弧度制课件 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新课程标准1.了解角的另外一种度量方法——弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式。5.1.2弧

度

制知识点一角度制与弧度制(一)教材梳理填空(1)度量角的两种制度①角度制：定义：用

度

作为单位来度量角的单位制；1度的角等于周角的

②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制；1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.1

自学新教材·注重基础性新课程学案让核心素养落地生根(2)弧度数正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r

的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对

角度化弧度弧度化角度360°=

2π

rad2π

rad=360°180°=

π

radπ

rad=180°(3)角度与弧度的换算(二)基本知能小试1.

判断正误(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.(

)(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.

(

)(3)1的角是周角

,I

rad

的角是周角

(

)(4)1rad的角比1的角要大.

(

)答案：(1)

√

(2)×(3)

√(4)

√对于

对于D,

故

C项错误.答案：

C2.下列转化结果错误的是A.60

化成弧度是C.—150

化成弧度是(

)化成度是—600°成度是15°B.D.3

.

与角

边相同的角是

(

)A

B

D

角

边相同的角的集合当k=1

时，解析：与答案：C故选C.知识点二扇形的弧长和面积公式(一)教材梳理填空设扇形的半径为R,

弧长为l,a(0<a<2π)

为其圆心角，则(1)弧长公式：l=a·R.(2)扇形面积公式：

(二)基本知能小试1.

判断正误(1)扇形的半径为1

cm,圆心角为30°,则扇形的弧长l=rlal=1×30=30(cm).

(

)(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，扇形的面积不变.(

)答案：(1)×

(2)×2.

半径为2,圆心角为的扇形的面积是

解析：由扇形的面积公式可得，此扇形的面积是答案：

题型一

角度制与弧度制的互化[学透用活](1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写.(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.提升新知能·注重综合性新课程学案让核心素养落地生根0[典例1]

(1)①将11230′化为弧度为

;②将

化为度为

(2)将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式.答案：

②一75°(2①

;②—315°.[解析](1)①因为②因为[方法技巧]进行角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°=π

rad,充分利用

和进行换算.(2)方法：设一个角的弧度数为a,角度数为n,则

arad●[对点练清]设a₁=510°,a₂=—750°

,》

心(1)将α₁,a₂

用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1,β2用角度表示出来，并在一360～360范围内找出与

它们终边相同的所有的角.∴a₁

的终边在第二象限，a₂

的终边在第四象限.乙

设θ₁=

k·360°+144(k∈Z).∵—360≤θ₁<360°,∴—360≤k·360°+144°<360°

.∴k=—1

或k=0.∴在一360～360范围内与β₁终边相同的角是—216°:设θ₂=k·360°—330(k∈Z).∵—360≤θ₂<360°,∴—360≤k·360°—330°<360.∴k=0

或

k=1.∴在一360～360范围内与β₂

终边相同的角是30°题型二用弧度表示有关的角[学透用活]1.用弧度表示与α终边相同的角2kπ+a(k∈Z)的注意点(1)2kπ是2π(一周角的大小)的整数倍，而不是π的整数倍；(2)角度制与弧度制不能混用，如60°+2kπ(k∈Z)是错误的.2.

象限角的表示例如：第一象限角的集合

3.轴线角的表示例如：终边在坐标轴上的角的集合[典例2]

用弧度表示顶点在原点，始边重合于x

轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图).[解]

(1)以OA为终边的角;

以OB为终边的角∴阴影部分内的角的集合(1)

(2)(2)以

OA

为终边的角

;以OB为终边的角.不妨设右边阴影部分所表示的集合为

M1,

左边阴影部分所表示的集合为M₂

,则

∴

阴影部

分

所

表

示

的

集

合

为

M₁UM₂=[方法技巧]根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形；(2)写出区域边界作为终边时角的表示；(3)用不等式表示区域角.用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，能合并的要合并.[对点练清]1.的终边相同的角的表达式中，正确的是()A.2kπ+45°,k∈Z

B.

,k∈ZC.k·360°—315°,k∈Z

D.

,k∈Z解析：弧度和角度不能出现在同一个表达式中，故选项A、B

错误

.

,k∈Z第一象限角，故选C.答案：

C表示的角是第一、三象限角，

是解析：阴影部分的两条边界分别角的终边，所以a

的取值范围答案：D2.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角a

的取值范围是(

)题型三

扇形的弧长与面积公式[学透用活](1)灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程(组)求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有

关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r

的二次函

数的最值问题.(2)公式的变形①

●

●心[典例3]已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R.(1)若a=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是定值C(C>0),

当lal为多少弧度时，该扇形的面积最大?[解]

(1)设弧长为1,弓形面积为S弓，,R=10,

∴

∴当

时

，S

扇有最大值且

故lal=2

时，该扇形的面积最大.(2)扇形周长C=2R+l,∴l=C—2R,··[方法技巧]1.

扇形问题的计算技巧涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面

积公式直接求解或列方程(组)求解.2.

弧长、面积的最值问题利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积，利用函数知识求最值，

一般多利用二次函数的最值求解.[对点练清]1.[利用公式求圆心角的弧度数]已知扇形的周长为10cm,面积为4cm²,则扇形的圆心角a

的弧度数为

解析：设扇形的半径为r

cm,圆心角α所对的弧长为lcm.由题意解

a=8

,●答案：2.[利用公式求扇形的半径]若扇形圆心角为216°,弧长为30π,则扇形半径为

r=25.答案：25解析：,93.[利用公式求扇形面积的最值及弧长]已知扇形AOB

的周长为10cm,求该扇形的面积的最大值及取得最大值时的弧长.解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半

径为r,

面积为S,由l+2r=10

得

l=10—2r, 当且仅当10—2r

=2r,

即

时

，S

取得最大

故该扇形的面积的最大值

及取得最大值时的弧长

为5cm.让核

3

训练新素养·注重创新性、应用性[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1.已知

则角α的终边在

(

)A.第一象限

B.

第二象限C.第三象限D.

第四象限解析：因

所以角α的终边在第二象限.答案：B心素养落地生根新课程学案解析：在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍.答

案：C2.下列各对角中，终边相同的是(

)

B.-5C.3.某扇形的半径为1cm,它的周长为4cm,那么该扇形的圆心角为

解析：由题意可得扇形的弧长为

4—2×1=2(cm),则扇形的圆心角答案：24.

—

135化为

弧度

为

9

化为角度

为

解析：答案：

660°