浙教版2018-2019学年九年级上期末数学试卷

浙教版2018-2019学年九年级上期末数学试卷

—.选择题(共10小题，3*10=30)

1.从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是()

A.1B.1C.ZD.1

533

2.将二次函数y=x2-6x+5用配方法化成y=(x-h)2+k的形式，下列结果中正确的是

()

A.y=(x-6)2+5B.y=(x-3)2+5

C.y=(x-3)2-4D.y=(x+3)2-9

3.如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM,AD=AM,

FB=BM,EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用Si,S2,S3,S4表示，

EF与MG相交与点N,则以下结论正确的有()

①N是GM的黄金分割点②Si=S4③包=近工.

S32

D.GC

S3邑

AMB

A.①②B.①③C.③D.①②③

4.在AABC与△ABC，中，有下列条件：(1)，电=产，，(2)产=产；

(3)ZA=ZA'；(4)ZC=ZC\如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断AABC

saAB'C的共有()

A.1组B.2组C.3组D.4组

5.用圆心角为60。，半径为24cm的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半

径是()

A.4兀cmB.871cmC.4cmD.8cm

6.如图，E、F分别在矩形ABCD的边CD、AB上，EFLAB,G、H分别是BC、EF

的中点，EH>HG,除矩形EFBC外，图中4个矩形都彼此相似，若BC=1,则AB等于

()

7.已知：圆内接四边形ABCD中，对角线ACLBD,AB>CD.若CD=4,则AB的弦

心距为（）

A.遍B.2C.V3D.V2

8.二次函数y=x?+5x+4,下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.当x>-3时，y随x的增大而增大

C.二次函数的最小值是-2

D.抛物线的对称轴是x=-9

2

9.如图，ZkABC中，AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在AABC内，

顶点D,G分别在AB,AC上，AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为（）

A.0B.1C.2D.3

二.填空题（共6小题，4*6=24）

12

11.若L+X=3,则—=.

XX+X+1

12.在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰

梯形，其中有个旋转对称图形.

13.在盒子里放有四张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的卡片（卡片除所

画内容不同外，其余均相同），从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形

的概率是.

14.如图，直角梯形ABCD中，AD〃:BC,ZBAC=ZADC=90°,AB=AC,CE平分/

ACB交AB于点E,F为BC上一点，BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC

于点H.下列结论：

@AF±CE；②△ABFs^DGA；③AF=*DH；④S四边形曲0G

其中正确的结论有.

15.若抛物线y=2x?-px+4p+l中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为.

16.在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,动点P为矩形边上的一点，点P沿着B-C的路

径运动（含点B和点C）,则4ADP的外接圆的圆心0的运动路径长是.

三.解答题（共7小题，66分）

17.（8分）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光

源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位

置.于是，他们做了以下尝试.

（1）如图1,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,边长AB为30cm,在其正上方有一

灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A，B,DC的长度和为6cm.那么灯泡

离地面的高度为

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算

此时横向影子A，B,DC的长度和为多少？

（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A，B,DC的长度和为b,求

灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,b,n的代数式表示）

18.（8分）如图，已知在中，AB=3,AC是。。的直径，ACLBD于F,ZA=30°.

（1）求。O的半径；

（2）求出图中阴影扇形OBD的面积.

19.（10分）如图，点D在AABC的边BC上，且与B,C不重合，过点D作AC的平

行线DE交AB于E,作AB的平行线DF交AC于点F.又知BC=5.

（1）设AABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为看$；求BD长.

（2）若四步处；且DF经过AABC的重心G,求E,F两点的距离.

20.（10分）某批足球的质量检测结果如下：

抽取足球数n1002004006008001000

合格的频数m93192384564759950

合格的频率皿0.930.960.960.94

n

（1）填写表中的空格.（结果保留0.01）

（2）画出合格的频率的折线统计图.

（3）从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由.

0.9S卜++++++T

0.96卜++++++T

0.94卜++++++T

0.9*++++++T

0.9（^++++-j-+T

0I20ci6CC।106。i-土DA*资—

hoc4W8001200

21.（10分）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价

格为8」元/斤，并且两次降价的百分率相同.

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用

的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第X（天）的利

润为y（元），求y与x（lWx<15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间x（天）l<x<99<x<15xN15

售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价

销量（斤）80-3x120-x

储存和损耗费用（元）3x2_64X+400

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则

第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

22.（10分）如图，已知。。的半径长为4,弦AB垂直平分半径OC,弦DE〃AB,过

点B作AD的平行线交直线DE于点F.

（1）当点E,F不重合时，试说明4BEF是等腰三角形.

（2）填空：当AD=时，四边形ABFD是菱形.

23.（10分）如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线1：产件x+ir与x轴、y轴分别交

于点A和点B（0,-1）,抛物线尸5x2+bx+c经过点B，且与直线1的另一个交点为C

(4,n).

(1)求n的值和抛物线的解析式;

(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0<tV4).D£〃丫轴交直线1于点E,点

F在直线1上，且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t

的函数关系式以及p的最大值；

(3)M是平面内一点，将AAOB绕点M沿逆时针方向旋转90。后，得到△AiOiBi,点

A、O、B的对应点分别是点Ai、01、Bi.若△AiOiBi的两个顶点恰好落在抛物线上，

请直接写出点Ai的横坐标.

参考答案与试题解析

选择题(共10小题)

1.从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是()

A.1B.1C.ZD.1

533

【分析】让2除以总人数即为所求的可能性.

【解答】解：选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三种情况.故甲被

选中的可能性是2.

3

故选：C.

【点评】本题考查的是可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与

总情况数之比.

2.将二次函数y=x2-6x+5用配方法化成y=(x-h)2+k的形式，下列结果中正确的是

()

A.y=(x-6)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x-3)2-4D.y=(x+3)2-9

【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可.

【解答】解：y=x2-6x+5=x2-6x+9-4=(x-3)2-4,

故选：C.

【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解

题的关键.

3.如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM,AD=AM,

FB=BM,EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用Si,S2,S3,S4表示,

EF与MG相交与点N,则以下结论正确的有()

①N是GM的黄金分割点②Si=S4③包=五上

S32

D__________G

S1

s2

N

S3S4

B

A.①②B.①③C.③D.①②③

【分析】首先证明四边形AMGD,四边形BMNF都是正方形，推出AM=AD=MG=BC,

MB-BF=MN=FN,由点M是线段AB的黄金分割点，AM>BM,推出AM?=BM・AB,

可得S1+S3=S3+S4,推出S1=S4,故②正确，推出MN2=GN・DG=NG・GM,可得N是GM

的黄金分割点故①正确’因为£=器需=器’由器上导可得GN：27^+1=3-\/^

'GM22-

故③错误；

【解答】解：：四边形ABCD是矩形，AM=AD,BM=BF,

・•・四边形AMGD,四边形BMNF都是正方形，

.*.AM=AD=MG=BC,MB-BF=MN=FN,

,点M是线段AB的黄金分割点，AM>BM,

.*.AM2=BM«AB,

.*.S1+S3=S3+S4,

，S1=S4,故②正确，

MN2=GN・DG=NG・GM,

AN是GM的黄金分割点，故①正确，

­•S2_GN>FN_GN

■S3AM-MN而，

-GM~2­_

故③错误，

AGN=2-V5+1=32/5,>

GM22

故选：A.

nGc

Sis2

N

邑S4

1MB

【点评】本题考查黄金分割、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，所以中考常考题型.

4.在AABC与△ArB，C中，有下列条件：(1)，吗=产，(2)产=产；

NC'C'NC'

(3)ZA=ZA'；(4)ZC=ZC\如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断^ABC

的共有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

【分析】根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析，从而得到答案.

【解答】解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似;

（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似.

故选：C.

【点评】考查相似三角形的判定定理：

（1）两角对应相等的两个三角形相似.

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

（3）三边对应成比例的两个三角形相似.

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边

对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

5.用圆心角为60。，半径为24cm的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半

径是（）

A.4兀cmB.8兀cmC.4cmD.8cm

【分析】正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的底面周长等于扇形的弧

长.扇形中已知圆心角，半径，则根据扇形的弧长公式1=电£三=蚓£必_=8兀，设底面圆

180180

的半径是r,贝！J8兀=2兀r,r=4cm.

【解答】解：根据扇形的弧长公式1=史1三=四上圆_=8兀，

180180

设底面圆的半径是r,

则8兀=2兀r

.*.r=4cm,

这个圆锥底面的半径是4cm.

故选：C.

【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧

抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

6.如图，E、F分别在矩形ABCD的边CD、AB上，EF±AB,G、H分别是BC、EF

的中点，EH>HG,除矩形EFBC外，图中4个矩形都彼此相似，若BC=1,则AB等于

()

【分析】根据条件矩形ABCDs矩形EHGC,根据相似多边形对应边的比相等，即可求

解.

【解答】解：GC=1BC=0.5.设AB=CD=X,CE=y.则DE=x-y.

：矩形ABCDs矩形EHGC.

AAB=BC>即(1)

GCHG0.5y

:矩形ABCDs矩形ADEF.

.•.坦=迈，即l=红(2)

ABADx1

由(1)(2)解得：x①.

2

故选：C.

【点评】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的

关键.

7.已知：圆内接四边形ABCD中，对角线ACLBD,AB>CD.若CD=4,则AB的弦

心距为（）

A.VsB.2C.V3D.V2

【分析】设AC和BD的交点是O.过点O作GHLCD于G,交AB于H.

根据等角的余角相等以及圆周角定理可以证明点H是AB的中点.

再过点。作MNLAB于M,交CD于点N.同样可以证明N是CD的中点.

设该圆的圆心是0',连接ON、（YH.根据垂径定理的推论，得ONLCD,O'HXAB.

则ON〃GH,O，H〃MN,则四边形ONOH是平行四边形，则0rH=ON=A_CD=2.

2

【解答】解：如图，设AC与BD的交点为0,过点。作GHLCD于G,交AB于H；

作MNLAB于N,交CD于点M.

在Rt^COD中，ZCOD=90°,OG±CD；

.*.ZDOG=ZDCO；

VZGOD=ZBOH,ZDCO=ZABO,

.*.ZABO=ZBOH,即BH=OH,同理可证，AH=OH；

即H是RtAAOB斜边AB上的中点.

同理可证得，M是RtACOD斜边CD上的中点.

设圆心为O，，连接0，M,O'H；则O'MLCD,O'HXAB；

VMNXAB,GH±CD；

...0，H〃MN,0M〃GH；即四边形0HoM是平行四边形；

因此0M=0，H.由于0M是RtAOCD斜边CD上的中线，所以0M=0，H=LcD=2.

【点评】此题综合运用了等角的余角相等以及等弧所对的圆周角相等，发现垂直于一边

的直线，和另一边的交点正好是它的中点.再根据垂径定理的推论，得到垂直，发现平

行四边形.根据平行四边形的对边相等，即可求解.

8.二次函数y=x?+5x+4,下列说法正确的是（）

A.抛物线的开口向下

B.当x>-3时，y随x的增大而增大

C.二次函数的最小值是-2

D.抛物线的对称轴是x=-3

2

【分析】首先利用配方法把二次函数化成顶点式的形式，然后利用二次函数的性质判断.

【解答】解：y=x2+5x+4=（x+2）2-1,

24

二次项系数是1>0,则函数开口向上，故A错误；

函数的对称轴是*=-反，顶点是（-3,-1）,B错误；

224

则D正确，函数有最小值是-上，选项C错误.

4

故选：D.

【点评】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式求最值是解题的关键,

即二次函数y=a(x-h)2+k当x=h时有最值k.

9.如图，^ABC中，AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在AABC内,

顶点D,G分别在AB,AC±,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为()

【分析】首先过点A作AMLBC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点H,易证

得△ADGS^ABC,然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案.

【解答】解：过点A作AMLBC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点H,

VAB=AC,AD=AG,

/.AD：AB=AG：AC,

VZBAC=ZDAG,

/.△ADG^AABC,

.*.ZADG=ZB,

.•.DG〃BC,

,••四边形DEFG是正方形,

/.FG±DG,

AFHXBC,AN±DG,

VAB=AC=18,BC=12,

.•.BM=LBC=6,

2

AM=JAB2-BM2=12五,

•••A--N---D--G,

AM-BC

•AN6

••--7=~—--，

127212

AN=6A/2>

AMN=AM-AN=6加，

.*.FH=MN-GF=6&-6.

故选：D.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及

勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

10.方程x2+2x+l=Z的正数根的个数为（）

X

A.0B.1C.2D.3

【分析】求方程x2+2x+l=Z的解，可以理解为：二次函数y=x?+2x+l与反比例函数y=2的

XX

图象交点的横坐标.

【解答】解：二次函数y=x2+2x+l=（x+1）2的图象过点（0,1）,且在第一、二象限内，

反比例函数y=2的图象在第一、三象限，

X

...这两个函数只在第一象限有一个交点.

即方程x2+2x+l=Z的正数根的个数为1.

X

故选：B.

【点评】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数.

二.填空题（共6小题）

121

11.若L+X=3,则，*。=」_.

Xx4+X2+1—

2

【分析】将方程2+x=3的两边平方，得：3+2+乂2=9,.・.±+乂2=7,代入彳x,化

xx2x2x4+x2+l

简后的式子即可.

【解答】解：将方程L+X=3的两边平方,

X

得：与+2+x—9,

•1,2—7

,,-7+x

•.♦xWO,

2

•x_______11_1

8

x4+x2+lx2+l+4市

故答案为L.

8

【点评】根据所求分式，将已知条件中的分式方程进行变形，从而求出力+*2=7,是解

X

答问题的关键.

12.在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰

梯形，其中有4个旋转对称图形.

【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始

图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做

旋转角.解答即可.

【解答】解：在等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形

只有等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形是旋转对称图形.

故答案为4；

【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与

初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度

叫做旋转角.

13.在盒子里放有四张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的卡片（卡片除所

画内容不同外，其余均相同），从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形

的概率是2.

—2一

【分析】先根据轴对称图形的定义得到在所给图形中轴对称图有等边三角形、矩形、圆

三个，然后根据概率公式进行计算.

【解答】解：因为在等边三角形、平行四边形、矩形、圆中，轴对称图有等边三角形、

矩形、圆，

所以从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率是3.

4

故答案为3.

4

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除

以所有可能出现的结果数.也考查了轴对称图形.

14.如图，直角梯形ABCD中，AD/7BC,ZBAC=ZADC=90°,AB=AC,CE平分/

ACB交AB于点E,F为BC上一点，BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC

于点H.下列结论：

®AF±CE；②△ABFs^DGA；③AF=&DH；④S四边形即0G

其中正确的结论有①②③④.

【分析】先判断出^ABC是等腰直角三角形，过点E作EPLBC于F，，根据角平分线上

的点到角的两边的距离相等可得AE=EF,再根据等腰直角三角形的性质可得BF，=EP,

从而确定点F、F重合，再利用“HL”证明4ACE和4FCE全等，根据全等三角形对应边

相等可得AC=CF,根据等腰三角形三线合一的可得AFXCE,判断出①正确;求出ZAFC=

ZFAC=67.5°,再求出NDAG=NAFB=U2.5。，ZBAF=ZACE=22.5°,再根据点A、G、

C、D四点共圆得到NADG=NACE,然后利用两组角对应相等，两三角形相似判断出②

正确；求出AACF和AHCD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到

AF=&DH,判断出③正确；根据S四边形ADCG=S^ACG+SAADC,利用三角形的面积列出整理

成AF-DG的形式，再把AF用DG表示，然后代入进行计算即可判断④正确.

【解答】解：VZBAC=ZADC=90°,AB=AC,

/.△ABC是等腰直角三角形，

过点E作EF'XBC于P,

则△BEF，是等腰直角三角形，

.\BF,=EF,,

,..CE平分NACB,

.•.AE=EF,

.•.AE=BF',

VBF=AE,

.\BF=BF,,

点F、F重合，

在AACE和AFCE中，ICE=CE

lAE=EF

AAACE^AFCE(HL),

.•.AC=CF,

：CE平分NACB,

/.AF±CE,故①正确；

：ZAFC=ZFAC=90°-lx45°=67.5°,

2

NDAG=NAFB=112.5。，

ZBAF=ZACE=1X45°=22.5°,

2

VZAGC=90°,ZADC=90°,

.•.点A、G、C、D四点共圆，AC是直径，

.*.ZADG=ZACE=22.5°,

/.ZADG=ZBAF,

AAABF^ADGA,故②正确；

ZCDH=90°-ZADG=90°-22.5°=67.5°,

.,.ZCDH=ZFAC=67.5°,

又：ZACF=ZACD=45°,

.,.△ACF^AHCD,

•••A---F-_-A---C-,

DHCD

'.,△ACD中，ZACD=90°-45°=45°,ZADC=90°,

/.△ACD是等腰直角三角形，

.*.AC=V2CD,

.\AF=V2DH,故③正确；

ZGDC=ZGCD=90°-22.5°=67.5°,

.*.DG=CG,

VAABF^ADGA,

•••AD_—D--G,

AFAB

AF・DG=AD・AB=AD・V^AD=、&D2,

.*.AD2=2Z1AF«DG,

2

S四边形ADCG二SZ\ACG+SAADC,

」AG・CG+LAD・CD,

22

=1X1AF«DG+1X返AF・DG,

2222

=^1LAF»DG,

4_

DG=DH+GH=DH+AG=^AF+lAF=2Z2j±AF,

222

.•.AF=^J—DG,

V2+1

2

S四边形ADCG上巨士X-=3—DG«DG=1DG,故④正确.

4V2+12

综上所述，正确的结论有①②③④.

故答案为：①②③④.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三

角形的判定与性质，直角梯形，根据角的度数22.5。和67.5。求出相等的角是解题的关键,

也是本题的难点.

15.若抛物线y=2x2-px+4p+l中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为（4,33）.

【分析】把含P的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，

可求x、y的对应值，确定定点坐标.

【解答】解：y=2x2-px+4p+l可化为y=2x2-p（x-4）+1,

分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；

故不管p取何值时都通过定点（4,33）.

【点评】本题考查二次函数图象过定点问题，解决此类问题：首先根据题意，化简函数

式，提出未知的常数，化简后再根据具体情况判断.

16.在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,动点P为矩形边上的一点，点P沿着B-C的路

径运动(含点B和点C),则4ADP的外接圆的圆心。的运动路径长是旦.

【分析】如图，连接AC、BD交于点0L当点P与B或C重合时，^PAD的外接圆的

圆心与0,重合，当PA=PD时，设APAD的外接圆的圆心为0,P0的延长线交AD于E,

设P0=0D=x,因为APAD的外心在线段AD的垂直平分线上，

观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，AADP的外接圆的圆心0的运动路径长是

200\由此即可解决问题；

【解答】解：如图，连接AC、BD交于点0L

当点P与B或C重合时，4PAD的外接圆的圆心与0,重合，

当PA=PD时，设APAD的外接圆的圆心为0,P0的延长线交AD于E,设P0=0D=x,

RtAODE中,OD2=OE2+DE2,

x2=(4-x)2+32,

解得x=空，

8

.*.0E=4-空=工，

88

,.,O'BWD,AE=DE,

.-.O,E=1AB=2,

2

.♦.00，=0E-0E=2,

8

.「△PAD的外心在线段AD的垂直平分线上，

观察图象可知，点P沿着B-C的路径运动，4ADP的外接圆的圆心。的运动路径长是

200，=旦.

4

故答案为旦.

4

【点评】本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找

点0的运动轨迹，属于中考常填空题中的压轴题.

三.解答题（共7小题）

17.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体

的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是,

他们做了以下尝试.

（1）如图1,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,边长AB为30cm,在其正上方有一

灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A，B,DC的长度和为6cm.那么灯泡

离地面的高度为180cm.

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算

此时横向影子A，B,DC的长度和为多少？

（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A，B,DC的长度和为b,求

灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,b,n的代数式表示）

【分析】（1）设灯泡的位置为点P,易得△PADs^PATT,设出所求的未知数，利用相

似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；

（2）同法可得到横向影子A，B,DC的长度和；

（3）按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，用字母表

示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离.

【解答】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm,

'：AD//A'D',

：.ZPAD=ZPA,D,,ZPDA=ZPD,A,.

.,.△PAD^APA,D,.

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得*一3

A'D'PM

•••3--0--_-x----3--0-,

36x

解得x=180.（4分）

（2）设横向影子A，B,DC的长度和为ycm,

同理可得・••一”=出，

60+y180

解得y=12cm；（3分）

（3）记灯泡为点P,如图：

：AD〃AD,/.ZPAD=ZPA,D,,ZPDA=ZPD,A,.

.,.△PAD^APA,D,.

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，吗=PNa分）

ND'PM

（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）

设灯泡离地面距离为x,由题意，得PM=x,PN=x-a,AD=na,ATT=na+b,

•・•--n--a---—x-a—_—ii_—a

na+bxx

2=1-na

xna+b

x=na5+ab0分）

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于

相似比这个性质.

18.如图，已知在。0中，AB=3,AC是。。的直径，ACLBD于F,ZA=3O°.

（1）求。O的半径；

(2)求出图中阴影扇形OBD的面积.

【分析】(1)由NA=30。，可求得NBOC=60。，再根据垂径定理得NBOD=120。，求出

BF以及OB的长即可；

(2)由扇形面积公式求出阴影部分的面积即可.

【解答】解：(1)：AC，BD于F,ZA=30°,

.\ZBOC=60o,ZOBF=30°,ZBOD=120°,

.♦.BF」AB=3，

22

3

在RtABOF中，OB=—理k=I=«,

sin60,

即。。的半径为F；

7rx

(2)图中阴影扇形OBD的面积J2。'叵==兀.

360

【点评】本题考查了垂径定理、含30。角的直角三角形的性质、三角函数、扇形面积的计

算、以及圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由三角函数求出半径是解决问题的关键.

19.如图，点D在AABC的边BC上，且与B,C不重合，过点D作AC的平行线DE

交AB于E,作AB的平行线DF交AC于点F.又知BC=5.

(1)设AABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为25；求BD长.

(2)若ACj巧AB；且DF经过AABC的重心G,求E,F两点的距离.

【分析】(1)由题中条件可得△BDEsaBCAs/XDCF,由相似三角形可得其面积比与

对应边长的比的关系，进而再由题中的已知条件，求解其长度即可；

(2)由平行线可得对应线段的比，通过线段之间的转化以及角的相等，可得aDEFs4

ABC,由其对应边成比例可得线段EF的长.

【解答】解：如图，

(1)VDE//AC,DF〃AB,

ABDE^ABCA^ADCF,

ifiSABDE-Si,SADCF-S2,

••♦SAEFD=2S,

5

/.S1+S2=S-2,S=As.①

55

何_BD恒_CD

，

VTBCJVTBC

于是曝鲁誓4即日后代

故2^T；=SAEFD=|>S,即SIS2=蚩S2.②

由①、②解得Si=2±Y5s,即包=2土立.

10S10

包=（吗2,即3土面BD）2,解得BD=」30±1砺—4（5土泥产―5土泥

SW10'5'222

(2)由G是AABC的重心，DF过点G,且DF〃AB,可得型=2,则DF=?AB.

CB33

由DE〃AC,型=2,得DE」AC,

CB33

VAC=V2AB,:.迫=、叵,DF=4^.=V2-

ABEDV2AB

得亚筌，gpDF.=DE,

DEABACAB

又NEDF=NA,故△DEFS^ABC,

得空酒，所以EF=®1.

BCAB3

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形的重心的一些基本知识,

能够掌握并熟练运用.

20.某批足球的质量检测结果如下:

抽取足球数n1002004006008001000

合格的频数m93192384564759950

合格的频率皿0.930.960.960.940.950.95

n

(1)填写表中的空格.(结果保留0.01)

(2)画出合格的频率的折线统计图.

(3)右从吟这批靖足嗑球“任身意抽f取笑的虹次一数只布足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由.

-r-r-r-r-r-rn

++++++T

++++++T

++++++T

++++++T

j++++++T

【分析】(1)根据频率=频数+总数计算可得;

(2)由表格中数据在坐标系内用点描出来，再用线段依次相连即可得;

(3)根据频率估计概率，频率都在0.95左右波动，所以任意抽取的一只足球是合格品

的概率估计值是0.95.

【解答】解：(1)完成表格如下:

抽取足球数n1002004006008001000

合格的频数m93192384564759950

合格的频率20.930.960.960.940.950.95

n

(2)如图所示:

A实验次数加

(3)从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95,

因为从折线统计图中可知，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定到常数0.95附近，

所以从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95.

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定

位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集

中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是

近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.也考查了频率分布折线图.

21.某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元

/斤，并且两次降价的百分率相同.

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用

的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利

润为y（元），求y与x（lWx<15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间x（天）lWx<99Wx<15xN15

售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价

销量（斤）80-3x120-x

储存和损耗费用（元）3x2_64X+400

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则

第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

【分析】（1）设这个百分率是x,根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降

价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；

（2）根据两个取值先计算：当lWx<9时和9<x<15时销售单价，由利润=（售价-进

价）X销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；

（3）设第15天在第14天的价格基础上可降a元，根据第15天的利润比（2）中最大利

润最多少127.5元，列不等式可得结论.

【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率是X,

10（1-x）2=8.1,

x=10%或x=190%（舍去）,

答：该种水果每次降价的百分率是10%；

（2）当lWx<9时，第1次降价后的价格：10X（1-10%）=9,

.-.y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352,

V-17.7<0,

，y随x的增大而减小，

・•.当x=l时，y有最大值，

y大=-17.7X1+352=334.3(元)，

当9Wx<15时，第2次降价后的价格：8.1元，

Ay=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380,

：-3V0,

.,.当9WxW10时，y随x的增大而增大，

当10<x<15时，y随x的增大而减小，

.,.当x=10时，y有最大值，

y大=380(元),

1-17.7x+352(l《x<9)

综上所述，y与x(l<x<15)之间的函数关系式为：y=,

-3X2+60X+80(9<X<15)

第10天时销售利润最大；

(3)设第15天在第14天的价格基础上可降a元，

由题意得：380-127.5<(8.1-4.1-a)(120-15)-(3X152-64X15+400)，

252.5W105(4-a)-115,

aW0.5,

答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的

找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x的取值，两个取值中的最大

值才是最大利润.

22.如图，已知的半径长为4,弦AB垂直平分半径OC,弦DE〃AB,过点B作

AD的平行线交直线DE于点F.

(1)当点E,F不重合时，试说明ABEF是等腰三角形.

(2)填空：当AD=4亚时,四边形ABFD是菱形.

D

【分析】(1)根据已知条件得到四边形ABFD是平行四边形.于是得至UNEFB=NDAB.根

据圆内接四边形的性质即可得到结论；

(2)连接0A,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：：DF〃AB,BF/7AD,

・•・四边形ABFD是平行四边形.

ZEFB=ZDAB.

：四边形ABED是。0的内接四边形，

.,.ZDAB+ZDEB=180°.

又":ZFEB+ZDEB=180°,

NFEB=NDAB,

，BE=BF,

...△BEF是等腰三角形；

(2)解：当AD=4«时，四边形ABFD是菱形.

理由：连接0A,

•••OO的半径长为4,弦AB垂直平分半径0C,

.•.0A=4,0G=2,OG±AB,

•*,AG=VOA2-OG2=2^>

/.AB=4V3-

AD=AB=4«时，四边形ABFD是菱形.

故答案为：45/3•

【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，平行四边形的判定，正确的作出辅助

线是解题的关键.

23.如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线1：尸与x轴、y轴分别交于点A和

(1)求n的值和抛物线的解析式;

(2)点D在抛物