几项。笔者的
教学设计结合文献[3]第10章内容作了深度挖掘。从谢尔宾
斯基三角形出发,引导学生探究数列的递推公式,由于有先
前一节课的经验,第二次改进后的教学设计留给学生的探究
梯度恰当,加上数学历史与文化的渗透,学生的参与度很高,
真正实现了师生互动。数形结合的思想以及数学的本质:模
式建构都得到了充分体现。
进一步,通过使用数学教学软件“几何画板”现场制作
谢尔宾斯基三角形,并演示其中的变化,寻找递推公式,等
的几何背景,学生从谢尔宾斯基三角形的一系列变化中观察
出了数列中项数的变化及其各种关系。具体讲,从探究图中
绿色三角形个数的计数问题自然过渡到对图中绿色,黑色三
角形总个数的计数问题探究。这种从不同视角去引导学生观
察分析谢尔宾斯基三角形的变化,并从中探究数列的递推公
式和通项公式,传递自然、连贯贴切,现场课堂表现出学生
参与度高,课堂气氛融洽,师生精神状态良好,真正实现了
师生互
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