高中数学必修1第二章导学案

§2.1.1指数与指数鬲的运算（1）

。学习目标

1.了M指数函薮模型背景及实用性、必要性；

2.了解根式的概念及表示方法；

3.理解根式的运算性质.

心学习过程

一、课前准备

复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式

为.

复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a,那么这个数叫

做a的,记作；

如果一个数的立方等于那么这个数叫做a的，记

作.

二、新课导学

1.一般地，若%”=。,那么％叫做,

其中n>1,“GN*.

2.当n为奇数时，正数的n次方根是一个，负数的n次

方根是一个,这时，。的〃次方根用符号表示.

个

3.当n为偶数时，正数的n次方根有个，这.

表

.这时，正数。的正的〃次方根用符号

数次

示，负的〃次方根用符号表示，正的〃次方根与负的〃

方根可以合并成_________________

4.负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,

即.

5.标的式子就叫做,这里〃叫做，。叫

做.

6.（五）"=（«>0）.

7.当〃是奇数时，"/=；

当〃是偶数时，"=.

8.规定分数指数塞如下

m

an=(a>O,m,nEN*,n>1)；

m

an=(a>O,m,nEN*,n>1)

9.0的正分数指数累；0的负分数指数靠

10.指数鬲的运算性质：(”0力>0,r,se°)

ar•ar=；

(优)'=；(aby=.

派典型例题

例i求下类各式的值：

(1)#(-4；(2)1(-7)4；

(3)兀)6；(4)m("b)2(a<b).

变式：计算或化简下列各式.

(1)^=32；(2)际.

推广：=行(«>0).

2-i3、_325--

例2求值：27、163；(-)；(―)3

例3用分数指数嘉的形式表示下列各式（b>0）：

（1）b2*4b；（2）/*赤；（3）寂后.

例4计算（式中字母均正）：

21111512

（1）（3Q§庐）（一8〃56）+（_6/川）；(2)"滔)，

例5计算:

(1)（a〉0）；

4a*y[^

(2疗〃_石3)1°+(-JI

(2)(m,nsN*)；

(3)阪-衣）+痫.

方咒4当行指数塞的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为

数累，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用哥的运

三、总结提升

派学习小结

1.〃次方根，根式的概念；

2.根式运算性质.

X当堂检测

1.而示的值是（).

A.3B.-3C.±3D.81

2.化简（汴了是（).

A.-bB.bC.±bD.1

b

3.若。〉0,且根，〃为整数，则下列各式中正确的是（）.

A・Q+Q=〃B.CI-a=a

H

tn\-1.4〃八。一〃

(a)=QD.\~d-Cl

_2

4.化简2-=.

3ni-n

5.若I。'"=2,10"=4,贝收0亍=

课本59页第1、2、4(1)(3)(5)(7)

§2.1.1指数与指数鬲的运算(2)

编写人：李利峰审核人：牛红丽

1.理解分数指数幕的概念；

2.掌握根式与分数指数幕的互化；

3.掌握有理数指数幕的运算.

心学习过程

一、课前准备

复习1:一般地，若x"="，则x叫做a的,其中简

记为:.

像后的式子就叫做，具有如下运算性质：

丽)"=;折=;.

复习2：整数指数累的运算性质.

(1)a'"a"=;(2)(a"')n=

(3)(ab)"=.

二、新课导学

派学习探究

探究任务：分数指数幕

引例：。>0时，=y](a*2)3*5=a?=〃5,

则类似可得疗=；

=d(〃?)3=广，类似口1得&=.

新知：规定分数指数事如下

an=\/a^(a>0,九〃eN*,〃>1);

_竺11.

an=——=-f=(a>0,m,〃eN”,〃>1).

J疗

试试：

(1)将下列根式写成分数指数累形式:

次=；VF=；

y[a^=(〃>0,mGN").

2245

(2)求值:8“5$;61;Q.

反思：

①0的正分数指数累为;0的负分数指数累为.

②分数指数塞有什么运算性质？

小结:

规定了分数指数塞的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有

理数指数，那么整数指数辱的运算性质也同样可以推广到有理数指数

幕.

指数悬的运算性质：(a>0,b>0,r,seQ)

ar•ar=ar+s;(")'=a";(")’=优优.

X典型例题

例1求值：27：；16，(-)-3;(―)^.

549

变式：化为根式.

例2用分数指数哥的形式表示下列各式（“0）：

（1）b24b；（2）方亚；（3）瞒.

例3计算（式中字母均正）：

212L13

（1）（3/凉）（_8射6）+（_6/碗）；（2）（，病"町6.

小结：例2,运算性质的运用；例3,单项式运算.

例4计算:

(1)才存（°>0）；

3

（2/）町0+（-加“-3）6

(2)(m,nGN*);

（3）阪-际）+痫.

小结：在进行指数累的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为

分数指数哥，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用事的运

算法则.

反思：

①3忘的结果?

结论：无理指数塞.（结合教材尸53利用逼近的思想理解无理指数幕意

义）

②无理数指数塞/g>0,a是无理数）是一个确定的实数.实数指数塞的

运算性质如何？

X动手试试

8

练1.把]）#「化成分数指数幕.

练2.计算：⑴冷料匹;（2）

三、总结提升

X学习小结

①分数指数幕的意义；②分数指数幕与根式的互化；③有理指数幕的

运算性质.

X知识拓展

放射性元素衰变的数学模型为：m=其中f表示经过的时间,

恤表示初始质量，衰减后的质量为相，2为正的常数.

4a学习评价

X当堂检测

1.若〃>0,且见”为整数，则下列各式中正确的是（）.

m

A.a'"^an=a7B.a'n-an=a'n"

n

C.（am\]=a+〃\J.1+.a/=a^0-n

3

2.化简253的结果是（）.

A.5B.15C.25D.125

3.计算/闾丁的结果是（）.

A.3B.-V2C.也D.一也

22

§2.1.1指数与指数鬲的运算(练习)

编写人：王晓华审核人：马银珠

心学习目标

1.掌握〃次方根的求解；

2.会用分数指数累表示根式；

3.掌握根式与分数指数嘉的运算.

心学习过程

一、课前准备

复习1：什么叫做根式？运算性质？

像标的式子就叫做，具有性质:

丽)"=；后=；'犷=.

复习2：分数指数累如何定义？运算性质？

其中〃>0,m,

②"优=；(ar)s=;

(ah)'=.

复习3：填空.

①〃为_____时，值=1讣［….…WR.

I*<0)

②求下列各式的值：

VF=；V16=；呵=

=；'^32=；

亚=;封=.

二、新课导学

X典型例题

11

例1已知宜+尸=3,求下列各式的值:

3_3

⑴…'(2)/+,尸；⑶笄2$2

户

补充:立方和差公式/±/=①土b)(a2+ab+b2).

小结：①平方法；②乘法公式；

③根式的基本性质%为=痂(“NO)等.

注意，QNO十分重要，无此条件则公式不成立.例如，#(-8)2w”.

变式：已知)->=3,求：

1133

(1))+小；(2)丁-丁.

例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出灯然后用水填满，再倒出丹

又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？

变式：〃次后？

小结：①方法：摘要一审题；探究一结论；

②解应用问题四步曲：审题一建模一解答一作答.

X动手试试

练1.化简：(£-y2)+(/-/).

练2.已知无+无"=3,求下列各式的值.

I133

(1)户+一；(2)/+xN

练3.已知f(X)=三，%>o，试求VTwvuJ的值.

三、总结提升

X学习小结

1.根式与分数指数幕的运算;

2.乘法公式的运用.

X知识拓展

1.立方和差公式：

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

a3-b}=(a-b)(a2+ab+b2).

2.完全立方公式：

(a+b)}=a3+3a2h+3ah2+h3;

(a-b)3=a}-3a2b+3ab2-b).

学习评价

派当堂检测

1..的值为（）.

A.73B.3也C.3D.729

2---（。＞0）的值是（）.

a后

217

A.1B.aC.心D.小

3.下列各式中成立的是（）.

A.（―）7=VL1T^B.g（-3），=\/—3

m

C.y]x3+y3=（x+y）4D.7W=^3

4.化简6/=________.

4

一21I।i15

5.化简（a方）（-3〃唠）吗。6时=

心课后作业_________

1.已知犬=/+小，求办2_2〃\+武的值.

2.探究：海+（标）,=2a时，实数”和整数〃所应满足的条件.

§2.1.2指数函数及其性质(1)

编写人：马发展审核人：李利峰

0学习目标

1.亍祢指薮南薮模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科

的联系；

2.理解指数函数的概念和意义；

3.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质(单调性、特

殊点).

心学习过程

一、课前准备

复习1：零指数、负指数、分数指数哥怎样定义的？

(1)a°=；(2)an=；

m_m

(3)a"=；an=.

其中a>O,m,neN*,n>1

复习2：有理指数累的运算性质.

(1)a,nan=；(2)("=；

(3)(abY=.

二、新课导学

派学习探究

探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念

实例：

A.细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成

4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第尤次分裂得到y

个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？

B.一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是

原来的84%,那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什

么？

讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

新知：一般地，函数y=a，（a>o,且"1）叫做指数函数（exponential

function）,其中％是自变量，函数的定义域为R.

反思：为什么规定a>0且存1呢？否则会出现什么情况呢？

探究任务二：指数函数的图象和性质

回顾：

研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质.

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.

作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：

y=，y=2'

讨论：

（1）函数>=2、与y=g）'的图象有什么关系？如何由y=2、的图象

画出了=（彳）、的图象？

X典型例题

例1函数/(%)=优金>0,51)的图象过点(3,二)，求〃0),/(I),

/(-3)的值.

例2比较下列各组中两个值的大小：

65

(1)2°-,2°-;(2)0.9一2,0.945；

052J

(3)2.1,0.5;(4)万层6与1.

小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数.

X动手试试

练1.已知下列不等式，试比较加、〃的大小：

(1)(?”>($"；(2)i.r<i.i\

练2.比较大小：

7O9O8

(1)6Z=O.8°-,Z7=O.8,C=1.2;

(2)1°,0.4-2-5,2-0-2,2.5'-6.

三、总结提升

X学习小结

①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性

质；③单调法.

X知识拓展

因为y=a'（a〉O,且awl）的定义域是R,所以

），=〃*）伍〉0,且a。1）的定义域与/（%）的定义域相同.而

y=。（相）（a>0,且a。1）的定义域，由y=0。）的定义域确定.

女粉学习评价

X当堂检测

1.函数丁=（/-3。+3）优是指数函数，则0的值为（）.

A.1B.2C.1或2D.任意值

2.函数（Q>0,QW1）的图象恒过定点（）.

A.（0,1）B.（0,2）C.（2,1）D.（2,2）

3.指数函数①/（x）=M,②g（x）="'满足不等式0<相<〃<1,则它

5.函数y=J（*T的定义域为

J课后作业

1

1.求函数的定义域.

-1

2.探究:在阿，用上，/3=优（。>0且"1）值域?

§2.1.2指数函数及其性质（2）

编写人：李利峰审核人：牛红丽

1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；

2.掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性；

3.培养数学应用意识.

心学习过程

一、课前准备

复习1：指数函数的形式是

y=2',y=,y=i(r,y=(Q-

思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律?

二、新课导学

X典型例题

例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却

养育着22%的世界人口.因此，中国的人口问题是公认的社会问

题.2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为

1%.为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基

本国策.

(1)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，％年后我国的

人口将达到2000年的多少倍？

(2)从2000年起到2020年我国人口将达到多少？

小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法.

试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率

为8%,经过x年后的总产值为原来的多少倍？

小结：指数函数增长模型.

设原有量N,每次的增长率为p,则经过九次增长后的总量

产__________.我们把形如y=妨、(%£凡。〉0,且。。1)的函数称

为指数型函数.

例2求下列函数的定义域、值域：

__J_

(1)y=2'+l；(2)y=3历＞(3)y=0.户.

变式：单调性如何?

小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.

试试：求指数函数y=2'的定义域和值域，并讨论其单调性.

三、总结提升

派学习小结

1.指数函数应用模型>=履'（攵£&。>0且

2.定义域与值域；

2.单调性应用（比大小）.

派知识拓展

形如y=〃"）（a>0,且OH1）的函数值域的研究，先求得/⑴的值域，

再根据"的单调性，列出简单的指数不等式，得出所求值域，注意不

能忽视y=a"">0.而形如y=0（相）5>0，且awl）的函数值域的研

究，易知能〉0,再结合函数°。）进行研究.在求值域的过程中，配合

一些常用求值域的方法，例如观察法、单调性法、图象法等.

学习评价

派当堂检测

1.如果函数产，3>0,。壬1）的图象与函数y=b'3>0/Wl）的图象关于

y轴对称，则有（）.

A.a>bB.a<b

C.ab=lD.a与Z?无确定关系

2.函数/（x尸3-x—1的定义域、值域分别是（）.

A.R,RB.R,（0,+8）

C.R,（-l,+oo）D.以上都不对

3.设a、b均为大于零且不等于1的常数，则下列说法错误的是（）.

A.y=a"的图象与y=a一，的图象关于y轴对称

B.函数段）=/r（a>l）在R上递减

C.若a五>61垃',则Q>1

D.若2、>1,则x>l

4.比较下列各组数的大小:

-

（1/_（0.4）2.*严6（造尸75

5.在同一坐标系下，函数产Q\y=//,y=c\的

图象如右图，则。、氏c、d、1之间从小到大的

顺序是.

「0裸后作业

2_

1.已知函数八%）=。一三jj"（a£R）,求证：对任何QGR,兀¥）为增函

数.

2X-1

2,求函数y=仃的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

§2.2.1对数与对数运算(1)

编写人：牛红丽审核人：王晓华

「&式一学习目标

1.理解对数的概念；

2.能够说明对数与指数的关系；

3.掌握对数式与指数式的相互转化.

心学习过程

一、课前准备

复习1：庄子：一尺之梗，日取其半，万世不竭.

(1)取4次，还有多长？

(2)取多少次，还有0.125尺？

复习2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增

长8%,那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？(只列式)

二、新课导学

新知：一般地，如果优=N(a>0,awl),那么数x叫做以。为底N

的对数(logarithm).

记作x=logaN,其中Q叫做对数的底数，N叫做真数.

新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common

logarithm),并把常用对数log1。N简记为怆乂在科学技术中常使用

以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数,

并把自然对数1。瓦N简记作liW.

试试：分别说说lg5、lg3.5、InlO、ln3的意义.

反思：

(1)指数与对数间的关系？

。>0,。。1时-，a=-No____________.

(2)负数与零是否有对数？为fT专

(3)log(/1=,log.a=.

X典型例题

例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

(1)5:125；(2)2"=击；⑶3"=27；

1Zo

(4)KT?=0.01；(5)l°g|32=-5；

2

(6)lg0.001=-3；(7)In100=4.606.

变式：log[32=?lg0.001=?

2

小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体.

例2求下列各式中九的值：

2

⑴1吗4%=§；（2）log*8=-6；

3

（3）怆%=4；（4）Ine=x.

小结：应用指对互化求％.

X动手试试

练1.求下列各式的值.

25

(1)log5；(2)log2—；(3)lg10000.

练2.探究log。屋=?*g.N=?

三、总结提升

X学习小结

①对数概念；②IgN与TnN；③指对互化；④如何求对数值

知识拓展

对赢中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这

种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末

到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier,1550-1617年）

男爵.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,

这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限

性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数

字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一

位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，

终于独立发明了对数.

心学习评价

X当堂检测（材量：5分钟满分：10分）计分：

1.若log2%=3,则》=（）.

A.4B.6C.8D.9

A.1B.-1C.2D.-2

3.对数式10g,一2（5—。）=匕中，实数a的取值范围是（）.

A.(-oo,5)B.(2,5)C.(2,+oo)D.(2,3)U(3,5)

4.计算：logg(3+20)=.

5.若logv(VI+1)=-1,贝lj尸,若log&8=y,贝I1y=

1.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.

(1)35=243；(2)2-5=\；(3)4"=30

m

(4)(1)=1.03；(5)log.16=-4.(6)10g2128=7.

(7)log327=.

2.计算：

(1)log927；(2)log3243；(3)10g我81；

⑷log*。-a；

§§2.2.1对数与对数运算(2)

编写人：王晓华审核人：马发展

2学习目标

1.掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程;

2,能较熟练地运用对数运算法则解决问题..

&学习过程

一、课前准备

复习1：

(1)对数定义：如果/=N(a>O,aHl),那么数X叫做

记作.

(2)指数式与对数式的互化：a'=N。.

复习2:幕的运算性质.

(1)a"'an=;(2)("")"=

(3)(ab)"=.

复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：

⑴设log“2=m,log“3=〃，求am+n；

(2)设logflN=nr试利用"?、〃表不log«(M,N).

二、新课导学

X学习探究

探究任务：对数运算性质及推导

问题：由如何探讨10g.MN和log.M、log.N之间的关系？

设log,,M=p,log,,N=q,

由对数的定义可得：M=a",N=。”.

.•.MN=a3=a"",

...i°g“MN=p+q,即得bg，，MN=i°g"M+lo^N.

根据上面的证明，能否得出以下式子？

如果a>0,a^\,M>0,N>0,则

(I)\oga(MN)=loguM+log„N；

M

(2)log„—=log.,M-log„N；

(3)logaM"logoM(n&R).

反思：

自然语言如何叙述三条性质？性质的证明思路？(运用转化思想，先通过

假设，将对数式化成指数式，并利用塞运算性质进行恒等变形；然后再根据对数

定义将指数式化成对数式.)

X典型例题

例1用log”％,log0y,log„z表示下列各式：

,、i孙、，^yjy

(1)log”~；(2)bg“s厂.

zWz

例2计算:

(1)logs25；(2)logo.41；

85

(3)log2(4x2)；(4)IgVlOO.

探究：根据对数的定义推导换底公式皿二置5,且心O0,

且cw1;/;>0).

X动手试试

练1.设lg2=〃，lg3=b,试用a、b表不logs1？.

变式：已知1吗3=4,1呜7=4用a,b表示-4256.

练2.计算：(1)-一.⑵需.

三、总结提升

X学习小结

①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.

X知识拓展

①对数的换底公式log*=通冬；②对数的倒数公式log"=J

log/,alog,,a

③对数恒等式：log。"N"=log”，

logN"=21og.N,10gflZ?10g/,cl0gf4=1.

m

X当堂检测

1.下列等式成立的是()

2

A.log,(34-5)=log23-log25B.log2(-10)=2log,(-10)

33

C.log2(3+5)=log231og25D.log2(-5)=-log25

/—log,(-a)2

2.J5-(QNO)化简得结果是().

A.~aB.a2C.IaID.a

3.若21g(y—2%)=lg%+lgy,那么().

A.y=%B.y=2xC.y=^xD.y=4x

4.已知3。=5"=m，且，+：=2,则加=

ab

5.计算：怆/|+；坨3=.

心课后作业

1.计算：

一、lgV27+lg8-31gVT0

(])rlgrl.^2；

(2)Ig22+lg2-lg5+lg5.

2.设a、b>c为正数，且3"=4"=6',求证：1-工=±.

ca2b

§2.2.1对数与对数运算（3）

编写人：马银珠审核人：马发展

1.能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；

2.加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.

一、课前准备

复习1：对数的运算性质及换底公式.

如果a>Q,a^\,M>Q,N>0,贝lj

（1）logu（MN）=；

（2）log,,y=；

（3）log“Mn=.

换底公式log,,b=.

复习2：已知log23=a,log31—b>用Q,blog4256.

复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控

制在1.25%,问哪一年我国人口总数将超过14亿？（用式子表示）

二、新课导学

X典型例题

例120世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的

尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪

记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级其计

算公式为：M=ig4-igA），其中A是被测地震的最大振幅，4是“标准

地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离

造成的偏差).

(I)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地

震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震

级(精确到0.1);

(2)5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5

级地震最大振幅的多少倍？(精确到1)

小结：读题摘要一寻找数量关系一利用对数计算.

例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大

约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据

些规律，人们获得了生物体碳14含量尸与生物死亡年数t之间的关

系.回答下列问题：

(1)求生物死亡/年后它机体内的碳14的含量P,并用函数的观点

来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

(2)已知一生物体内碳14的残留量为P,试求该生物死亡的年数3

并用函数的观点来解释P和/之间的关系，指出是我们所学过的何种

函数？

(3)长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%,试

推算古墓的年代？

反思：

①尸和/之间的对应关系是一一对应；

②P关于t的指数函数P=(5734y,则t关于P的函数为

派动手试试

练1.计算：

(1)5>叫3；(2)log43.log92-log,</32.

练2.我国的G。尸年平均增长率保持为7.3%,约多少年后我国的GDP

在2007年的基础上翻两番？

三、总结提升

X学习小结

1.应用建模思想（审题一设未知数一建立％与y之间的关系一求解一

验证）;

2,用数学结果解释现象.

X知识拓展

在给定区间内，若函数“X）的图象向上凸出，则函数/*）在该区

间上为凸函数，结合图象易得到〃号•”幺吗9；

在给定区间内，若函数“X）的图象向下凹进，则函数/（X）在该区

间上为凹函数，结合图象易得到/（胃）.

心学习评价

X当堂检测

1.旧小川50）化简得结果是（）.

A.~aB.crC.\a\X）.a

2.若log7[log3（log2x）]=0,则户=（）.

A.3B.2GC.2忘D.3V2

3.已知3"=5"=m,且1+』=2,则加之值为（）.

ab

A.15B.V15C.iV15D.225

4.若3a=2,则log38-21og36用a表示为.

5.已知lg2=0.3010,lgl.0718=0.0301,则

lg2.5=;2'«=•

§2.2.2对数函数及其性质(1)

编写人：李利峰审核人：王晓华

心学习目标

1.通江具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步

理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；

2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对

数函数的单调性与特殊点；

3.通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索

研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质

的方法.

心学习过程

一、课前准备

复习1：指数函数的图像及性质.

a>l0々<1

图

象

(1)定义域：

性

质(2)值域:

(3)过定点：

(4)单调性：

二、新课导学

学习探究

探究任务一：对数函数的概念

新知：一般地，当a>0且时，函数y=log。％叫做对数函数

(logarithmicfunction),自变量是％;函数的定义域是(0,+°°).

反思：

对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：

y=21og2x,y=log5(5x)都不是对数函数，而只能称其为对数型函数;

对数函数对底数的限制(。〉0,且awl).

探究任务二：对数函数的图象和性质

试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.

y=log,x；y=logjx.

反思：

(1)根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质?

a>l0<n<l

图

象

(1)定义域：

性

质(2)值域:

(3)过定点：

(4)单调性:

(2)图象具有怎样的分布规律?

X典型例题

例1求下列函数的定义域：

,1

⑴产1呜厂；⑵广喧(3-%)；

变式：求函数,=4。82(3-％)的定义域.

例2比较大小：

(1)In3.4,In8.5；(2)log032.8,log032.7；

(3)log.5.1,log“5.9.

小结：利用单调性比大小；注意格式规范.

变式：已知下列不等式，比较正数相、〃的大小：

(1)log3m<iog,n；(2)iog0,m>iog„,n；(3)log,,m>iog„n(a>1)

三、总结提升

X学习小结

1.对数函数的概念、图象和性质；

2.求定义域；

3.利用单调性比大小.

派知识拓展

对数函数凹凸性：函数/(x)=bg“x,(0>0,"1),占,％是任意两个正实数.

当心］时，小丁匕(岩)；

当0<〃<1时，(号1).

派当堂检测

1.当a>\时，在同一坐标系中，函数，=。一"与y=log“x的图象是

2.函数y=2+log2*(X，1)的值域为().

A.(2,+oo)B.(—8,2)C.[2,+oo)D.[3,+co)

3.不等式的唾尸＞9解集是().

A.(2,+oo)B.(0,2)C,g，+8)D.(°，｝

4.比大小:

(1)log67log76；(2)log31.5log,0.8.

5.函数y=iogg)(3-%)的定义域是.

6.右图是函数y=iogqX,产电工,

y=iog%%,y=log%%的图象，

则底数之间的关系为.

心课后作业

1.比较下列各题中两个数值的大小.

(1)10g23^niog23.5；(2)logo34和logo20.7；

(3)logo_7L6和log。3。；(4)1(^3和1(^2.

2.求下列函数的定义域：

⑴y=廊而5；(2)\］。二1

§2.2.2对数函数及其性质(2)

编写人：牛红丽审核人：李利峰

心学习目标

1.罅对薮函薮在生产实际中的简单应用；

2.进一步理解对数函数的图象和性质；

3.学习反函数的概念，理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在

同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.

一、课前准备

复习1：对数函数y=108/(。〉0,且。。1)图象和性质.

a>\0<«<1

图

象

(1)定义域：

性

质(2)值域:

(3)过定点：

(4)单调性：

复习2：比较两个对数的大小.

(1)log。与log］。“；(2)log050.7log050.8.

复习3：求函数的定义域.

(2)y=log“(2x+8).

二、新课导学

X学习探究

探究任务：反函数

问题：如何由y=2'求出工?

反思：函数x=log2y由y=2,解出，是把指数函数y=2'中的自变量与

因变量对调位置而得出的.习惯上我们通常用X表示自变量，y表示

函数,即写为y=iog2x.

新知：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个

新函数的自变量，而把这个函数的自变量新的函数的因变量.我们称

这两个函数为反函数(inversefunction)

例如：指数函数＞=2、与对数函数y=log2x互为反函数.

试试：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数〉=2、及其反函数

y=log2》图象，发现什么性质？

反思：

(1)如果4(%,为)在函数y=2'的图象上，那么P。关于直线y=%的

对称点在函数y=log2x的图象上吗？为什么？

(2)由上述过程可以得到结论：互为反函数的两个函数的图象关于

___________对称.

X典型例题

例1溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式

p”=-其中［f］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.

(1)分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的变化关系？

(2)纯净水田+］=10々摩尔/升,计算其酸碱度.

小结：抽象出对数函数模型，然后应用对数函数模型解决问题，这就

是数学应用建模思想.

例2求函数/（%）=log2（x-l）的单调性

变式：函数/（x）=logi（rT）的单调性是

2

小结：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”

派动手试试

己知函数〃幻=优的图象过点（1,3）其反函数的图象过点（2,0）,

求〃力的表达式.

三、总结提升

X学习小结

①函数模型应用思想；②反函数概念.

派知识拓展

函数的概念重在对于某个范围（定义域）内的任意一个自变量工

的值，y都有唯一的值和它对应.对于一个单调函数，反之对应任意

y值，％也都有惟一的值和它对应，从而单调函数才具有反函数.反函

数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域，即互

为反函数的两个函数，定义域与值域是交叉相等.

学习评价

派当堂检测

1.函数y=logo.5%的反函数是().

A.y=-logos%B.y=log2x

C.y=2xD.y=(夕

2.函数y=2,的反函数的单调性是().

A.在R上单调递增

B.在R上单调递减

C.在(0,+8)上单调递增

D.在(0,+8)上单调递减

3.函数y=f。<0)的反函数是().

A.y=±4(x>0)B.y=y/x(x>0)

C.y=-Jx(x>0)D.y=±4x

4.函数y的反函数的图象过点(9,2),则。的值为.

2课后作业(课本75页A组第U题、B组第4题)

对数函数的应用：

现有某种细胞100个，其中有占总数;的细胞每小时分裂一次，即由

1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细

胞总数可以超过10"个？(参考数据：lg3=0.477,1g2=0.301).

§2.2对数函数(练习)

编写人：王晓华审核人：李利峰

1.掌握对数函数的性质；

2.能应用对数函数解决实际中的问题.

一、课前准备

复习1:对数函数y=log/(a>0,且加1)图象和性质.

a>\0<a<l

图

象

(1)定义域：

性

质⑵值域:

(3)过定点：

(4)单调性:

复习2:根据对数函数的图象和性质填空.

①已知函数八噫工，则当x>0时，ye;当x>l时，>-e

当0cx<1时，ye;

当x>4时，ye.

②已知函数y=k»g|X,则当0<x<l时，ye;当x>l时，ye

3

当x>5时，ye;当0cx<2时，ye;当y>2时，

小结：数形结合法求值域、解不等式.

二、新课导学

派典型例题

例1判断下列函数的奇偶性.

(1)/(x)=log^—;

(2)/(x)=ln(Jl+♦-x).

例2证明函数/(X)=噫(x2+1)在(0,+00)上递增.

变式：函数/(X)=噫(/+1)在(-8,0)上是减函数还是增函数?

例3求函数/")=log02(-4x+5)的单调区间.

变式：函数〃》)=1。氏(-奴+5)的单调性是,

小结：复合函数单调性的求法及规律：“同增异减”.

X动手试试

练1.比较大小：

(1)loga乃和logoe(a>0且a*1);

(2)log,y^niog,(a2+a+1)(aeR).

练2.已知loga(3a-1)恒为正数,求a的取值范围.

练3.函数y=log,x在［2,4］上的最大值比最小值大1,求a的值.

练4.求函数y=k)g3(x2+6x+10)的值域.

三、总结提升

X学习小结

1.对数运算法则的运用；

2.对数运算性质的运用；

3.对数型函数的性质研究；

4.复合函数的单调性.

X知识拓展

复合函数＞=/（0（功的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别

求出y=〃"）与“=e（x）两个函数的单调性,再按口诀“同增异减”得出

复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后

结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数.为何

有“同增异减”？我们可以抓住“X的变化一“〜⑴的变化一y=

的变化”这样一条思路进行分析

J学习评价

X当堂检测

1.下列函数与y=x有相同图象的一个函数是（）

A.y—B.y=-—

x

x

C.y=〃唾"'（。＞0且〃wl）D.y=logna

2.函数y=Jlog43x-2）的定义域是（）.

c.[|,i]D,(|,1]

3.若/(lnx)=3x+4,则『(x)的表达式为()

A.31nxB.31nx+4

C.3e*D.3/+4

4.函数f(x)=lg(/+8)的定义域为,值域为.

5.将0.才，log20.5,log051.5由小到大排列的顺序

是

§2.3鬲函数

编写人：马银珠审核人：李利峰

心学习目标

1.通过具麻实例了解塞函数的图象和性质；

2.体会基函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

0学习过程

一、课前准备

复习1：求证y=/在R上为奇函数且为增函数.

复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为1%,

2008年底世界人口数为y(亿)，写出：

(1)1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；

(2)2008年底的世界人口数y与x的函数解析式.

二、新课导学

X学习探究

探究任务一：幕函数的概念

问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？

(1)边长为〃的正方形面积S=/,S是。的函数；

(2)面积为S的正方形边长a=。是s的函数；

(3)边长为〃的立方体体积丫是Q的函数；

(4)某人，S内骑车行进了1加1,则他骑车的平均速度v="hn/s,

这里v是［的函数；

(5)购买每本1元的练习本w本，则需支付P=w元，这里〃是w的

函数.

新知：一般地，形如y=J的函数称为鬲函数，其中X是自变量，a

为常数.

试试：判断下列函数哪些是辱函数.

©>'=-;②>=2》2；③y=dr；④y=l.

X

探究任务二：黑函数的图象与性质

问题：作出下列函数的图象：⑴y=x；(2)y=%；(3)y=f；(4)

y=x-；(5)y=x-从图象分析出哥函数所具有的性质.

观察图象，总结填写下表:

y=xy=x2y=x3y=x-1

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

小结:

募函数的的性质及图象变化规律：

(1)所有的事函数在(0,+00)都有定义，

并且图象都过点(1,1)；

(2)a>0时一，毒函数的图象通过原点，

并且在区间［0,+功上是增函数.特别地,

当a>l时一，幕函数的图象下凸；

当0<a<l时，塞函数的图象上凸；

(3)a<0时，塞函数的图象在区间

(0,+8)上是减函数.在第一象限内，当X从右边趋向原点时一，图象在

y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当X趋于+00时-，图象在X轴上方无

限地逼近X轴正半轴.

X典型例题

例1讨论/(x)=4在［0,+8)的单调性.

例2比较大小：

_2_2

(1)(。+1严与(。＞0)；(2)(2+/尸与2「3；

(3)1.15与0.9\

小结：利用单调性比大小.

三、总结提升

X学习小结

1.幕函数的的性质及图象变化规律；

2.利用事函数的单调性来比较大小.

X知识拓展

幕函数y=/的图象，在第一象限内，直线1=1的右侧，图象由下

至上，指数a由小到大.y轴和直线X=1之间，图象由上至下，指数

a由小到大.

学习评价

派当堂检测

1.若幕函数/（X）=X"在（0,+8）上是增函数，则（）.

A.a>0B.a<0

C.a=0D.不能确定

4

2.函数y=/的图象是（）.

3.若那么下列不等式成立的是（）.

A.a<\<bB