人教版高中数学必修二第八章第3节《简单几何体的表面积与体积》解答题训练 (24)(有解析)

第八章第3节《简单几何体的表面积与体积》解答题训练(24)

一、解答题(本大题共20小题，共240.0分)

1.如图，在直三棱柱ABC-4'B'C‘中，底面是边长为3的等边三角形，44'=4,M为AA'的中点，

P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC'到M的最短路线长为旧，设这条最短路线与CC'

的交点为N,求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;

(2)PC与NC的长；

(3)三棱锥C-MNP的体积.

2.已知正四面体A3C£>,M、N分别在棱AZXAB上，且AM=\MD,

AN=^AB,P为棱4c上任意一点(P不与A重合).

(I)求证：直线MN〃平面BOP；

(口)若正四面体ABCD的各棱长均为60cm.求三棱锥M-BCC的体积.

3.如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2,且在这个圆锥中有一个高为x的内接圆柱.求:

(1)求出此圆锥的侧面积;

(2)用x表示此圆柱的侧面积表达式;

(3)当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积.

4.已知四棱锥的底面是长为4宽为3的矩形，顶点的射影在底面的中心，高为4。

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的侧面积S.

5.如图是矩形A8CC和以边A8为直径的半圆组成的平面图形，AB=2AD=2a(a为常数).将此图

形沿AB折叠，使平面ABCC垂直于半圆所在的平面•若点E是折后图形中半圆0上异于A,B

的点.

(1)证明：EA1EC,

(2)若异面直线AE和DC所成的角为会求三棱锥D-4CE的体积.

6.如图，圆锥夕。的底面直径和高均是“，过尸。的中点。'作平行于底面的截面，以该截面为底面

挖去一个圆柱,

(1)求圆柱的表面积；

(2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.

7.如图所示，在四棱锥P-4BCD中，底面A8CD是边长等于2的正方形,且平面PDC,平面A2CD,

PD=PC,若四棱锥P-ABC。的高等于1.

(1)求证：平面4PD_L平面BPC；

(2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积.

8.如图，在直角梯形AEFB中，AE1EF,AE//BF,且BF=EF=24E=4,直角梯形。止尸口可

以通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转得到.

(1)求证：平面GDiEF_L平面BCJ；

(2)若二面角G—EF-8的大小为会求三棱锥力-EFDi的体积.

9.在四棱锥P-ABC。中，PO_L平面A2C£>,PD=3,PN=2ND.四

边形ABCD为直角梯形,4D〃BC,BC=2AD=2DC=4,Z.ADC=

90°.

(1)求证：PB〃平面CAN；

(2)求三棱锥N-PBC的体积.

10.边长为2的正方体力BCD-&B1C1D1中，M、N、Q、P分别是A8、BC、

CCi、GA的中点.

(1)证明：M、N、Q、P四点共面；

(2)作出平面MNQP截正方体表面的截面(不需要证明)，并求截面面积；

(3)求由点M、P、B、当、a、C所围成的多面体的体积.

11.如图，在平行四边形ABC。中，AB=1,BC=2,^CBA=pA8EF为直角梯形，BE//AF,

Z-BAFBE=2,AF=3,平面4BCD1平面ABEF.

(1)求证：4cl平面ABEF.

(2)求多面体ABCDE与多面体ADEF的体积的比值.

12.一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个__2一、

圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是//":'、、''

这个球的表面积的白，设球的半径为R,圆锥底面半径为兀；/Ok'、'*

16；/船'、

七一亦安2

(1)试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.&一一右

A

(2)求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.

13.如图，在三棱锥。-ABC中，侧面回力BD是边长为6的等边三角形，底面团4BC是角C为120°

的等腰三角形，CD=同.

〃

（团）求证：平面48。1平面ABC；

（回）若"在CQ上，且=求三棱锥4一BDM的体积.

14.如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2,

深为4的圆柱形孔，求打孔后的几何体的表面积和体积.

15.已知RMABC按照斜二测画法画出的直观图AB'C'如图所示，其中，B'C'=4,八'万9.

①画出RM4BC的原图并求其面积；

（II）若以RM4BC的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积.

16.2022年北京冬奥会标志性场馆一一国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿

着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰

电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈

现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的

速度和激情.这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、

面积、体积等.对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如f

九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计

算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式.直到200年以后数学家祖冲之、祖晒父子在1r

缀术》提出祖晒原理：“幕势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公

式.原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何

体的体积相等.

（I）利用祖晅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M,几何体

M的底面半径和高都为凡其底面和半球体的底面同在平面a内.设与平面a平行且距离为d的

平面口截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形

并给出证明；

（口）现将椭圆盘+《=l（a>b>0）所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同

的椭球4,8（如图），类比（I）中的方法，探究椭球A的体积公式，并写出椭球A,8的体积之

比.

17.如图，四棱锥P-力BCD中，侧面PAB是等腰直角三角形,PA=PB,BC1

B

平面PAB,AB=BC=2,AD=BD=层.

->B

----------c

(1)求证：P41平面PBC；

(2)求顶点C到平面PA。的距离.

18.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为景的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x

的圆柱.

(1)求圆锥的体积；

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

19.如图，在棱长为"的正方体ZBCD-4$iGDi中，截去三棱锥4-71BD,求剩余的几何体

4再修1。1一DBC的表面积和体积.

20.如图，已知正三棱锥S-4BC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高

SO=3,求此正三棱锥的表面积.

【答案与解析】

1.答案:解:(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形,故对角线长为"T尹=V97.

(2)将该三棱柱的侧面沿棱展开，如图,

设PC=x,则“川=M/+（ac+x）2.

vMP~V29,MA—2,AC—3,x=2,即PC=2.

又NC〃AM,故而=京，=V-

・・.NC=/4

⑶SAPCN=/1CPxCN，1x24Xg=g4.

在三棱锥M—PCN中，M到面PCN的距离，

即九=在x3=迪.

22

__1

AVc—MNP=^M—CNP=§，九，S&CNP

_13\[34_273

——X----X-=------•

3255

解析：本题主要考查三棱柱的结构及特征，侧面展开图为矩形，以及三棱锥的体积的计算.

(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，即可得出矩形对角线的长.

(2)设PC=x,由勾股定理得MP?=”42+(4；+%)2,结合“p=回，以及3=与即可得解.

(3)先计算出点M到平面PCN的距离，[1]VC_MNP=%_CNP即可得解・

2.答案：解：(I)证明：由4M=可得点M在4。上，则有去

4"加/；h\\

又AN=3AB,所以MN//DB,!I

又MNC平面BDP,BDu平面BDP,所以MN〃平面BDP-八-热-------&C

(D)设G为底面△4BC的重心，Q为AC的中点，如图所示，

则BQ=-x60=30y/3cm>GB—|BQ=20V3cm,BN=|x60=40cm,

所以GD=J602-(20V3)2=20V6cm>

由(I)可知MN〃DB,且时2<4平面£>8(7,DBu平面。BC,故MN〃平面O8C,

所以点M与点N到平面8OC的距离相等，

所以三棱锥M-BDC的体积与三棱锥N-BOC的体积相等，

又三棱锥N-BDC的体积与三棱锥。-BNC的体积相等，

所以以f-BDC=VD-BNC=3,S&BNC'GD

=ix(|x60x40xy)x20V6=1200072cm3,

所以三棱锥M-BDC的体积为12000返cm3.

解析：(I)利用题中给出的比例关系，由相似比证明MN〃DB,利用线面平行的判定定理证明即可；

(H)设G为底面△ABC的重心，。为AC的中点，分别求出ABNC的边长与G。的长，利用等体积法

^M-BDC=%>-BNC求解即可•

本题考查了线面平行的判定以及棱锥体积的求解，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平

面的距离的常用方法，属中档题.

3.答案：解：(1)圆锥的底面半径R与高”均为2,

则圆锥的母线长为L=2位,

/-

二圆锥的侧面积为$曲由1]TRLTTX2X2V21v1^n；

(2)设圆柱的半径为r,圆柱的高为x,

则;=—，解得r=2—x,且0<x<2；

•••圆柱的侧面积为S幽倒=2nrx=27r(2-x)x=-2nx2+4以，(0<x<2)；

2

(3)由S圆柱便j=-27rx2+47rx=2TT[-(X-1)+1],0<X<2；

当攵=1时，S圆柱侧取得最大值为2兀，

此时r=1,圆柱的体积为％］住-

解析：本题考查了旋转体的结构特征，表面积与体积的计算问题，属于基础题.

(1)求出圆锥的母线长，计算圆锥的侧面积；

(2)利用相似三角形求出圆柱的底面圆半径，，计算圆柱的侧面积；

(3)利用二次函数的性质求出圆柱侧面积取最大值时x的值，再计算对应圆柱的体积.

4.答案：解：(1)由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4,顶点在底面的射影是底面中心的

四棱锥，

1

该几何体的体积V=：x(4x3)x4=16；

(2)该四棱锥有两个侧面是全等三角形，且其高为//2+(用2=2通,

另外两个侧面也是全等的等腰三角形，这两个侧面的高为九2=/2+(|)2=吟

二该几何体的侧面积S=2(1X3x2V5+|x4x^)=6V5+2V73.

解析：本题考查几何体的体积和面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的

合理运用.

(1)由三视图知该几何体是一个底面为矩形，高为4,顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥，由此

能求

出该几何体的体积.

(2)该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，由此能求出该

几

何体的侧面积.

5.答案:解：(1)•.・平面48C。垂直于圆。所在的平面，两平面的交线为AB,BCu平面ABC。,BC1AB,

・••BC垂直于圆O所在的平面.

又E4在圆。所在的平面内，BC1EA.

•.•/■4£18是直角，二8£1_1£14而8七(^8。=8,BEu平面E8C,BCu平面EBC,

EA_L平面EBC.

又：ECu平面EBC,EA1EC.

(2)因为在矩形A8CZ)中，AB//CD,直线AE和。C所成的角为也

所以直线4E和A3所成的角为即NB4E=£.

OO

过E作EF14B于凡则EF平面A3CZ).

又48=2a,NB4E=S，所以AE=岳,EF=枭，

因此SMCD=gxADxCD=ax2a=a2.

于是％-4CE=YE-ACD=|xSAZICDxFF=|xa2Xya=^a3"

即三棱锥。一ACE的体积是或a3.

6

解析：本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，转

化思想以及计算能力，是中档题.

(1)证明BC1EA,BE1EA,推出瓦4_L平面EBC,由此可证明瓦41EC；

(2)直线AE和OC所成的角为也说明NBAE=2,过E作EF1AB于F,则EF1平面ABCQ,利用

等体积法求解即可.

6.答案：解：设圆锥底面半径为r,圆柱底面半径为r’,贝打=去/=;.

又可知圆柱母线长，'=看圆锥母线长［=/2+仔)2=枭.

(1).•・圆柱的表面积

S表=2nr，2+2口7=27r-(^)2+2乃•£•[Q=，层.

(2)剩下几何体的体积V="丁2.op—7r丁，2.00，="0.0—7r.0£7m3.

答：圆柱的表面积为体积为23；

oVo7m

解析：本题考查立体几何图形的表面积以及体积，难度一般

根据题干所给条件，带入表面积公式以及体积公式即可

7.答案：解：(1)如图，取OC中点。，连接产。，

•••PD=PC,■■P01DC,

•••平面POC1平面ABC。，且平面PDCn平面4BC0=DC,

:.P0工平面ABCD,即P0为四棱锥P-4BCD的高，

又,:DC=2,

.•.△POD为等腰直角三角形，

:.乙DP0=45°,同样“P。=45°,

•••Z.DPC=90°,即DPJ.CP,

•••平面PDC1平面ABCD,且BC1CD,

平面PDCn平面ABC。=DC,BCu平面ABCD,

BCJL平面PDC,

PDu平面PDC,

•••BC1PD,

■：BCC\PC=C,BCu平面PBC,PCu平面P8C,

PDJ_平面PBC,

•：PDu平面PDA,

平面APD1平面BPC.

(2)连接AC、BO相交与点Q,连接PQ,OQ,

•••4BCD为正方形，且边长等于2,

•••QA—QB=QC=QD=V2,

vOQ=^AD=1,由(1)可知PO1底面ABCD,

•••乙POQ=90°,

vPO=1,

PQ=V2.

•••QA—QB=QC=QD=QP=V2,

•••点。为四棱锥P-4BCD外接球的球心，

二所求外接球的体积V=£兀.QA3=

3y3

解析：本题考查面面垂直的判定，考查棱锥外接球体积的计算，解题的关键是证明线面垂直和找到

外接球的球心从而求出半径，属于中档题.

(1)通过证明BCJ.PD、DP1CP得到PC1平面PBC,进而可证平面PADJ■平面PBC-,

(2)连接4C、8。相交与点Q,连接PQ,0Q,可得到Q4=QB=QC=QD=QP=夜，从而知道

点。为四棱锥P-4BCD外接球的球心，鱼为半径，即可求得结果.

8.答案：(1)证明：在直角梯形AEF8中，AE1EF,

且直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转而得，

所以DiEJLEF,

所以BF1EF.CiF1EF,

又BFC£F=F,BF，GFu平面BQF,

所以EFL平面BCiF,

又EFu平面GDiEF,

所以平面C1/EF平面BGF；

(2)解：•.•直角梯形AEFB绕EF转到D1EFQ,

・••DE11EF,

-AELEF^AE(\D1E=E,AEu平面/。百Dmu平面他氏

•-AE11平面gE,且乙4EDi为二面角G-"一8的平面角，

Z.AED1-pXvAE=DrE

•・・△4ED1为等边三角形，

.cJp2/X

・・S^AEDI=—=—­4(=v3，

44

•••匕-EFDi=次宙i•EF=：收4=[VI

解析：解析：

本题考查面面垂直的判定、二面角及三棱锥体积的求法属于中档题.

(1)证出EFJ■平面BGF,再结合面面垂直的判定定理证明即可；

(2)先证出AE_L平面4。止，且NAED1为二面角G-EF-B的平面角，再结合三棱锥体积公式求体积

即可.

9.答案：证明：(1)连接8。交AC于0,连接0M

在底面四边形ABC。中，•:AD〃BC,BC=2AD,

D

AD_DO_1

BC~OB~2

PN=2rNaDn,***一DN=1可—T4得eD一0=一DN=一1

vNP241TOBNP2

则。N〃PB,

•••ONu平面CAN,PBC平面CAN,

PB〃平面平面CAN；

解：Q)”PN=2ND,：.PN：PD=2：3,

2

则《Z-PBC=§力-P8C，

_11

而KD-PBC=VP-BCD==4,

•••三棱锥N-PBC的体积U=|x4=1.

解析：（1）连接B。交AC于。，连接ON,由平行线截线段成比例可得ON〃PB,再由直线与平面平

行的判定可得PB〃平面平面CAN；

⑵由PN=2ND,得/-PBC=|力-PBC，再求出三棱锥N-PBC的体积，即可求得三棱锥N-PBC的

体积.

本题直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积,

是中档题.

10.答案：（1）证明：连接BCi，因为。、P分别是CQ、G5的中点，所以NQ〃BG且NQ=：BCi，

因为M、尸分别是AB、Q5的中点，所以PCJ/MB且PCi=MB,

所以四边形BCiPM为平行四边形,

所以BCJ/PM且BG=PM,

所以NQ〃PM且NQ=^MP,故M、N、Q、P四点共面;

(2)解：根据题意补充截面为MNQPFE,E、尸分别为4人,久久的中点,

因为正方体棱长为2,所以NQ=&,

所以截面为一个边长为近的正六边形,

所以截面面积为6X：X&X鱼xf=3b；

(3)解：设8Gn8iC=0,

coB

V=vc-MBCiP+=5S矩形MBQP,+]5矩形MBQP,i0=尸矩形MBQP-81c=--2>/2•

2夜=1•

解析：(1)连接BC1，可得四边形8C1PM为平行四边形，从而可得以NQ〃PM且NQ=^MP,即可得

到结论；

(2)补充截面为MNQPFE,可得截面为一个边长为鱼的正六边形，即可求出其面积；

(3)根据U=VM_B1C1CB+VM-PB1C1＞然后利用三棱锥的体积公式进行求解即可.

本题主要考查了四点共面的证明，以及截面面积以及多面体的体积，同时考查了空间想象能力和运

算求解的能力，属于中档题.

11.答案：(1)证明：在A/IBC中，AB=1,^CBA=pBC=2,

由余弦定理得4c2=BA2+BC2-2BAxBCxcos^CBA=3.

AC2+BA2=BC2,即ABJ.AC.

又••・平面4BCD_L平面ABEF,平面4BCDn平面4BEF=4B,ACc^FffiABCD,

ACJ_平面ABEF；

(2)解：•••平面4BCD1平面ABEF,且平面ABCDn平面;4BEF=4B,EBIAB,EBABEF,

：.EB1平面ABCD,

11

^E-ABCD=§S四边形4BCD义BE=—XABXACXBE

=ixlxV3x2=—.

33

_i13

由已知可得，^AAEF~S^ABF=jxx48=-x3xl=-.

^D-AEF~5s△力EFXAC=-X-xV3=

.VE-ABCD_26v2_4

^D-AEF3V33

故多面体ABCDE与多面体AOE尸的体积比为土

解析:(1)由已知求解三角形证明481AC,再由已知结合平面与平面垂直的性质可得4c_L平面ABEF；

(2)证明EB_L平面ABC。，利用棱锥体积公式分别求得棱锥E-4BCD与棱锥D-4EF的体积，则答

案可求.

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中

档题.

12.答案：解：(1)不妨设球的半径为：4；

则球的表面积为：64兀，圆锥的底面积为：12兀，

圆锥的底面半径为：2百；

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三

角形；

由此可以求得球心到圆锥底面的距离是：出一(2百尸=2,

所以圆锥体积较小者的高为：4-2=2,母线长为：/2+(20)2=4；

同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；母线长为：［(2代)2+62=48：

又由这两个圆锥的底面半径相同，

••・较大圆锥与较小圆锥的侧面积之比等于它们母线长之比，BP4V3：4=V3：1.

(2)由(1)可得两个圆锥的体积和为：［•兀•(2百尸.8=32兀,

球的体积为：［,兀•43=等兀，

故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：3271：等兀=3：8.

解析：(1)设出球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出

体积较小者的高与体积较大者的母线长的比值.

(2)由(1)分别求出两个圆锥体积的和及球的体积，可得答案.

本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆锥的体积和表面积，其中熟练掌握球和圆锥的体积表面

积公式，是解答的关键.

13.答案：证明：(1)

取AB的中点。，连接。C、0D,

因为是边长为6的等边三角形，AABC是等腰三角形,

所以4B1OD,AB10C,

所以4。=-7ID—3,0D-yfiOA——3V3,

OC=0A-tan30°=—3x3=V5，

所以在AOCC中，CD2=OC2+OD2,可得OD1OC,

因为ABJLOD,ABdOC=0,

AB,OCu平面ABC

所以0。1平面48C,

因为。。U平面A8Q,

所以平面ABOJL平面ABC；

(2)由(1)知，OD_L平面A8C,

所以%-we=ls^ABC♦。。=?x：•4B•。。•。。=gx[x6x百x3遍=9,

因为CM=：MD,所以DM=2CM,

所以治加时=2SABCM，

因为三棱锥A-8DM与三棱锥4-8CM高相等，

^^■VA-BDM-^A-BCM==2,即匕-8°M=^A-BCM'

因为%-BDM+匕-BCM=^D-ABC=%

22

所以KI-BDM=]xVD-ABC=.X9=6,

三棱锥4-BDM的体积为6.

解析：本题考查了面面垂直的判定、棱锥体积求法，考查了学生的逻辑推理能力

(1)取AB的中点0,连接0C、0D,由4B1。。，及0。10C可证得0。1平面ABC,故可证得平面

ABD_L平面ABC；

(2)由三棱锥4-BDM与三棱锥A-BCM高相等，故可结合匕--DM=2%_BCM可求得以-BDM=|X

ZTBC得答案

14.答案：解正方体的表面积为S在方洋=4x4x6=96,

圆柱形孔的半径为1,高为4,

・,•圆柱的侧面积S隔柱掰=27rxix4=8TT,

・•.所求的表面积为S=96+8〃-2〃=96+6TI,

正方体的体积为匕E■方益-=4x4x4=64,

圆柱的体积为V回拉=4%

所求的体积为V=64-47r.

解析：本题考查组合体的表面积和体积，属于基础题.

(1)求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋

转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求

解.

(2)识别几何体的结构特征，提升直观想象素养.]

15.答案：解：(I)如图所示，其面积为：x4x4=8.

(II)该几何体为圆锥，其体积为U=^兀x16x4=等，

表面积为S167r+4TTx4v^:Kiir+Kiv^rr.

解析：本题主要考查空间几何体的斜二测画法，以及圆锥的体积与表面积，属于基础题.

(1)利用斜二测画法的要求，即可得原图形；

(2)利用圆锥的体积与表面积公式，通过计算，即可得.

16.答案：解：(I)由图可知，图①几何体为半径为R的半球，

图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥，

与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)，

证明如下：

在图①中，设截面圆的圆心为01，易得截面圆。1的面积为兀(R2-d2),

在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为乩所以，圆环的面积为兀(R2-d2),

所以，截得的截面的面积相等.

(11)类比(1)可知，椭圆的长半轴为m短半轴为b,构造两个底面半径为b,高为。的圆柱，把半

椭球与圆柱放在同一个平面上(如图)，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为

底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为4高为4；

在半椭球截面圆的面积为兀《(。2-42),

在圆柱内圆环的面积为7rb2-7r^d2=zr^(a2-d2)

•••距离平面a为4的平面截取两个几何体的平面面积相等，根据祖瞄原理得出椭球A的体积为：

同理：椭球B的体积为％=葭a2b.

所以，两个椭球4B的体积之比为2

a

解析：本题考查了新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面

积相等.

(1)图②几何体为底面半径和高都为R的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆

环，根据求圆环面积证明即可；

(2)构造两个底面半径为从高为a的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖晅原理可

得椭球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.

17.答案：(1)证明：•.•侧面P4B是等腰直角三角形，PA=PB,

PA1PB,

•••BC1平面PAB,PAu平面PAB,

：.BC1PA,

又PBCBC=B,PB、BCu平面PBC,

故24_L平面PBC；

(2)解：取AB的中点O,连接OP,OD,

AP.-W,△ZMB均为等腰三角形，

•••P01AB,DO1AB,

又BC_L平面PA8,BCu平面ABC。，

平面PAB_L平面ABCD,

•.•平面P4Bri平面ABC。=AB,PO1AB,

：.PO1,平面ABCD,DOu平面ABCD,

PO1DO,

易求得40=80=1,PA=^2,DO=2,P0=1,

故P。=V5>

v0D//BC,0D=BC,DOLAB,

•••四边形08C。为矩形，

11

故S"CD=-CDD0=-0BD0=l,

Si^AD=gX0