北邮研究生泛函分析-加强版-最终稿-2016修改

泛函分析基础(2015年加强版)计算机学院刘见龙泛函分析基础(2015年加强版)说明1.期末考试试卷上一共有8道题,从下面带有数字序号的43道题中选择6道(组合题按一道题计算).其中,在题目前标有★的是作业题,标有●的是与2014年版本相比的新增题.2.今年版本的复习题和去年版本相比变化较大,为防止老师有可能会从被替换掉的题目中选择2道作为另外的考试题,因此本文档也将被替换的题目列出,即标有字母序号的题目,仅供参考.3.本文档大部分题目均选自主教材《泛函分析基础》(作者:步尚全),每道题目前均标注了题号.但还有一部分补充题目选自补充教材《泛函分析》(作者:孙炯,王万义,赫建文),本文档在每道题目前也标注了题号,仅供参考.4.由于时间仓促,作者虽经几位同学的指点修订了部分错误,但仍然难免存在疏漏之处.对于本文档中的欠缺之处,请同学们继续给予批评指正,谢谢.作者QQ:137666149.索引每道题的标志性语句(【】内为页码)1设为度量空间,令【4】2设为度量空间,为非空子集.(有3小题)【4】3设为度量空间,求证:为开集……【5】4在上赋予度量考虑集合【5】5若设【6】6设为闭区间上……【6】7在上赋予度量,设【8】8设为定义在上的所有有界函数.【8】9设为度量空间,为非空子集.(有2小题)【9】10设固定,取定【11】11判定下述的哪些子集构成的线性子空间【14】12考虑【15】13设为赋范空间,𝕂.【16】14求证上的和不为等价范数.【16】15设为空间中除有限个坐标之外均为0的元素……【16】16设为赋范空间,求证:为Banach空间……【17】17在上定义线性泛函【18】18设【19】19设为赋范空间【19】20设为维赋范空间,是的真闭子空间.【20】21设为实内积空间【23】22设为内积空间,【24】23设为内积空间,求证下述命题互相等价:【24】24是Hilbert空间,为的闭线性子空间.【25】25设为上实值连续函数空间【25】26设为Hilbert空间【26】27设是Hilbert空间为其闭线性子空间【27】28设为Hilbert空间,为非空子集.求证:……【27】29在实连续函数空间上考虑内积【28】30设为Hilbert空间为的标准正交序列,【28】31设固定,考虑的线性子空间【30】32设为赋范空间,为的线性子空间,【30】33设为赋范空间【31】3435设为Banach空间为赋范空间为一系列有界线性算子【31】36设为赋范空间⇀求证:【32】37O设为赋范空间为闭线性算子,求证:【32】38设为Hilbert空间为线性算子,【33】39设为赋范空间为闭算子.求证:为闭算子.【33】40设为Banach空间为有界线性算子.【33】41设为数列,假设任取【34】4243设为严格凸赋范空间.【34】A设固定,求证:存在唯一的【10】B令【12】C设是定义在距离空间上的实函数,【13】D如果距离空间是紧的,证明是完备的,试说明完备性不蕴含紧性.【13】E设是完备的距离空间是上的自身的映射,在闭球……【14】F给定闭区间考虑所有次数小于等于的实系数多项式……【15】G设证明是上的范数,【20】H设是上连续且有界的函数的全体.【21】I设是赋范线性空间是上的线性泛函,【21】J对定义【22】K若为有限维线性空间为的Hamel基.【23】L设为Hilbert空间和均为的标准正交集,【28】M设是内积空间的子空间【29】N设是Hilbert空间,若是线性子空间并对于……【30】P设为Banach空间为有界线性算子且为一一映射.【34】Q设是中只有有限多个零项的序列构成的子空间.【35】R设是赋范空间中一组线性无关的元素【36】1-31★1-4.设为度量空间,令求证:和都是上的度量.(1)的证明:易验证满足非负性,非退化性,对称性.下面验证满足三角不等式.先验证结论有①Ⅰ.若则.故,故①式成立.Ⅱ.若ⅰ.若且,则,故①式成立.ⅱ.若,则,故①式成立.ⅲ.若,则同ⅱ的证明.于是有,故是距离.(2)的证明:见例1.1.6.21-5.设为度量空间,为非空子集.若,令求证:(1)任给有(2)当且仅当;(3)若为闭集,则当且仅当.(1)有,即同理故.(2)下确界的充要条件:设则的充要条件:ⅰ.都有;ⅱ.使得先证:(即).因为,故,若则有使得即根据下确界的重要条件，得,即.再证:.(略)(3)(2)的结论的逆否命题.若是闭集,则则当是闭集,有.31-14.41-16.6★1-17.设为闭区间上连续可导实函数的全体,若令求证:(1)为上的度量;求证:(2)为完备度量空间;求证:(3)实系数多项式之集在中稠密,进而证明为可分度量空间.(1)略.(2)设是中的Cauchy列.要证使得因为是Cauchy列,则当时,有①由①式,有故也是中的Cauchy列.则使得②且一致收敛到.再由①式得故是中的Cauchy列.故使得③且一致收敛到.根据函数列一致收敛性质,得且④根据①②③④得使得故完备.(3)则根据Stone-Weierstrass定理,存在实系数多项式使得⑤设则是多项式,且并且故⑥由⑤⑥得,存在多项式,使得故实系数多项式在稠密.下面证可分.考虑实系数多项式.对于,存在有理系数多项式,使得⑦设其中是一个有理数,且则是有理系数多项式,且并且⑧由⑦⑧,则故有理系数多项式集在实系数多项式集中稠密,故在中也稠密.又因为有理系数多项式集是可数集,故是可分的.7●1-22.在上赋予度量,设求证:为的完备度量子空间.因为是完备的距离空间,故根据定理1.3.7,只要证明是的闭子集.是的闭子集且都有因为故①因为故故②由①式,得③再由②③知,故8●1-25.设为定义在上的所有有界函数.若定义求证:(3)为不可分度量空间.(参考书中P14倒数第二段.)要证的所有稠密子集都是不可数的,首先,对每个定义函数则并且时,有因为区间是不可数集,故也不可数.因为中任何两个不同元素之间的距离均为1,于是以每一个为中心,为半径作小球,则这些球互不相交,且有不可数多个.若是的任意稠密子集,则这些不相交的小球每一个必含有中的一个元素,从而是不可数的.9●1-30.设为度量空间,为非空子集.求证:(2)若为紧集,则存在使得求证:(3)举例说明当为有界闭集时(2)中的结论不成立.(2)因为则根据上确界的充要条件,对使得①因为是紧集,则存在收敛子列使得②与之相应的的子列为(注:此处不一定收敛).因为是紧集,故也存在收敛子列使得与之相对应的的子列为且由①式,有,则由①式有令,则(3)构造一个有界闭集但不是紧集.(参考定理1.3.9的证明的后面一段话.)考虑中元素,其中第项是其它项都是0,即证记下面证明是有界闭集,但不是紧集.因为故是有界集.另外，任取有(注:)③即中任何两个不同元素之间的距离大于等于下面证:是闭集.即:要证若且时,则必有因为:是收敛列,则是Cauchy列.即当时,有特别的,取则当时,有则由③式,则知时,有于是,由极限的唯一性,则故是闭集.下面证:不是紧集.考虑中的点列由③式知,当时,有故中无收敛子列,故不是紧集.因为④但是,不存在使得因为要证④式成立,必须取10★●1-38.设固定,取定对于令求证取求并给出的一个上界.考虑距离空间,其中是通常的距离.因为是完备的,且是的闭子集.故是完备的距离空间.定义映射.因为对于(不妨设),有.(因为由中值定理,知使得.)①因为故故故①式,即其中故是压缩映射.根据压缩映射原理,使得即故若取则根据其中则11●2-1.判定下述的哪些子集构成的线性子空间(这里).(1)所有满足且的;(2)所有满足的;(3)所有满足且的;(4)所有满足的.(1)因为对于以及都有故是线性子空间.(2)特别的,取则故不是线性子空间.(3)略.(4)略.F2-4.给定闭区间考虑所有次数小于等于的实系数多项式构成的集合证明在通常多项式的加法和多项式与实数的乘法运算下为实线性空间.求的一个Hamel基.若多项式的系数取复数,证明:相应的多项式集合是线性空间是的线性子空间吗?(1)容易验证在通常多项式的加法和与实数的乘法运算下有且易验证加法与数乘满足线性空间的八个条件,故是线性空间.(2)易证明线性无关.(参考书P43第一段.)易验证是的Hamel基.(参考例2.1.4.)(3)现在证不是的线性子空间.𝕂,有因为有可能是复数,所以不是的线性子空间.132-9.设为赋范空间,𝕂.若求证由三角不等式,有故根据.故2-1114★2-14.求证上的和不为等价范数.因为有下面证明命题使得有不成立.即要证使得.考虑则且故有.152-15.设为空间中除有限个坐标之外均为0的元素全体构成的子空间,求证:为的线性子空间,但不为Banach空间.给出的一个完备化.易证是的线性子空间.取则下面证是一个Cauchy列.不妨设则则故是Cauchy列.设,则故但,故不完备.设,由例1.3.6知是完备的.再证在中稠密.因为存在并且(当时).故在中稠密.故是的完备化空间.17★2-22.在上定义线性泛函求证:求问:存在使得吗?有①②故③下面证取则且故④由③④知,①式中的等号成立在上符号相同且在上符号相同且在和上的符号相反.不妨设当时,当时,设则②式等号成立当且当但不连续.19●2-29.20补1(补充教材,2-22)设为维赋范空间,是的真闭子空间.证明存在使得根据Riesz引理2.3.12,且对于都有故因为是维赋范空间,故是紧集.因为故中存在收敛子列证则令,得①因为是线性子空间,故故②由①②知且213-1.设为实内积空间求证:当且仅当勾股定理对成立,即举例说明若为复内积空间,则上述结论一般不成立.若是实内积空间,且因为则故若是复内积空间,则不成立.例:取则且故但是故1与不正交.K3-3.若为有限维线性空间为的Hamel基.求证:在上的内积由唯一确定.问:能以完全任意方式选取吗?𝕂𝕂使得,则故中的内积是由唯一确定的.因为是内积,故有且即即𝕂n,有①若满足①式,则由所定义的映射是一个内积.24●3-8.是Hilbert空间,为的闭线性子空间.求证:为上某个非零有界线性泛函的零空间当且仅当为的一维线性子空间.若是上非零线性泛函的零空间,则由Riesz表示定理,得使得则由3-16题结论,知推论3.1若是赋范空间,是的有限维线性子空间,则是闭的.由于是一维的,故是闭的,故故故是一维的.:若是由非零元素生成的一维子空间,令若由于是闭线性子空间,故故由于故故故是的零空间.25★3-10.设为上实值连续函数空间为所有上实值连续奇函数所构成的空间,为所有上实值连续偶函数所构成的空间.求证:若上赋予内积求证:上面的直和为正交直和.令则且再证唯一性.若还存在使得则则因为若因为:对有故上式是正交直和.27●3-15.设是Hilbert空间为其闭线性子空间求证:由定理3.2.2,对于存在唯一的使得且下面只要证因为故故①另一方面,若取则且故②由①②得证.28●3-18.L3-20.设为Hilbert空间和均为的标准正交集,满足且为标准正交基.求证也是标准正交基.(反证法)如果不是完备正交基,那么使得则存在矛盾,因此假设不成立.因此也是完备正交基.293-21.在实连续函数空间上考虑内积对考虑利用Gram-Schmidt标准正交化方法将标准正交化.容易验证线性无关.取故令且故令,因为故且故30★3-22.设为Hilbert空间为的标准正交序列,且求证当且仅当存在𝕂,使得若则存在使得设取,则对于有故即则故故由于故即:若取则故314-3.设固定,考虑的线性子空间及上的线性泛函求出所有到上的所有保范延拓的有界线性泛函.在中定义范数首先证因为对有都又若取则且故同理故故对于定义则有有且则当时,有故,此时是到上的保范延拓.32★4-4.设为赋范空间,为的线性子空间,求证当且仅当任取都有若则且因且则:反证法.若因为是闭集,故则根据定理4.1.7,则使得与条件矛盾.34●4-17.设为Banach空间为赋范空间为一系列有界线性算子,设任取都是中的Cauchy列,求证:存在常数使得任取35●4-18.在上题中又设为Banach空间,求证:存在使得任取且因为是中的Cauchy列,则是有界集,即有因为是Banach空间,故由一致有界原则有即使得对有若完备,则使得(参考定理2.4.5的证明),且故36★4-20.设为赋范空间⇀求证:若⇀,则有若则根据定理4.1.7知,存在且与相矛盾.384-21.394-30.设为赋范空间为闭算子.求证:为闭算子.由条件故根