高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (十二)

必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练(12)

1.如图，在四棱锥P-4BCD中，/P4D是等边三角形，。是AO上一点，平面P/W1平面ABC。,

AB//CD,AB1AD,AB=1,CD=2,BC=3.

(1)若O是AD的中点，求证：08_L平面POC；

(2)设等=九当;I取何值时，三棱锥8-POC的体积为次?

2.如图，在四边形ABC。中，AB=2,PD=DC=BC=1,AB//DC,/.BCD=90°,F为AB

上的点且=若PC_L平面ABC。，£为PC的中点.

(1)求证：EF〃平面PAD；

(2)求四棱锥P-的侧面积.

3.如图，在三棱台力BC-AiBiG中，4cl&B,。是8c的中点，Ar0ABC.

(1)求证：AC1BCt

(2)若&。=1,AC=2A/3,BC=A1B1=2,求二面角/一8C-4的大小.

4.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是正三角形，E是PB的中

点，且4E_L平面PBC.

(1)证明：PO〃平面ACE；

(2)若PC=2,求点尸到底面ABC。的距离.

5.如图，已知三棱柱ABC-A/©的所有棱长均为2,=

8'C

(1)证明：B]C_L平面ABC1；

(2)若平面_L平面4BC,M为4C]的中点，求二面角C-4当一M的余弦值.

6.已知四边形A88的C=〃DC=9。。，DC=/M=*B，ADC^ACPAC.

(1)若PA=PB,求证PA_LBC；

(2)若二面角P-AC-B为求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.

7.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//CD,ABA.AD,△PAB和△P力。是两个边长

为2的正三角形，DC=4,。为8。的中点，E为P4的中点.

(I)求证：P01平面ABCD-,

(II)求面尸AQ与面尸BC所成角的大小.

8.如图，在三棱锥4-BCD中MB=AD=CD=^BC=2,E为BC的中点,BO1CD,且AE=夜.

A

\D

B

C

(1)证明：平面4CD1平面ABD.

(2)求平面ABC与平面ACD所成锐二面角的余弦值.

9.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面ABC。为正方形，侧棱PA，底面ABCD,。为棱PD的中点,

PA=AB.

(I)求证：AQ1CD；

(口)求直线PC与平面AC。所成角的正弦值;

(皿)求二面角C-AQ-。的余弦值.

10.如图，在四棱锥P—4BCO中，AB//CD,R^BAP=Z.CDP=90"..

(1)证明：平面P4B1平面PAD：

(2)若P4=PD=4B=DC,^APD=90°,求二面角4-PB-C的余弦值.

11.已知正方体4BCD-&当前/和平面a,直线4cl〃平面a,直线BD〃平面a.

(1)求证：平面aJ■平面当。。1；

(2)点P为线段4Q上的动点，求直线8P与平面a所成角的最大值.

12.在四棱锥P-4BCD中，P4J"平面ABCC,四边形ABCC为平行四边形，AD=2AB.

(1)在8c上是否存在点M,使DM,平面P4W,若存在，指出M位置并证明；若不存在，说明

理由；

(2)若P4=AB,AABC=60°,求二面角P-BD-4余弦值的大小.

13.在边长为2的菱形ABCO中，ABAD=60。，点E是边AB的中点(如图1),将AAOE沿QE折

起到△4CE的位置，连接4B，4C,得到四棱锥4一BCDE(如图2).

(1)证明：平面&BE_L平面8CDE；

(2)若&E_LBE,连接CE,求直线CE与平面&CD所成角的正弦值.

14.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCO是直角梯形，4B14D,4B〃CD,PC_L底面ABCC,

AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是PB的中点.

(1).求证：平面EAC1平面PBC;

(2).若二面角P-4C一E的余弦值为等,求直线PA与平面E4c所成角的正弦值.

15.矩形ABC。中，AB=2,AD=2W,将△ABD沿80折起,

(1)求三棱锥A-BCD的外接球的表面积；

(2)当三棱锥A-BCD的体积最大时，求异面直线A8与CZ)所成角的余弦值；

(3)从点A在平面BC。上起，旋转至点A落在平面8C。上止，求动点A的运动轨迹的长度.

16.在四棱锥P-/BCD中，底面ABC。是边长为2VI的正方形，平面P4C1底面ABC。，PA=PC=

2V2.

(1)求证:PB=PD；

(2)点M,N分别在棱PA,PC,PM=AM,PN=CN,求平面PC。与平面。MN所成角的正弦

值.

17.如图，四边形ABDP是直角梯形，^SLDB//PA,AB1DB.DB=\PA,CAiTffiABDP,E为

PC的中点,

(1)求证;DE〃平面ABC;

(2)若。B=1,AE=V3,BC=2V3,求锐二面角。—AE—C的余弦值.

18.如图，在五面体ABCQEF中，四边形ABC。是边长为4的正方形，EF〃BC,EF=2,CE=DE,

CE1DE,平面CDEJ■平面ABCD

⑴求证：DE_L平面EFBC；

(2)求二面角4-BF-C的余弦值.

19.如图，正方形ABC。与直角梯形AOE尸所在平面相互垂直，/.ADE=90。，AF//DE,AD=DE=

2AF=2.

E

(1)求证：AC〃平面BEF；

(2)求点D到平面BEF的距离.

20.如图，已知多面体4BCD-Ai/CiDi，4&、B&、CQ、。劣均垂直于平面ABCQ,AD//BC,

AB=BC=CD=AAr=CCX=2,BBX=1,AD=DD1=4.

(1)证明：41cli平面CDDiG；

(2)求直线BC】与平面A/iCi所成角的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)如图，取BC的中点E,连接0E.

因为4B〃CD,。是AQ的中点，所以0E=：G4B+CD),

因为AB=LCD=2,BC=3,所以OE=^BC,

所以。C1OB.

因为团PAD是等边三角形，。是AD中点，所以P01AD.

因为平面H4D1平面ABCD,所以P。，平面ABCD.

又因为OBu平面ABC。，所以P010B,

因为OCnP。=0,0Cu平面POC,POu平面POC,

所以OB_L平面POC.

(2)因为ABIAD,AB=1,CD=2.BC=3,所以AO=2鱼.

因为团PAD是等边三角形，可得等边三角形的高为遥，即四棱锥P-2BCC的高为九=石.

由穿=4及4D=2近可得，。。=窖，。4=品|.

OA1+A1+A

由%-POC=^P-OBC=gS目08c,~XS团08cXV6=V3,解得Sg]08c=

所以SAOBC=S四边形ABCD_So团/iB_SOmCD=3x(1+2)x2V2—IxODx2—^xOAx1=詈,

即打(1+2)*2近-卜鬻、2-如言*1=咨解得4=1.

所以当卷=1时，三棱锥B-POC的体积为

解析：本题考查了线面垂直的判定定理以及棱锥体积求解，属于中档题.

(1)取8c的中点E,连接0E.通过证明0C1OB,P010B,即可证OB1平面POC；

(2)由筹=4及=2VI可得，0。=名，。4=史|.

OA1+A1+A

由%-POC=^P-OBC=gS[30BC,八=,XSmoBCXV6=V3,解得S®0BC=~2',从而求解.

2.答案：(1)证明：设CO中点为“，连接E”、FH,

•••E为PC的中点，

•••EH//PD,

又“PDu平面PAD,EH,平面PAD,

£7/〃平面PAD,

又：CD=1,AB//DC,AF=

DH1LAF=

2

•••四边形AFHD为平行四边形，

FH//AD,

又4。u平面PAD,FH<t平面PAD,

.1FH〃平面PAD,

又•：EHCFH=H,£77<=平面£777,FHu平面EFH,

・•・平面PAD〃平面EFH,

又•••EFu平面EFH,

：.EF〃平面PA。；

(2)解：・・・4BCD=90。，

ACD1BC,

又PD_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

・•・PD1BC,

又・・・PDnC7)=D,PDPDC,CDu平面POC,

/.BC1^11PDCfPCc^jllPDC,

・•・BC1PC,

nPDC、△PZX4、APCB为直角三角形，

•••AB=2,PD=DC=BC=19AB//DC,4BCD=90°,

・・・PC=VLAD=V2,PA=晅,PB=V5,

**•^APBC=^APDC=2fS"DA=^APAB=

•*,SAPBC+SAPDC+SAPDA+^APAB=~~~，

.•・四棱锥P-ABCD的侧面积为包.

2

解析：本题考查面面平行的判定和性质，线面平行的判定，棱锥的侧面积计算，考查空间思维能力

与计算求解能力，属于中档题.

(1)利用线面平行的判定定理先得出EH〃平面PAD,再得出FH〃平面PAO,得出面24。〃面EFH,

进而得出线面平行；

(2)由线面垂直的性质得出BC1PC,再借助三角形面积求出四棱锥的侧面积.

3.答案：解：(1)•••41。1平面ABC,ACu平面48C,二4。14C,

又因为4C14/,AiBC\AO=A,u平面48。，&。u平面4B。，

所以4C1平面&B0.

又因为BCu平面4$。，所以ACLBC.

(2)以。为坐标原点，与CA平行的直线为x轴，08所在直线为y轴，。4所在直线为z轴，建立如

所示的空间直角坐标系。-xyz,

则0(0,0,0),7I(273,-1,0),B(0,l,0),4(0,0,1).

所以布=(0,1，0),AB=(-273,2,0),西=(0,0,1),于是4B=4.

由ABC-&B1C1是三棱台，所以〃4

又因为aBi=2,所以晒=[荏=(一百』，0).

所以西=西+=(-73,1,1))

设平面BBiGC的法向量方=(x,y,z),

由8,西。寿°=°

[n•0B1=0'(-V3%+y+z=O'

取％=1,则y=0,z=V3,即记=(1,0,百)

因为。&_L平面ABC,所以平面ABC的法向量为西=(0,0,1).

/-ndAi1X0+0X04-V3X1V3

所以eg，。号=而丽=及…改行厘二三

因为二面角晶-BC-A为钝二面角，所以二面角&-BC-4的大小是萼.

O

解析：本题考查线面垂直的性质和判定以及利用空间向量求面面的夹角

(1)先由线面垂直的判定定理证明AC1平面&B。，再由线面垂直的性质即可求解；

(2)以。为坐标原点，与CA平行的直线为x轴，。8所在直线为y轴，。公所在直线为z轴，建立如

所示的空间直角坐标系。-xyz,利用向量法进行求解即可.

4.答案：(I)证明：连接B。，交AC于点F,连EF

P

•.・底面A8CD是平行四边形,

・•.F是B。的中点.•.EF//PD,

•：PD，平面ACEEFu平面ACE,

：.PD〃平面ACE；

（口）解：VAEPBC,BP,CEu平面P8C,：.AE1CE,AE1PB,

■■ABLAP,为正三角形，PC=2,E为BP中点,

.•.△4BP为等腰直角三角形，AB=AP=&,AE=lBP=l,

CE=V3>AC=y/AE2+CE2=2△ABC是底面边长为夜，

腰长为2的等腰三角形二A4BC的面积为S=ixV2x〃==旦,

2yj22

设点P到底面ABC。的距离为4,

由力筋c=匕屈c得：?S4BC•d=/SPBC-4E解得d=笔=竽，

/ioC«OOy//

•••点P到底面ABCD的距离为返

7

解析：本题考查线面平行判断定理及空间中点到平面的距离，属基础题目.

（I）利用线面平行判断定理即可证明；

（n）等体积法求点到平面的距离即可.

5.答案：证明：（1）如图取A8中点。，连接B1D,CD.

因为四边形BCGBi为菱形，所以&C1BC1

又因为三棱柱的所有棱长均为2,4B$A=p

所以I34BC和AABBi是等边三角形，所以CD1AB

因为CDu平面当CD,B^QCD=D,

所以481平面/CD

所以B1C1AB,rfuBQn/is=B,

所以81C_L平面4BG

(2)因为平面ABB1&，平面ABC,且交线为AB,由(I)知&。1AB

所以&D1平面ABC,则DB,DBi，DC两两垂直，则以。为原点，。B为x轴，OC为)，轴，为z

轴，建立空间直角坐标系.

则。(0,0,0),4(-1,0,0),(0,0,V3),C(0,V3,0).

CK-1,V3,V3),&(-2,0,V3)

因为M为4C1的中点，所以M(一|,g,b)

所以北=(1,国,0),ABX=(1,0,V3),心=(后,手，板),

设平面的法向量为元=(%,y,z),

ABr-=x+V3z—0

取z=1,得心—(—V3,—3,1)

AM-nx=-+~~y+6z=0

同理设平面48传的法向量为R=(x2,y2,z2)1

则(A自B-吊n7="x+V舟3z=0。’取z="l/，日得几—2=(一广丹1，1)

z4

所以COS＜扇苒＞=||=（一四-3,1）•（一

V13xV565

所以所求二面角CTBLM的余弦值为普

解析：本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理及向量求二面角，属于中档题.

(1)取AB中点。，连接aD,CD,BG，则由已知可得，B1D14B,CDLAB,从而可得4B1平面

BQ,AB1BXC,所以有BiC_L平面4BG.

(2)由于。B,DB],OC两两垂直，所以以。为原点，为x轴，QC为)，轴，DB1为z轴，建立空

间直角坐标系，然后利用空间向量法求解..

6.答案：（1）证明：设48=2,则DC==V^即PA=PB=PC=&，

PA2+PB2=AB2,

PA1PB,

又•.•P4_LPC,PBr）PC=P,PB,PCu平面P8C,

P.A_L平面P3C,

VBCu平面PBC,

PA1BC;

（2）取AC中点O,3c中点E,连接OP,OE,则。P，AC,OE1AC,

­.-OPC平面P".OEC平面ABC.OPCOE=O,

AC±平面POE,

ZPOE:,

•・・，4CU平面ABC,

平面_L平面POE,

过P作PH10E,PHu平面POE,，平面4BCC平面POE=OE,

•••PH1平面ABC,

••・OP=1,；.OH=P”/

以O为坐标原点，成，市分别为x,y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系0-xyz,

则。(0,0,0),P(0,y,y).^(1,0,0),C(-l,0,0),B(1,2,0),

AP=AB=(0,2,0)，方=(2,2,0),

设五=(x,y,z)为平面PA8法向量，

件亚=0即卜x+苧y+孝z=0,

(元-AB=02y=0

可取元=(1,0,夜)，

设BC与平面PAB所成角为仇

・•.sine=|cos(W,五)|=W^=?,

所以直线8c与平面PAB所成角的正弦值为它.

6

解析：本题主要考查了利用直线与平面垂直的判定与性质证明线线垂直，空间向量法求解线面角正

弦值，属于中档题.

(1)利用线面垂直的判定及性质即可证得结论；

(2)先取4c的中点O,BC的中点E,连接OP,OE,过P作PHLOE,利用证明线面垂直建立合适

的空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦值；

7.答案：证明：(1)设户为。(7的中点，连接BF,则=

"ABVAD,AB=AD,AB//DC,

四边形A8FD为正方形，

v。为8。的中点，

0为AF,80的交点，

•・・PD=PB=2,・•・PO工BD,

BD=>/AD2+AB2=2V2,•••PO=7PB2-BO?=扬AO*BD=g

222

在三角形PAO中，PO+AO=PA=4,APOLAO,

■■■AOQBD=0,1•.POJ"平面ABCD.

解：（II）由（I）知P。JL平面ABC。，又ZBLAD,

.・・过。分别做A。，AB的平行线，以它们做x,y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

由已知得：4(一1,一1,0),B(-l,1,0),D(l,-l,0)F(l,l,0),C(l,3,0),P(0,0,迎),

PA=(-1,-1,-V2)-PB=(-l,h-V2),PC=(1,3)-V2).PD=(1,-1,-V2).

设平面PAD的法向量为元=(x,y,z),

贝——,l，取2=低，得n=(0,—2,四)，

\n-PD=x-y—V2z=0

设平面PBC的法向量为沅=(x,y,z),

则(——.厂>取y=1,得?n=(-1/，V2),

(fn•PC=x+3y-V2z=0

设面PAO与面PBC所成角为。，

则cos。=罂三=0,

•••面PAO与面PBC所成角的大小为摄

解析：（I）由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明P。18。，由勾股定理

求得P。1AO,从而证得P。_L平面ABCD.

（口）过。分别做AO,A8的平行线，以它们做x,y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，求出平面抬。的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式即可求面抬。与面P8C所

成角的大小.

本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

8.答案：(1)证明：取8。的中点为。，连接OA,0E.

因为BD1CD,BC=4,CD=2,所以BD=2遮，OB=V3.

又AB=A0=2,所以BOJ.40,且4。=1.在AAOE中，EO=：CD=1,AE迎,

^VXAO2+OE2=AE2,即0E14。，

从而CD_LAO.

又CD工BD,BDdAO=0,所以CDJ■平面4BD

因为CDu平面ACD,

所以平面ACD平面ABD.

(2)解：由(1)知OB,OE,。4两两垂直，如图，

分别以丽，OF.函的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系。-xyz,

则B(V5,0,0)，C(-V3,2,o)»D(-73,0,0).4(0,0,1)，

AC=(-V3,2,-l)(~BC=(-273,2,0).

设记=(x,y,z)是平面ABC的法向量，

可得「y+2丫1=0,令“I.Wm=(l,V3,V3).

[-2V3x+2y=0,

设元=(xi，yi，zi)是平面AC£)的法向量，因为尻=(0,2,0)，AC=(-V3,2,-l).

则产片一°；n令/=1，得元=(1，。，一行).

(-V3%!+2%-Zi=0,

设平面4BC与平面ACQ所成的锐二面角为0,

则cos。=|cos(m,n)|=

即平面ABC与平面AS所成锐二面角的余弦值为今

解析：本题考查面面垂直的判定和利用空间向量求面面的夹角

(1)取3。的中点为0,连接04,0E.推导出CD_L4。，CDLBD,可得出CD1平面A8O,进而可证

平面4CDJ_平面ABD.

(2)由(1)知08,0E,两两垂直，如图，分别以砺，0E，成的方向为x,y,z轴正方向建立空

间直角坐标系O-xyz,求出平面AC。和平面ABC的法向量，利用向量法进行求解即可.

9.答案:(共14分)

证明：(I)因为P4_L底面ABCD,CDu底面ABCD,

所以PA1CD,

正方形ABC。中，AD1CD,

又因为24=4,所以COJ■平面PA。，

因为4Qu平面PAD,所以AQ1CD.......................(4分)

解：(II)正方形A8C£>中,ABLAD,侧棱P4IjftffiiABCD.

如图建立空间直角坐标系。一xyz,不妨设4B=2.

依题意，则4(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),Q(0,l,1),

所以说=(一2,-2,2),AC=(2,2,0),而=(0,1,1).

设平面ACQ的法向量记=(x,y,z),

..(n-AC=2x+2y=0人_

则《一一>，令x=l,得Z0n=(l,-l,l),

(n-AQ=y+z=0

所以cos(元，而>=磊/

所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为3.............(11分)

(HI)由(I)知。。平面PAD,所以配=(2,0.0)为平面PAD的法向量,

因为cos(元，反>=1溶=手，且二面角C-AQ-。为锐角，

\n\\DC\3

所以二面角C—AQ—D的余弦值为冬.....(14分)

解析：(I)推导出P4，CD,AD1CD,从而CDJ■平面PA。，由此能证明AQ_LCD.

(II)由481AD,侧棱P41底面ABC。，建立空间直角坐标系。一xyz,不妨设4B=2.利用向量法能

求出直线PC与平面ACQ所成角的正弦值.

(HI)求出平面PAD的法向量，利用向量法能求出二面角C-AQ-。的余弦值.

本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

10.答案：解：(1)证明：•••Z.BAP=^CDP=90°,

•••PA1AB,PD1CD,

-AB//CD,：.AB1.PD,

又•；PACPD=P,且P4u平面PA。，PCu平面PA。，

AB_L平面PAD,又ABu平面PAB,

平面PABJ■平面PAD；

(2)解：•:AB“CD,AB=CD,

••・四边形ABCD为平行四边形，

由(1)知4B_L平面PAD,

•••ABLAD,则四边形ABC。为矩形，

在AAPD中，由P4=PD,^APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角形，

设PA=AB=2a,则4。=2&a.

取A£＞中点O,8c中点E,连接尸0、OE,

以O为坐标原点，分别以04OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则：。(一夜a,0,0),fi(V2a,2a,0),P(0,0,V2a),C(-V2a,2a,0).PD=(-V2a,0,-V2a),PB=

(V2a,2a,-42a),BC=(-2V2a,0,0).

设平面尸8c的一个法向量为元=(x,y,z),

illfn-PB=0得+2ay—V5az=0

l五.BC=0\—2y[2ax=0

取。=1，得为=(0,1,/).

•••AB_L平面PAD,ADu平面PAD,

•••AB1AD,

又PD1PA,PAOAB=A,且PA,APu平面P4B,

PD_1_平面PAB,则而为平面PAB的一个法向量，PD=(-V2a,0,-V2a).

j、PDn—2aV3

：•COSVPD,?!>=—.=---7==------.

\PD\\n\2axV33

由图可知，二面角4一PB-C为钝角，

••・二面角4-PB-C的余弦值为一理.

3

解析：本题考查平面与平面垂直的判定及面面垂直的判定，同时考查利用空间向量求二面角的平面

角.

(1)由已知可得2414B,PD1CD,再由4B〃CD,得AB1PD,利用线面垂直的判定可得4B_1_平

面PAD,进一步得到平面P48!_平面PAD；

(2)由已知可得四边形ABC。为平行四边形，由⑴知4B1平面尸AO,得到AB14D,则四边形A8CO

为矩形，设P4=/lB=2a,贝lh4D=2&a.取AD中点O,8C中点E,连接PO、OE,以。为坐标

原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PDl¥ffiPAB,得而为平面PAB

的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角4-PB-C的余弦值.

11.答案：，(1)证明：连接&G，则8山11人6，因为44i1平面AiBiQDi，

B[D]u平面41B1GD1,所以441_LB】Di；

又因为44iCl&G=4,所以Bi。1J■平面44iG；

因为4Qu平面4&C1，所以B[Di_L4Ci；

同理BiOlCi；因为81。1。8传=31，所以4QJ■平面&CDi；

因为4cl〃平面a,过直线4cl作平面£与平面a相交于直线I,则

所以11平面/CD1；又1u平面a,

所以平面a_L平面B1CD1；

(2)设正方体的棱长为1,以A为坐标原点，AB,AD,4公分别为x,

y,z轴正方向建立空间直角坐标系，贝妹(0,0,0),

8(1,0,0),£)(0,1,0),Cj(1,1,1),

所以猬=(1,1，1)，BD=(-1,1,0).

设平面a的法向量为五=(x,y,z),

则仍，ACi=0,p[x+y+

B取x=1,则元=(1,1,—2)；

ln-BD=0Ir+y

设方=tAC^(0<t<1).则弄=(tj,t)，因为丽=(-1,0,0),

所以郁=前+而=t)：

设直线8P与平面a所成的角为氏

.A|n-BP|_1]

则sin，=而市百=而百芦三许I同3"-y+祟

所以当t=9时，s讥9取到最大值为土

此时。的最大值为2

O

解析：本题考查线面垂直及空间向量法求线面角，属中档题目.

(1)结合已知证明当。1，平面441cl，进而证明AC11平面BiCDi，过直线4cl作平面?与平面a相交于直

线/,贝14c/〃；所以II平面4CD1即可证明平面a_L平面8道5；

.八\n-BP\11

(2)建立空间直角坐标系，表示MJ=丽丽=历/3左21+1=司3(一/进一步求最值即可.

12.答案：解：(1)存在点M,其中点M为8c的中点.

取AD的中点N,连接MN,如图所示：

由于四边形A8CZ)为平行四边形，

因此MN=4B,再结合4D=248得，AN=MN=DN,

所以4M1DM,

因为24JL平面ABCD,DMu平面ABCD,

所以PA1DM,

而AMflPA=4AM,PAu平面PAM,

则DM_L平面PAM.

(2)以A为原点，A。为y轴，4P为z轴，平面ABC。内过点A且和A£＞垂直的直线为x轴，建立空

间直角坐标系Axyz,

如图所示：

不妨设PA=1,依题意，4(0,0,0),P(0,0,1),D(0,2,0),

设平面的一个法向量为沆=(x,y,z),

而而=(^,-p-l),PD=(0,2,-1),

则以号x-1-z=0,取“5,得沆=(5,遮,2⑸，

m-PD=2y—z=0

平面BDA的一个法向量为五=(0,0,1),

、沆员

则milcos<7m―*,n—>==—27V=3=—V30，

|m||n|2V1010

由图知，二面角P-BC—4为锐角，

故二面角P-BD-4的余弦值为瘦.

10

解析：本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.

(1)存在点M,其中点M为8c的中点.取的中点N,连接MN,由AM1OM,PAA.DM,即可求

解；

(2)建立空间直角坐标系g，z,如图所示，利用空间向量求二面角的余弦值.

13.答案：(1)证明：连接8D

•；ABCD为菱形,：.AB=AD.

又••・NB4D=60。，二44B0为正三角形.

•••E为A8中点，ADE1AB,

DE±BE,DE1ArE,BEDArE=E,BE,&Eu平面A/E

DE1平面&BE,又•••OEu平面BCQE,

.♦・平面4BE，平面BCDE.

⑵•••4EJ.BE,二EB,ED,E2两两垂直，

以E为坐标原点，分别以EB,ED,E&分别为x,y,z轴建立直角坐标系E—xyz.

••,菱形的边长为2,.•.£)£•=6，.・.£>((),竟,0)

•••AE=1,•••&(0,0,1),CD=2,.-^(2,73,0)

设平面4CD的法向量为五=(x,y,z)

)CD-n=0,(-2x=0

|^D-n=0"lV3y-z=0

不妨设y=l，则z=8，x=0,元=(0,1,遮)，CE=(-2,-V3,0)

设CE与平面&CD所成角为a,

则sina=|cos<CE，元>1=鬻=必=察・

解析：本题考查了面面垂直的判定，线面角求解，属于中档题.

(1)由题意可证OE1BE,DE1ArE,即可证明DE_L平面&BE,根据面面垂直判定定理可证明平面

ArBE，平面BCDE；

(2)易得EB,ED,E4两两垂直，以E为坐标原点，分别以EB,ED,E4分别为x,y,z轴建立直

角坐标系E-xyz.,利用向量法求解线面成角即可.

14.答案：(1)证明：•••PCI5]20ABCD,力Cu平面ABC。，••.AC1PC,

•••四边形A8CO是直角梯形，ABVAD,AB//CD,AB=4,AD=CD=2,AC=BC=2近,

AC2+BC2=AB2,•••ACIBC.

又BCCPC=C,BCPTU平面PBC,

•••AC，平面PBC.

ACu平面EAC,

平面EACJ■平面PBC.

(2)解:如图:

以点C为原点，~DA，~CD,而分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0),A(2,2,0),B(2-2,0),P(0,0,2a)(a>0),

则E(l,-l,a),CA=(2,2,0),CP=(0,0,2a),CF=(l,-l,a).

取沆=(1,-1,0),则记.琳=记.丽=0，则记为平面PAC的一个法向量.

设五=(x,y,z)为平面EAC的法向量，则记.方=元.*=0，

即*=0，取X=。，y~~a,z=-2,则元=(a,-a,-2)是平面EAC的一个法向量,

由题意知，|cos<m,n>|=解得a=2,

于是丘=(2,-2,—2),PA=(2,2,—4).

设直线PA与平面EAC所成角为氏

则sin。=|cos<PA,n>|=^=y,

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为它.

3

解析：【试题解析】

本题考查了线面垂直的性质，线面垂直的判定，面面垂直的判定和利用空间向量求线面和面面的夹

角.

(1)利用线面垂直的性质得AC1PC,再利用线面垂直的判定得4c1平面PBC,最后利用面面垂直的

判定得结论；

(2)如图，以点C为原点，DA，CD，而分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，利用

空间向量求面面的夹角得a=2,再利用空间向量求线面的夹角计算得结论.

15.答案：解：(1)设矩形ABCQ对角线交点为0,

v0A=OB=0C=0D,：.。为三棱锥A-BCD的外接球的球心.

•・•外接球半径22+(2>/3)2

=2'

.•.外接球的表面积S=4nR2=167r.

(2)当三棱锥4-BCD的体积最大时，平面4B01平面BCD.

设A点在上的射影为“，则8。为面AB。与面BCD的交线，贝lj4HL平面BCD

在平面BCD内过点8作BE〃CD且BE=CD,连接AE,EH.

中，BE=2,BH=1,AEBH=120°,

所以，由余弦定理得EH=Jl2+22-2x1x2X(-i)=V7.

在直角三角形AHE中，AH=痘,EH=小,则AE=

三角形A8E中，AB=2,BE=2,AE=VT0.

由余弦定理得，cos^ABE=4+4-101

2x2x24

由于乙4BE就是异面直线A8与CD所成角或其补角，则异面直线AB与8所成角的余弦值为;.

4

(3)动点A的运动轨迹为以“为圆心，A”为半径的半圆，AH=y[3.

所以，轨迹长度/一《入

A

解析：本题考查球的特征和表面积公式，异面直线所成角，曲线的轨迹，属于难题.

(1)利用矩形的特征，确定球心为矩形对角线交点，求出球的表面积；

(2)根据三棱锥体积最大，可知平面48。_L平面BCQ,设A点在上的射影为H,贝BD

为两平面交线。则平面BCD,在平面BCD内过点3作BE〃CD且BE=CD,连接AE、EH,则

可确定异面直线AB与CO所成角，计算可得.

(3)根据点4绕8。旋转可知，点A的轨迹是半圆，半径为点A到BD的距离，可求得半圆的周长.

16.答案：(1)证明：连接8£>,交AC于O,连接P0.

因为底面ABCD是边长为2vHE方形，

所以。4=0C=0B=0D=2.

因为P4=PC,0A=0C,所以P0JL4C.

因为平面P4CJ■底面ABCD,平面P4Cn底面4BC0=AC,POu平面PAC,

所以P。_L底面A8C£>,

而BDu底面ABCD,因止匕P。1BD.

又因为OB=OD,所以PB=PD.

(2)解：由(1)知：PO1.AC,PO1BD,AC1BD,

因此以。为坐标原点，射线OB,OC,OP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，

建立空间直角坐标系如下图所示：

(设平面DMN与直线PB交于G)

由(1)可知0P=2,可得P(0,0,2),4(0,-2,0),P(2,0,0)((0,2,0),。(-2,0,0),

M(0,-1,1),/V(0,1,1),DM=(2,-1,1),MW=(0,2,0)，CD=(-2,-2,0)，PD=(-2,0,—2)设平面DMN

的法向量元=(x,y,z),11•DM-n=0,MN-n=0

今x=l,可得五=(1,0,-2),

PB=(2,0,-2).设平面PCD的法向量记=(a,b,c),m-CD=0,m-PD=0

{m,令。=1可得记—)，

/一一、inn3V15./一一、V1O

3(小用=丽=标=廿sm(m,n)=—.

解析：本题考查了线面垂直的性质，面面垂直的性质，直线与平面所成角和利用空间向量求线面的

夹角，属于中档题.

(1)连接BD,交AC于。，连接PO,利用平面几何知识得P。1AC,再利用面面垂直的性质得P。_L底

面ABCC,再利用线面垂直的性质得PO_LBD,再利用平面几何知识得结论；

(2)由(1)知，08,OC,OP两两垂直，以。为坐标原点，射线08,OC,OP的方向分别为x轴，y

轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系设平面的法向量祐=(x,y,z),平面PCD的法向量而=

(a,b,c),解答即可.

17.答案：(1)证明：取AC的中点为F,分别连接EF,BF,

又因为E为PC的中点，所以E/7/PA,EF^\PA,

又因为PA//DB,DB=^PA^VXEF//DB,EF=DB,

所以四边形EFBO是平行四边形,

所以DE〃BF,

又DE<t平面力BC,BFu平面ABC,所以DE〃平面ABC.

(2)解：由(1)可知，P44B,4c三条直线两两相互垂直.

以AB,4C,4P分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，连接D4,

因为4E=y/3,EF=1,AF=鱼,二AC=2y/2

所以BC=2百•••AB=2,

所以点4(0,0,0),8(2,0,0),。(0,2夜,0),P(0,0,2),E(0,V2,1),。(2,0,1),

.-：AB=(2,0,0)是面AEC的一个法向量，

•••AE=(0,VI1)AD=(2,0,1),

设平面ADE的一个法向量沆=(x,y,z),

则pn-AE=y[2y+z=0

Im-AD=2x+z=0

令y=VX得沅=(1,迎,-2)

设所成的锐二面角为仇

所以cos。=|cos<m,AB>\=|高赢|=y

故所求锐二面角。-AE-C的余弦值为它.

7

解析：本题考查线面平行的判定和二面角的求解，属于中档题.

(1)由题意结合题意和平行四边形的知识，结合线面平行的判定定理可得答案；

(2)建立空间直角坐标系，由向量法求解.

18.答案：(1)证明：因为平面CDEJ_平面ABCD,平面CDEn平面ABC。=CD,且BC1CD,

所以BC_L平面CDE,

又因为。Eu平面CDE,

所以BC1DE,

因为CE1DE,BCCCE=C,BCu平面EFBC,CEu平面EF8C,

所以DE1平面“BC;

(2)如图，取8、AB中点0、P,连结EO,0P.

因为平面CDE,平面ABCQ,△CDE为等腰直角三角形，

所以E0_L平面ABCD.

易知。尸，OC,0E三条直线两两垂直，

分别以OP,OC,0E为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则4(4,一2,0),8(4,2,0),C(0,2,0),0(0,-2,0),

F(0,0,2),尸(2,0,2),AB=(0,4,0),而=(2,2,-2),

设平面ABF的法向量为记={x,y,z),

哪嚼二小所以修;2.2Z=0,令…得五=(1。1).

由(1)知DE_L平面EFBC,所以平面BFC的法向量为屁=(0,2,2).

■一一”’21

cos伍，阳=反亚=5，

由图可知二面角4-BF-C为钝角，所以二面角A-BF-C的余弦值为一

解析：本题考查线面垂直的判定及性质，考查利用空间向量求面

面的夹角，考查空间思维能力，分析与计算能力，属于中档题.

(1)由题得BCJL平面COE,又DEu平面COE,所以BC_LDE,再/，\

根据线面垂直的判定定理证得DE1平面EFBC;1/---------------丁”

(2)取C£＞、AB中点。、P,连结E。，0P.由题得OP,OC,0E

三条直线两两垂直，建立空间思维能力，利用空间向量求得二面角A-BF-C的余弦值即可.

19.答案：解：(1)设4CnB0=。，取BE中点M,连接MO、MF,

•••四边形ABCD是正方形，

是8。的中点，又M是BE的中点，；.OM〃DE,OM=\DE,

•.•四边形ADE尸是直角梯形，AF//DE,AF=\DE,：.OM/±AF,

四边形AFMO是平行四边形，：.AO//FM,

又FMu平面BEF,A0仁平面BEF,

4。〃平面BEF,即4C〃平面BEF-

(2)•••BC//AD,BC,平面ADEF,ADu平面ADEF,BC//平面ADEF,

■■ABA.AD,平面ABC。1平面ADEF,

ABABCD,平面48coe平面4DEF=4。,

AB