高考数学二轮复习资料08 直线和圆教学案

【2013考纲解读】

1.掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、距离等.

2.掌握确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的

位置关系、圆与圆的位置关系;初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

【知识网络构建】

【重点知识整合】

1.直线的斜率

2.直线的方程

3.两条直线的位置关系

⑴平行；⑵垂直；(3湘交.

4.距离公式

(1)两点间的距离；(2)点与直线的距离；(3)两条平行直线间的距离.

5.圆的方程

6.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相交、相切和相离三种，解决问题的方法主要有点线距离法和判

别式法.

(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为4圆的半径为r,则•直线与圆相交，d

=ro直线与圆相切，流/=直线与圆相离.

⑵判别式法：设圆C-.(x—a)2+(y—6)2=产，直线7：〃+/+C=0,方程组

分+C=0,

2,,2，消去y得x的一元二次方程判别式4,

X—a+y~b=r,

①直线与圆相离Q4〈0;②直线与圆相切O/=0;

③直线与圆相交Q4>0.

7.圆与圆的位置关系

设h,复分别为两圆半径，d为两圆圆心距.

(1)两圆外离；

⑵"=Ti+r2=两圆外切；

(3)|八一々|<d(力+厂2=两圆相交;

(4)〃=|4一及|=两圆内切；

(5)cK|r\—r2\Q两圆内含.

【高频考点突破】

考点一直线方程

1.直线方程的五种形式：

(1)点斜式:y—%=4(又一加)；

⑵斜截式：y=kx+b；

(3)截距式：-+{=1；

ab

y—y\x-x\

(4)两点式:

yi—y\X2-x\

(5)一般式：4r+取+C=0G4,8不全为0).

2.直线与直线的位置关系的判定方法：

(1)给定两条直线力：y=&x+E和A：产=%2/+庆，则有下列

结论：

1\〃k=k\=kz豆b\丰限7i±,k2——\.

(2)若给定的方程是一般式，即4：4x+8y+G=0和心：

4x+民y+G=0,则有下列结论：

1、〃l—AB-AzB产。且BC-B£、#0；

■AJ_+38=0.

例1、过原点的直线与圆f+/-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程

为.

解析:设所求直线方程为丁=株即及一丁=0.由于直线tt-T=0被圆截得的弦长等于2,

圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于#W=Q，即圆心位于直线上.于

是有J2=。，即=2,因此所求直线方程是％一1=0.

答案：2x-v=0

【方法技巧】

1.求直线方程主要是待定系数法.要注意方程的选择若与芥+少+C=0平行，则直线

方程可设为By+m=0(in).

2.利用系数研究两直线平行、垂直时，要注意其充要性.

3.注意直线的倾斜角的范围LO,n).

考点二圆的方程

1.标准方程：(x—a)2+3—6)2=/,圆心坐标为g,半径为工

2.一般方程：/+/+以+。+6=0(〃+卢一4，＞0),

圆心坐标为(一宗-f),半径尸亚平卫

例2、已知圆C经过4(5,1),6(1,3)两点，圆心在“轴上，则，的方程为._.

解析：依题意设所求圆的方程为：(x-a)：+F=£把所给两点坐标代入方程得，

[5―午+1=户，g：a=2,

工解得c

11一？+9=广,l.r—10,

所以所求圆的方程为(x—2)：+]：=10.

答案:(A—2):+1:=10

【方法技巧】求圆的方程一般有两类方法

(1)凡何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量

和方程；

(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.其一般步骤是：

①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；

②利用条件列出关于a、b、r或D、E、b的方程组；

③解出a、b、r或以E、F,代入标准方程或一般方程.

止匕外，根据条件，要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量.

考点三直线与圆的关系

1.点与圆的位置关系转化为点与圆心的距离与r的关系.

2.直线与圆的位置关系：用圆心到直线的距离d与半径r来判断，比用方程判别式简

洁.

3.圆与圆的位置关系.

设两圆圆心分别为。、Oi,半径分别为八、r-L,

则目+»o两圆相离；

I。口|=八+费o两圆外切；

In—＜Iaal＜力+及=两圆相交；

\0\0>\—\T\一22O两圆内切；

IOiOi\<|rj—12o两圆内含.

例3、设圆C位于抛物线/=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C

的半径能取到的最大值为_______.

解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，需圆

与抛物线及直线x=3同时相切，可设圆心坐标是(a0)(0<a<3),则由条件知圆的方程是松

-a)-+y-=(3-a)-.

由厂工+"3-三消去j得

\.y-2x

x-+2(l—a)x+6a—9=Q,

结合图形分析可知，当匆二一*6a—9)=口且0VqV3,即a=4一短时，相应的圆

满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3—。=加一1.

答案：Vs—1

【方法技巧】

1.有关直线与圆的相交问题要注意灵活运用圆的几何性质，特别是弦心距、弦长一半

和半径满足勾股定理.

2.与圆有关的最值、范围问题要注意数形结合思想的应用.

3圆的切线问题一般是利用d=r求解，但要注意切线的斜率不存在的情形.

4.圆与圆锥曲线相结合时要注意结合图形分析，抓住其结构特征进行求解.

【难点探究】

难点一直线与方程

例1过定点。(2,1)且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是.

【答案】x+2y—4=0或(*+l)x—2(m一l)j—4=0或(蛆-l)x—2(*+l)y+4

=0

【解析】设所求的直线方程为一X+3V=1.

ab

21

;直线过点〃(2,1)，，一+7=1,即d+26=奶①

ab

又由已知，可得力a引=4，即留=8.②

f<a+2b=ab,a+2b=ab,

由①、②可得，。或,

(ab=8[ab=—8,

解得a=4,6=2或3=4（镜一1）,6=—2（嫡+1）或@=-4（斓+1）,6=2（镜一1）,

故所求直线方程为x+2y—4=0或（镜+l）x—2（镜—l）y—4=0或（啦—l）x—2（地

+1）y+4=0.

【变式探究】⑴过点尸（-1,3）,且倾斜角比直线y=（2一4的倾斜角大45°

的直线的方程是（）

A.■\^x+

B.（3-2的x+y+3+2蛆=0

C./x—y+3+木=0

D.（3+2啦）x-y+6+2*=0

(2)已知三条直线/i：4x+p=4,72：mx+y=Q,73：2x—3〃7y=4,这三条直线不能构成

一个三角形时的加值的集合M=.

【答案】

f12

(DC(2)i-l,p4：-

【解析】(。已知直线的斜率比=2-3=1血15=,..・所求直线的颈斜角为61，.•.所

求直线的斜率Htan6r=4，由点斜式得所求直线的方程为3一3=馅仪+1),即卡X-J+

3+4=0.

(2)①当有两条直线平行时，三直线不能构成三角形.

若入〃/2,则:I.勿=4；

2加41

贝dr

u4-14一6-

若11//，3,显然勿=0时不平行，当/W0时，5=~丁六乃无解.

z—6m4

②当三直线过同一点时，不能构成三角形，此时，由4、?=4'得两直线的交点是

l.，nx+j=0

A4—产4"加〃=分代入第三条直线方程解得加?=号或次=一1.

‘4—冽4—W3

12

综合①②所述，当，”=一1、"=-*、加=薄，”=4时，三直线不能构成三角形，故W

03

12

:—1,~~4r

I63J.

难点二圆的方程的应用

例2已知圆G：/+/—2%xr+4y+/—5=0与圆C：x+y-\~2x—2my+m,若圆

G与圆C相外切，则实数〃=.

【答案】一：或2

【解析】对于圆G与圆J的方程，配方得

圆G：(x—?«)-+(1+2)-=9>扇G：(.v+l)-+(j-»1)-4>

则-2),八=3,C:(-Lm),r=2.

如果圆G与圆G相外切，那么有GG=n+,即«+1二十”!+：：=$,

则加+3冽-10=。,解得»!=-5或m=2,

所以当w=-5或m=2时，圆C：与圆J相外切.

【变式探究】已知圆C与直线x—y=0及x—y—4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则

圆。的方程为()

A.(x+l)2+(y—1)2=2

B.(“一1尸+(了+1)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2

D.U+l)2+(y+l)2=2

【答案】B

【解析】设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可.设圆心坐标为⑶-

mia---aa——q—4即a=a-2,解得E,故回心坐标为(1,T),半径片上

分贝J-

=S，故圆的方程为(x—l)：+(y+l»=2.

【规律技巧】

1.确定直线的几何要素，一个是它的方向，一个是直线过一.个点.在解析几何里面用

得最广泛的就是直线方程的点斜式.

2.求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立

的条件，只有根据已知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的

半径，其中列条件和解方程组都要注意其准确性.

3.直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的问题，是直线与圆的位置关系的一

个衍生问题.解决的方法，一是根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆

心到直线的距离表示，即如果圆的.半径是r,圆心到直线的距离是4则圆被直线所截得的

弦长/=217二7；二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决.

【历届高考真题】

[2012年高考试题】

1.【2012高考真题重庆理3】任意的实数k,直线丁=丘+1与圆尤2+y2=2的位置关

系一定是

A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心

【答案】C

【解析】直线丁=丘+1恒过定点(0,1),定点到圆心的距离d=l<J5,即定点在圆

内部，所以直线y=Ax+l与圆相交但直线不过圆心，选C.

2.【2012高考真题浙江理3】设aGR,则“a=l”是“直线L：ax+2y=0与直线b：

x+(a+l)y+4=0平行的

A充分不必要条件B必要不充分条件,

C充分必要条件D既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当a=l时，直线x+2y=0,直线小x+2y+4=0,贝心A；若7112,

则有a(a+1)—2x1=0,即+a—2=0,解之得，a=—2或a=1,所以不能得到a=1.

故选A.

4.【2012高考真题陕西理4】已知圆。：X2+了2-4%=0,/过点P(3,O)的直线，则()

A./与C相交B./与C相切C./与C相离I).以上三个选项均

有可能

【答案】A.

【解析】圆的方程可化为(x-2>+/=4,易知圆心为(2：0)半径为2,圆心到点？

的距离为1,所以点P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.

5.[2012高考真题天津理8]设,若直线(〃?+l)x+(〃+l)y-2=0与圆

(x—1尸+(丁-1)2=1相切，则m+n的取值范围是

(A)[1-73,1+73](B)(^o,l-V3]u[l+V3,+oo)

(C)[2-272,2+272](D)(^o,2-2V2]u[2+2V2,-H»)

【答案】D

【解析】圆心为(1,1),半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足

|(〃2+1)+(〃+1)-2|[[机+〃、2、几

-—二1，即nn"2+〃+l=m«W(----),设m+n=z，即nn

机+1产+(“+1)22

-z2-z-l>0,解得z<2—2日，或222+2收，

4

6.[2012高考江苏12](5分)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为

x2+y2-8x+15=0,若龄

了=履-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大

值是▲.

【答案】q

【解析】•.得C的酒可快（x-4『-『=1,.,.圆C的圆心为（4,0）,半径为1.

,,由题意，瑾葭j=H-2上至少W在一点H（毛，依-2）,以该点为扇心，1为半径的圆

与圆C有

公共点；

..・存在毛wK,使得XC41+1成立，即

•.二k％”即为点C到直线『=依一2断第二3,..•里二三42,解得04万43.

二上的最大值是士.

3

8.12012高考真题湖南理21】（本小题满分13分）

在直角坐标系xOy中，曲线G的点均在C2：（x-5）?+/=9外，且对G上任意一点M,M

到直线x=-2的距离等,于该点与圆心上点的距离的最小值.

（I）求曲线C的方程；

（II）设P（x。,y°）（y°¥±3）为圆C2外一点，过P作圆G的两条切线，分别与曲线3

相交于点A,B和C,D.证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积

为定值.

【答案】（I）解法1：设M的坐标为（九,y）,由已知得

|X+2|=7(^-5)2+/-3.

易知圆G上的点位于直线％=-2的右侧.于是x+2>0,所以

yj（x-5）2+y2=x+5.

化简得曲线G的方程为y2=20%.

解法2：由题设知，曲线G上任意一点M到圆心。式5,0）的距离等于它到直线工=-5

的距离，因此，曲线G是以（5,0）为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，故其方程为

y:=20x.

（II）当点？在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-工线），又北工扫，则过P且与

圆

相切得直线的斜率左存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为

>-y0=Mx+4）：即kx-y+%+4k=0.于是

|5k+%+咽

_一'

整理得

72二+18Rc+y；-9=0.①

设过P所作的两条切线尸APC的斜率分别为即&，则人欢2是方程①的两个实根，故

勺+公=_地辽=_比.②

1-724

幺%一y+讣+4匕=0,,.°_

由2”得力2_2Oy+2O（），o+44）=O.③

y=20x,

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y,%,%，%，则是方程③的两个实根，所以

20（%+4人）

y•必=----—--④

%

同理可得

20（%+4%,）

%”=----;-----•⑤

于是由②，④，⑤三式得

vv_400（内+物）5+他）

他

_400[y；+4（瓦+幺）比+16k内]

k应

=400」一工+16枇].00

桃：

所以，当P在直线x=7上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.

【2011年高考试题】

1.（2011年高考重庆卷理科15）设圆C位于抛物线V=2x与直线x=3所组成的封闭

区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为

答案:A/6-1.

解析：为使圆C的半径取到最大值，显然扇心应该在x轴上且与直线x=3相切，设圆

C的半径为尸，贝圆C的方程为（x+r-3），j；=/，将其与联立得：

x:+2（r-2）x+9-6r=0,令A=[2（r-2）了-4（9-6?）=0,并由厂>0,得：

r=a-L

2.（2011年高考广东卷理科19）设圆C与两圆（x+6）2+;/=4,（x—J5）2+V=4中的一

个内切，另一个外切.

（1）求C的圆心轨迹L的方程.

⑵已知点M（W，半），F（底0）,且P为L上动点，求帆P|-|FP||的最大值

及此时点P的坐标.

【解析】（1）解：设C的圆心的坐标为（x,y）,由题设条件知

IJ(x+q)2+y2_+y2|=4,

化简得L的方程为一一=i.

4

（2）解：过M,F的直线/方程为y=—2（x-石），将其代入L的方程得

15f-32&+84=0.

解得:

再=竺,毛=芋做7与£交点为不竺「逑）Z（罕;芈）.

515551515

因T：在线段NE外，T：在线段NF内，故恒巨一%|W3/F=2,

|J/L|-FT.14VF=2.,若？不在直线\左上，在31FP中有

|.W-产|=2.

故卜MP-I尸产||只在T：点取得最大值2.

3.（2011年高考福建卷理科17）（本小题满分13分）

已知直线1：y=x+m,meRo

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线1相切与点P,且点P在y轴上，求该圆的

方程;

（II）若直线1关于x轴对称0的直线为广，问直线/'与抛物线C：x?=4y是否相切？

说明理由。

解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数

与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分。13分。

（I）依题意，点P的坐标为（0,m）

因为MP，/,所以。二=

2-0

解得m=2,即点P的坐标为(0,2)

从而圆的半径

r=|MP|=7(2-0)2+(0-2)2=272,

故所求圆的方程为(x—2)2+9=8.

(II)因为直线，的方程为丁=x+九

所以直线，'的方程为y=-x-m.

v'=-X-mt,

由+4x+4w=0

•X*=4y

A=4*—4x4加=16(1-w)

(1)当物=L即A=0时，直线，'与抛物线C相切

(2)当力Hl,那△。时，直线，与抛物线C不相切.

综上，当m=l时，直线，'与抛物线C相切；

当WH1时，直线/'与抛物线C不相切.

4.(2011年高考上海卷理科23)(18分)已知平面上的线段/及点P,在/上任取一

点。，线段尸。长度的最小值称为点P到线段/的』巨离，记作d(P,l)。

(1)求点P(l,l)到线段3=0(3<x<5)的距离d(P,/)；

(2)设/是长为2的线段，求点集O=｛P|d(P,/)〈l｝所表示图形的面积；

(3)写出到两条线段4，/2距离相等的点的集合。=仍1”(24)=〃(2,/2)｝，其中

/,=AB,l2-CD,

解析：AB,C,O是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是

①2分，②

6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。

①4(1,3),仇1,0),C(-1,3),0(-1,0)。。

②A(l,3),B(l,0),C(-l,3),D(-l,-2)«

③A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)o

解：⑴设Q(x,x—3)是线段/:%—丁一3=0(3«%〈5)上一点，则

IPQ\=7U-1)2+(X-4)2=^2(x-1)2+1(3<x<5),当x=3时，

d(R=/)m招二。

⑵设线段l的端点分别为工£,以直线AB为x轴，,1B的中点为原点建立直角坐标

则H-L0\B(L0),点集D由如下曲线围成

/1：>'=l(|x|<l)J::y=-l(|x|<l)

G:(x+l):+y2=l(x<-1)C:(x-l):+y:=l(x>1)~~

其面积为S=4+万.

(3)①选择K(L3)aL0),C(T3)a(T0)，Q={(xsy)|x=0}

②选择H(L3),BQ0),C(-L3),D(-L-2).

Q={(x,y)|x=0,yN0}{(x,y)|y2=4x,-2<y<0}{(x,y)|x+y+l=0,x>l}

③选择A(0,l),8(0,0),C(0,0),0(2,0)。

O={(x,y)|x〈0,y40}{(x,y)|y=x,o<x〈l}

{(x,y)|x2=2y—1,1<x<2}{(x,y)14x—2y—3=0,x>2}

【2010年高考试题】

1.（2010江西理数）8.直线丁="+3与圆（》一3）2+（丫—2）2=4相交于M,N两点,

|W|>2V3,则k的取值范围是

73后

-3[「3]

——,0-00,——[0,+oo]----,---

A.L4JB.L4」c.33

L」D.

--.0

3」

【答案】A

【解析】考查直线与扇的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合的运用.

解法1：扇心的坐标为（3.,2）,且圆与y轴相切.当

\IN|=2jQ时，由点到直线距离公式，解得

解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之

间即可，不取+x,排除B,考虑区间不对称，至IE除c,T-卜-中

利用斜率估值，选A

2.（2010重庆理数）（8）直线y-------x+A/2与圆心为D的圆

3

x-V3+J3c6b.r、、

匚㈤交与A、B两点,则直线AD与BD的倾斜角之和为

y=l+«3s6inL

A.，545

B.—71C.—71D.一TC

64