高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第5章函数概念与性质金牌测试卷【培优题】(原卷版+解析)

第5章函数概念与性质金牌测试卷【培优题】一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知，均为非负实数，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（

）．A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2C．函数关于点中心对称 D．3．设的定义域为R，且满足，，若，则（

）A．2023 B．2024 C．3033 D．30344．已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为

（

）A． B． C． D．7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．3二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知函数，满足，又的图像关于点对称，且，则（

）A． B．C．关于点对称 D．关于点对称10．设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数B．的解析式唯一C．若是周期为的函数，则D．若时，，则是上的增函数11．给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（

）A．函数的定义域为R，值域为B．函数的图象关于直线对称C．函数是偶函数D．函数在上单调递增12．已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（

）A．在上单调递增B．在上单调递减C．D．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，若只有一个正整数解，则实数的取值范围为___________．14．函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________.15．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则__________．16．已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数，对于定义域内任意都满足.(1)求的解析式；(2)已知定点，且是（）图像上任意一点，那么求、两点距离的最小值；（直角坐标平面上两点、的距离公式为）.(3)若不等式：，对于任意恒成立，求实数的取值范围.18．设函数，，令函数．(1)若函数为偶函数，求实数a的值；(2)若，求函数在区间上的最大值；(3)试判断：是否存在实数a，b，使得当时，恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．19．已知函数，，(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.20．定义在R上的连续函数满足对任意，，.(1)证明：；(2)请判断的奇偶性；(3)若对于任意，不等式恒成立，求出m的最大值.21．设函数.(1)当a=8时，求f(x)在区间[3，5]上的值域；(2)若，使f(xi)=g(t)，求实数a的取值范围.22．定义函数f（x）与g（x）在区间I上是同步的：对，都有不等式恒成立．(1)函数与g（x）＝x＋b在区间上同步，求实数b的取值范围；(2)设a<0，函数与g（x）＝2x＋b在以a，b为端点的开区间上同步，求的最大值．第5章函数概念与性质金牌测试卷【培优题】一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知，均为非负实数，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，可得，然后利用二次函数的性质求函数的最值即得.【详解】因为,，令，则，，所以，所以当时，最小值为，因为，所以当时，最大值为；令，则函数的对称轴为,所以当时函数有最小值为，即，当,且时取等号；当时，，所以；所以.故选：C.2．已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（

）．A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2C．函数关于点中心对称 D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可.【详解】因为为偶函数，所以，所以，，所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，A错误；因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数关于点中心对称，故C错误，由与得，即，故，所以函数的周期为4，故B错误；，故D正确．故选：D．3．设的定义域为R，且满足，，若，则（

）A．2023 B．2024 C．3033 D．3034【答案】A【分析】根据函数的性质由，可得【详解】因为，，所以，由得，所以，，即，所以所以.故选：A.4．已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件分，和三种情况讨论，由，求出的取值范围．【详解】解：显然当时，，不满足条件；当时，易知，当时，，于是，而由，可得，即，所以也不满足条件，当时，函数，因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方，如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方，只要即可，即，化简可得，解得，所以的取值范围为.综上，的取值范围为.故选：C.5．已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得函数关于点对称，函数在R上单调递增，进而可得，利用函数的单调性即得.【详解】由，得且函数关于点对称．由对任意，，均有，可知函数在上单调递增．又因为函数的定义域为R，所以函数在R上单调递增．因为a，b为关于x的方程的两个解，所以，解得，且，即．又，令，则，则由，得，所以．综上，t的取值范围是.故选：D．6．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为

（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知令求得，再求，即有，原不等式即为，再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．【详解】由于，令则，即，则，由于，则，即有，由于对于，都有，则在上递减，不等式即为．则原不等式即为，即有，即有，即解集为．故选：D．7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数在时的解析式及函数的奇偶性画出函数的图像，再根据知，函数的图像在函数图像的下方，进而得关于a的一元二次不等式，从而得出结论.【详解】当时，，由是奇函数，可作出的图象如下．又对任意恒成立，所以的图象恒在的图象的下方，即将的图象向右平移1个单位长度后得到的图象恒在的图象的下方，如图所示，所以，解得．故选：B．8．已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（

）A．2 B．5 C． D．3【答案】D【分析】根据题意由带入，可得：整理化简可得，解方程求得函数解析式，再结合基本不等式即可得解.【详解】由任意的，均有，由带入可得：，所以所以，由为减函数，所以所以即由，所以，化简整理可得，所以或，由为减函数所以，故当时，，当且仅当时，等号成立.故选：D.【点睛】本题考查了求函数解析式，考查了单调性求解过程中的应用，考查了较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有：（1）带入化简，把带入在利用原式进行化简，是本题的关键；（2）掌握利用基本不等式求最值.二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知函数，满足，又的图像关于点对称，且，则（

）A． B．C．关于点对称 D．关于点对称【答案】ABD【分析】先分析函数的对称性和周期性，再逐项分析即可求解.【详解】令，由得：，，即的一条对称轴是，又关于对称，令，即，，是奇函数；，的周期为8；对于A：正确；对于B：，正确；对于D：令，将代入得，即要证明关于对称，显然由，故关于对称，即关于对称，正确；对于C：同上，将代入得，即显然不是的对称点，错误；故选：ABD.10．设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数B．的解析式唯一C．若是周期为的函数，则D．若时，，则是上的增函数【答案】ACD【分析】令求出，再令即可得到，即可判断A，再利用特殊值判断B，根据判断C，最后根据奇函数的性质及单调性的定义判断D.【详解】解：因为，令，可得，解得，再令，所以，即，所以，所以为奇函数，故A正确；令，则，，满足，故的解析式不唯一，即B错误；若是周期为的函数，则，所以，又，所以，故C正确；因为当时，，所以当时，则，设任意的，且，则，所以，因为，且，所以，，，，，所以，即，所以在上单调递增，则在上单调递增，又，且当时，，当时，则，所以是上的增函数，故D正确；故选：ACD11．给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（

）A．函数的定义域为R，值域为B．函数的图象关于直线对称C．函数是偶函数D．函数在上单调递增【答案】ABC【分析】根据函数的定义，画出函数的图象，根据图象判断即可.【详解】根据的定义知函数的定义域为，，即，所以，函数的值域为，A正确；函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线对称，B正确；由图象知函数是偶函数，C正确；由图象知D不正确．故选：ABC．【点睛】本题的关键在于理解的含义，然后写出函数的解析式，根据解析式作出函数的图象，进而通过图象判断函数的性质.12．已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（

）A．在上单调递增B．在上单调递减C．D．【答案】BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除得到，然后根据，即可判断与两者的大小，从而判断选项A，选项B由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定与的大小，从而确定函数的单调性，选项C和选项D，可利用前面得到的不等式，令，带入，然后借助是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，，，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，因为，所以在上单调递增，故选项A错误；因为，，所以，所以，即，又因为，所以在上单调递减，选项B正确；因为时，恒成立，所以令，代入上式得，即，又因为是定义在上的奇函数，所以，所以，故选项C正确，选项D错误.故选：BC.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，若只有一个正整数解，则实数的取值范围为___________．【答案】【分析】参变分离后结合函数单调性求解【详解】关于的不等式只有一个正整数解，等价于只有一个正整数解，令，则，当且仅当，即时等号成立，由对勾函数性质得在上递减，在递增，而，，，，当不等式只有一个正整数解，故答案为：14．函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________.【答案】【分析】由题可得，然后可得当时不合题意，进而即得；或等价于恒成立，即恒成立，进而即得.【详解】法一：令，解得（负值舍去），当时，，当时，，且当时，总存在，使得，故，若，易得，所以，即实数的取值范围为；法二：原命题等价于任意，所以恒成立，即恒成立，又，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.15．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则__________．【答案】【分析】先利用题给条件求得函数最小正周期为4，进而得到，再利用及即可求得的值.【详解】，，则，令则，则由为偶函数，可得，则函数有对称轴则有，又，则则则，则函数最小正周期为4.则又，则故答案为：16．已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．【答案】或3.【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.再分析区间与的关系，因为，故或.①当，即时，因为在区间上为减函数，故当，，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以，此时，故，解得，因为，故；②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；综上所述，或3故答案为：或3.四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数，对于定义域内任意都满足.(1)求的解析式；(2)已知定点，且是（）图像上任意一点，那么求、两点距离的最小值；（直角坐标平面上两点、的距离公式为）.(3)若不等式：，对于任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）定义域为，由定义域内任意都满足方程可得，可求得，再由，解出a即可；（2）由两点距离公式整理得，令，，由双勾函数性质讨论最小值即可；（3）由对任意恒成立，得，化简不等式成，即可对k分类讨论，即可以去绝对值，分离参数，由双勾函数性质讨论不含参数部分的最值.（1）定义域为，又对于定义域内任意都满足，则有，∴，由，，∴，∴；（2），（），令，，则由双勾函数性质易得在即时取得最小值，所以∴∴当，即时，，即、两点距离的最小值为；（3）∵不等式对任意恒成立，且，∴，由，，当时，则不等式恒成立等价于对于任意恒成立，令，，由双勾函数性质易得在即时取得最小值，则在，单调递增，故，∴，与无交集，故k不存在；当时，则不等式恒成立等价于，对于任意恒成立，当时，显然成立，故等价于对于任意恒成立，令，，由双勾函数性质易得在即时取得最小值，则在，单调递减，故，∴；综上，.【点睛】含参不等式恒成立问题，一般将参数分离出来，研究不含参数部分的单调性，从而得出最值；或者直接对参数分类讨论.18．设函数，，令函数．(1)若函数为偶函数，求实数a的值；(2)若，求函数在区间上的最大值；(3)试判断：是否存在实数a，b，使得当时，恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）首先表示出，依题意可得，即可求出参数的值；（2）利用二次函数的性质，在区间，上的最大值应该在或处取得，分类研究即可；（3）求出的对称轴，利用对称轴和区间，的位置关系进行分类讨论，分别研究的最大值和最小值，将问题转化为，分别求解即可得到答案．（1）解：因为为偶函数，则，即，所以对任意恒成立，所以；（2）解：当时，，对称轴为，设函数在区间上的最大值为，又，，，所以；（3）解：由题意可得，，又，对称轴为，当，时，恒成立，等价于，当，即时，函数在区间，上单调递增，所以有，因为且，所以，与矛盾；当，即时，在区间，上单调递减，所以有，因为，所以，故，与矛盾；当，即时，则有，由①可得，结合②可得，由①③可得，，又，所以，即，再结合①，则有，解得，此时存在满足条件，综上所述，的取值范围为，此时．19．已知函数，，(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，；(2)(3)【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间；（2）解不等式，即可得到结果；（3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果．（1）解：当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；（2）解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，又因为在，上的最大值为，所以，即，整理可得，所以，所以，即；（3）解：由不等式对任意，，恒成立，即，可令，等价为在，上单调递增，而，分以下三种情况讨论：①当即时，可得，解得，矛盾，无解；②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；③即时，此时在，上单调递增，要想在，递增，只能，即，所以．综上可得满足条件的的取值范围是．20．定义在R上的连续函数满足对任意，，.(1)证明：；(2)请判断的奇偶性；(3)若对于任意，不等式恒成立，求出m的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)为奇函数，为偶函数(3)【分析】（1）令，利用条件运算可以证明；（2）运用（1）的结果，令，计算出，再令，对条件进行运算可以判断出的奇偶性；（3）运用条件将不等式转化为对勾函数，再用基本不等式可以求解.（1）令，则有，，因为是任意的，，由得，，；（2）令，由①②得，将代入，解得或（，舍去），代入③得；令，则有，两式相加得，由（1）的运算结果，代入上式，得：，由可知如果，则有，不可能，所以，，由于x是任意的，必有，两式相加得，是偶函数，，是奇函数；（3）由于，不等式即为：，由，得，令，则不等式转化为，其中，，，当且仅当时等号成立，所以m的最大值为；综上，m的最大值为.【点睛】比较两个函数值的大小一般是用做差法，但是本题不行，需要利用条件巧妙推出；推导函数的奇偶性，一般来说是先求出，如果，则必定不是奇函数，本题需要结合条件再巧妙利用“1”，作因式分解，再利用与的关系推出的奇偶性；不等式求参数的最大值，用参数分离法比较直观，分离后的不等式显然可以用基本不等式来计算.21．设函数.(1)当a=8时，求f(x)在区间[3，5]上的值域；(2)若，使f(xi)=g(t)，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求得函数，根据函数的单调性，求解函数的值域；（2）首先求解函数，并判断两个函数的单调性，讨论时，，列式求的取值范围，以及当时的情况；另解，，分，，讨论两个函数的单调性，利用值域关系，求实数的取值范围.（1