高中数学1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球

专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点5阿波罗尼斯球

专题1阿波罗尼斯圆及其应用

微点5阿波罗尼斯球

【微点综述】

对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼

斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题.对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题.

【典例刨析】

例1.（2022贵州贵阳•模拟）

1.在平面内，已知动点尸与两定点A,8的距离之比为4（几＞0,/1。1）,那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿

波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱ABC-ABG中，平面ABC,AB=BC=2,

BB、=后,NABC=90。，点例为AB的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且归川=0归根，动点

P形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为匕，匕（吊＜匕），则?=（）

V2

2.如图，在长方体ABCO-ABIGR中，AB=2AD=2AAl=6,点E在棱AB上，BE=2AE＞动点P满足

BP=0＞PE.若点P在平面A8C3内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为；若点尸在长方体

内部运动，F为棱GR的中点，M为CP的中点，则三棱锥例-SC厂的体积的最小值为

DiFG

3.已知正方体ABC。-AgCQ的棱长为4,点尸在平面ABC。内，且PA=3P3,则点尸的轨迹的长度为

4.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A、B距离之比彳（2>0,义/1）是常数的点的轨迹是一个

圆心在直线A8上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体

ABCO-AAGR中，点P是正方体的表面AORA（包括边界）上的动点，若动点P满足抬=2尸£>,则点P所

形成的阿氏圆的半径为；若E是C。的中点，且满足N4P3=/£?£>,则三棱锥P-A8体积的最大

值是.

阿波罗尼奥斯

例5.（2022・湖南怀化•高二期末）

5.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A,B的距离之比为常数4（2>0,2*1）的点的轨迹是一

个圆心在直线A8上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体A8CO-AMCQ中，AB=2AD=2AAt=6,

点E在棱AB上，BE=2AE,动点P满足=g尸E,若点P在平面ABCO内运动，则点P对应的轨迹的

面积是;尸为GA的中点，则三棱锥尸-SCF体积的最小值为.

答案第2页，共4页

5G

6.棱长为36的正四面体ABC。的外接球与内切球的半径之和为,内切球球面上有一动点则

MB+^MC的最小值为.

【针对训练】

7.如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，点C满足sin/C4B=2sinNC84（/l〉0）,且在平面a内运动,

则

A.当4=1时，点C的轨迹是抛物线

B.当2=1时，点C的轨迹是一条直线

C.当4=2时，点C的轨迹是椭圆

D.当2=2时，点C的轨迹是双曲线抛物线

8.如图，已知平面C/7,a夕=/,A、8是直线/上的两点，C、O是平面月内的两点，且D4，/,CBLI,

A£>=3,AB=6,CB=6.P是平面a上的一动点,且直线P£>,PC与平面a所成角相等，则二面角P-BC-O

的余弦值的最小值是（）

D.1

（2022・山西太原•二模（理））

9.己知点〃是棱长为3的正方体48CO-A耳G。的内切球0球面上的动点，点N为线段上一点,

NC\=2B、N,DM±BN,则动点M运动路线的长度为（）

3A兀

10

（2022天津西青区杨柳青一中高二期中）

10.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A,B距离之比/1（/1>0,彳/1）是常数的点的轨迹是一

个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体

ABCO-ABCQI中，点p是正方体的表面4OR4（包括边界）上的动点，若动点P满足R4=2P£>,则点P

所形成的阿氏圆的半径为；若E是C£>的中点，且正方体的表面AORA（包括边界）上的动点

产满足条件=，则三棱锥尸-AC£>体积的最大值是.

阿波罗忆斯

11.已知正方体ABCQ-A4GR的棱长为1，点尸为侧面BBCC内的动点，且F4=2P8,则点尸所形成的

轨迹图形长度为.

（2022江西上饶•二模（理））

12.点M为正方体ABCD-ABCQ的内切球O球面上的动点，点N为BC上一点，2NB|=NG，DMLBN,

若球。的体积为36万，则动点M的轨迹长度为.

13.已知在棱长为12的正四面体A8CO的内切球球面上有一动点尸，则小的最小值为,PA+^PB

的最小值为.

答案第4页，共4页

专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点5阿波罗尼

斯球

专题1阿波罗尼斯圆及其应用

微点5阿波罗尼斯球

【微点综述】

对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，

从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题.对于这类问题也可

以利用空间坐标计算求解轨迹问题.

【典例刨析】

例1.（2022贵州贵阳•模拟）

1.在平面内，已知动点尸与两定点4,2的距离之比为4（几＞0,义工1）,那么点P的轨

迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱

ABC-AgG中，AAJ■平面ABC,AB=BC=2,BB、=6兀,NABC=90。，点M为

48的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且|PA|=0|PM|,动点P形成的曲面将

三棱柱分成两个部分，体积分别为匕，匕化＜匕），则*=（）

2.如图，在长方体ABCQ-A8CQ中，48=24。=2AAi=6,点E在棱AB上，BE=Q.AE,

动点尸满足8P若点P在平面A8CD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为

；若点P在长方体ABC。-AQG。内部运动，F为棱GR的中点，”为C尸的

中点，则三棱锥M-B.CF的体积的最小值为.

试卷第5页，共5页

DtFG

3.已知正方体ABCC-ABCQ的棱长为4,点P在平面ABCA内，且尸A=3P8,则点

P的轨迹的长度为.

4.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A、B距离之比2（4>0,2x1）是常

数的点的轨迹是一个圆心在直线A3上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下

面的问题：在棱长为2的正方体ABCD-A4G"中，点尸是正方体的表面A。。A（包

括边界）上的动点，若动点P满足R4=2PD,则点尸所形成的阿氏圆的半径为:

若E是CD的中点，且满足NA/>8=N£PD,则三棱锥P-A8体积的最大值是.

阿波罗尼奥斯

例5.（2022・湖南怀化•高二期末）

5.古希腊数学家阿波罗尼斯发现:平面上到两定点A,8的距离之比为常数彳（彳>0,4x1）

的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体

中，A3=2AO=2A41=6,点E在棱AB上，BE=2AE,动点尸满足

BP=6PE,若点P在平面ABC。内运动，则点尸对应的轨迹的面积是；

F为CR的中点，则三棱锥P-8,CF体积的最小值为.

试卷第6页，共5页

DiG

6.棱长为36的正四面体AfiCQ的外接球与内切球的半径之和为,内切球球面上

有一动点M,则MB+gMC的最小值为.

【针对训练】

7.如图，A8是平面。的斜线段，A为斜足，点C满足sinNC4B=/lsinNCBA（；l>0）,

且在平面a内运动，则

A.当4=1时，点C的轨迹是抛物线

B.当4=1时，点C的轨迹是一条直线

C.当4=2时，点C的轨迹是椭圆

D.当2=2时，点C的轨迹是双曲线抛物线

8.如图，已知平面a,4，a（3=1,A、B是直线/上的两点，C、。是平面夕内的两

点，且CB±l,AD=3,AB=6,CB=6.P是平面a上的一动点，且直线

PD,PC与平面a所成角相等，则二面角尸-8C-O的余弦值的最小值是（）

C1D.1

（2022•山西太原•二模（理））

9.已知点M是棱长为3的正方体ABCC-ABCQI的内切球。球面上的动点，点N为

试卷第7页，共5页

则动点M运动路线的长度为（）

兀「3岳冗

r38u.---------

510

（2022天津西青区杨柳青一中高二期中）

10.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A,B距离之比4（4>0,义工1）是常

数的点的轨迹是一个圆心在直线A3上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决

下面的问题：在棱长为2的正方体ABCD-4蜴G。中，点尸是正方体的表面AOOA（包

括边界）上的动点，若动点P满足R4=2PD,则点P所形成的阿氏圆的半径为

;若E是C。的中点，且正方体的表面AORA（包括边界）上的动点产满

足条件ZAPB=ZEPD,则三棱锥产-ACD体积的最大值是.

阿法罗尼斯

11.已知正方体ABCO-ASGA的棱长为1，点P为侧面叫GC内的动点，且抬=2P8,

则点户所形成的轨迹图形长度为.

（2022江西上饶•二模（理））

12.点M为正方体ABCD-AMGA的内切球0球面上的动点，点N为上一点，

2NB、=NC\,DM1BN,若球。的体积为36万，则动点M的轨迹长度为.

13.已知在棱长为12的正四面体ABCO的内切球球面上有一动点P,则丛的最小值为

,+的最小值为.

试卷第8页，共5页

试卷第9页，共5页

参考答案：

I.D

【分析】在平面以8中，作NMPN=NM4P,交A8于点N,从而得到PNMANP,判断

即可求出*.

出3、N重合，得到点P落在以8为球心，夜为半径的球面上，求出《匕，

%

如图，在平面RW中，作NMPN=NM4P,交AB于点N,则NMPN=NNAP,

又因NPMW=N/WP,所以.PMWANP,

PNANPArr,1—y/2

所以—7=27=77^=12，所c以AN=J1PN,MN=JpN,

MNPNMP2

所以AM=AN-MN=丝PN.

2

因为AM=4AB=1,所以PN=6,MN=l,

2

所以B、N重合且BP=PN=/，

所以点P落在以2为球心，0为半径的球面上.

作8〃_LAC于”，则Ba=史AB=&,

2

因为伍J.面ABC,所以AAJ-B”，

又因为例AC=A,所以面MCC，

所以B到面AAtCQ的距离为BH=42=BP，

所以球面与面4ACC1相切，而8月=亚万〉行,

所以球面不会与面AqG相交,

则冬，

”—,核柱=gxABx8CxA4,=gx2x2x=2近兀、

答案第10页，共15页

所以匕=y：枝柱-K=2加乃_q=半方，

V.1

所以古?

故选：D.

【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型,

有两种处理方法：

(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；

(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式.

2.2G-##2.25

4

【分析】建立空间直角坐标系，由两点间距离公式化简后得轨迹方程，再由空间向量表示点

到平面的距离公式求解最值

【详解】以AB为x轴，AQ为了轴，AA为z轴，建立如图所示的坐标系，

在平面直角坐标系My中，B(6,0),E(2,0),设P(x,y),由得

(X-6)2+/=3Kx-2『+y2],所以/+丁=12,

所以若点P在平面ABC。内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为2石.

若点尸在长方体ABC。-ABC2内部运动，

设点尸(x,y,Z),由BP=>/3PE得(x-6)2+/+z2=3Kx-2)2+y2+z2],所以f+尸+z?=12,

由题得F(3,3,3,),B,(6,0,3),C(6,3,0),

所以=(3,-3,0),BCt=(0,3,-3),设平面与。尸的法向量为,

〃•咫=3%-3%=0,.“=(ij])

所以由题得CP=(x-6,y-3,z),

n-B^C=3yo—3z0=0

所以点尸到平面B(F的距离为〃=L^£l」x+y；z9|,

l〃lV3

因为(x2+y2+z2)(12+12+12)>(x+y+z)2,-6<x+y+z<6,

所以%又M为CP的中点，所以点M到平面80尸的最小距离为也,

由题得△用(?/为等边三角形，且边长为律寿=3夜，

所以三棱锥例-BC尸的体积的最小值为立x(3夜fx虫=2.

34、124

Q

故答案为：2石;—

4

答案第11页，共15页

【分析】若E为AB1与4B的交点，由正方体的性质可证AEJ_面ABC。，在RsAEP中有

AE2+PE2=AP-RIW8+PE2=AP2,再在面ABCj上构建平面直角坐标系，并写出各点坐

标且令尸（与,为），结合已知条件列方程，即可得P的轨迹，进而求轨迹长度.

01

【详解】

若E为4耳与A乃的交点，则AELA8，

：5CJ■面,AEu面441瓦8,

AAE±BC,又ABIBC=B,

：.A£_L面ABC。，

...连接PE,即在R/△田中有4不+2^二月尸，又正方体488-ABGR的棱长为4,

/.8+PE?=人尸2

在面ABCA上构建如下平面直角坐标系，若P(x。,%),

A(0,0),8(4直,0),C(40,4),D\(0,4),£(272,0),

/.PE2=(%—2近y+y；,PB2=(%-4V2)2+y：,

AAP2^8+PE2++又PA=3PB,

片-4垃%+y：+16=9(片-8V2x0+乂+32),整理得x；~^^xa+y；+34=0,

答案第12页，共15页

(xa)2+乂=卫.，故轨迹为半径r=亘的圆,

°4°84

轨迹长度为2勿=①.

故答案为：叵.

2

【点睛】关键点点睛：应用正方体的性质及勾股定理得8+PE?=A"，再在面4BCR上构建

平面直角坐标系，设P(%,%)结合已知条件可得方程，整理即有P的轨迹方程.

4.9速

39

【解析】在AE)上取点M,在AO延长线上取点N,使得例4=2皿，NA=2ND,则

是题中阿氏圆上的点，则MN是阿氏圆的直径，由此可求得半径，由NAP3=NEPD可得

PAAR

RtAPDER3AB,黑=器=2,即尸在上述阿氏圆上，这样当尸是阿氏圆与。。交点

PDDE

。时，P到平面4CD距离最大，三棱锥P-A8体积的最大，由体积公式计算可得.

【详解】在AO上取点M,在4。延长线上取点N,使得M4=2ME>,NA=2ND,则M,N

是题中阿氏圆上的点，由题意MN是阿氏圆的直径，

2?8MN4

4)=2,则M£>=],DN=2,所以MN=]+2=j,二阿氏圆半径为三=§；

正方体中A8,都与侧面AORA垂直，从而与侧面AORA内的直线PAP。垂直，

如图=则必Rt/\PAB,—=2,即P在上述阿氏圆上，

PDDE

•；”8的面积是2为定值，因此只要产到平面ACD距离最大，则三棱锥P-AC力体积的

最大，

由于P点在阿氏圆上，当P是阿氏圆与。"交点。时，P到平面AC。距离最大，

此时QA=2QZ),因此回一加=击赤=2,。。=孚，

答案第13页，共15页

三棱锥P-A8体积的最大值为V」x2x2)g=迪.

339

故答案为：—•,.

【点睛】关键点点睛：本题考查棱锥的体积，考查新定义的理解与应用.解题关键是正确理

解新定义得出圆半径，由己知角相等得出尸点就在新定义“阿氏圆''上，从而易得它到底面距

离最大时的位置，从而得出最大体积.

5.124~—3\/6

2

【分析】建立空间直角坐标系，根据8P=6PE,可得尸对应的轨迹方程；先求△BQF的

面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点P到平面ACF的距离的最小值即可.

【详解】分别以48,4。,e为x,y,z轴建系，设尸(x,y,O),而B(6,0,0),E(2,0,0),区(6,0,3),

C(6,3,0),F(3,3,3).

由BP=,有7(x-6)2+(y-O)2+(O-O)2=舟-2)2+(y-O)2+(0-O)2，化简得P对

应的轨迹方程为x2+)/=12.所以点P对应的轨迹的面积是万•(26)2=12万.

易得△80尸的三个边B\C=B、F=CF=3如

即是边长为为3&的等边三角形，其面积为竽，

CB,=(0,—3,3),CF=(—3,0,3),设平面qCF的一个法向量为〃=(x,y,z),

答案第14页，共15页

则有3+3z=。,可取平面'a的一个法向量为"=0"),

根据点尸的轨迹，可设P(2Gcosa2Gsin6,0),

,-.CP=(2>/3cos<9-6,2>/3sin6i-3,0),CP/?=2>/3cos6»+2>/3sin0-9，

\rDI2x/6sin<9((9+-|-9二

所以点尸到平面B、CF的距离,_|CP〃|_I9-246,

开一忑一^T

所以丫=为万=%八至-3而

332

故答案为：12万；y-3>/6

6.12764而

【分析】(1)将正四面体A8C。放入正方体可求得外接球半径，利用等体积法可求得内切球的

半径.

(2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将;MC转换，从而得出

+取最小值时的线段,再根据余弦定理求解即可.

【详解】(1)将正四面体ABC。放入如图正方体，则正四面体ABC。的外接球与该正方体的外

36八

接球为同一球.半径为次>"=9而，

设正四面体ABCD的内切球半径为，,根据等体积法有

图-忖亭传)=4x；x曰x36),解得一3后

故外接球与内切球的半径之和为9#+3#=12#.

答案第15页，共15页

(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心0是线段CH上以C,E为定点，空间中满足虻=2(2#1)的

PE

点P的集合，连接co并延长交平面ABD于H，交内切球上方的点设为K,过M作MEVCH，交

CH于E，连接BM,CM,^OE=x.

由(1)空得CO=9疯OH=3疝笑=找

K匕HE,

二匚6761276加4曰KC6A/6

所以r=-=—,=—，解得工=6r，4=—=—^=3,

3V6-x3\j6+xKE2V6

所以盘=3,所以:仞°=".

所以MB+；MC=MB+ME±BE,

在ABOE中，80=CO=9A/6,OE=G，COSZBOE=-cosZBOH=一g,

所以8E=J(9@+(@-2x(9佝x(m)x1_；)=4庖.

所以MB+gMC的最小值为4庖

故答案为：(1)12而；(2)4\/33

【点睛】本题主要考查了正四面体外接球与内切球的半径计算,同时也考查了利用阿波罗尼

斯球中的比例关系求解线段最值的问题，需要根据题意找到球中的定点,根据阿波罗尼斯球的

性质转换所求的线段之和求解.属于难题.

7.B

【解析】当4=1时，BC=AC,故C的轨迹为线段AB的中垂面与a的交线，当4=2时，

BC=2AC,在平面a内建立坐标系，设C(x,y),求出C的轨迹方程得出结论.

答案第16页，共15页

【详解】在A4BC中，・・・sin/C48=2sinNCB4(；l〉0),由正弦定理可得：丹二丸，

AC

当；1=1时，BC=AC,过A3的中点作线段A8的垂面夕，

则点C在a与4的交线上，即点C的轨迹是一条直线，

当；1=2时，BC=2AC,

设B在平面a内的射影为。，连接80,CD,设8D=/z,AD=2a,则BCNOH，

在平面a内，以A。所在直线为x轴，以4。的中点为y轴建立平面直角坐标系，

设C(x,y),则C4='(x+ap+y2,CD=^x-a)2+y2,CB=y1(x-a)2+y2+h2,

^x-a)2+y2+h2=2&+4+/，化简可得卜+Rj+丁=竽+f

，C的轨迹是圆.

故选B.

R

【点睛】本题考查轨迹方程的求解与判断，分类讨论思想，属于中档题.

8.B

【分析】根据题目条件得到=进而建立平面直角坐标系，求出P点轨迹方程，点

P在a内的轨迹为以M(-5,0)为圆心，以4为半径的上半圆，从而求出当PB与圆相切时,

二面角的平面角NPB4最大，求出相应的余弦值最小值.

【详解】由题意易得PO与平面a所成角为"PA,PC与平面a所成角为NCPB,

,/ZDPA=ZCPB,

tanZ.DPA=tanZ.CPB,

.ADBC

,,再一诟’

:.PB=2PA,

••.P点轨迹为阿氏圆.

在平面a内，以A3为x轴，以A5的中垂线为丫轴，建立平面直角坐标系，

答案第17页，共15页

则A（—3,0）,8（3,0）,设P（x,y）,y>0,

22

所以^（X_3）+/=27（X+3）+/,

整理得：（x+5y+y2=i6,

所以点P在a内的轨迹为以“（-5,0）为圆心，以4为半径的上半圆，

因为平面a£=/,CBll,CBu/3,

所以CB_Lc,

因为PBua,

所以CBLPB,

因为平面尸8c平面£=8C,CBLl,

所以二面角P-8C-O的平面角为NPBA,

由图可知，当PB与圆相切时，NPB4最大，余弦值最小，

此时sinNPBA-=—=—,故cosNPBA=.11——!-=.

MB82V42

故选：B.

9.B

【分析】根据给定条件探求出过点力垂直于直线BN的平面，可得此平面截球O的截面小

圆即为M的运动路线，求出点。到此截面距离即可计算作答.

【详解】在正方体A8CO-A4CQ中，在88/上取点尸，使B/P=2BP,连接CP,DP,如

图，

答案第18页，共15页

PB1NB、

因N在3/C上，有NG=2gN,即诉=.二万:，则RtCBPRtBB、N,/CPB=/BNB、,

于是得BNLCP,

而C。J_平面BCGB/,8Nu平面BCGB/,则8NJ_CD,又CDcCP=C,CQ,CPu平面

CDP,则有BNJ■平面CZ)P,

因动点M满足。MLaV,则有点M在平面CQP内，依题意，平面CCP截球。的截面小

圆即为M的运动路线，

令正方形BCGa与正方形AOD/A/的中心分别为E,F,连接EF,则正方体内切球球心0

必为线段EF中点，

显然，EFI/CD,EF<Z平面C力P,CDu平面COP,于是得E/7/平面CDP,则点。到平面

C£>P距离等于点E到平面CDP的距离h,

取BC中点G,连接EG,CE,PE,而平面C£»P，平面BCGBi,平面CDP[\平面BCCiB尸CP,

则LECP的边CP上的高等于h,

3253

EGLBC,EG=GC=-,则。£=土，直角梯形8GEP中，BP=\,BG=~,则

222

EP=JBGXEG-BP?=萼,

△ECP中，CP=JTU,由余弦定理得cosNCEP=E产+CE?-C产=一且，$访ZCEP=—,

2EPCE55

..逑叵2亚

由Sc样=LcP/=LcE-EPsinNC£P得：,丁,号3>/10,

Vioio

设点M运动路线的小圆半径为r,而球O的半径R=g,由产+〃2=R2得「=纱5,

210

、_3后

2冗r-------,

5

所以动点〃运动路线的长度为主叵.

5

故选：B

答案第19页，共15页

【分析】根据题意以。为坐标原点，D4为x轴建立平面直角坐标系，设P(x,y),利用

AR

PA=2PD,求出点P的轨迹方程,即可得到点P所形成的阿氏圆的半径，利用tanZAPB=三,

AP

r)p

tan/DPE=M，结合已知条件N4PB=N£TO,从而得到4P=2DP,结合图像利用I空

中的结论求解DP3即为三棱锥P-ACD最大的高，然后利用三棱锥的体积公式求解即可.

【详解】

以。为坐标原点，D4为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(2,0),D(0,0),设尸G,y),

因为%=2尸。，所以J(x-2)2+4=2旧+y2,

整理得(x+g)2+y2=(92，故点p所形成的阿氏圆的半径为g；

因为AB_L平面＜7。，平面4。。*’,

所以/%B=90°,NPDE=90°,

48DE

所以lanNAPB=——,tanZ£)PE=---,

APDP

又NAPB=NDPE,则丝=匹，

APDP

因为E是CD的中点，所以AP=2DP,

由1空的结论可知，点P的轨迹为(x+|)2+y2=(g)2的一部分,

则当P在。。/上时，三棱锥P-ACD的体积最大，

图2中的即为三棱锥P-ACD最大的高，

答案第20页，共15页

所以=>Jr2-OD2=J（¥一（々一,）2=2^,

则三棱锥尸-AC。体积的最大值是Ls.8gA=kLx2x2x毡=递.

3c33239

故答案为：—;.

11+兀

ii.----

6

【分析】由题意，建立空间直角坐标系，根据两点距离公式，结合线段等量关系，整理轨迹

方程，可得答案.

【详解】解：以Z）为坐标原点，D4为X轴，OC为y轴，DR为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（1,O,O）,B（1,1,O）.P为侧面8BCC内的动点，.•，的纵坐标为1,设P（x,l,z）,则

1^1="1）2+（1-0）2+z2,\PB\=7（x-l）2+（l-l）2+z2,

\PA\=2\PB\,7（x-l）2+（l-O）2+z2=27（X-1）2+（1-1）2+Z2,化简整理得（x-厅+z2=p

当y=i时，该方程表示在平面与BCG内，以点8为圆心，以正为半径的圆，

3

・・•点户所形成的轨迹图形为图中£尸，其长度为：EF=2兀=超.

346

故答案为：垦.

6

106715

12.----7C

5

【分析】在8用取点尸，使2BP=PBX,证明BN_L平面DCP,从而得点M的轨迹为平面DCP

答案第21页，共15页

与球。的截面圆周，因此求出球半径和球心到截面的距离，然后利用截面圆性质可得球面圆

半径后可得其周长.题中球心到截面的距离利用体积法求解.球。半径利用球的体积公式计

算可得.

【详解】解：如图，在取点尸，使2BP=%连接CP,DP,BN,

因为NC、=2NB、,可得△8CP三AB\BN,则NBCP=NB、BN,所以

NNBC+ZBCP=ZNBC+NNBB,=90°

所以BN_LCP,

又E»C_L平面8CG4，8Nu平面BCG4,所以。CLBN,同理ZX?_LCP,

因为DCCP=C,OC,CPu平面。CP,

所以BN_L平面DCP,

则点M的轨迹为平面QCP与球。的截面圆周，

设正方体的棱长为a,则"，解得a=6,连接OQ,OP,OC,

如图，在对角面8。。声中，

D\,/

二,

D