辽宁省沈阳市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

辽宁省沈阳市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题一.选择题（每题3分，共30分）1．（3分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝33．（3分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＞ B．﹣2a＜﹣2b C．a2＞b2 D．a﹣m＞b﹣m4．（3分）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．335．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．6a2b2＝3ab•2ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣26．（3分）不等式6﹣2x≥3x﹣4的正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（3分）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜08．（3分）下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（）A．全等三角形的对应角相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．两直线平行，同位角相等 D．对顶角相等9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（）A．AC的垂直平分线上 B．∠BAC的平分线上 C．BC的中点 D．AB的垂直平分线上10．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°二.填空题（每题3分，共15分）11．（3分）分解因式：y2+2y＝．12．（3分）已知4x2+ax+16是完全平方式，则a的值为．13．（3分）等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为．14．（3分）分式方程+＝1的解为．15．（3分）如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，∠BAO＝60°，点C（﹣4，0），点D（﹣5，3）在线段AB上，将线段CD沿射线AB方向平移，平移过程中的线段记为C1D1，点G是y轴上一个动点，当△C1D1G为等腰直角三角形（G点在C1D1右侧）时，平移的距离为．三.解答题（本题共8小题，共75分）16．（6分）解不等式组：．17．（10分）因式分解：（1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）；（2）﹣a3+2a2b﹣ab2．18．（7分）先化简，再求值÷（a+2﹣），其中a＝﹣2．19．（8分）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC垂足为F，且BD＝CD．（1）求证：BE＝CF；（2）若BD∥AC，AB＝5，DF＝4，则AC＝．20．（10分）某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为y2元．（1）请分别写出y1，y2与x之间关系式；（2）该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？21．（10分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是；线段AB的“近轴点”是．（2）如图2，点A的坐标为，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝45°，若P为线段AB的“近轴点”，当P点横坐标取最大值时，求PO长．22．（12分）某中学为了丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店购买一些足球和篮球，经调查发现，每个篮球的价钱比足球的价钱高出60%，用1760元购买篮球的个数比用850元购买足球的个数多5个．（1）购买一个足球、一个篮球分别需要多少元？（2）该中学根据实际情况，需从该体育用品商店一次性购买两种球共96个，且购买两种球的总费用不超过5720元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？23．（12分）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以以AP为一边在AP右侧做等边三角形APP′，连接CP′，此时可证△ACP′≌△ABP，这样就可以将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题．已知，如图②，点P为等边△ABC外一点，∠APC＝30°，BP＝，AP＝3，求PC长．（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠BAC＝30°，点D是AC上一点，线段BD绕点D顺时针旋转60°，点B的对应点为点E，当△ABE为直角三角形时，求△ABE面积．参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，共30分）1．（3分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：B．2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝3【解答】解：由分式有意义，得x﹣3≠0，解得x≠3，故选：A．3．（3分）若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＞ B．﹣2a＜﹣2b C．a2＞b2 D．a﹣m＞b﹣m【解答】解：A．∵a＞b，∴，故A不符合题意；B．∵a＞b，∴﹣2a＜﹣2b，故B不符合题意；C．a＞b，不妨设a＝1，b＝﹣2，则a2＜b2，故C符合题意；D．∵a＞b，∴a﹣m＞b﹣m，故D不符合题意；故选：C．4．（3分）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．5．（3分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．6a2b2＝3ab•2ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2【解答】解：A．6a2b2＝3ab•2ab，等式的左边不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D．x2﹣x﹣4＝x（x﹣1）﹣2，不是把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．故选：C．6．（3分）不等式6﹣2x≥3x﹣4的正整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：6﹣2x≥3x﹣4，移项，得﹣2x﹣3x≥﹣4﹣6，合并同类项，得﹣5x≥﹣10，系数化为1，得x≤2，所以，该不等式的正整数解为1，2，共计2个．故选：B．7．（3分）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0【解答】解：不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义就是直线y＝kx+b上，位于直线y＝2x上方，x轴下方的那部分点，显然，这些点在点A与点B之间．故选：B．8．（3分）下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是（）A．全等三角形的对应角相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．两直线平行，同位角相等 D．对顶角相等【解答】解：A、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意；B、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，为假命题，不符合题意；C、逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；D、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（）A．AC的垂直平分线上 B．∠BAC的平分线上 C．BC的中点 D．AB的垂直平分线上【解答】解：∵BD+DC＝BC，BD+AD＝BC，∴DC＝DA，∴点D在AC的垂直平分线上，故选：A．10．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：根据题意，∵DE⊥AC，∠CAD＝25°，∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，由旋转的性质可得∠B＝∠ADE，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝65°，∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴旋转角α的度数是50°；故选：B．二.填空题（每题3分，共15分）11．（3分）分解因式：y2+2y＝y（y+2）．【解答】解：y2+2y＝y（y+2）．故答案为：y（y+2）．12．（3分）已知4x2+ax+16是完全平方式，则a的值为±16．【解答】解：∵4x2+ax+16＝（2x）2+ax+42，∴ax＝±2×2×4x＝±16x，解得m＝±16，故答案为：±16．13．（3分）等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为7．【解答】解：如图，连接AD．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×AD＝21，∴AD＝7，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，最小值为7．故答案为：7．14．（3分）分式方程+＝1的解为x＝3．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解，故答案为：x＝3．15．（3分）如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，∠BAO＝60°，点C（﹣4，0），点D（﹣5，3）在线段AB上，将线段CD沿射线AB方向平移，平移过程中的线段记为C1D1，点G是y轴上一个动点，当△C1D1G为等腰直角三角形（G点在C1D1右侧）时，平移的距离为2或4或6．【解答】解：当∠C1D1G＝90°时，过点D1作x轴的垂线，过点C1作C1N⊥MN于点N，过点G作GM⊥MN于点M，过点D作DP⊥MN于点P，由题意得：C1N＝1，D1N＝3，∵△C1D1G为等腰直角三角形，∴∠C1D1G＝90°，C1D1＝GD1，∵∠MGD1+∠MD1G＝90°，∠MD1G+∠ND1C1＝90°，∴∠MGD1＝∠ND1C1，∴△MGD1≌△ND1C1（AAS），∴MG＝D1N＝3，∴D1的横坐标为﹣3，∴DP＝2，∴DD1＝4，∴平移的距离为4；当∠D1C1G＝90°时，同理可得：D1的横坐标为﹣4，∴DD1＝2，∴平移的距离为2；当∠D1GC1＝90°时，同理可得：△MGD1≌△NC1G（AAS），∴MG＝NC1＝a，MD1＝GN＝3﹣a＝a+1，∴a＝1，∴D1的横坐标为﹣2，∴DD1＝6，∴平移的距离为6；综上所述，平移的距离为2或4或6．三.解答题（本题共8小题，共75分）16．（6分）解不等式组：．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣3，解不等式②，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．17．（10分）因式分解：（1）m2（a﹣b）+4n2（b﹣a）；（2）﹣a3+2a2b﹣ab2．【解答】解：（1）原式＝m2（a﹣b）﹣4n2（a﹣b）＝（a﹣b）（m2﹣4n2）＝（a﹣b）（m+2n）（m﹣2n）；（2）原式＝﹣a（a2﹣2ab+b2）＝﹣a（a﹣b）2．18．（7分）先化简，再求值÷（a+2﹣），其中a＝﹣2．【解答】解：原式＝﹣÷＝﹣÷＝﹣•＝﹣＝﹣，当a＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．19．（8分）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC垂足为F，且BD＝CD．（1）求证：BE＝CF；（2）若BD∥AC，AB＝5，DF＝4，则AC＝11．【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC垂足为F，∴DE＝DF，又∵BD＝CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：∵BD∥AC，∴∠EBD＝∠BAC，又∵AD平分∠BAC，∴∠EBD＝2∠EAD，又∵∠BAD+∠BDA＝∠EBD，∴∠BAD＝∠BDA，∴BD＝BA＝5，在Rt△BED中，DE＝DF＝4，BD＝5，∴BE＝，∴CF＝BE＝3，在Rt△AED与Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AF＝AE＝AB+BE＝5+3＝8，∴AC＝AF+CF＝8+3＝11，故答案为：11．20．（10分）某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为y2元．（1）请分别写出y1，y2与x之间关系式；（2）该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？【解答】解：（1）由题意可知：y1＝200×75%×x＝150x，（10≤x≤25），y2＝200×80%（x﹣1）＝160x﹣160，（10≤x≤25），答：y1＝150x（10≤x≤25），y2＝160x﹣160（10≤x≤25）．（2）当150x＝160x﹣160时，解得：x＝16．即人数为16时，两家费用一样．当150x＜160x﹣160时，解得：x＞16．即16＜x≤25时，甲旅行社费用较少．当150x＞160x﹣160时，解得：x＜16．即10≤x＜16时，乙旅行社费用较少．答：当人数为16人时，两家均可选择，当人数10≤x＜16时选择乙旅行社，当人数16＜x≤25时，选择甲旅行社．21．（10分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB＜180°时，称P为线段AB的“近轴点”．（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是P2、P3、P4；线段AB的“近轴点”是P2、P3．（2）如图2，点A的坐标为，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝45°，若P为线段AB的“近轴点”，当P点横坐标取最大值时，求PO长．【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），∴点A、点B的轴点是y轴上的点，∵AB＝4，以AB为边的等边三角形的第三个顶点的纵坐标绝对值为＝2，∴远近轴点的分界点为（0，2）或（0，﹣2），当点P在以AB为边的等边三角形内部时，60°≤∠APB≤180°，点P的纵坐标﹣2≤y≤2，点P为近轴点，当点P在以AB为边的等边三角形外部时，0＜∠APB≤60°，点P的纵坐标y＜﹣2或y＞2，点P为远轴点，∴P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，是轴点的有P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4），∵﹣2＜﹣1＜0，点P3为近轴点，0，点P2为近轴点，2＜4，点P4为远轴点．故答案为：P2、P3、P4；P2、P3．（2）如图，作线段AB的垂直平分线OP，∵点A的坐标为，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝45°，∴点B的坐标为（0，），由轴点定义可知，线段AB的轴点分布在直线y＝x图象上，当点P为线段AB的“近轴点”，且P点横坐标取最大值时，点P在如图所示位置，此时∠APB＝60°，AB＝＝2，△ABP为等边三角形，∴OP＝OD+DP＝1+．22．（12分）某中学为了丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店购买一些足球和篮球，经调查发现，每个篮球的价钱比足球的价钱高出60%，用1760元购买篮球的个数比用850元购买足球的个数多5个．（1）购买一个足球、一个篮球分别需要多少元？（2）该中学根据实际情况，需从该体育用品商店一次性购买两种球共96个，且购买两种球的总费用不超过5720元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？【解答】解：（1）设购买一个足球需要x元，则购买一个篮球需要（1+60%）x元，由题意得：﹣＝5，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴（1+60%）x＝1.6×50＝80，答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；（2）设这所中学可以购买m个篮球，则购买（96﹣m）个足球，依题意得：80m+50（96﹣m）≤5720，解得：m≤30，又∵m为正整数，∴m的最大值为30，答：这所中学最多可以购买30个篮球．23．（12分）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以以AP为一边在AP右侧做等边三角形APP′，连接CP′，此时可证△ACP′≌△ABP，这样就