2025版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时提能训练

第6讲双曲线第1课时A组基础巩固一、单选题1．(2024·浙江A9协作体期中)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝4，M为圆心，P为圆上随意一点，定点A(2,0)，线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为(D)A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x≤－2) B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1C．x2－eq\f(y2,3)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,3)＝1[解析]因为线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，所以有|QA|＝|QP|，由(x＋2)2＋y2＝4，得M(－2,0)，该圆的半径为2，因为点P在圆上运动时，所以有||QP|－|QM||＝2，于是有||QA|－|QM||＝2，所以点Q的轨迹是以A，M为焦点的双曲线，所以2c＝4,2a＝2⇒c＝2，a＝1⇒b2＝c2－a2＝3，所以点Q的轨迹方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，故选D.2．(2024·江苏镇江中学模拟)点(0,4)到双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为eq\f(16,5)，则双曲线的离心率为(C)A.eq\f(5\r(6),12) B．eq\f(4,3)C．eq\f(5,3) D．5[解析]由题意可得双曲线的一条渐近线为：by－ax＝0，所以(0,4)到by－ax＝0的距离为d＝eq\f(4b,\r(b2＋a2))＝eq\f(4b,c)＝eq\f(16,5)，∴eq\f(c,b)＝eq\f(5,4)，不妨设b＝4m(m>0)，则c＝5m，a＝eq\r(c2－b2)＝3m，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3).故选C.3．(2024·新课标Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积是(B)A.eq\f(7,2) B．3C．eq\f(5,2) D．2[解析]由题意可得a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝2，∴|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|，∴△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝16，∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝6，∴△PF1F2的面积为S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝3，故选B.4．(2024·天津红桥区期末)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，eq\r(3))，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4eq\r(7)x的准线上，则双曲线的方程为(D)A.eq\f(x2,21)－eq\f(y2,28)＝1 B．eq\f(x2,28)－eq\f(y2,21)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1[解析]双曲线的一条渐近线是y＝eq\f(b,a)x，则eq\r(3)＝eq\f(2b,a)①，抛物线y2＝4eq\r(7)x的准线是x＝－eq\r(7)，因此c＝eq\r(7)，即a2＋b2＝c2＝7②，由①②联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))所以双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.故选D.5．(2024·江苏扬州高邮月考)已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左焦点为F1，焦距为4，点A的坐标为(2,1)，P为双曲线右支上一动点，则|PF1|－|PA|的最大值为(C)A．2eq\r(2) B．eq\r(17)C．2eq\r(2)＋1 D．2eq\r(2)＋eq\r(5)[解析]设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦距为2c，由题意得a＝b，c＝2，则c2＝4＝2a2，解得a＝eq\r(2)，由双曲线的定义得|PF1|－|PA|＝2a＋|PF2|－|PA|，所以|PF1|－|PA|的最大值即2a＋|PF2|－|PA|的最大值，如图，连接AF2与双曲线交于E，F两点，由题意得当点P在F处时2a＋|PF2|－|PA|最大，(2a＋|PF2|－|PA|)max＝2a＋|AF2|＝2eq\r(2)＋1.故选C.6．(2024·河南新乡模拟)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上一点．PF2⊥F1F2，若PF1交于y轴于点A，且AF2垂直于∠F1PF2的角平分线，则双曲线的离心率为(A)A.eq\r(3) B．eq\f(\r(5),2)C．eq\r(5) D．eq\f(\r(6),2)[解析]因为AF2垂直于∠F1PF2的角平分线，所以|PA|＝|PF2|，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，可知|AF1|＝2a，因为PF2⊥F1F2，所以|PF2|＝eq\f(b2,a)，且AO∥PF2，所以|AF1|＝|AP|，即eq\f(b2,a)＝2a，又b2＝c2－a2，解得c＝eq\r(3)a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).7．(2024·江西九江模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,12)＝1(a>0)的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为eq\r(3)x＋y＝0，若点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，则|MF2|＝(A)A．9 B．1C．1或9 D．1或7[解析]双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(2\r(3),a)x，∴eq\f(2\r(3),a)＝eq\r(3)，∴a＝2，从而c＝eq\r(a2＋12)＝4，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(||MF1|－|MF2||＝2a＝4，,|MF2|≥c－a＝2，,|MF1|＝5，))∴|MF2|＝9.故选A.8．(2024·广东深圳外国语学校月考)如图，F1、F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A、B两点．若A是BF2中点且BF1⊥BF2则该双曲线的渐近线方程为(A)A．y＝±2eq\r(3)x B．y＝±2eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±eq\r(2)x[解析]设|AB|＝|AF2|＝m，|AF1|＝|AF2|＋2a＝m＋2a，|BF1|＝|BF2|－2a＝2m－2a，|BF1|2＋|BA|2＝|AF1|2，|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2①，(2m－2a)2＋4m2＝4c2②，由①可得m＝3a，代入②式化简得13a2＝c2，∴12a2＝b2，∴eq\f(b,a)＝2eq\r(3)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2eq\r(3)x.故选A.二、多选题9．(2024·山东聊城模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的随意一点，则(BCD)A．双曲线C的离心率为eq\f(2\r(3),3)B．焦点到渐近线的距离为3C．点P到两条渐近线的距离之积为eq\f(9,4)D．当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3[解析]双曲线C：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1的a＝eq\r(3)，b＝3，c＝2eq\r(3)，则e＝eq\f(c,a)＝2，故A错误；焦点(±2eq\r(3)，0)到渐近线3x±eq\r(3)y＝0的距离为eq\f(6\r(3),\r(9＋3))＝3，故B正确；设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，则点P到两条渐近线的距离之积为eq\f(|3m＋\r(3)n|·|3m－\r(3)n|,\r(9＋3)·\r(9＋3))＝eq\f(|9m2－3n2|,12)＝eq\f(27,12)＝eq\f(9,4)，故C正确；设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，又A(－eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，可得kPA·kPB＝eq\f(n,m＋\r(3))·eq\f(n,m－\r(3))＝eq\f(n2,m2－3)＝eq\f(3m2－9,m2－3)＝3，知D正确．故选BCD.10．(2024·福建泉州适应性考试)已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,4)－y2＝1的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则(AB)A．△MF1F2的面积为eq\r(5)B．点M的横坐标为2或－2C．渐近线方程为y＝±eq\f(1,4)xD．以线段F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝3[解析]由双曲线方程知a＝2，b＝1，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，故C错误；又c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，所以F1F2为直径的圆方程为x2＋y2＝5，故D错误；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(1,2)x，,x2＋y2＝5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝±1，))所以点M的横坐标为2或－2，故B正确；又|yM|＝1，所以S△MF1F2＝eq\f(1,2)·|F1F2|·|yM|＝eq\r(5)，故A正确．故选AB.11．(2024·福建四地市质检)下图为陕西博物馆保藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为eq\f(10\r(3),3)，下底外直径为eq\f(2\r(39),3)，双曲线C与坐标轴交于D，E，则(ABD)A．双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1B．双曲线eq\f(y2,3)－x2＝1与双曲线C共渐近线C．存在一点，使过该点的随意直线与双曲线C有两个交点D．存在多数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3[解析]依题意可知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)，4))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(39),3)，－2))，将M、N的坐标分别代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(25,3a2)－\f(16,b2)＝1，,\f(13,3a2)－\f(4,b2)＝1，))解得a2＝3，b2＝9，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，其渐近线为y＝±eq\r(3)x，故A正确；对于B，由eq\f(y2,3)－x2＝1，可知其渐近线为y＝±eq\r(3)x，故B正确；对于C，由双曲线的性质可知，渐近线与双曲线没有交点，与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点，故不存在点，使过该点的随意直线与双曲线C有两个交点，故C错误；对于D，设双曲线上一点P(x0，y0)，y0≠0，则eq\f(x\o\al(2,0),3)－eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝3xeq\o\al(2,0)－9，由题可知D(－eq\r(3)，0)，E(eq\r(3)，0)，则kPD＝eq\f(y0,x0＋\r(3))，kPE＝eq\f(y0,x0－\r(3))，kPDkPE＝eq\f(y0,x0＋\r(3))·eq\f(y0,x0－\r(3))＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－3)＝3，即存在多数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，故D正确．故选ABD.12．(2024·山东威海模拟)已知双曲线E：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为eq\f(\r(2),2)的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2＝eq\f(π,4)，则(ACD)A．E的离心率为eq\r(3)B．E的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)xC．P到直线x＝1的距离为2eq\r(2)D．以实轴为直径的圆与l相切[解析]由双曲线方程可知，a2＝3，设∠PF1F2＝θ，则tanθ＝eq\f(\r(2),2)，那么cosθ＝eq\f(\r(6),3)，sinθ＝eq\f(\r(3),3)，作PA⊥x轴，垂足为点A，设|PA|＝h，|PF2|＝x，则|PF1|＝x＋2eq\r(3)，所以eq\f(h,x)＝sin(45°＋θ)＝eq\f(2\r(3)＋\r(6),6)，eq\f(h,x＋2\r(3))＝sinθ＝eq\f(\r(3),3)，两式解得x＝2eq\r(6)，即|PF2|＝2eq\r(6)，|PF1|＝2eq\r(6)＋2eq\r(3)，△PF1F2中，依据余弦定理，可得4c2＝(2eq\r(6)＋2eq\r(3))2＋(2eq\r(6))2－2×(2eq\r(6)＋2eq\r(3))×2eq\r(6)×cos45°，4c2＝36，得c＝3，所以双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，故A正确；b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(6)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，故B错误；直线l的方程为y＝eq\f(\r(2),2)(x＋3)，与双曲线方程eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1联立，得x2－2x－7＝0，解得x＝1±2eq\r(2)，因为点P在双曲线的右支上，所以点P的横坐标为1＋2eq\r(2)，P到直线x＝1的距离为2eq\r(2)，故C正确；以实轴为直径的圆的圆心为原点，半径为eq\r(3)，原点到直线l的距离d＝eq\f(\f(3\r(2),2),\r(\f(1,2)＋1))＝eq\r(3)，故D正确．故选ACD.三、填空题13．(2024·高考北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2,0)，离心率为eq\r(2)，则C的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.[解析]令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a，b，明显双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，由双曲线C的离心率为eq\r(2)，得eq\f(c,a)＝eq\r(2)，解得a＝eq\r(2)，则b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.14．(2024·山西晋中三模)点A1，A2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点．若直线x＝eq\f(c2,a)上存在点P，使得∠A1PA2＝eq\f(π,6)，则该双曲线的离心率取值范围为(1，eq\r(2)].[解析]△A1A2P的外接圆半径为r＝eq\f(2a,2sin\f(π,6))＝2a，当该圆与直线x＝eq\f(c2,a)相切或相交时满足题意，故eq\f(c2,a)≤2a，即1<e≤eq\r(2)，所以该双曲线的离心率取值范围为(1，eq\r(2)]．15．(2024·广东湛江重点中学联考)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，右支上有一点M，满足∠F1MF2＝90°，△F1MF2的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为1＋eq\r(3).[解析]内切圆Q分别与F1M，F2M，F1F2，y轴切于点S，T，N，P则四边形QSMT、OPQN都为正方形，设内切圆半径为r，由圆的切线性质，则|ON|＝|MT|＝r，则|F2M|＝|F2O|＝eq\f(1,2)|F1F2|，①又因为|F1M|＋|F2M|－|F1F2|＝2r，②由双曲线定义得，|F1M|－|F2M|＝2a，③由①②③得r＝a，所以|F1M|＋|F2M|－|F1F2|＝2a，从而|F1M|＝c＋2a，|F2M|＝c，由勾股定理，(c＋2a)2＋c2＝(2c)2⇒c2＝2a2＋2ac，所以e2＝2＋2e，解得e＝eq\r(3)＋1.B组实力提升1．(2024·高考全国甲卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(5)，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(D)A.eq\f(1,5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(4\r(5),5)[解析]由e＝eq\r(5)，则eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝5，解得eq\f(b,a)＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝eq\f(|2×2－3|,\r(22＋1))＝eq\f(\r(5),5)，所以弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(4\r(5),5).故选D.2．(2024·河北保定模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为(A)A.eq\r(2) B．2C．eq\r(3) D．eq\f(2\r(3),3)[解析]由题意知B(0，b)，F(c,0)，从而Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(b,2)))，∴OM的方程为y＝eq\f(b,c)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)x，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，))可得xeq\o\al(2,N)＝eq\f(a2c2,c2－a2)＝eq\f(a2c2,b2)，又FN⊥x轴，∴xN＝c.∴c2＝eq\f(a2c2,b2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＝1，∴e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2).故选A.3．(2024·大湾区(珠海、中山等)模拟)已知F为双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为(B)A．4＋6eq\r(2) B．4＋6eq\r(5)C．6＋6eq\r(2) D．6＋6eq\r(5)[解析]设双曲线右焦点为F1，由题意知F(－3，0)，F1(3,0)，a＝2，|AF|＝|AF1|＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5).又|PF|＋|PA|＝2a＋|PF1|＋|PA|≥4＋|AF1|＝4＋3eq\r(5)(当且仅当A、P、F1共线时取等号)，∴△APF周长的最小值为4＋6eq\r(5).故选B.4.(2024·九省联考试题)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝4a2，则C的离心率为(D)A.eq\r(2) B．2C．eq\r(5) D．eq\r(7)[解析]由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，有四边形AF1BF2为平行四边形．令|F1A|＝|F2B|＝m，则|F1B|＝|F2A|＝2m，由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝|eq\o(F2A,\s\up6(→))|·|eq\o(F2B,\s\up6(→))|cos∠AF2B＝2a×4acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝eq\f(1,2)，即∠AF2B＝eq\f(π,3)，故∠F2BF1＝eq\f(2π,3)，则有cos∠F2BF1＝eq\f(|F1B|2＋|F2B|2－|F1F2|2,2|F1B|·|F2B|)＝eq\f(4a2＋2a2－2c2,2×4a×2a)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(20a2－4c2,16a2)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(20,16)－eq\f(4e2,16)＝－eq\f(1,2)，则e2＝7，由e>1，故e＝eq\r(7).故选D.5．(2024·高考天津卷)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为eq\f(\r(2),4)，则双曲线的方程为(D)A.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2