高中数学《正弦函数、余弦函数的图象》导学案

n第三章三角函数

DIYlZHANG1.4三角函数的图象与性质

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

卜课前自主预习

1.正弦函数的图象

(1)正弦曲线

正弦函数y=sinX%£R)的图象叫做印正弦曲线.

(2)正弦函数图象的画法

①几何法：

(i)利用②正弦线画出y=sinx,%£［0,2兀］的图象；

(ii)将图象⑶向左、向右平行移动(每次27r个单位长度).

②五点法：

(i)画出正弦曲线在［0,2组上的图象的五个关键点驷①

m,0),仔，一“，(2兀，°),然后用光滑的曲线连接；

(ii)将所得图象区向左、向右平行移动(每次2n个单位长度).

2.余弦函数的图象

(1)余弦曲线

余弦函数y=cos%(%£R)的图象叫做⑹余弦曲线.

（2）余弦函数图象的画法

①要得到产cosx的图象，只需把y=sinx的图象向左平移酬得个

单位长度即可，这是由于85%=5也,+1.

②用“五点法”：画余弦曲线y=cosx在[0,2兀]上的图象时一，所取

的五个关键点分别为玉（o,i）,o],（九，一1）,件，o],（2加，1）,

然后用光滑的曲线连接.将所得图象团向左、向右平行移动（每次27r

个单位长度）.

工|自诊小测

1.判一判（正确的打“J”，错误的打“X”）

（l）y=sinx,%£[0,2兀]的图象关于点尸（兀，0）成中心对称.（）

兀

（2）y=cosx,%£[0,2兀]的图象关于直线成轴对称.（）

（3）正、余弦函数的图象不超过直线y=l和y=-1所夹的范

围.（）

（4）正弦曲线与余弦曲线形状相同，只是位置不同.（）

答案（1）J⑵X（3）7（4）7

2.做一做

（1）下列各点中，不在y=siru图象上的是（）

A.（0,0）B.住1）

C.隹-11D.（7i,1）

答案D

解析因为sin兀=0,故（兀，1）不在图象上.

(2)从函数y=sior,%£［0,2兀］的图象来看，对应于siar=；的％有

()

A.1个值B.2个值

C.3个值D.4个值

答案B

解析画出函数丁=5111^,%£［0,2兀］与y=：的图象，易知二者有

(3)(教材改编P34TD对于余弦函数y=cosx的图象，有以下描述:

①将［0,2兀］内的图象向左向右无限伸展；

②与y=siax图象形状完全一样，只是位置不同；

③与y轴有无数个交点；

④关于y轴对称.

其中正确的描述有()

A.1项B.2项C.3项D.4项

答案C

解析由正弦、余弦曲线可知，①②④正确，③错误.

卜课堂互动探究

探究1五点法作图

例1用“五点法”作出下列函数的简图:

(l)y=sinr—1,xG［0,2n］；

(2)y=2+cos%,%£［0,2兀］.

解⑴列表：

匹37r

X0兀2K

2~2

sinx010—10

sinx—1—10—1-2—1

描点、连线,如图：

(2)列表:

7U3瓦

X兀27r

02T

COSX10—101

2+cos%32123

描点、连线，如图:

拓展提升

描点法画正(余)弦函数图象的关键

(1)列表时，自变量％的数值要适当选取

①在函数定义域内取值；②由小到大的顺序取值；③取值的个数

应分布均匀；④应注意图形中的特殊点(如：端点，交点，顶点)；⑤

尽量取特殊角.

(2)描点连线时应注意

①两坐标轴上的单位长度尽可能一致，以免改变图象的真实形状;

②变量1,y数值相差悬殊时，也允许采用不同长度单位；

③连线时一定要用光滑的曲线连接，防止画成折线.

【跟踪训练1】作出下列函数的图象：

(l)y=—siax(0WXW27r)；

(2)y=1+COS%(0WXW2TT).

解⑴列表：

713兀

X0271~22兀

sinx010—10

—sinx0-1010

描点、连线,如下图：

(2)列表:

匹37r

X0兀2兀

2T

COSX10—101

1+cosx21012

描点、连线，如下图:

A

X

探究2用图象变换作函数图象

例2作出函数y=A/l—cos?%的图象.

解y=y)1—cos\=|sinx|,

sinr(2EW%W2E+兀),

即丁=•e、(2£Z)

〔—sinx(2也十71<X<2KTI十2兀)

其图象如下图.

拓展提升

用图象变换作函数图象

对于某些函数的图象，如y=—sinx,^=|sinx|,y=sin|%|等可通

过图象变换，如平移变换、对称变换等作图.

(1)把y=sinx的图象在入轴上方的保留，％轴下方的图象沿％轴

翻折到％轴上方，就可得y=|siiir|的图象.

(2)把)/=51僦的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，

再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y=sin的图象.

【跟踪训练2】作函数y=sinQ+为1的图象.

解y==|cosx|

cosx—Zj,

=<

(ji3兀)

—cosxl2+2E<X<E+2E,kGZ).

故y=|cosx|的图象实际就是旷=8$%的图象在入轴下方的部分翻

折到％轴上方后得到的图象，如下图.

产COSX

探究3正、余弦函数图象的简单应用

例3利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的％的

集合.

(l)sinx^2;(2)COSX^2-

解(1)作出正弦函数y=sinx,%£[0,2兀]的图象，如图所示，由

(2)作出余弦函数y=cosx,%£[0,2兀]的图象，如图所示，由图象

用三角函数图象解不等式的步骤

(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在［0,2兀］上的图象；

(2)写出不等式在区间［0,2兀］上的解集；

(3)根据公式一写出定义域内的解集.

【跟踪训练3】利用正弦曲线,求满足;<sinx丹的工的集合.

解首先作出y=sinx在［0,2兀］上的图象，如图所示.

作直线y=；,根据特殊角的正弦值，可知该直线与y=sinr,%

£［0,2兀］的交点的横坐标为专和系；作直线y=坐，该直线与旷=5111¥,

TT27rIT

%£［0,2兀］的交点的横坐标为1和学观察图象可知,在［0,2兀］上,线

音或当系时，不等式gsinxW乎成立,

1S,

所以]vsinxW勺的解集为

兀兀57r

{xz+2Z7T<%W7+2hr+2kn-\~2kn,

163

f------------------------------------1魅耀加------

1.“五点法”是画正、余弦函数图象的重要方法

画正弦函数y=sinx,x£[0,2兀]的图象.有五个关键点，它们分别

71

(，仔，-1),(2K,0),因此描出这五点后,

是(0,0),r1,71,0)

正弦函数旷=512，％£[0,2幻的图象的形状基本上就确定了.在描点

时.，光滑曲线是指经过最高点或最低点的连线要保持近似“圆弧”形

状，经过位于％轴的点时要改变“圆弧的圆心位置”.用五点法画余

弦函数y=cos%的图象时也是一样.

特别注意：(1)五点法是我们画三角函数图象的基本方法，与五点

法作图有关的问题曾出现在高考试题中.

(2)作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为

实数.

2.正弦曲线和余弦曲线是向左右两边无限延伸的，正弦曲线与余

弦曲线形状相同，但在同一坐标系下的位置不同.

卜课堂达标自测

1.用“五点法”作)，=sin2x的图象时，首先描出的五个点的横

坐标是()

八九3兀c「八兀兀3冗

A.0,2，兀,252兀B.°,甲2，4，兀

[I7^JI

C.0,K,2n,3n,4兀D.0,%,

答案B

解析根据“五点法”，可令2%=0,全jr兀，y37r,2兀，解得％=0,

兀兀3兀1/c

4，2,彳'九'故选B.

2.以下对正弦函数旷=5皿；1的图象描述不正确的是（）

A.在工£[2E,2E+2M（Z£Z）上的图象形状相同，只是位置不

同

B.介于直线y=l与直线y=-1之间

C.关于％轴对称

D.与y轴仅有一个交点

答案C

解析由正弦函数图象可知，相差2兀的整数倍，图象形状相同，

只是位置不同，A正确；因为正弦函数的值域为[—1,1],故B正确;

由正弦函数的图象知，图象关于原点对称，C错误；由正弦函数图象

知D正确.故选C.

3.要得到正弦曲线，只要将余弦曲线（）

A.向右平移]个单位长度

B.向左平移彳个单位长度

3兀

C.向右平移于个单位长度

D.向左平移兀个单位长度

答案A

解析由于cos1%—£|=siiu：,所以只需将y=cos%的图象向右平

移5个单位长度即可.

4.满足cos%>0,%£[0,2扪的％的取值范围是.

答案[机2）UU,2兀

解析画出函数丁=85],%£[0,2兀]的图象如图所示.

由图象可知满足cosx>0,*引0,2兀]的％的取值范围为0,du

隹24

5.用“五点法"作出函数y=l+2sinr,%£[0,2兀]的图象.

解列表：

三37r

X0兀27r

2T

sinx010—10

l+2sinx131—11

在直角坐标系中描出五点(0,1),住3),(兀，1),修一1),(2冗，

1),然后用光滑的曲线顺次连接起来，就得至Uy=l+2siru,%£[0,2兀]

的图象.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.下列函数图象相同的是()

A.«x)=sinr与g(%)=sin(7t+x)

B.«x)=sin1%一野与g(x)=sin低一%)

C.八%)-sinx与g(%)=sin(一%)

D.«x)=sin(27r+x)与g(%)=sinx

答案D

解析A,B,C中，危)=一孤)；D中，«r)=g(%).

2.若cos%=0,则角x等于()

Tl

A.kji(kGZ)B.1+E(%£Z)

兀Tt

C.1+2E(A£Z)D.-]+2阮(％£2)

答案B

IT

解析若cos%=0,则%=]+E(%£Z).

3.如图所示，函数尸cos¥|tanx||oWx娉且%度)的图象是()

CD

答案C

sin%,

JJI

解析y=cos%・|tanr|=j—sinx,

3兀

sinx,兀＜%＜亏.

LL

故其图象为c.

4.若点M仔，一机）在函数y=siru的图象上，则相等于（）

A.0B.1C.-1D.2

答案C

JT

解析由题意，得一根=sin],所以一机=1,所以机=-1.

（JT兀、

5.函数y=ln8残一的大致图象是（）

答案A

解析由余弦函数的图象，可知当一品用时，0<cos%Wl,所以

y=lncos%WO,故选A.

二'填空题

6.方程％2=cos%的实根的个数是.

答案2

解析在同一直角坐标系中，作出丁=/和旷=83的图象如图,

由图可知，有两个交点，也就是方程#=COSX的实根的个数为

2.

7.函数y=2cos_x,%£［0,2兀］的图象和直线y=2围成的一个封闭

的平面图形的面积是.

答案4九

解析如图，图形5］与S2,S3与S4都是两个对称图形，所以有

Si=S2,83=84,因此函数y=2cosx的图象与直线y=2所围成的图形

面积，可以等价转化为求矩形QA3c的面积.

'：\OA\=2,\OC\=2n,

••S矩形0A8C=2X2兀=4兀,

.二所求封闭的平面图形的面积为4兀

snir,x/U,i

8-已知函数於则不等式段)>*解集是

答案..0)u1+2航,普+2司(KN)

解析在同一平面直角坐标系中画出函数/(%)和直线y=T的图象,

如图所示.

13兀5兀

由图可知当/(%)〉］时，有一齐t<0或4+2析<x