2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)单元质检卷8　立体几何

单元质检卷八立体几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知直线l,m,n与平面α,β,下列命题正确的是()A.若α∥β,l⊂α,n⊂β,则l∥n B.若α⊥β,l⊂α,则l⊥βC.若l⊥n,m⊥n,则l∥m D.若l⊥α,l∥β,则α⊥β2.已知A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|=()A.13 B.23 C.773 3.某几何体的三视图如图所示,已知图中圆的半径都为1,则此几何体的体积为()A.π4 B.π2 C.3π44.如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O'A'B'C',则原平面图形的周长和面积分别为()A.2a,24a2 B.8a,22aC.a,a2 D.2a,2a25.在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是()6.如图,在三棱锥S-ABC中,点E,F分别是SA,BC的中点,点G在EF上,且满足EGGF=12,若SA=a,SB=b,SC=c,则SGA.13a-12b+16c B.13a+1C.16a-13b+12c D.13a-17.冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器,图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体,若圆锥部分的侧面展开图是面积为9π2cm2的半圆形,则该冰激凌的体积为(A.18+938πcm3 B.9+183C.9+934πcm3 D.9+638.图1中的机械设备叫做“转子发动机”,其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”,图2是一个曲侧面三棱柱,它的侧棱垂直于底面,底面是“莱洛三角形”,莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心,正三角形的边长为半径画圆弧得到的,如图3.若曲侧面三棱柱的高为10,底面任意两顶点之间的距离为20,则其侧面积为()A.100π B.600C.200π D.300π9.降雨量是气象部门观测的重要数据,日降雨量是指一天内降落在地面单位面积雨水层的深度(单位:毫米).我国古代就有关于降雨量测量方法的记载,古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:天池盆(圆台形状)盆口直径二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是几寸注:一尺等于十寸,一寸等于103厘米?已知某隧道的积水程度与日降水量的关系如下表所示:日降雨量(单位:毫米)[15,40)[40,70)[70,120)[120,250)隧道积水程度一级二级三级四级如果某天该隧道的日降水量按照“天池盆测雨”题中数据计算,则该隧道的积水程度为()A.一级 B.二级C.三级 D.四级10.已知四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是正方形,侧棱PA⊥平面ABCD,PA=3,且直线PC与平面PAB所成的角的正切值为63,则四棱锥P-ABCD的体积为(A.3 B.9 C.18 D.2711.已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为()A.13 B.1C.33 D.12.正四面体ABCD的棱长为1,点P是该正四面体内切球球面上的动点,当PA·PD取得最小值时,点P到AD的距离为(A.32-612C.22-312二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍,则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为.

14.已知点A,B,C,D均在表面积为16π的球面上,且AB⊥AC,AB⊥AD,△ACD是边长为3的等边三角形,则AB=.

15.某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件,则该圆柱体体积的最大值为.

16.已知三棱锥P-ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等,且PA=32,PB=PC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图,已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,FA⊥底面ABCD,DE∥AF,M是BC的中点,且FA=3DE=3.(1)求证:AM⊥EF;(2)求三棱锥E-ACF的体积.18.(12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,E,F分别为AA1,CC1的中点.(1)证明:B,F,D1,E四点共面;(2)若AB=2,∠BAD=π3,求点F到平面BDD1的距离19.(12分)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上异于点A,B的一个动点,DC⊥平面ABC,BE∥CD,且BE=CD=2,AB=4.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当C为半圆弧的中点时,求二面角D-AE-B的正弦值.20.(12分)如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,且PA=AB=3.(1)求证:CE∥平面PAD;(2)若BE=13PA,求直线PD与平面PCE所成角的正弦值21.(12分)如图,在四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD=13,AC⊥CD,AB=6,BD=8.(1)求证:平面SAD⊥平面ABCD;(2)求二面角A-SB-D的余弦值.22.(12分)如图①,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,动点E,F分别在边AD,AB上(不含端点),且存在实数λ,使EF=λBD,沿EF将△AEF向上折起得到△PEF,使得平面PEF⊥平面BCDEF,如图②所示.图①图②(1)若BF⊥PD,设三棱锥P-BCD和四棱锥P-BDEF的体积分别为V1,V2,求V1(2)当点E的位置变化时,二面角E-PF-B是否为定值?若是,求出该二面角的余弦值;若不是,说明理由.答案：单元质检卷八立体几何1.DA.若α∥β,l⊂α,n⊂β,则l∥n或l与n异面,故A不正确;B.缺少l垂直于α与β的交线这个条件,不能推出l⊥β,故B不正确;C.由垂直关系可知,l∥m或l与m相交,或l与m异面,故C不正确;D.因为l∥β,所以平面β内存在直线m∥l,若l⊥α,则m⊥α,且m⊂β,所以α⊥β,故D正确.2.C设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z).由AP=2PB,知x=-13,y=83,即P-13,83,3,所以PD=43,-53,-所以|PD|=(3.D由几何体的三视图可知,该几何体为34个球,则该几何体的体积为34×434.B由直观图可得原图形,∴OA=BC=a,OB=22a,∠BOA=90°,∴AB=OC=3a,原图形的周长为8a,原图形的面积为S=a·22a=22a2.5.D由题意还原该正方体的直观图如图所示,该多面体的三视图中,相应的侧视图为D.6.BSG=12=1=13=1=13a+16b+17.A设圆锥的底面半径为rcm,高为hcm,母线长为Rcm,根据题意,可得πR22=9π故该冰激凌的体积V=13πr2h+12×8.C莱洛三角形由三段半径为20,圆心角为π3的圆弧构成,所以该零件底面周长为3×π3×20=20π,9.C∵盆深一尺八寸,盆中积水深九寸,∴水刚好积在天池盆的中间处,则积水的水面直径为28+122=20(寸),即半径为10寸,则积水的体积V=13(π×102+π×102×π×62+π×62)×9=588π(立方寸),∵∴平地降雨量为588π196π=3(寸),即3×10即100毫米,则该隧道的积水程度为三级.10.C设ABCD的边长为a,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴直线PC与平面PAB所成的角即为∠CPB,∴BCPB=63,∴四棱锥P-ABCD的体积为V=13a2×3=18.故选C11.C设四棱锥的高为h,体积为V,则底面所在圆的半径为1-ℎ2.要使四棱锥的体积最大,底面四边形必为正方形,此时V=13×(2×1-ℎ2)2·h=23(h-h由题意可知0<h<1,令V'>0,得0<h<33;令V'<0,得33<h<1.所以V在区间0,33内单调递增,在区间33,1内单调递减,12.A因为四面体ABCD是棱长为1的正四面体,所以其体积为13×12×1×1×32×63=212.设正四面体ABCD内切球的半径为r如图,取AD的中点为E,则PA·PD=(PE+EA)·(PE+ED)=显然,当PE的长度最小时,PA·PD设正四面体的内切球的球心为O,可求得OA=OD=6因为球心O到点E的距离d=OA2-AE2=(64)

2-(12)

2=13.60°设圆锥的母线长为l,底面半径为r,圆锥的母线与其底面所成的角为θ,则πrl=2πr2,∴rl=12,∴又θ∈[0°,90°],∴θ=60°.14.2△ACD是边长为3的等边三角形,设△ACD外接圆的半径为r,则2r=3sinπ3=∴r=3设球的半径为R,则4πR2=16π,解得R=2.∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,∴AB⊥平面ACD,∴AB2+(2r)2=(2R)2,即AB2+(23)2=42,解得AB=2.15.2π27圆柱体体积最大时,圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O',圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N在侧面的中线AM∵正四面体棱长为3,∴BM=32,O'M=12,∴AO'=2,设圆柱的底面半径为r,高为h,则0<r<1由△AON∽△AO'M得r12=2-ℎ2,即∴圆柱的体积V=πr2h=2πr2(1-2r∵r2(1-2r)≤r+r+1-2r当且仅当r=1-2r,即r=13时取等号∴圆柱的最大体积为2π2716.34π根据题意,三棱锥P-ABC可以嵌入一个长方体内,且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线,设长方体交于一个顶点的三条棱长为a,b,c,如图所示,则a2+b2=PA2=18,a2+c2=PB2=25,b2+c2=PC2=25,联立解得a=3,b=3,c=4,所以该三棱锥的外接球的半径为R=a2所以该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×3422=34π.17.(1)证明由题意可知,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形,因为M是BC的中点,所以AM⊥BC,又AD∥BC,所以AM⊥AD.因为FA⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,所以FA⊥AM,又FA∩AD=A,所以AM⊥平面ADEF,EF⊂平面ADEF,故AM⊥EF.(2)解由(1)知,AD∥BC,AM⊥底面ADEF,则点C到平面ADEF的距离即为AM,又因为△ABC为边长为2的等边三角形,所以AM=3因为FA⊥底面ABCD,DE∥AF,所以ADEF为直角梯形,所以S△AEF=12AF·DA=12×3×所以VE-ACF=VC-AEF=13×S△AEF×即三棱锥E-ACF的体积为318.(1)证明连接AC交BD于点O,因为四边形ABCD为菱形,故AC⊥BD,又因为侧棱AA1⊥底面ABCD,以O为原点建立空间直角坐标系,如图所示,设OB=a,OA=b,DD1=c,则B(0,a,0),D1(0,-a,c),Eb,0,c2,F-b,0,c2,所以BE=b,-a,c2,FD1=b,-a,c2,所以BE又直线BE与FD1不重合,故BE∥FD1,所以B,F,D1,E四点共面.(2)解因为AB=2,∠BAD=π3所以B(0,1,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,c),F-3,c2设平面BDD1的法向量为m=(x,y,z),又BD=(0,-2,0),DD1=(0,0,则有m令x=1,故m=(1,0,0),又FB=3,1,-c2,所以点F到平面BDD1的距离为|19.(1)证明因为CD⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以CD⊥BC.因为AB是半圆O的直径,所以AC⊥BC.因为AC∩CD=C,所以BC⊥平面ACD.又BE∥CD,BE=CD,所以四边形BCDE为平行四边形,则DE∥BC,所以DE⊥平面ACD.因为DE⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面ACD.(2)解由题意可得CA,CB,CD两两互相垂直,则以C为原点,CA,CB,CD的方向分别为x轴、y因为C是半圆弧的中点,所以AC=BC=22,可得A(22,0,0),B(0,22,0),D(0,0,2),O(2,于是,AD=(-22,0,2),DE=CB=(0,2设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),则n取x=2,则z=2,得n=(2,0,2).易知CO=(2,2,0)为平面ABE所以cos<n,CO>=n·所以二面角D-AE-B的正弦值为3020.(1)证明因为四边形ABCD是正方形,所以BC∥AD.又AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.同理EB∥平面PAD.又BC∩EB=B,所以平面EBC∥平面PAD.又CE⊂平面EBC,所以CE∥平面PAD.(2)解以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.因为PA=AB=3,所以BE=13PA=1,所以P(0,0,3),D(3,0,0),C(3,3,0),E所以PD=(3,0,-3),PC=(3,3,-3),PE=(0,3,-2).设平面PCE的法向量为m=(x,y,z),则m得x=z3,y=2z所以m=(1,2,3)为平面PCE的一个法向量.设直线PD与平面PCE所成的角为θ,则sinθ=|cos<PD,m>|=|PD所以直线PD与平面PCE所成角的正弦值为721.(1)证明取AD的中点O,连接SO,OC,因为SA=SD,所以SO⊥AD.因为AC⊥CD,O为AD的中点,所以OC=12AD=OD因为SO=SO,SC=SD,所以△SOC≌△SOD,所以∠SOC=∠SOD=90°,所以SO⊥OC.因为OC∩OD=O,OC⊂平面ABCD,OD⊂平面ABCD,所以SO⊥平面ABCD,因为SO⊂平面SAD,所以平面SAD⊥平面ABCD.(2)解连接OB,由(1)知SO⊥平面ABCD,所以SO⊥BO.在Rt△SOA和Rt△SOB中,由SO=SO,SA=SB,可得Rt△SOA≌Rt△SOB,所以OA=OB,同理得OA=OB=OC=OD,所以A,B,C,D在以O为圆心的圆上,由AC⊥CD可得AD为四边形ABCD外接圆的直径,所以AB⊥BD,AD=62+82=10,AO=5,以B为原点,BD,BA所在的直线分别为x,y轴,过点B与SO平行的直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(0,6,0),B(0,0,0),D(8,0,0),O(4,3,0),S(4,3,12),BA=(0,6,0),BD=(8,0,0),BS=(4,3,12),设平面ABS的法向量为m=(x1,y1,z1),则m令x1=3,可得z1=-1,y1=0,所以m