圆的标准方程课件 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.4

圆的方程2.4.1

圆的标准方程景

导

学

·课

时

分

展

作

业·

释

疑

理课

堂

小

结

·返首页合

作

探

究提

素

养探

新

知学

习

目

标核

心

素

养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.(重点)2.会根据已知条件求圆的标准方程.(重点、难点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观

想象、逻辑推理、数3.能准确判断点与圆的位置关系.(易错点)学运算的数学素养.课

时

分

展

作

业课

堂

小

结探

新

知合

作

探

究返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···课

时

分

展

作

业合

作

探

究

。

释

疑

女返首页课

堂

小

结探

新

知景

导

学提

景

养··情境引入·助学助教“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南

昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米.探

新

知课

时

分

展

作

业合

作

探

究课

堂

小

结返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗?若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点

(x,y)

的坐标满足什么关系?探

新

知课

堂

小

结合

作

探

究课

时

分

展

作

业返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···1.

圆的标准方程(1)圆的定义：平面上到定

点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.(2)确定圆的基本要素是圆

心和半径，如图所示

.新知初探课

时

分

展

作

业合

作

探

究探

新

知课

堂

小

结返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···(3)圆的标准方程：圆心为A(a,b),

半径长为r的圆的标准方程是(x

-a)²+(y-

b)²=r

2.当a=b=0时，方程为x²+y²=r,

表示以原点O_为圆心、半径为r

的圆.课

堂

小

结课

时

分

展

作

业探

新

知合

作

探

究返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···思考：平面内确定圆的要素是什么?[提示]

圆心坐标和半径.挥

新

知·

释

疑

难课

堂

小

结课

时

分

展

作

业返首页合

作

探

究景

导

学提

景

养··位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外PC02.

点与圆的位置关系),其圆心为C(a,b),半径为r,点

P设探新月课

时

分

展

作

业合

作

探

究课

堂

小

结返首页释

疑

理提

景

养景导学···位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆上02点在圆内课

时

分

展

作

业课

堂

小

结

。

提

素

非返首页合

作

探

究释

疑

理景

导

学探

新

知··初试身手一1.

思考辨析(正确的打“√

”,错误的打“×”)(1)方程(x—a)²+(y—b)²=m²

表示圆.(2)若圆的标准方程是(x—a)²+(y—b)²=m²(m≠0),b),半径为m.(3)圆心是原点的圆的标准方程是x²+y²=r²(r>0).[提示]

(1)×(2)×(3)

√(

)则圆心为(a,(

)(

)探

新

知合

作

探

究课

时

分

展

作

业课

堂

小

结

。

提

素

非返首页释

疑

理景

导

学··2.

圆

(x—2)²+(y+3)²=2

的圆心和半径分别是(

)A.(

一

2,3),1

B.(2,—3),3C.

(一2,3),

√2

D.(2,-3),√2D[由圆的标准方程可得圆心为(2,-3),半径为

√

2.]课

时

分

展

作

业探

新

知合

作

探

究解析答案课

堂

小

结返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···3.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A.x²+y²=2B.x²+y²=4C.(x—2)²+(y-2)²=8D.x²+y²=√2B

[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x²+y²=4.]课

堂

小

结合

作

探

究探

新

知课

时

分

展

作

业解析答案返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···4.已

知

点P(1,

一

1)在圆(x+2)²+y²=m的内部，则实数m

的

取值

范

围

是

.m>10[由条件知(1+2)²+(一1)²<m,解

得m>10.]课

堂

小

结探

新

知课

时

分

展

作

业合

作

探

究解析答案返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···课

时

分

展

作

业返首页合

作

探

究课

堂

小

结释

疑

理探

新

知景

导

学提

景

养···类型1

点与圆的位置关系【例1】

已知圆的圆心M

是直线2x+y—1=0

与直线x—2y+2=0的交点，且圆过点P(一5,6),求圆的标准方程，并判断点A(2,2),

B(1,8),C(6,5)

是在圆上，在圆内，还是在圆外?[思路探究]先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程；求出A,B,C

各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系.景

导

学课

堂

小

结课

时

分

展

作

业合

作

探

究返首页探

新

知释

疑

理提

景

养···[解]

解方程∴圆心M的坐标为(0,1),半径r=|MP|=√5²+(1-6)²=5√2.∴圆的标准方程为x²+(y—1)²=50.∵AM|=√(2-0)²+(2-1)²=5<r,∴点A在圆内.挥

新

知课

堂

小

结合

作

探

究

。

释

疑

女课

时

分

展

作

业返首页景

导

学提

景

养··.

CM|=√6—0)²+(5-1)²=√52>r,∴点C在圆外.∴圆的标准方程为x²+(y—1)²=50,且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外.∵|BM|=√(1-0)²+(8-1)²=√50=r,∴点B

在圆上.合

作

探

究挥

新

知课

时

分

展

作

业课

堂

小

结返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···规律方法1.判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断.2.

灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.课

时

分

展

作

业探

新

知合

作

探

究

。

释

疑

女课

堂

小

结返首页景

导

学提

景

养··1.

已知圆心为点

C(—3,—4),

且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P₁(一1,0),P₂(1,—1),P₃(3,—4)和圆的位置关系.[解]

因为圆心是C(-3,-4),且经过原点，所以圆的半径r=

√

(-3-0)²+(-4-0)²=5,所以圆的标准方程是(x+3)²+(y+4)²=25.因为|P₁C|=

√

(-1+3)²+(0+4)²=

√4+16=2[跟进训练]景

导

学课

时

分

展

作

业·

释

疑

难课

堂

小

结返首页合

作

探

究探

新

知提

景

养··所以P₁(—1,0)在圆内；因为|P₂C|=

√

(1+3)²+(-1+4)²=5,所以P₂(1,—1)

在圆上；因为|P₃C|=

√

(3+3)²+(-4+4)²=6>5,所以P₃(3,—4)在圆外.课

堂

小

结探

新

知合

作

探

究课

时

分

展

作

业返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···【例2】

求过点A(1,—1),B(—1,1),

且圆心在直线x+y—2=0上的圆的标准方程.[思路探究]法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，

根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借

助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程.类型2

求圆的标准方程景

导

学合

作

探

究课

时

分

展

作

业课

堂

小

结返首页探

新

知释

疑

理提

景

养···[解]

法

一：设所求圆的标准方程为(x—a)²+(y-b)²=r²,由已知条件知挥

新

知课

堂

小

结合

作

探

究课

时

分

展

作

业返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···解此方程组，故所求圆的标准方程为(x—1)²+(y—1)²=4.课

时

分

展

作

业挥

新

知课

堂

小

结合

作

探

究返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···法二：设

点C为圆心，∵点C在直线x+y—2=0上，∴可设点C的坐标为(a,2—a).又∵该圆经过A,B

两点，∴|CA|=|CB|.∴√(a-1)²+(2-a+1)²=√(a+1)²+(2-a-1)²,解得a=1.∴圆心坐标为C(1,1),半

径

长r=|CA|=2.故所求圆的标准方程为(x—1)²+(y—1)²=4.课

堂

小

结课

时

分

展

作

业挥

新

知合

作

探

究返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···所以弦AB

的垂直平分线的斜率为k=1,所以AB

的垂直平分线的方程为y—0=1·(x—0),即y=x.则圆心是直线y=x

与

x+y—2=0

的交点，法三：由已知可得线段AB

的中点坐标为(0,0),课

堂

小

结挥

新

知合

作

探

究课

时

分

展

作

业返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···由即圆心为(1,1),圆的半径为r=√(1-1)²+[1-

(一1)]²=2,故所求圆的标准方程为(x—1)²+(y—1)²=4.课

堂

小

结探

新

知合

作

探

究课

时

分

展

作

业返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···规律方法(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法，

一般步骤是：课

堂

小

结合

作

探

究探

新

知课

时

分

展

作

业返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···规律方法

费确定圆的标准方程的方法①设—设所求圆的方程为(x—a)²+(y—b)²=r²;②列—由已知条件，建立关于

a,b,r

的方程组；③解—解方程组，求出a,b,r;④代—将a,b,r

代入所设方程，得所求圆的方程.课

时

分

展

作

业挥

新

知合

作

探

究课

堂

小

结返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···(x-2)²+y²=10[由圆的几何性质得，圆心在AB

的垂直平分线上，结合题意知，AB

的垂直平分线为y=2x—4,令y=0,得

x=2,2.

已

知圆C经

过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x

轴上，则C的标准方程为

.故圆心坐标为(2,0),所以圆的半径

r=√(5-2)²+(1-0)²=√

10,的方程为(x—2)²+y²=10.]30[跟进训练]课

堂

小

结探

新

知合

作

探

究

。

释

疑

理解析答案课

时

分

展

作

业故圆返首页景

导

学提

景

养··[探究问题]1.怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离?[提示]

可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值.类型3

与圆有关的最值问题探

新

知课

时

分

展

作

业·

释

疑

难课

堂

小

结返首页合

作

探

究景

导

学提

景

养··2.

若

点M

是⊙C

内一点，那么过点M

的弦中，弦长最长和最短的弦分别是哪一条?[提示]弦长最长的弦是MC所在的直径，弦长最短的弦是过M且与MC

垂直的弦.课

时

分

展

作

业探

新

知合

作

探

究课

堂

小

结

。

提

素

非返首页释

疑

理景

导

学··[思路探究]首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值.33【例3】已知x

和y

满足试求x²+y²的最值.课

堂

小

结

。

提

素

非挥

新

知合

作

探

究课

时

分

展

作

业返首页释

疑

理景

导

学··[解]

由题意知x²+y²

表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点O(0,0)到圆心C(—1,0)的距离d=1,

故圆上的点到坐标原点的最大距离为最小距离为因此x²+y²的最大值和最小值分别为

和课

时

分

展

作

业·

释

疑

难景

导

学课

堂

小

结

。

提

素

非返首页合

作

探

究探

新

知·1.[变条件]把本例中圆的方程变为(x+1)²+y²=4,

则过(0,0)的弦中，最长弦长为

,最短弦长为

42√3[点(0,0)在圆内，最长的弦为过O

的直径，所以最大弦长

为

2r=4.

最短弦是过0且与过O

的直径垂直的弦，因为

O(0,0)与

圆的距离为1,所以最短弦长为

21[母题探究]探

新

知课

堂

小

结

。

提

素

非合

作

探

究课

时

分

展

作

业解析答案返首页释

疑

理景

导

学··0)连线的斜率，由

可得y=kx,

此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r,[解]

设

变形为

此式表示圆上一点(x,y)与点(0,2.[变结论]本例条件不变，试求的取值范围.探

新

知合

作

探

究课

堂

小

结

。

提

素

非课

时

分

展

作

业返首页释

疑

理景

导

学··即解

得

即

的取值范围；探

新

知·

释

疑

难课

堂

小

结课

时

分

展

作

业返首页合

作

探

究提

景

养景

导

学··●规律方法与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如

式的最值问题，可转化为过点(x,y)动直线斜率的最值问题.(2)形如

l=ax+by

形式的最值问题，可转化为动直线距的最值问题.探

新

知合

作

探

究

。

释

疑

女课

时

分

展

作

业课

堂

小

结返首页景

导

学提

景

养X··(3)形如(x—

-b)²形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题。规律方法挥

新

知合

作

探

究课

时

分

展

作

业课

堂

小

结返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···●课

时

分

展

作

业返首页合

作

探

究课

堂

小

结释

疑

理探

新

知景

导

学提

景

养···一

必备素养一1.

确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于

a,b,r的方程组求a,b,r或直接求出圆心(a,b)和半径

r.

另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用

几何特征较为直观、简捷.景

导

学·

释

疑

难课

堂

小

结课

时

分

展

作

业返首页合

作

探

究探

新

知提

景

养··3.与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养.4.几种特殊的对称(1)圆C

关于点M对称⇔点M就是圆心.(2)圆C

关于直线I对称台直线l经过圆心.课

时

分

展

作

业课

堂

小

结景

导

学·

释

疑

难返首页合

作

探

究探

新

知提

景

养··M

是C₁C₂的中点，(3)圆C₁

、C₂

关于点M

对称台

圆C₁

、C₂的半径相等.(4)圆C₁

、C₂关于直线l对称台圆心C₁

、C₂关于直线l对称，圆C₁

、C₂的半径相等.探

新

知课

时

分

展

作

业·

释

疑

难课

堂

小

结返首页合

作

探

究景

导

学提

景

养··学以致用一1.圆心为(1,1),且过原点的圆的标准方程是()A.(x—1)²+(y—1)²=1B.(x+1)²+(y+1)²=1C.(x+1)²+(y+1)²=2D.(x—1)²+(y—1)²=2D

[由圆过原点知r=√(1-0)²+(1-0)²=√2,故所求圆的方程为(x—1)²+(y—1)²=2,选

D.]挥

新

知课

时

分

展

作

业合

作

探

究

。

释

疑

女课

堂

小

结解析答案返首页景

导

学提

景

养··2

.

两个点

M(2,—4),N(一2,1)与圆

C:x²+y²—2x+4y—4=0的位置关系是(

)A.

点

M

在圆C外，点N在

圆C外B.点

M

在圆C

内，点N

在圆C

内C.点

M

在圆C外，点N

在

圆C

内

D.点

M

在圆C

内，点N

在

圆C

外探

新

知合

作

探

究课

时

分

展

作

业课

堂

小

结解析答案返首页释

疑

理景

导

学提

景

养···D

[将点的坐标代入方程左边得2²+(一4)²-2

×2+4×(一4)一4=-4<0,∴M点在圆内，(一2)²+1²-2×(一2)+4×1-4=9>0,∴N

点在圆外.故选D.]探

新

知合

作

探

究课

时

分

展

作

业课

堂

小

结返首页释

疑