九年级（上学期）期末数学试卷 (二十)

九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）如图所示圆柱的左视图是（）

2.（3分）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，

棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）

A.4.8米8.6.4米C.9.6米D.10米

3.（3分）上半年我国成功发射了天和核心舱、天舟二号货运飞船和神舟

十二号载人飞船，中国的太空经济时代即将到来.太空基金会发布新

闻稿指出，的全球航天经济总量为80亿美元，全球航天经济总量再创

新高，达到3850亿美元，假设到每年的平均增长率为x,则可列方程

为（）

A.80（1+x）=3850B.80x=3850

C.80（1+x）3=3850D.80（1+x）2=3850

4.（3分）已知点（-2,y）（1,y2）,（3,y3）和（2,3）都在反比例

函数y=K的图象上，那么y”yz,y3的大小关系是（）

X

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y2<yi<y3D.yi<y3<y2

5.（3分）如图，点A、B、C在。0上，NACB=54°,则NABO的度数是

（）

A

A.54°B.27°C.36°D.108°

6.（3分）如图，在AABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且

DE/7CA,DF//BA,下列四个判断中，正确的个数有（）

①四边形AEDF是平行四边形

②如果NBAC=90°,那么四边形AEDF是矩形

③如果AD平分NBAC,那么四边形AEDF是菱形

④如果ADJ_BC,且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=1,以A为圆心，AD的长

为半径画弧交BC于点E,则图中空白部分的面积是（)

A

A.1-2LB.2-2LC.2LD.2+2L

3333

8.（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（aWO,a,b,c为常数），如果a

9.（3分）tan30°=.

10.（3分）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜

色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它

放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有199次摸到

红球，由此估计盒子中的红球大约有个.

11.（3分）已知二次函数y=ax?+bx+c（a#0）的部分图象如图所示，则

关于x的一元二次方程ax?+bx+c=O的解为

12.（3分）如图，在nABCD中，AB=6,AD=8,NADC的平分线交BC于

点F,交AB的延长线于点G,过点C作CELDG,垂足为E,CE=2,则

△BFG的周长为.

13.（3分）写出一组a,b的值，使二次函数y=ax?+bx+2的图象与x轴

有两个不同的交点，贝Ia,b的值可以是a=,b=.

14.（3分）如图，函数y=工和y=-3的图象分别是L和b.设点P在

XX

L上，PCLx轴，垂足为C,交k于点A,PDLy轴，垂足为D,交k

于点B,则APAB的面积为.

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保

留作图痕迹。

15.（4分）求作：RtAABC,使NA=45°,斜边AB=a.

a

四、解答题(本大题共9小题，共74分)

16.(8分)解方程：

(1)4x(2x+l)=3(2x+l)；

(2)-3X2+4X+4=0.

17.(6分)甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后

商定通过转盘游戏决定.游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且

标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若指针前后所指颜色相同，

则甲去；否则乙去.(如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直

到指针指向一种颜色为止).你认为这个游戏公平吗？请说明理由.

18.(6分)青岛电视塔座落于梓林公园内的太平山上，为测得电视塔的

高度，如图所示，某同学在某栋楼的底部点D处看向电视塔底端的点B

处，测得仰角是45°,在楼顶点E处，看向电视塔顶端C处，测得仰

角是64°,已知楼高DE的高度为H2米,AD±AC,DE//AC,太平山的

高度AB约为120米，求青岛电视塔BC的高度.(tan64°-2)

19.(6分)如图，点A(1,m),B(6,n)在反比例函数图象上，AD±y

轴于点D,BCJ_y轴于点C,DC=5.

(1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式;

(2)连结AB,在线段DC上是否存在一点P,使APAB的面积等于10?

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

20.(8分)小颖同学想用“描点法”画二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的

图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表：

x-2-10123…

y112-125m…

由于粗心，小颖算错了其中的一个y值.

（1）求该二次函数表达式；

（2）请你指出这个算错的y值；

（3）通过计算求m的值.

21.（8分）如图，在一BCD中,AC1CD.

（1）延长DC到E,使CE=CD,连接BE,求证：四边形ABEC是矩形；

（2）若点F,G分别是BC,AD的中点，连接AFCG,试判断四边形AFCG

是什么特殊的四边形？并证明你的结论.

22.（10分）10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期

间对全区古树名木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂

山区共有古树名木300多株，现知树龄最大的古树距今已有2100余

年.崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区

现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域

用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB=2,

求，与墙体CD的距离为18m.如果在围建矩形保护区域时，将银杏树

围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最

大面积是多少？

23.（10分）实际问题：某学校共有18个教学班（每班的学生都多于10

人）.为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果

要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少

需抽取多少名学生？

建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋

中摸球的数学模型：在不透明的口袋中装有红、黄、白、…m种颜色的

小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球

至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化.

探究一：我们研究一个口袋中装有红、黄、白3种颜色的小球若干个（除

颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同

色的，则最少需摸出多少个小球？

（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白3种颜

色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小

球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中

最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从发中摸出1个小

球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4

（如图①）;

（2）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有3

个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有

3个小球同色，即最少.需摸出小球的个数是：1+3X2=7（如图②）;

（3）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有4

个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有

4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3X3=10（如图③）；

（4）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有10

个是同色的，则最少需摸出多少个小球？最少需摸出小球的个数

是;

（5）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有n

个是同色的，则最少需摸出个小球.

探究二：我们研究一个口袋中装有红、黄、白黑4种颜色的小球若干个

（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个

是同色的，则最少需摸出多少个小球？

（6）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白、黑4

种颜色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出

个小球;

（7）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少

有3个是同色的，则最少需摸出个小球；

（8）要确保从装有红、黄、白黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有

4个是同色的，则最少需摸出个小球；

（9）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少

有n个是同色的，则最少需摸出个小球；

探究三：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿5种颜色的小球若

干个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球

至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是.

探究四：在不透明口袋中装有m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相

同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最

少需摸出小球的个数是.

问题解决：根据上述探究过程中建立的数学模型，求出全校最少需抽取

名学生.

④…他

©,®：：

6位⑥。。⑧⑥

红或黄或白红或黄或白红或黄或白

图①图②图③

24.（12分）如图所示，在AABC中，ZC=30°，BC=20,AC=16,E为

BC中点.动点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为每秒1个单

位长度；同时，点Q从点C出发，沿CE方向匀速运动，速度为每秒1

个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动.过点P

作PD〃AC,交AB于D,连接DQ,设点P运动的时间为t(s).(0<t

<10)

(1)当t=3时，求PD的长；

(2)设ADPO面积为y,求y关于t的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t,使SADPQ：SAABC=3：25?若存在，请求出t

的值；如果不存在，请说明理由.

-山东省青岛市崂山区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

【分析】找到从左面看所得到的图形即可.

【解答】解：此圆柱的左视图是一个矩形，故选：C.

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视

图.

2.（3分）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一

棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）

A.4.8米8.6.4米C.9.6米D.10米

【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可.

【解答】解：根据同一时刻，列方程［噜髻£.=舞组

小强身得大树局

即4.8,

1.6一大树高

解方程得，大树高=9.6米

故选：C.

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形

的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了方程的思想.

3.(3分)上半年我国成功发射了天和核心舱、天舟二号货运飞船和神舟

十二号载人飞船，中国的太空经济时代即将到来.太空基金会发布新

闻稿指出，的全球航天经济总量为80亿美元，全球航天经济总量再创

新高，达到3850亿美元，假设到每年的平均增长率为x,则可列方程

为()

A.80(1+x)=3850B.80x=3850

C.80(1+x)3=3850D.80(1+x)2=3850

【分析】利用全球航天经济总量=全球航天经济总量义(1+平均增长率)

之，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解:依题意得:80(1+x)2=3850.

故选：D.

【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键.本

题难度适中，属于中档题.

4.(3分)已知点(-2,yi),(1,y2),(3,y3)和(2,3)都在反比例

函数y=K的图象上，那么y”yz,y3的大小关系是()

X

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y2<yi<y3D.yi<y3<y2

【分析】先将点(2,3)代入反比例函数解析式求得k的取值，然后得

到函数的增减性，进而得到y”yz,y,的大小关系.

【解答】解：将点（2,3）代入y=K得，k=2X3=6,

X

...反比例函数的解析式为y=e,

X

函数在第一象限和第三象限内的函数值随X的增大而减小，

-2<0<1<3,

y2>y3>0>yi,

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的增

减性，解题的关键是由待定系数法求得反比例函数的解析式.

5.（3分）如图，点A、B、C在。。上，ZACB=54°,则NABO的度数是

（）

A.54°B.27°C.36°D.108°

【分析】根据圆周角定理求出NA0B,根据等腰三角形的性质求出NAB0

=ZBA0,根据三角形内角和定理求出即可.

【解答】解：VZACB=54°,

圆心角NA0B=2NACB=108°,

V0B=0A,

.,.ZABO=ZBAO=1（180°-ZAOB）=36°，

2X

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三

角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角NAOB的度

数是解此题的关键.

6.（3分）如图，在4ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且

DE〃CA,DF/7BA,下列四个判断中，正确的个数有（）

①四边形AEDF是平行四边形

②如果NBAC=90°,那么四边形AEDF是矩形

③如果AD平分NBAC,那么四边形AEDF是菱形

④如果ADLBC,且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°

的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都

是直角，且四个边都相等的是正方形.

【解答】解：因为DE〃CA,DF〃BA所以四边形AEDF是平行四边形.故

①正确.

ZBAC=90°,四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形.故

②正确.

因为AD平分NBAC,所以AE=DE,又因为四边形AEDF是平行四边形,

所以是菱形.故③正确.

如果AD1BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故④错误.

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的

判定定理，和正方形的判定定理等知识点.

7.（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=1,以A为圆心，AD的长

为半径画弧交BC于点E,则图中空白部分的面积是（）

A.1-2LB.2-2Lc.2LD.2+工

3333

【分析】根据S空门=S矩形ABCD-S扇形ADE求解即可.

【解答】解：•.•四边形ABCD是矩形，

二.AD=BC=2,AD〃BC,

由题意知AE=AD=2,

VAB=1,

.*.ZAEB=ZDAE=30°，

VZB=90°，

S空白=S矩形ABCD-S扇形ADE=2义1-30兀X2=2—汇

3603

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质

等知识点，能求出AE长和NAEB的度数是解此题的关键.

8.（3分）已知二次函数y=ax'+bx+c（a关0,a,b,c为常数），如果a

【分析】由a>b>c,且a+b+c=0,确定a>0,c<0,与x轴交点一

个是（1,0）,采取排除法即可选出所选答案.

【解答】解：Va+b+c=0,

即当x=1时a+b+c=0,

Va>b>c,

.,.定a>0,c<0,

故C选项正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用性质进行说

理是解此题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）tan30°=近.

-3-

【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.

【解答】解:tan30°=近.

3

故答案是：近.

3

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确对特殊值的记忆是

解题的关键.

10.（3分）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜

色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它

放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000次，其中有199次摸到

红球，由此估计盒子中的红球大约有2个.

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳

定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解.

【解答】解：设盒子中的红球有x个，

解得：x^2,,

即盒子中的红球大约有2个.

故答案为：2.

【点评】本题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概

率.关键是根据白球的频率得到相应的等量关系.

11.（3分）已知二次函数y=ax?+bx+c（aWO）的部分图象如图所示，则

关于x的一元二次方程ax，bx+c=O的解为Xj=-3,x?=l.

【分析】抛物线的对称轴为x=-1,抛物线和x轴的一个交点为（-3,

0）,则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1,0）,

即可求解.

【解答】解：•••抛物线的对称轴为x=-1,抛物线和x轴的一个交点

坐标为（-3,0）,

则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1,0）,

则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）的解为x=-3或1,

故答案为：X1=-3,X2=l.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图

象法解决问题，属于中考常考题型.

12.（3分）如图，在nABCD中，AB=6,AD=8,NADC的平分线交BC于

点F,交AB的延长线于点G,过点C作CELDG,垂足为E,CE=2,则

△BFG的周长为4+当反.

3一

A

B,

【分析】首先利用已知条件可证明4ADE是等腰三角形，根据等腰三角

形“三线合一”的性质得出DE=2DG,而在Rt^ADG中，由勾股定理可

求得DG的值，即可求得DE的长；然后，证明△ADES^BFE,再分别求

出4ADE的周长，然后根据周长比等于相似比即可得到答案.

【解答】解：:DE平分NADC,

ZADE=ZCDE；,

又四边形ABCD是平行四边形，

Z.AD//BC,

，ZADE=ZCDF=ZDFC,

.•.CD=CF=6,

VCE±DG,

.,.DF=2DE,

在RtZ^CDE中,VZDEC=90°,CD=6,CE=2,

DE=『D2-CE2=4A,

.,.DF=2DE=8V2;

AACDF的周长=12+8&,

VCF=6,BC=AD=8,

.•.BF=BC-CF=8-6=2,

ACF：BF=6：2=3：1.

VAB//CD,

.,.△CDF^ABFG,

1.△CDF的周长:ZXBFG的周长=CF：BF=3：1,

则ABEG周长=4+虫1.

3

故答案为：4+幽.

3

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾

股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数

形结合思想的考查，难度适中.

13.（3分）写出一组a,b的值，使二次函数y=ax?+bx+2的图象与x轴

有两个不同的交点，贝!Ja,b的值可以是a=1,b=3.

【分析】根据判别式的意义得到4=62-8a>0,然后a取一个不为0

的实数，再确定对应的b的值.

【解答】解：•.•二次函数y=ax?+bx+2（a#0）的图象与x轴有两个不

同的交点，

△=b’'-8a>0,

若a=l,则b可取3.

故答案为：1,3（答案不唯一）.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax?+bx+c

（a,b,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一

元二次方程.

14.（3分）如图，函数y=工和y=-3的图象分别是L和b.设点P在

XX

L上，PCJ_x轴，垂足为C,交k于点A,PDLy轴，垂足为D,交k

于点B,则4PAB的面积为8.

【分析】设P的坐标是（a,1）,推出A的坐标和B的坐标，求出NAPB

a

=90°,求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可.

【解答】解：方法一：•••点P在y=」上,

X

**•IXp|XIypI=Ik|=1,

.•.设P的坐标是（a,工）（a为正数），

a

,.,PA_Lx轴，

:.A的横坐标是a,

二飞在丫=-旦上，

X

A的坐标是（a,-3）,

a

•••PB_Ly轴，

•••B的纵坐标是工

a

・方在丫=-3上,

a

•••代入得：——-->

ax

解得：x=-3a,

B的坐标是（-3a,A）,

a

/.PA=|A-（-3）|=A,

aaa

PB=Ia-(-3a)=4a,

,.，PAJ_x轴，PBJ_y轴，x轴」_y轴，

.•.PA_LPB,

.•.△PAB的面积是：lPAXPB=lxlX4a=8.

22a

故答案为：8.

方法二：•..函数y=1和y=-3的图象分别是L和b.点P在L上，

XX

PC_Lx轴，垂足为C,交12于点A,PD_Ly轴，垂足为D,交k于点B,

•DP=PC=1

BDAC3

•DP=PC=1

BPPA4

由矩形DOPCs矩形BEAP,

故S矩形BEAP=16s矩形DOPC，

=16X1

=16,

贝SA,\PB=8.

【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根

据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较

好的题目.

三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保

留作图痕迹。

15.(4分)求作：RtAABC,使NA=45°,斜边AB=a.

a

I|

【分析】作线段AB=a,作线段AB的垂直平分线DM,垂足为D,在射

线DM上截取DC=DA,连接AC,CB,即可.

【解答】解：如图，4ABC即为所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的

关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

四、解答题(本大题共9小题，共74分)

16.(8分)解方程：

(1)4x(2x+l)=3(2x+l)；

(2)-3X2+4X+4=0.

【分析】(1)先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两

个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；

(2)利用公式法求解即可.

【解答】解：⑴V4x(2x+l)=3(2x+l),

.\4x(2x+l)-3(2x+l)=0,

则(2x+l)(4x-3)=0,

.•.2x+l=0或4x-3=0,

解得Xi=-2，X=2；

224

(2)\'a=-3,b=4,c=4,

AA=42-4X(-3)X4=64>0,

则x=-b±4b2-4ac=-4土8,

2a-6

Xi=2,x=-2.

23

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方

程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结

合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

17.(6分)甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后

商定通过转盘游戏决定.游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且

标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若指针前后所指颜色相同，

则甲去；否则乙去.(如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直

到指针指向一种颜色为止).你认为这个游戏公平吗？请说明理由.

【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出颜色相同的

情况数，然后根据概率公式求出甲去和乙去的概率，最后其进行比较,

即可得出答案.

【解答】解：根据题意列表如下：

红黄J赭IIL

红红、红红、黄红、蓝

1黄、红

黄黄、黄黄、蓝

蓝蓝、红蓝、黄

由上表可知，总共有9种不同的情况，它们出现的可能性相同，其中颜

色相同的有3种，

所以P（甲去）=1,P（乙去）=2.

33

•••-1<2,

33

•••这个游戏不公平.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每

个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点

为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.（6分）青岛电视塔座落于棒林公园内的太平山上，为测得电视塔的

高度，如图所示，某同学在某栋楼的底部点D处看向电视塔底端的点B

处，测得仰角是45°,在楼顶点E处，看向电视塔顶端C处，测得仰

角是64°,已知楼高DE的高度为112米，AD_LAC,DE〃AC,太平山的

高度AB约为120米，求青岛电视塔BC的高度.（tan640-2）

【分析】过E作EF_LAC于F,则四边形ADEF是矩形，得AF=DE=112

米，EF=AD,证4ABD是等腰直角三角形，得AD=AB=120米，则EF

=120米，再由锐角三角函数定义得CF-2EF=240（米），则AC=AF+CF

分352（米）,即可得出答案.

【解答】解：过E作EFJ_AC于F,如图：

则四边形ADEF是矩形，

，AF=DE=112米，EF=AD,

在Rt^ADB中，ZADB=45°,

.'.△ABD是等腰直角三角形，

.•.AD=AB=120米，

.•.EF=AD=120米，

在RtaCEF中，tanNCEF=_2L=tan64°02,

EF

.\CF^2EF=240（米），

AAC=AF+CF^112+240=352（米）,

.\BC=AC-AB^352-120=232(米)，

答：青岛电视塔BC的高度约为232米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅

助线构造直角三角形是解题的关键.

19.(6分)如图，点A(1,m),B(6,n)在反比例函数图象上，AD±y

轴于点D,BCJ_y轴于点C,DC=5.

(1)求m,n的值并写出反比例函数的表达式；

(2)连结AB,在线段DC上是否存在一点P,使△PAB的面积等于10?

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到

m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代

入即可确定出解析式；

(2)存在，设设P(0,m),表示出CP,DP,连接AP,BP,三角形ABP

面积=四边形ABCD面积-三角形ADP面积-三角形BCP面积，求出即

可.

【解答】解：(1)\•点A(1,m),B(6,n)在反比例函数图象上，

.•.6n=m①，

VDC=5,

/.m-n=5②，

联立①②解得，m=6,n=l,

AA(1,6),B(6,1),

设反比例函数解析式为丫=区，

X

将A(1,6)代入得：k=6,

则反比例解析式为y=3

(2)存在，

如图，设P(0,m),贝(JCP=m-l,DP=6-m,

•.,ADLy轴，BC_Ly轴，

AZADP=ZBCP=90°,

连接AP,BP,

贝（JSAABP=S四边形ABCD一SAADP一SABCP

=1(BC+ADADC-」)P・AD-』CP・BC

222

=1X(1+6)X5-1(6-m)XI-1(m-1)X6

222

=10,

解得：m=3,

则P(0,3).

【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象

上点的坐标特征以及三角形、梯形的面积，相似三角形的性质等，熟练

掌握待定系数法和相似三角形的性质是解本题的关键.

20.(8分)小颖同学想用“描点法”画二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的

图象，取自变量x的6个值，分别计算出对应的y值，如表：

X•••-2-10123

y・・・112_125m

由于粗心，小颖算错了其中的一个y值.

(1)求该二次函数表达式；

(2)请你指出这个算错的y值；

(3)通过计算求m的值.

【分析】(1)将点(0,-1),(1,2),(-1,2)代入y=ax2+bx+c,

即可求解；

(2)当的值即可.

【解答】解：(1)由表格可知，对称轴为x=0,

.•.x=2或x=-2时，对应的y值有一个是错误的，

将点(0,-1),(1,2),(-1,2)代入y=ax4bx+c,

"c=-l

••<a+b+c=2，

a-b+c=2

.•.卜=3,

Ic=-l

/.y=3x2-1；

(2)当=26.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数

解析式的方法是解题的关键.

21.(8分)如图，在。ABCD中，AC1CD.

(1)延长DC到E,使CE=CD,连接BE,求证：四边形ABEC是矩形;

(2)若点F,G分别是BC,AD的中点，连接AFCG,试判断四边形AFCG

是什么特殊的四边形？并证明你的结论.

【分析】(1)先证四边形ABEC是平行四边形，再证NACE=90°,即可

得出结论；

(2)先证四边形AFCG是平行四边形，再由矩形的性质得NBAC=90°,

然后由直角三角形斜边上的中线性质得AF=2BC=CF,即可得出结论.

2

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB=CD,AB〃CD,

VCE=CD,

，AB=CE,

四边形ABEC是平行四边形，

又,.，AC_LCD,

二.NACE=90°,

平行四边形ABEC是矩形；

(2)解：四边形AFCG是菱形，理由如下:

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.\AD=BC,AD//BC,

•••点F,G分别是BC,AD的中点,

,-.CF=1BC,AG=1AD,

22

.•.CF=AG,

...四边形AFCG是平行四边形，

由（1）可知，四边形ABEC是矩形，

.,.ZBAC=90°,

IF是BC的中点，

.•.AF=1BC=CF,

2

...平行四边形AFCG是菱形.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱

形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定

与性质是解题的关键.

22.（10分）10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期

间对全区古树名木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂

山区共有古树名木300多株，现知树龄最大的古树距今已有2100余

年.崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区

现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域

用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB=2,

求，与墙体CD的距离为18m.如果在围建矩形保护区域时，将银杏树

围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最

大面积是多少？

【分析】(1)根据题意得出长x宽=600,进而得出答案；

(2)由题意可得出：S=x(50-x)=-x2+50x=-(x-25)2+625,

再利用二次函数增减性求得最值.

【解答】解：⑴VAB=,

Ax(50-x)=600,

解得：Xi=20,X2=30,

答：x的值为20或30；

(2)VAB=,

.*.S=x(50-x)=-X2+50X=-(和10m,

V50-18=32,

.•.10WxW32,

.•.当x=25时，S取到最大值为625,

答：矩形面积S的最大值为625平方米.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出

S与x的函数关系式是解题关键.

23.(10分)实际问题：某学校共有18个教学班(每班的学生都多于10

人).为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果

要确保全校抽取出来的学生中至少有10人在同一班级，那么全校最少

需抽取多少名学生？

建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋

中摸球的数学模型：在不透明的口袋中装有红、黄、白、…m种颜色的

小球若干个（除颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球

至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化.

探究一：我们研究一个口袋中装有红、黄、白3种颜色的小球若干个（除

颜色外完全相同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同

色的，则最少需摸出多少个小球？

（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白3种颜

色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小

球？

假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中

最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从发中摸出1个小

球就可确保至少有2个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3=4

（如图①）;

（2）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有3

个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有

3个小球同色，即最少.需摸出小球的个数是：1+3*2=7（如图②）;

(3)要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有4

个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

我们只需在(2)的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有

4个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3X3=10(如图③)；

(4)要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有10

个是同色的，则最少需摸出多少个小球？最少需摸出小球的个数是

28；

(5)要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有n

个是同色的，则最少需摸出3n-2个小球.

探究二：我们研究一个口袋中装有红、黄、白黑4种颜色的小球若干个

(除颜色外完全相同)，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个

是同色的，则最少需摸出多少个小球？

(6)我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白、黑4

种颜色的口袋中摸出小球，至少有2个是同色的，则最少需摸出5

个小球；

(7)要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少

有3个是同色的，则最少需摸出9个小球;

(8)要确保从装有红、黄、白黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有

4个是同色的，则最少需摸出13个小球;

(9)要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少

有n个是同色的，则最少需摸出4n-3个小球;

探究三：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿5种颜色的小球若

干个（除颜色外完全相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球

至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是5n-4.

探究四：在不透明口袋中装有m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相

同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最

少需摸出小球的个数是mn-m+1.

问题解决：根据上述探究过程中建立的数学模型，求出全校最少需抽取

163名学生.

:

::

O⑥o®⑥。。⑥⑥

红或黄或白红或黄或白红或黄或白

图①图②图③

【分析】首先要理解题意，明确解题方法，探究一可得规律为1+3义（同

色的球数-1）,探究二可得规律为1+4义（同色的球数-1）,探究三可

得规律为1+5义（同色的球数-1）,探究四可得规律为1+mX（同色的

球数-1）,解题时要注意运