数学文化的探究教学案例设计

数学文化的探究教学案例设计

数学文化的探究教学案例设计

——数列的递推公式

浙江师范大学与浙江省丽水市的两所中学合作开展一

年的校本教研培训活动，培训形式除了专家讲学外，大量的

是“同课异构”式的教研活动。2008年3月14-15日在浙江

丽水中学、丽水学院附中就高一年级的高中新课程必修5第

2章：数列的递推公式（数列复习课第1课）进行了4节公

开课教学。同一内容分别由浙江丽水中学、温州中学与丽水

学院附中的教师执教，其中温州中学执教的李芳老师的教学

设计是在温州中学特级教师马玉斌老师以及浙江师范大学

张维忠教授等专家指导下完成的，而且她又是唯一有机会就

同一内容讲授2次的执教老师。下面给出的是李芳老师前后

两次上课的教学实录与我们的思考。

1初次上课的教学设计

1.1回顾

回顾一：复习等差数列、等比数列的定义式（递推公式）

及通项公式，为后面由递推公式推导通项公式做铺垫。

回顾二：必修5中2.1的例2：谢宾斯基三角形

（1）介绍数学的历史与文化

上世纪初，波兰的数学家谢宾斯基想找到一个图形，当

它的面积无限减小时，它的周长则无限增大（用几何画板进

行迭代演示）。

（2）数一数

将上述迭代过程逐一展示，让学生数数在每个图形中绿

色三角形的个数依次为多少？引出该等比数列的递推式及

通项公式。

1.2探究

（3）再数一数：每个图形中绿色、黑色三角形的总个

数依次为多少？

学生容易先得出前三项为1,4,13。

探究一：第4项是多少（从特殊到一般，引出递推公

式）？

方法一（几何方法）

从第二个图象起，每一个图象可以看成由前一个图象的

三份缩影加上中间一个黑三角形。因此，。

方法二（代数方法）

从前三项的数值上也可以发现：，

方法三（代数方法）

（）

方法四（几何方法）

从第二个图象起，每一个图象是在前一个图象的每个绿

三角形中挖走一个中心三角形，这样如图所示的圈内一个三

角形就变为四个三角形，增加三个三角形。

在第个图形中，绿三角形的个数为，所以，即。

归纳：当我们面对较为一个复杂的数列时，很难一眼看

清其全貌的话，可以先寻找出其递推关系，这就是本堂课复

习的重点一一数列的递推公式。

递进：然而，我们得到该数列的递推公式便满足了吗？

请问，它的第5项是几？第6项是几？（学生轻松回答）那

么，第100项是几呢（学生一时语塞，随即提笔思考）？

探究二：第100项是多少？（引出求通项公式的方法）

方法一的引导：

教师让学生观察递推公式，提问：从而，诱导出利用“累

加法”来解决此问题。

教师小结以上解法：

其一，用了累加法，此法早在等差数列中由定义式推导

通项公式就曾用过，类似的还有累乘法；

其二，用了等比数列求和公式。

方法二的引导：

教师再让学生观察递推公式。在递推式中，若去1,就

是等比数列；若改3为1,则是等差数列。是否可构造以3

为公比的等比数列呢？如何把常数1进行分配呢？假设等式

左边分得m,则右边就得3m。所以有：

小结：这可谓“殊途同归”！同一个数列有两个不同的

递推公式，两个不同的递推公式推出同一个通项公式，虽分

别用了“累加法”和“构造法”，但却都是化归为等差或等

比数列的有关概念来解决！

探究三：试由递推公式推得数列的通项公式

给学生一些思考时间。部分学生均只能由已知条件求出

第3项为9,第4项为13,则猜想就是前面的数列。教师则

引导从开始出发，是否可再构造等比数列？即

即为探究二中的两个递推公式，当然此数列就是前面的

数列。

1.3巩固思考

意图：（1）让学生再次经历特殊到一般的归纳过程，培

养合情推理的能力；（2）从归纳的结果中发现通项的分母为

等差数列的通式，从而为严格论证开启思路。

1.4归纳小结

当我们研究一个较为复杂的数列时，若不能马上得出它

的通项公式，可以先通过其特殊项或其蕴含的几何背景来发

现它的递推公式，然后利用累加法、累乘法、构造法等，将

递推公式化归为等差数列、等比数列的有关问题，从而最终

求出数列的通项公式！

1.5课外作业

2改进后上课的教学设计

以上是第一天在丽水中学上课的课堂实录，课堂上学生

探究的效果不理想，前段与后段较好，中间探究部分还不能

很好地引起大多数学生的共鸣。在当天的评课专题研讨会上

专家与丽水中学的数学老师给出了许多建设性的改进意见，

李芳老师将案例做了如下的修改，第二天在丽水学院附中授

课，教学效果甚好。以下是第二天在丽水学院附中上课的课

堂实录（为了便于前后对照，下面标题的序号与前面初次上

课的教学设计标题序号相同，内容相同部分将略去）。

1.1回顾

改进：知识直接性复习引入改为问题背景式引入

如：写出下列数列的通项公式？

（1）1,3,5,7,

（2）1,4,16,64,

学生回答：；

老师提问：你是怎么求出来的？（等差、等比数列的通

项公式）为什么数列（1）是等差数列（2）等比数列？（因

为：）这样就复习了前面的知识，为后面的探究作好铺垫。

1.2探究

探究二改进：提出问题，即数列的第100项是多少？（引

出求通项公式的方法）

一开始，教师先不引导，而是给学生一定的思考时间。

（教师的行为改变了，学生的反映也随即发生了变化）

不久，学生甲在其草稿纸上写下：

教师小结以上解法：

其一，其二，同初次上课的教学设计。

其三，从学生探究的结果出发，其表达式子中是否存在

等比数列？等比数列的本质是什么？等形式，再启发学生化

归为：，

等形式，进而发现数列等均应为等比数列（为另一递推

公式构造等比数列推导通项公式创造条件）。

探究三改进：寻找递推公式中的几何背景

先给学生充分的思考时间。

学生甲：我求得了所以我猜测就是前面的数列，即当然

这有一定的局限性。

学生乙：我根据式子的特征，将一个移到等号左边,得：，

则为以3为公比的等比数列。

教师小结：

其一，对于乙的解法，教师先给与充分肯定，再提出思

考，你怎么看出从等号右侧移一个到左侧呢？一般情况下，

如何解决呢？引出利用待定系数法构造等比数列的方法（见

初次上课的教学设计）。

其二，前面的递推式我们均能从几何背景找到它们的解

释，对于此递推公式，仍能从谢宾斯基三角形中得到验证

吗？

四个图案⑶的缩影去除三个图案⑵的缩影即可得图

案（4）,即有。同时，辅以几何画板的动画演示，结果更加

形象，引起学生极大的兴趣！

3讨论与反思

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学是人类

文化的重组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用

和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求,

社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数

学的美学价值，数学家的科学精神。”［1］而“数列的递推公

式”是高中新、旧教材均有的代数内容，看起来比较简单。

即：了解递推公式是给出数列的一种方法并能根据递推公式

写出数列的前几项。但笔者给出的教学设计却是“源于教材,

高于教材。”谢尔宾斯基三角形原本是新教材中的一个例题

（文献［2］中2.1的例2）,只给出了数列前面几项。笔者的

教学设计结合文献［3］第10章内容作了深度挖掘。从谢尔宾

斯基三角形出发，引导学生探究数列的递推公式，由于有先

前一节课的经验，第二次改进后的教学设计留给学生的探究

梯度恰当，加上数学历史与文化的渗透，学生的参与度很高,

真正实现了师生互动。数形结合的思想以及数学的本质：模

式建构都得到了充分体现。

进一步，通过使用数学教学软件“几何画板”现场制作

谢尔宾斯基三角形，并演示其中的变化，寻找递推公式，等

的几何背景，学生从谢尔宾斯基三角形的一系列变化中观察

出了数列中项数的变化及其各种关系。具体讲，从探究图中

绿色三角形个数的计数问题自然过渡到对图中绿色，黑色三

角形总个数的计数问题探究。这种从不同视角去引导学生观

察分析谢尔宾斯基三角形的变化，并从中探究数列的递推公

式和通项公式，传递自然、连贯贴切，现场课堂表现出学生

参与度高，课堂气氛融洽，师生精神状态良好，真正实现了

师生互