新教材高中数学第2章平面解析几何椭圆的标准方程导学案新人教B版选择性必修第一册

2.5椭圆及其方程

2.5.1椭圆的标准方程

固用附阑目国（教师独具内容）

课程标准：1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.掌握椭圆的定义和标准方程.3.

能利用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题.

学法指导：学习本节内容时，应注意以下几点：1.要通过实际操作理解并熟练掌握椭圆

的定义；2.利用图形的形象直观性，把握a,b,c的几何意义；3.要通过范例的学习与适度

的练习，熟练掌握求椭圆标准方程的基本方法：待定系数法、定义法、直接法等.

教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程.

教学难点：椭圆标准方程的推导.

核心概念.掌握

HEXINGAINIANZHANGWO

1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔波

普彗星将逐渐接近地球,4月以后又将渐渐离去，并预测3000年后,它还将光临地球上空.1997

年2月至3月间许多人目睹了这一天文现象.你知道科学家是如何计算出彗星出现的准确时

间吗？

1知识］导学

知识点一椭圆的定义

如果用是平面内的两个定点，a是一个常数,且2a回2出知，则平面内满足画㈤

+|必=2a的动点户的轨迹称为椭圆,其中，两个定点■称为椭圆的国焦点,两个焦

点之间的距离出K|称为椭圆的画焦距.

知识点二椭圆的标准方程

焦点位置焦点在或轴上焦点在y轴上

2222

标准方程［号+方=1(眇6>0)102|-+*=1(H>6>0)

au

y

图形1

焦距E&=画“

焦点坐标画（土c,0）[os]（0,+0

a,b,c的关系[06]a2=Z>2+c

'新知I

1.对椭圆定义的理解

设两定点£,左,点到凡用的距离之和为2a.

⑴当2a>㈤宿||时,点的轨迹是椭圆.

(2)当2a=出用时，点的轨迹是以用为端点的线段.

(3)当2a〈㈤周时，点的轨迹不存在.

2.用待定系数法求椭圆标准方程的步骤

(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可

能；

(2)设方程：

Y2V2V2X2

①依据上述判断设方程为=+0=1(a>»0)或=+/=1(a〉6>0)；

abab

②在不能确定焦点位置的情况下也可设i(4>0,n〉0且勿；

(3)找关系：依据已知条件，建立关于a,b,c或m,〃的方程组；

(4)得方程：解方程组，将a,b,c或以，〃代入所设方程即为所求.

温评价自测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆.()

(2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.()

(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备廿=所+/()

4

(4)设定点内(0,-2),"(0,2),动点尸满足条件由+必=必+-(必>2),则点尸的

m

轨迹是椭圆.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)V

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

22

(1)设“是椭圆就X+5V=1的焦点，户为椭圆上一点，则△阳石的周长为.

259--------

22

⑵已知几凡为椭圆卷+5=1的两个焦点，过E的直线交椭圆于46两点，若

z)4

+出面=8,贝！］|"而=.

22

⑶若椭圆志1的焦点分别为凡&椭圆上一点产满足/月初=60°,则AF阳

的面积是.

答案⑴18(2)4⑶呼

核心素养,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一椭圆的定义

22

例1如图所示，已知经过椭圆宗Y+£V=1的右焦点用的直线四垂直于X轴，交椭圆于

2516

A,8两点,月是椭圆的左焦点.

(1)求的周长；

(2)如果26不垂直于x轴，△力£6的周长有变化吗？为什么？

一系或

［解］(1)如题图，由题意知，A,8在椭圆前+e=1上，故有|/知+|/川=2a=10,

U10

M+|g=2a=10,AF21+|BF21=|AB\,

所以的周长+|班|+|初=|/川+|班|+|/£|+|期|=(|裕|+|/知)

+(|班|+|/|)=2a+2a=4a=4X5=20.

所以△加肥的周长为20.

(2)如果/夕不垂直于x轴，△":方的周长仍为20不变，因为|/川+|班|+|四|=|/川

+|明|+|/川+|昭|=(|/川+|四|)+(|班|+|破|)=42与48和x轴是否垂直无关.

一［思碓国皮条成反思感悟］-------------------

1.椭圆定义的应用技巧

⑴椭圆的定义具有双向作用，即若|姐|十|炳卜=2a(2,再创),则点〃的轨迹是椭圆；

反之，椭圆上任意一点〃到两焦点的距离之和必为2a.

(2)椭圆的定义能够对一些距离问题进行转化，简化解题过程.因此，解题过程中遇到涉

及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.

2.椭圆中的焦点三角形

椭圆上一点尸与椭圆的两个焦点E,K构成的△阳称为焦点三角形，解关于椭圆的

焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解.

3.椭圆的标准方程中应注意的几个问题

(9一二犬+3，a>6〉0,a最大，其中a,Ac构成如图的直角三角形，我们把它称为“特

征三角形”.

(2)方程中的两个参数a与6,确定椭圆的形状和大小；焦点内，月的位置，是椭圆的定

位条件，它决定椭圆标准方程的类型.

(3)方程力/+即表示椭圆的充要条件：ABC^O,且4B,。同号，方时，焦

点在y轴上；水方时，焦点在x轴上.

［跟踪训练1］已知E为椭圆5/+9/=45的左焦点，户为椭圆上半部分上任意一点，

/(I,1)为椭圆内一点，求|朋卜+|川的最小值.

解由椭圆的方程5系+9炉=45可知J=9,Z?2=5,c=4,左焦点式(一2,0),右焦点

月(2,0),如图所示.尸为椭圆上半部分上一点，由椭圆的定义有|所|+|必1=6.

而|阳|+|川=|阳|+|川+|阳1—1必|=6一(1必1—1朋).

在中，因为||用IT朋|<|/网，当且仅当P,A,K三点共线时，|必|一|加

=|四|=*.所以当一，A,K三点共线时，|阳|十|川有最小值为6一镜.

题型二椭圆的标准方程

例2求经过0,20,一f两点的椭圆的标准方程.

22

［解］解法一：①当椭圆的焦点在X轴上时，设椭圆的标准方程为2+V=l(a>6〉0),

ab

r1

22±

a-一

lL

O

得

解i

依题意，知<1

021

l^--

4

A

•.•』=:4=次.•.焦点在入轴上的椭圆不存在.

54

②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为

y2x2

=+0=1(a>b>0).

ab

"

解得v

由题意，得4

-

V2X2

故所求椭圆的标准方程为:+T=1.

45

解法二：设所求椭圆的方程为//+皮=1(给0,B>0,样曲.

2=5,

解得

6=4,

；•所求的椭圆方程为5/+4/=1,其标准方程为彳+：=1.

45

一［思碓区皮茶成反思感悟］-----------------

1.椭圆标准方程的两种求法

(1)定义法：定义是研究椭圆问题的基础，先根据椭圆的定义得到相应的a,b,c,再写

出椭圆的标准方程.

(2)待定系数法

2222

①先设出椭圆的标准方程当+卷=1或亲+4=l(a〉垃0),然后求出待定的系数代入方程

abba

即可.

②若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭

圆的方程为加7Z?>0,72>0).

③与椭圆刍+看=l(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为dr+TTr=1匕>6>。，仃

ab3十人Z?十a

2222

>-X),与椭圆0+*=l(a>6>0)有公共焦点的椭圆方程为T万+/J=l(a>6>0,

aba十人右十乂

1J>—儿).

2.求椭圆标准方程的关注点

确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面.

(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为

原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；

(2)“定量”是指确定a?,N的具体数值，常根据条件列方程求解.

［跟踪训练2:求满足下列条件的椭圆的标准方程.

1，-1);

(1)两个焦点坐标分别是(一2,0),(2,0),并且经过点

22

(2)过点0(2,1),且与椭圆^X+!V=1有公共的焦点.

22

解(1)易知椭圆的焦点在X轴上，所以设椭圆的标准方程为FX+6V=l(a>£>0).

ab

所以

又c—2,所以9=才一/=10—4=6.

22

故所求椭圆的标准方程为亲+!=1.

100

xy

(2)设所求椭圆的标准方程为F+£=1(a>6>0),

ab

22

由已_+3=1,得，=5,则才一9=5.①

41

又点。(2,1)在所求椭圆上,所以了+了=1,②

由①②得3=4+5,8=3,

2

Xy

故所求椭圆的标准方程为1.

题型三利用椭圆的定义求轨迹方程

例3已知A。是两个定点，|a1=8,且的周长等于20,求这个三角形的顶点Z

的轨迹方程.

［解］以过8。两点的直线为x轴，线段隙的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标

系xOy.如图所示.

由⑻=8,可知点庾一4,0),C(4,0),c=4.

由|/6|+|/。+|6。=20,\BC\=S,

得|您+］附=12,

因此点4的轨迹是以6,。为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=12；

x

但点/不在X轴上.由3=6,c=4,得62=才一/=36—16=20.所以点/的轨迹方程为二葭十

V

而=lgo).

一［思推品质条成反思感悟］-----------------

利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的特点，验证是否符合椭圆的定

义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则

动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程，这就是利用定义求椭圆标准方程的方法，但注意

检验.

［跟踪训练3］已知两圆G：(x—4)2+步=169,圆G：(x+4)2+/=9,动圆在圆G内

部和圆G相内切，和圆G相外切，求动圆圆心的轨迹曲线的形状及方程.

解如图所示，由已知可得圆G与G的圆心坐标分别为G(4,0),G(—4,0),其半径分

别为公=13,12=3.

设动圆的圆心为G其坐标为(x,力，动圆的半径为工

由于圆G与圆，相内切，依据两圆内切的充要条件可得I=ri—工①

由于圆G与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件可得|无|=々+工②

由①十②可得ICGI+IC、GI=方+勿=13+3=16,即点。到两定点G与G的距离之和为

16,且|GG|=8,可知动点。的轨迹为椭圆，且以G与G为焦点.

由题意，得c=4,a=8,

所以Z?*2=*67a2—c2=64—16=48.

22

所以椭圆的方程为京X+£V=1,

6448

22

所以动圆圆心的轨迹为焦点在X轴上的椭圆，其方程为4X+*V=1.

6448

随堂水平.达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO

X2V2

1.已知椭圆F+《=1的一个焦点为（2,0）,则椭圆的方程是（）

a2

x2,y2x2,y2

A.彳+万=1B.y+y=l

2x2y2

C.f+m=lD.

62

答案D

解析由题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c=2,所以J=2+4=6,因此椭圆的方程

X2V2

为工+3=1.故选D.

62

22

2.“2CK5”是“方程1X+产V7=1表示的曲线是椭圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

答案B

>-2>0,

解析由方x程茨y7=1表示的曲线是椭圆，可得<5—左>0,解得2〈人5

k~251攵

2W5一£

777

且k飞所以2〈衣5且AW]=2<4<5,而2<4<5推不出2<衣5且所以“2<衣5”是“方

程—+匕=1”表示椭圆的必要不充分条件.

3.（多选）与椭圆白+£=1有公共焦点的椭圆是（）

X2,V2

C.—十—D.-+—=1

3021167

答案BCD

解析与椭圆X亡+£V=1有公共焦点的椭圆系方程为立匚x万+壮V彳=1（儿>—16）.对

251625十乂16+1

2222

XVXV

比各选项可知，当几=-2时，得=+方=1；当4=5时，得证十方=1；当4=—9时，

乙。J.i.JU乙1.

22

XV

得生+亍=L故选BCD.

167

4.椭圆§+：=1的焦点为A,£，点尸在椭圆上，若|依|=4,则|%|=,

/FlPF2=.

答案2120°

22_______

解析由椭圆g+今=1知a=3,c=-\]a-/f^y[7,

：|阳+|附=2a=6,|附=6—|阂=2.

在△月附中，由余弦定理，

HZ，-2小1

2-

2X4X2

又0°〈/E上〈180°,阳=120°.

5.如图，已知定点4（—2,0）,动点8是圆户：（x—2）4/=64上一点，线段48的垂直

平分线交班于点P,求动点尸的轨迹方程.

解连接用，圆户：（x—2尸+/=64的圆心为9（2,0）,半径仁8.

••,线段AB的垂直平分线交班于点P,

：.\PA\=\PB\,

|川+|阳=|阳+|即=|即=仁8>|明=4.由椭圆的定义，知点尸的轨迹是椭

圆.

依题意，有2a=8,c=2,

22

XV

・•・动点尸的轨迹方程为77+行=1•

1612

课后课时,精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

V2

1.已知△/比的顶点A。在椭圆可+/=1上，顶点力是椭圆的一个焦点，且椭圆的另

O

一个焦点厂在以上，则的周长是()

A.2mB.6

C.4小D.12

答案C

解析由题可知a=/,由椭圆的定义得|即+|朋=|m+|a|=2a=2*,即

+\CF\)+\BA\+\CA\=\BA\+\CA\+\BC\=4小,即△/比'的周长为4事.故选C.

X2V2

2.如果方程F+±=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()

aa十b

A.(3,+8)B.(—8,-2)

C.(-8,-2)U(3,+°°)D.(-6,-2)U(3,+°0)

答案D

xy(a2>a+6,

解析由椭圆F+—=1的焦点在x轴上，可得，解得

aa+6[a+6>0.

fa>3或a<—2,..

i所以a>3或一6<a<—2.故选D.

[a>—6.

3.已知动点〃(x,力满足1~x+2~~x—2~2+y=4,则动点〃的轨迹曲线的

形状为()

A.椭圆B.直线

C.圆D.线段

答案D

解析设£(一2,0),用(2,0).由题意知动点〃满足|姐|+|腿|=4=出网，故动点〃

的轨迹是线段F\&.

X2V2

4.已知椭圆前十大=1上一点〃到焦点£的距离为2,N是蛇的中点，。为坐标原点，

259

则I测=()

A.2B.4

C.6

答案B

解析设£为椭圆的左焦点，K为椭圆的右焦点，连接磔，由N是姐的中点，。是

的中点可知I掰磔|.又|M^|=2a—|如|=10—2=8,所以|皿=4.

22

5.(多选)椭圆前X十5V=1上一点尸到两焦点的距离之积为见则必取最大值时，户点坐

259

标可以是()

C.(0,3)D.［―耳1)

答案AC

解析记£(—4,0),兆(4,0),|图|•一W1')=尚2=25,当且仅当|历

=|必|时，等号成立...，应在椭圆与y轴的交点处，

...2(0,3)或(0,-3).

二、填空题

22

XV

6.椭圆石+豆=1的两个焦点为否，点尸在椭圆上.如果线段跖的中点在p轴上,

［乙O

那么IPF、|是|PR2|的倍.

答案7

解析由已知椭圆的方程得a=215,b=小,c=3,不妨设£(—3,0),4(3,0).由于

焦点月和后关于y轴对称，,行必垂直于x轴.二43,由或彳3,—乎］，坐，

二|阳|=2@—|〃|=乎.|如

22

7.已知产为椭圆自+导1上的一点，〃"分别为圆(叶犷+/=1和圆(x—犷+/

=4上的点，则|掰+|朋的最小值为.

答案7

解析由题意知椭圆的两个焦点八月分别是两圆的圆心，且|附|+|居|=10,从而|掰

+1加的最小值为|4|+|抬|T—2=7.

22

8.已知凡K分别为椭圆X/+5V=1的左、右焦点，〃是椭圆上的一点，且在y轴的左

168

侧，过点内作NA觇的角平分线的垂线，垂足为儿若|3|=2(。为坐标原点)，贝H晚|一

\MK\=,\OM\=

答案42乖

解析延长姐并相交于0点，由题知，MNLFzQ,且仞V平分NE顺，所以|磔|=

\MQ\,N为K0的中点，又因为。为的中点，所以^0,因为|邮=2,所以出0

=4,|腿|一|姐|=4,因为|感|+|姐|=8,所以|啰|=6,|姐|=2,所以|啰「=|姐『

+出用「，所以姐，如，所以|掰=[|如「+|如」=2山.

三、解答题

9.已知椭圆^+0=1殳>6〉0)的焦点分别是月(0,—1),7^(0,1),且3a'=462.

ab

(1)求椭圆的标准方程；

⑵设点尸在这个椭圆上，且|万|—|分1=1,求/月阳的余弦值.

解⑴依题意，知c=l,又舌=百一6,且3a2=4况

31

即22

4-4-司-

所以a—4,Z?—3,

yx

故椭圆的标准方程为3+可=L

4u

⑵由于点尸在椭圆上，

所以|阳|十|必|=2a=2X2=4.

又I阳IT皮1=1,

A3

所以]两卜=5，I91=].

又㈤知=2c=2,

所以由余弦定理得

3

cos/FiP&=

5,

3

故//行的余弦值为m

5

10.已知圆4f+(y+6)2=400,圆/内一定点6(0,6),圆。过6点且与圆/内切,

求圆心C的轨迹方程.

解设动圆。的半径为r,则|四=工

•.•圆。与圆/内切，A\CA\=2Q~r.

：.\CA\+\CB\=2Q.

又|/"=12,：.\CA\+\CB\=2Q>\AB\.

・,•点。的轨迹是以48两点为焦点的椭圆.

•・・243=20,2c=12,

.•.3=10,c=6,8=64.

y2x2

又46在y轴上，...C点的轨迹方程为舌+肃=1.

1UU04

B级：“四能”提升训练

1.求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在x轴上，且经过点⑵0)和点(0,1)；

⑵与椭圆点+/=1有相同的焦点，且经过点(1,1)；

(3)焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为户(0,-10),户到它较近的一个焦点的距离等

于2.

解(D：椭圆的焦点在x轴上，

X2V2

•••可设它的标准方程为1(a〉6>0).

ab

•.•椭圆经过点⑵0