人教版高一数学新教材同步配套教学讲义5.2.2同角三角函数的基本关系(原卷版+解析)

5．2．2同角三角函数的基本关系【知识点梳理】知识点一：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点诠释：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；（2）是的简写；（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．知识点二：同角三角函数基本关系式的变形1、平方关系式的变形：，，2、商数关系式的变形，．【方法技巧与总结】（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．【题型归纳目录】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题题型三：与关系的应用题型四：利用同角关系化简三角函数式题型五：利用同角关系证明三角恒等式【典型例题】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．（2022·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（

）A． B． C． D．例2．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边在直线上，则（

）A． B． C． D．例3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．变式1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则（

）A． B． C． D．变式2．（2022·河南·新乡市第一中学高一阶段练习）（

）A． B． C． D．变式3．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．变式4．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（

）A． B． C． D．变式5．（2022·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”进行变形，如等．（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题例4．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（

）A． B． C． D．例5．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值是（

）A． B． C． D．例6．（2022·全国·高一课时练习）已知，则＝（

）A． B．2 C． D．6变式6．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习）若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（

）A． B． C． D．变式7．（2022·云南德宏·高一期末）若，则（

）A． B．-3 C． D．3变式8．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．变式9．（2022·陕西汉中·高一期中）已知，则（

）A． B． C． D．变式10．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C．2 D．3【方法技巧与总结】①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．题型三：与关系的应用例7．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则______．例8．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．例9．（2022·上海南汇中学高一阶段练习）已知，则的值为_____．变式11．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知，则sinαcosα的值为_____．变式13．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期中）已知，则_________．变式14．（2022·浙江省桐庐中学高一阶段练习）已知，，则__________.【方法技巧与总结】三角函数求值中常见的变形公式（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；.（2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号．题型四：利用同角关系化简三角函数式例10．（2022·江苏·高一）若0<α<，则＋的化简结果是_________.例11．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）化简(1)(2)(3)例12．（2022·全国·高一课时练习）已知．(1)求的值；(2)求的值．变式15．（2022·全国·高一课时练习）化简：．变式16．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程的两个根为，，，求：(1)的值；(2)方程的两根及此时的值．变式17．（2022·全国·高一课时练习）化简：(1)；(2)．【方法技巧与总结】化简要求（1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值．题型五：利用同角关系证明三角恒等式例13．（2022·全国·高一）（1）化简：tan（其中α为第二象限角）；（2）求证：1．例14．（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)；(2).例15．（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)(2)变式18．（2022·全国·高一专题练习）求证：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α变式19．（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)＝；(2)变式20．（2022·全国·高一课时练习）求证：＝.变式21．（2022·江苏·高一课时练习）（1）求证：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；（2）已知tan2α=2tan2β+1，求证：2sin2α=sin2β+1.【方法技巧与总结】证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等．【同步练习】一、单选题1．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高一课时练习）化简的结果是（

）A． B． C． D．4．（2022·河南驻马店·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．5．（2022·江西九江·高一期末）化简：（是第二、三象限角）（

）A． B． C． D．6．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．7．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知，，且，设，则的值为（

）A． B． C． D．8．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知中，若，则（

）A． B． C．或 D．或二、多选题9．（2022·广西钦州·高一期末）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若，则正确的结论为（

）A． B．C． D．11．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）的值可能为（

）A．3 B． C．1 D．12．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2022·河南信阳·高一期中）如果，且，那么的值是_________.14．（2022·全国·高一课时练习）如果，那么___________.15．（2022·全国·高一课时练习）已知，则_____.16．（2022·全国·高一）若，则__．四、解答题17．（2022·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）（1）已知，求的值（2）已知，当时，求的值.18．（2022·全国·高一课时练习）已知，.求：(1)；(2).19．（2022·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答.若，且___________，求的值.20．（2022·江西·南昌二中高一阶段练习）已知．(1)求的值；(2)求的值．21．（2022·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.22．（2022·江西南昌·高一期末）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点，，曼哈顿距离.余弦相似度：.余弦距离：.(1)若，，求A，B之间的和余弦距离；(2)已知，，，若，，求的值.5．2．2同角三角函数的基本关系【知识点梳理】知识点一：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点诠释：（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；（2）是的简写；（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．知识点二：同角三角函数基本关系式的变形1、平方关系式的变形：，，2、商数关系式的变形，．【方法技巧与总结】（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．【题型归纳目录】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题题型三：与关系的应用题型四：利用同角关系化简三角函数式题型五：利用同角关系证明三角恒等式【典型例题】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．（2022·全国·高一课时练习）已知是第二象限角，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】任意角的三角函数∵，∴，，是第二象限角∴.故选：A例2．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边在直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设知：，即，且，所以，而终边在第二或四象限，所以.故选：C例3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得．又，所以，．结合得，，所以．故选：B．变式1．（2022·全国·高一课时练习）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，且，所以，．故选：C．变式2．（2022·河南·新乡市第一中学高一阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B变式3．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，则，故选：D变式4．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）若为第三象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，.故选：D变式5．（2022·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，∴或，因为，，所以.由及得，∴，所以．故选：A【方法技巧与总结】利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”进行变形，如等．（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题例4．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故选：C．例5．（2022·全国·高一课时练习）若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A例6．（2022·全国·高一课时练习）已知，则＝（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【解析】因为所以故选：A变式6．（2022·四川·德阳五中高一阶段练习）若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于函数，令，解得，所以，所以函数恒过定点，又点在角的终边上，所以，所以；故选：A变式7．（2022·云南德宏·高一期末）若，则（

）A． B．-3 C． D．3【答案】B【解析】由，故选：B变式8．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为故故选:C.变式9．（2022·陕西汉中·高一期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得．故选：C.变式10．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】．故选：B．【方法技巧与总结】①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．题型三：与关系的应用例7．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则______．【答案】【解析】，解得.因为，，所以.所以，又，所以．故答案为：例8．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．【答案】【解析】因为，平方得，所以，所以．故答案为：例9．（2022·上海南汇中学高一阶段练习）已知，则的值为_____．【答案】【解析】因，则，即，而，，于是有，所以.故答案为：变式11．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一阶段练习）已知，则的值为___________.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，由，得，所以，故答案为：变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知，则sinαcosα的值为_____．【答案】【解析】，两边平方得：，即，解得：.故答案为：变式13．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期中）已知，则_________．【答案】【解析】由题意得，所以，所以因为，所以，所以，又，解得，所以.故答案为：变式14．（2022·浙江省桐庐中学高一阶段练习）已知，，则__________.【答案】【解析】因为，所以，即，因为，所以，所以.故答案为：.【方法技巧与总结】三角函数求值中常见的变形公式（1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；.（2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号．题型四：利用同角关系化简三角函数式例10．（2022·江苏·高一）若0<α<，则＋的化简结果是_________.【答案】2cos【解析】原式，∵，∴，∴，，∴原式.故答案为：.例11．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）化简(1)(2)(3)【解析】（1）；（2）；（3）.例12．（2022·全国·高一课时练习）已知．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）解法一：∵，，∴，分子分母同时除以，得，即，解得．解法二：∵，∴，即，∴∴．（2）∵，∴．变式15．（2022·全国·高一课时练习）化简：．【解析】．变式16．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程的两个根为，，，求：(1)的值；(2)方程的两根及此时的值．【解析】（1）.（2）由（1）得，所以，解得，所以方程的两根为，又因为，所以，此时；或，此时．变式17．（2022·全国·高一课时练习）化简：(1)；(2)．【解析】(1)cos40°﹣sin40°；(2)原式=.【方法技巧与总结】化简要求（1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值．题型五：利用同角关系证明三角恒等式例13．（2022·全国·高一）（1）化简：tan（其中α为第二象限角）；（2）求证：1．【解析】（1）；（2）左边右边.例14．（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)；(2).【解析】（1）.所以原式成立.（2）.所以原式成立.例15．（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)(2)【解析】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．(1)左边右边.即证.(2)左边右边.即证：.变式18．（2022·全国·高一专题练习）求证：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【解析】证明：左边＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2sin2αcos2α＝右边，则sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α．变式19．（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)＝；(2)【解析】（1）左边==右边.（2）左边==右边.变式20．（2022·全国·高一课时练习）求证：＝.【解析】证明：∵右边＝＝＝＝＝＝左边，∴＝.变式21．（2022·江苏·高一课时练习）（1）求证：tan2αsin2α=tan2α-sin2α；（2）已知tan2α=2tan2β+1，求证：2sin2α=sin2β+1.【解析】解析：（1）tan2αsin2α=tan2α（1-cos2α）=tan2α-tan2αcos2α=tan2α-sin2α，则原等式得证.（2）因为tan2α=2tan2β+1，所以+1=2，即，从而2cos2α=cos2β，于是2-2sin2α=1-sin2β，也即2sin2α=sin2β+1，则原等式得证.【方法技巧与总结】证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等．【同步练习】一、单选题1．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，且，所以，所以，故选：A2．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，整理得，解得或，由，得，，所以，所以，所以．故选：B.3．（2022·全国·高一课时练习）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选：D4．（2022·河南驻马店·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，则可解得，所以.故选：A.5．（2022·江西九江·高一期末）化简：（是第二、三象限角）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】．当是第二、第三象限角时，原式．故选：C．6．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，可得，因为，所以，所以，故A错误，又由，可得所以，故D错误，联立方程组，解得，故B正确，由，故C错误.故选：B.7．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知，，且，设，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以是方程的两个根，则，，∵，化简得：或，∵，即，∴．则，，故选：A．8．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知中，若，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】，或，或，，故选：A．二、多选题9．（2022·广西钦州·高一期末）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由…①，以及

，对等式①两边取平方得，…②，，，由②，，由①②，可以看作是一元二次方程的两个根，解得，，故A正确，B正确，C错误，D正确；故选：ABD.10．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若，则正确的结论为（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】依题意，，，所以，将代入得，，所以AC选项正确，BD选项错误.故选：AC11．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）的值可能为（

）A．3 B． C．1 D．【答案】ABCD【解析】由题得，当在第一象限时，原式；当在第二象限时，原式；当在第三象限时，原