2024年高考数学第一轮复习讲义第十章10.3　二项式定理(学生版+解析)

§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝______________________(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝________________，它表示展开式的第________项二项式系数________(k＝0,1，…，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项________________取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________________与________________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和为Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝________.常用结论1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．()(3)通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互换．()(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．()教材改编题1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))10的展开式中x2的系数等于()A．45B．20C．－30D．－902．已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝243，则Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)等于()A．31B．32C．15D．163．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．题型一通项公式的应用命题点1形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1(1)二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－x2))10的展开式中的常数项是()A．－45B．－10C．45D．65听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝______.听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题例2(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56B．84C．112D．168听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))6的展开式中x－2的系数为75，则a等于()A．－3 B．－2C．2 D．3听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为____(用数字作答)．(2)在二项式(eq\r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为()A．50B．70C．90D．120听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(2023·唐山模拟)下列关于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))6的展开式的说法中错误的是()A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为1听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．跟踪训练2(1)对于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6的展开式，下列说法中正确的有()①所有项的二项式系数和为64；②所有项的系数和为64；③常数项为1215；④系数最大的项为第3项．A．①④B．②④C．①②③D．②③④(2)设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋x))10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23 B．1.24C．1.33 D．1.34听课记录：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940 B．0.941C．0.942 D．0.943§10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二项展开式的通项Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展开式的第k＋1项二项式系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和为Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.常用结论1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(×)(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(√)(3)通项公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互换．(√)(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)教材改编题1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))10的展开式中x2的系数等于()A．45B．20C．－30D．－90答案A解析因为展开式的通项为Tk＋1＝＝，令－10＋eq\f(3,2)k＝2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×Ceq\o\al(8,10)＝45.2．已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝243，则Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)等于()A．31B．32C．15D．16答案A解析逆用二项式定理得Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝25－1＝31.3．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．答案20解析因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k，当6－2k＝0，即k＝3时为常数项，T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.题型一通项公式的应用命题点1形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项例1(1)二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－x2))10的展开式中的常数项是()A．－45B．－10C．45D．65答案C解析由二项式定理得Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))10－k(－x2)k＝，令eq\f(5k,2)－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2Ceq\o\al(2,10)＝45.(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.答案±1解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))5的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,\r(x))))k＝.由5－eq\f(3,2)k＝5，得k＝0，由5－eq\f(3,2)k＝2，得k＝2，所以A＝Ceq\o\al(0,5)×(－a)0＝1，B＝Ceq\o\al(2,5)×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.命题点2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题例2(1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56B．84C．112D．168答案D解析在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Ceq\o\al(2,8)x2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Ceq\o\al(2,4)y2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.(2)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))6的展开式中x－2的系数为75，则a等于()A．－3B．－2C．2D．3答案A解析因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))6的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k，令6－2k＝－2，得k＝4，令6－2k＝0，得k＝3，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))6的展开式中x－2的系数为Ceq\o\al(4,6)－aCeq\o\al(3,6)＝75，解得a＝－3.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1(1)(2022·新高考全国Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．答案－28解析(x＋y)8展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)x8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Ceq\o\al(6,8)x2y6；令k＝5，得T5＋1＝Ceq\o\al(5,8)x3y5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为Ceq\o\al(6,8)－Ceq\o\al(5,8)＝－28.(2)在二项式(eq\r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．答案16eq\r(2)5解析由题意得，(eq\r(2)＋x)9的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)(eq\r(2))9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝Ceq\o\al(0,9)(eq\r(2))9＝16eq\r(2).若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个．题型二二项式系数与项的系数问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为()A．50B．70C．90D．120答案C解析令x＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n＝4n，所以在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以eq\f(4n,2n)＝2n＝32，解得n＝5.展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(x))))k＝，令5－eq\f(3,2)k＝2，得k＝2，所以x2的系数为Ceq\o\al(2,5)32＝90.(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)xk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．故a2＋a6＋a8＝Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(6,10)＋Ceq\o\al(8,10)＝300.②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5120.命题点2系数与二项式系数的最值问题例4(2023·唐山模拟)下列关于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))6的展开式的说法中错误的是()A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为1答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))6展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))6－k·(－2x)k＝(－2)kCeq\o\al(k,6)·x2k－6.对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常数项为(－2)3Ceq\o\al(3,6)＝－8×20＝－160，A正确；对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0,2,4,6，∴T1＝x－6，T3＝4Ceq\o\al(2,6)x－2＝60x－2，T5＝(－2)4Ceq\o\al(4,6)x2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，∴展开式第5项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确．思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．跟踪训练2(1)对于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6的展开式，下列说法中正确的有()①所有项的二项式系数和为64；②所有项的系数和为64；③常数项为1215；④系数最大的项为第3项．A．①④ B．②④C．①②③ D．②③④答案C解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故①正确；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故②正确；展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,x)))k＝(－3)kCeq\o\al(k,6)x12－3k(0≤k≤6，k∈N)，令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4Ceq\o\al(4,6)＝1215，故③正确；由③的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2Ceq\o\al(2,6)＝135，第5项系数为(－3)4Ceq\o\al(4,6)＝1215，第7项系数为(－3)6Ceq\o\al(6,6)＝729，则系数最大的项为第5项，故④不正确．(2)设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋x))10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．答案1解析令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(eq\r(2)＋1)10，令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(eq\r(2)－1)10，故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(eq\r(2)＋1)10(eq\r(2)－1)10＝1.题型三二项式定理的综合应用例5(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12答案B解析因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512023＋a＝(52－1)2023＋a＝Ceq\o\al(0,2023)522023－Ceq\o\al(1,2023)522022＋Ceq\o\al(2,2023)522021－…＋Ceq\o\al(2022,2023)52－Ceq\o\al(2023,2023)＋a，因为512023＋a能被13整除，所以－Ceq\o\al(2023,2023)＋a＝－1＋a能被13整除，结合选项，所以a＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A．1.23 B．1.24C．1.33 D．1.34答案D解析1.056＝(1＋0.05)6＝Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)×0.05＋Ceq\o\al(2,6)×0.052＋Ceq\o\al(3,6)×0.053＋…＋Ceq\o\al(6,6)×0.056＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…＋0.056≈1.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11－1除以13的余数是()A．－3B．2C．10D．11答案C解析11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11－1＝Ceq\o\al(0,n)·11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11＋Ceq\o\al(n,n)－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝Ceq\o\al(0,n)·13n－Ceq\o\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq\o\al(n－1,n)·13＋(－1)n·Ceq\o\al(n,n)－2，因为n为奇数，则上式＝Ceq\o\al(0,n)·13n－Ceq\o\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq\o\al(n－1,n)·13－3＝[Ceq\o\al(0,n)·13n－Ceq\o\al(1,n)·13n－1＋…＋(－1)n－1·Ceq\o\al(n－1,n)·13－13]＋10，所以11n＋Ceq\o\al(1,n)·11n－1＋Ceq\o\al(2,n)·11n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940 B．0.941C．0.942 D．0.943答案B解析0.996＝(1－0.01)6＝Ceq\o\al(0,6)×1－Ceq\o\al(1,6)×0.01＋Ceq\o\al(2,6)×0.012－Ceq\o\al(3,6)×0.013＋…＋Ceq\o\al(6,6)×0.016＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈0.941.课时精练1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80答案C解析由题意可得Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)·(x2)5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))k＝(－1)kCeq\o\al(k,5)·2k·x10－3k，令10－3k＝4，则k＝2，所以所求系数为(－1)2Ceq\o\al(2,5)·22＝40.2．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3＋\f(1,x)))n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n的值为()A．7B．8C．9D．10答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3＋\f(1,x)))n的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)2n－kx3n－4k，由题意知，当k＝6时，令3n－4k＝0，得n＝8.3．(3x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))5的展开式中的常数项为()A．14B．－14C．16D．－16答案A解析因为在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))5的展开式中，eq\f(1,x)的系数为Ceq\o\al(4,5)(－1)4＝5，常数项为Ceq\o\al(5,5)(－1)5＝－1，所以(3x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))5的展开式中的常数项为5×3＋(－1)＝14.4．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展开式中，x的指数是整数的项数是()A．2B．3C．4D．5答案D解析因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,24)(eq\r(x))24－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))k＝，所以当k＝0,6,12,18,24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项．5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A．－960B．960C．1120D．1680答案C解析根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝Ceq\o\al(4,8)(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.6．20232022被20222除的余数是()A．1B．0C．2023D．2022答案A＋1＝20222022＋Ceq\o\al(1,2022)·20222021＋…＋Ceq\o\al(2020,2022)·20222＋20222＋1＝20222×(20222020＋Ceq\o\al(1,2022)·20222019＋…＋Ceq\o\al(2020,2022)＋1)＋1，因此20232022被20222除的余数是1.7．对于二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))6的展开式，下列说法错误的是()A．常数项是第3项B．各项的系数和是eq\f(1,64)C．第4项的二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为32答案A解析二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))6的展开式通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·(eq\r(3,x))6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2\r(3,x))))k＝.对于A选项，令eq\f(6－2k,3)＝0，可得k＝3，故常数项是第4项，A错误；对于B选项，令x＝1，得各项的系数和是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))6＝eq\f(1,64)，B正确；对于C选项，展开式共7项，故第4项的二项式系数最大，C正确；对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确．8．(2023·沧州模拟)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则下列说法中正确的有()①展开式中所有项的二项式系数和为22023；②展开式中系数最大的项为第1350项；③a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝eq\f(32023－1,2)；④eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－1.A．①② B．②③C．①④ D．③④答案C解析易知(1－2x)2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故①正确；由二项式通项，知Tk＋1＝Ceq\o\al(k,2023)(－2x)k＝(－2)kCeq\o\al(k,2023)xk，所以第1350项的系数为(－2)1349Ceq\o\al(1349,2023)<0，所以第1350项不是系数最大的项，故②错误；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－1，(ⅰ)当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022－a2023＝32023，(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝－eq\f(1＋32023,2)，故③错误；当x＝0时，a0＝1，当x＝eq\f(1,2)时，a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝0，所以eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－a0＝－1，故④正确．9．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________.答案80211解析因为x5＝[2＋(x－2)]5，则a1＝Ceq\o\al(1,5)·24＝80.令x＝3，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243；令x＝2，得a0＝25＝32，故a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211.10．已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))10，则展开式中第4项的二项式系数为________；展开式中第4项的系数为________．答案120－77760解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f