高中数学必修一复习

第一章集合与函数概念

知识架构

第一讲集合

★知识梳理

一：集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;

2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图;

3.集合中元素与集合的关系：

文字语言符号语言

属于e

不属于g

4.常见集合的符号表示

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集

符号NZQC

N♦或N+R

集合间的基本关系

表示文字语言符号语言

关系

相等集合A与集合B中的所有元素AoB且3qA<=>

都相同A=B

子集A中任意一元素均为B中的元AqB或BqA

素

真子集A中任意一元素均为B中的元A£B

素，且B中至少有一元素不是

A的元素

空集空集是任何集合的子集，是任

0qA,0隆B(3w0)

何非空集合的真子集

三：集合的基本运算

①两个集合的交集:AB={X|XGA.S.X6fij；

②两个集合的并集：A5={x|xeA或xe8上

③设全集是U,集合AqU,则6从={x|xeU且无e4}

交并补

AB=[x\x^GB]AB={x|XGASJCXGB}CqA=1xeU且xeA}

(3D•

方法:常用数轴或韦恩图正七行集合的交、并、补三种运算.

★重、难点突破

重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合

的交、并、补三种运算.

重难点：

1.集合的概念

掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，耍特别注意集合中元素的互异性，

在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；

2.集合的表示法

(1)列举法要注意元素的三个特性；(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性

质，如弗=/(*)}、{y[y=/(x)}、{(苍丁)〉=/(工)}等的差别，如果对集合中代表元素认

识不清，将导致求解错误：

问题：己知集合M=<*+?=1},N=卜及+]=},则McN=()

A.①；B.{(3,0),(0,2)}；C.[-3,3]；D.{3,2}

(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用

Venn图。

3.集合间的关系的几个重要结论

(1)空集是任何集合的子集，即。qA

(2)任何集合都是它本身的子集，即AQA

(3)子集、真子集都有传递性，即若A=6,BqC,则A±C

4.集合的运算性质

(1)交集：①An8=BnA；②4nA=A；③Ano=。；④AnS^A,AABCB

⑤AnB=AoAq5；

(2)并集：①AU8=3UA；②AUA=A；③A(JO=A;④AUB^A,AUB3B

⑤AUB=AoBqA；

(3)交、并、补集的关系

①AClCuA*AUCtJA=U

②。口(ACl6)=(QA)U(Q8)；Q(AU5)=©A)A(C®

★热点考点题型探析

考点一：集合的定义及其关系

题型1：集合元素的基本特征

［例1］(2008年江西理)定义集合运算：A*jB={z|z=xy,xG.设

A={l,2},6={0,2},则集合A*8的所有元素之和为()

A.0；B.2；C.3；D.6

题型2：集合间的基本关系

［例2］.数集X={(2〃+1)肛〃€2}与丫={(4左土1)肛左wZ}之的关系是()

A.x展y；B.；c.x=Y-D.X

［新题导练］

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥

运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比

赛的女运动员}，则下列关系正确的是()

A.A^BB.5cCC.APlB=CD.8UC=A

［解析］D;因为全集为A,而BUC=全集=A

2.(2006•山东改编)定义集合运算：AG)8=M=fy+孙A,ywB},设集合

A={1,0,8={2,3},则集合A区8的所有元素之和为

3.(2007•湖北改编)设P和。是两个集合，定义集合P—Q={x|xeP,且X0Q},如果

尸=Mlogsx<1},Q=NN<1},那么P—Q等于

4.研究集合4={布=/一4},3={巾=/-4},0=卜,四仅=/一4}之间的关系

考点二：集合的基本运算

［例3］设集合A=—3x+2=()},B=^|x2+2(a+l)x+(a2—5)=o|

(1)若AD8={2},求实数a的值；

(2)若AU6=A,求实数。的取值范围若，

［新题导练］

6.若集合S={Ny=3',xwR},7="丁=l2一I,XGR},则5口7是()

A.S；B.T;C.。；D.有限集

7.已知集合/={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合MnN为()

A.x=3,y=-l；B.(3,-1)；C.{3,-1}；D.{(3,-1)}

8.集合A=(x|ox-l=0},0={x|x2-3x+2=0},且4B=B,求实数。的值.

备选例题1：已知M=b|y=x+1},N={(x,y)*+y2="，则"「N中的元素个数是

()

A.0；B.1；C.2；D.无穷多个

备选例题2：已知集合A和集合B各有12个元素，API8含有4个元素，试求同时满足下面

两个条件的集合C的个数：

(I)C£AUB,且C中含有3个元素；

(II)CnA#。(。表示空集)

★抢分频道

基础巩固训练：

1.设全集

t/=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-l},则右图中阴

影部分表示的集合为()

A.{x|x>0}；B.|x|-3<x<O}；C.|x|-3<x<-1}；D.1x|x<-1}

2.已知A={x|x(l-x)>O},B={xjlog?x<O}则AB-

A.(0,1)；B.(0,2)；C.(—oo,0)；D.(~oo,0)(0,+oo)

3.集合{-1,0,1}的所有子集个数为

4.集合A中的代表元素设为x,集合8中的代表元素设为y,若IxwB且VyeA,则A与

B的关系是__________

5.设集合S={x||x-2|>3},T={x［a<x<a+8},SUT=R，则a的取值范围是()

A.-3<tz<-1；B.-3<«<-1

C.。〈―3或1；D.3或a>—1

综合提高训练：

6.P=—1<m<0),Q=jmw园根X2+4加%一4<0对于任意实数1恒成立}

则下列关系中立的是()

A.P展Q;B.。展PCP=Q;D.PCQ=©

7.设/(〃)=2n+l(nwN),P={12,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记

P={«G^/(n)GP},0={〃WN*|/(〃)WQ},则(户nCN@)UQriGv>)=()

A.{0,3}；B.{1,2}；c.{3,4,5};D.{1,2,6,7)

8.设A、B是非空集合，定义

Ax5={x|xeAuBJLreACJB},已知A={x中=，2x一旦},B={y|y=2",x>0},

则AXB等于()

A.[0,+oo)；B.[0,1][2,+oo)；C.[0,1)[2,+oo)；D.[0,1](2,+00)

第2讲函数与映射的概念

★知识梳理

1.函数的概念

(1)函数的定义：

设A、8是两个非空的数集，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的每一个数X,在

集合8中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为

y=f(x),x^A

(2)函数的定义域、值域

在函数y=/(x),xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y=的定义域;与

x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛/(x)keA｝称为函数y=f(x)的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

2.映射的概念

设A、8是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素,在集合8

中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从A到3的映射，通常记为

f：AiB

★重、难点突破

误

问题1：己知函数y=/(x)的定义域为[a,b],求y=/.(x+2)的定义域

问题2：已知y=/(x+2)的定义域是[a,b],求函数y=f(x)的定义域

2.求值域的几种常用方法

(1)配方法：对于(可化为)''二次函数型”的函数常用配方法，(2)基本函数法：一些由基

本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y=log](一/+2x+3)就是利

2

用函数y=log14和u=-x2+2x+3的值域来求。

2

2尤+1

(3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y=-----的值域

'x2-2x+2

由y=一^—得yV—2(y+l)x+2y—1=0,若y=(),则得％=-工，所以y=()是

x~—2x+22

函数值域中的一个值；若ywO,则由△=[-2(y+l)]2-4y(2y-l)20得

3—V133+V13□士后仃「卡估布、曰「3—3+JT5

---<y<--—且yw0,故所求值域是[—--,---]

(4)分离常数法：常用来求''分式型〃函数的值域。

3r

(5)利用基本不等式求值域：如求函数y=的值域

%■+4

(6)利用函数的单调性求求值域：如求函数卜=2/一/+2(》€[_1,2])的值域

(7)图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些

分段函数的值域常用此法)。

★热点考点题型探析

考点一：判断两函数是否为同一个函数

[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数？

(1)f(x)—y[x^，g(x)=；

[1x>0,

(2)f(%)=U,g(X)=

x[-1x<0;

(3)f(x)=2,1^x^,g(x)=(2n^[x)2n-}(«eN*)；

(4)/(x)=VxVx+1,g(x)=Vx2+x；

(5)f(x)=x2—2x—1,g(f)—t2—2t—\

[新题导练]

1.下列函数中与函数y=x相同的是()

___2

A.y=(Vx)2;B.y=疗"；C.y=V?；D.y=-

X

2.(与函数y=0.1®2'f的图象相同的函数是()

A.y=2x-1(%>—)；B.y=―--；C.y=---(x>—)；D.y=|-----

-2-2x-l2x-l22x-l

考点二：求函数的定义域、值域

题型1：求有解析式的函数的定义域

[例2].函数/(x)=-ln(7x2-3x+2+J-炉-3安+4)的定义域为()

X

A.(-8,-4)U[2,+8);B.(TO)U(0,1);C.[,—4,0)U((U]；D.[,T,O)U(O,D

题型2：求抽象函数的定义域

［例3］设/•(x)=lgZ±3,则f(忘)+的定义域为()

2—x,

A.(-4,0)U(0,4)；B.(-4,-1)U(1,4);C.(-2,-l)U(l,2);D.(-4-2)U(2,4)

题型3；求函数的值域

［例4］已,知函数y=X?—4ax+2a+6(aeR),若y20恒成立，求/(a)=2—4。+3|的值

域

Jx—2—1

3.函数/(x)=乂--------的定义域为

log2(x-l)

4.定义在R上的函数y=/(x)的值域为［a,句，则函数y=/(x-l)的值域为()

A.[<2—l,b—1]；B.[o,/?]；C.[tz+1,/?+!]；D.无法确定

5.若函数y=/(x)的定义域是［1,3］,则函数g(x)=13的定义域是

x-1

91

6.若函数y=/(x)的值域是亡,3］,则函数/x)=/(x)+—的值域

3/(x)

是__________

考点三：映射的概念

［例5］为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文—密文(加密)，接收方由密文—明

文(解密)，已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文。+2瓦如+c,2c+3d,4d.例如,明文

1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()

A.7,6,1,4；B.6,4,1,7；C.4,6,1,7；D.1,6,4,7

理解映射的概念，应注意以下几点：

(1)集合A、B及对应法则/是确定的，是一个整体系统；

(2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合4的

对应关系一般是不同的；

(3)集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯二的，这是映射区别于一般

对应的本质特征；

(4)集合A中不同元素，在集合8中对应的象可以是同一个；

(5)不要求集合8中的每一个元素在集合A中都有原象.

［新题导练］

7.集合A={3,4},8={5,6,7},那么可建立从A到8的映射个数是,从B到A的

映射个数是.

8.若/:y=3x+l是从集合A={1,2,3,4}到集合B={4,7,a4,/+3a}的一个映射，求自然数

a、%的值及集合A、B.

备选例题：已知集合M是满足下列性质的函数/(x)的全体：存在非零常数T,对任意xeR,

有f(x+T)=疗(x)成立。

(1)函数/(x)=x是否属于集合M?说明理由；

(2)设函数/(尤)=优(。＞0,。。1)的图象与y=x的图象有公共点，证明：

/(%)=axGM

★抢分频道

基础巩固训练：

1.已知函数/(x)=~^=的定义域为N,g(x)=ln(l+x)的定义域为M,则MUN=

vl-x

2.函数y=杷及①")的定义域是

X

3.函数y=2^~-1~^的值域是

2'+1-----------

［

4.从集合A到B的映射中，下列说法正确的是()

A.B中某一元素”的原象可能不只一个；B.A中某一元素4的象可能不只一个

C.A中两个不同元素的象必不相同；D.B中两个不同元素的原象可能相同

5.下列对应法则/中，构成从集合A到集合B的映射是

A.A={x|%>0},B=/?,/:x—>|^|=x2

B.A—{—2,0,2},B={4},/:y=x2

C.A=R,B={y\y>0},f:x^y=-^-

x

x

D.A={0,2},8={0,l}J:xfy=i

25

6.若函数y=f—3x—4的定义域为[0,m],值域为[--,-4],则加的取值范围是（）

4

A.（0,4]；B.[->3]；C.弓，4]；D.[j,+oo）

综合提高训练:

8.设函数/(x)=ln2±±,则函数8(%)=/(当+/(,)的定义域是_______

2-x2x

9.设函数/(x)=/1+x+|1■的定义域是+(〃是正整数)，那么/(x)的值域中共有

个整数

第3讲函数的表示方法

★知识梳理

一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

1.图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系;

2.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系;

3.解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破

重点：掌握函数的三种表示法--图象法、列表法、解析法，分段函数的概念

难点：分段函数的概念，求函数的解析式

重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：

(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则用待定系数法；

(2)若已知复合函数ZTg(x)］的解析式，则可用换元法或配凑法;

问题1.已知二次函数满足y(2x+l)=4x2-6x+5,求f(x)

方法一：换元法

方法二：配凑法

方法三：待定系数法

(3)若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出/(%)

问题2：已知函数/⑴满足/(x)+2/d)=3x,求/(x)

X

★热点考点题型探析

考点1:用图像法表示函数

［新题导练］

1.一给定函数y=/(x)的图象在下列图中，并且对任意.e(O,l),由关系式

/(%)=°得到的数列｛4｝满足%+1一。“>0(〃GN*)，则该函数的图象是()

A

BCD

2.函数旷=/回一|%—1|的图象大致是()

考点2：用列表法表示函数

［例2］)已知函数/(x),g(x)分别由下表给出

X123X123

/(X)131g(x)321

则/［g(D］的值为；满足/［g(x)］>g［/(x)］的x的值是

［新题导练］

3.设/、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下)：

映射/的对应法则是表1

原象1234

象3421

映射g的对应法则是表2

原象1234

象4312

则与/Ig(D］相同的是()

A.g[/(Dl；B.g[/(2)]；C.g[/(3)]；D.g[/(4)l

4.二次函数)=<2%2+加;+<?(无《10的部分对应值如下表:

X-3-2-101234

y60-4-6-6-406

则不等式ax2+bx+c<0的解集是

考点3:用解析法表示函数

题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式

1_i_Y1_丫2

［例3］已知/(7)=匕二，则/*)的解析式可取为

\-xl+x

题型2：求二次函数的解析式

［例4］二次函数f(x)满足/(x+1)-/(x)=2x,且/(0)=1»

⑴求f(x)的解析式；

⑵在区间［-1,1］上，/=/(刈的图象恒在丁=2%+根的图象上方，试确定实数机的范围。

[新题导练]

7T

5.若/(sin%)=3-cos2x,则/[sin(--x)]=

6.设y=/(x)是一次函数，若/⑼=1且/⑴J(4)J(13)成

等比数列，则/(2)+/(4)++/(2〃)=；

1-1-y

7设/(x)=—,又记

/(x)=/(x),加(x)=/(£.(x)),左=1,2,,则以00s(x)=()

1+xx-\八1

A.----；B.-----；C.x；D.---；

1-xx+1X

8.设二次函数/(x)满足/(x—2)=/(—x—2),且其图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得

的线段长为近，求/(X)的解析式。

考点4：分段函数

题型L根据分段函数的图象写解析式

题型2：由分段函数的解析式画出它的图象

例6］(2006•上海)设函数/(X)=旨一4左一5「在区

间［-2,6］上画出函数/(x)的图像。

［思路点拨］需将来绝对值符号打开，即先解，一4万-520,然后依分界点将函数分段表示,

再画出图象。

-2<x<-1或5<x<6

［解析］f(x)=\x2-4x-5，如右上图.

-l<x<5

【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符

号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。

［新题导练］

2x-3(x>0)「，、r

9.(09年潮州金山中学)已知函数/'(x)=4,,则/"(1)］=_______

%"+1(%<0)

［解析］2；由已知得到./U•⑴］=”2x1-3)=/(—1)=(—1)2+1=2

’2万*T,X<2.

10.(06山东改编)设/(x)=4,则不等式/(x)-2>0的解集为________

2

log2(x-l),x>2,

［解析］(l,2)U(V5,+oo)；当x<2时，由/(x)-2>0得>2,得l<x<2

当xN2时，由/(幻一2>()得Iog2(x2—1)>2,得x>石

X"

备选例题1:(2005•江西)已知函数/。)=------(。，b为常数)且方程/(X)—x+12=0有两个

ax-^-b

实根为Xi=3,Xz=4.

(1)求函数/(X)的解析式；(2)设k>l,解关于x的不等式；f(x)<(k+i)X~k

2-x

V2

［解析］⑴将2=3,%=4分别代入方程一^7+12=0得

ax-^-b

,解得所以/(X)=4(.2).

16°\b=22-x

-----=—Q、

［4a+b

/、-i-zwr-unnM厂(Z+1)X一A—/i_(^+1)X+k八

(2)不等式即为----<-——-----，可r化为------——----<0

2-x2—x2-x

即(％—2)(九一1)(%—外>0.

①当1v2<2,解集为xe(1,k)u(2,+oo).

②当攵=2fl寸，不等式为x—2)2(x—1)>0解集为re(1,2)D(2,zo);

③当%>2B机解集为cG(1,2)u(A:,+oo).

备选例题2：(06重庆)已知定义域为R的函数/(x)满足

f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.

(I)若/(2)=3,求/⑴；又若/(0)=a,求/(a);

(H)设有且仅有一个实数/，使得/(%))=玉)，求函数/(x)的解析表达式

解：(I)因为对任意xeR,有f(f(x)-x2+x)^f(x)-x2+x

所以f(f(2)-2Z+2)=/(2)-22+2

又由f(2)=3,得f(3-22+2)=3-22+2,即/⑴=1

若f(O)=a,贝ljf(a—()2+0)=q—()2+0,即/(“)=a

(H)因为对任意xwR,W/(/(x)-x2+x)=fM-x2+x.

又因为有且只有一个实数知使得/(%)=%

所以对任意xeR,有/(x)-/+*=x()

在上式中令x=x(),有了(%)-片+x(,=%

又因为/(%)=%所以%-无；=0,故/=0或无o=l

若光o=0,则/(x)-/+光=0,=X2-x

但方程X?-x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故

若%=1，则有/(》)-f+x=i,即/(x)=x2-x+]易验证该函数满足题设条件。

综上，所求函数为〃x)=x2_x+](xeR)

★抢分频道

基础巩固训练:

1.(09年广州高三年级第一学期中段考)函数y=/(x)的图象如图2所示.观察图象可知

函数y=/(x)的定义域、值域分别是()

A.[-5,0]o[2,6),[0,5]；B.[-5,6),[0,+8)

C.[-5,0]u[2,6),[0,+8)；D.[-5,+a)),[2,5]

[解析]c；由图象可以看出，应选择c

2.(09年惠州第一次调研考)某工厂从2000年开始，近八年以来窗产某种产品的情况是：

前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的

产量y与时间，的函数图像可能是()

量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，.♦.选B.

3.(2004・湖南改编)设函数/(幻=[；2+"+。，》"。,若/(_3)=/(0),/(_1)=—2,则关于

IZ,X>U.

X的方程f(x)=X的解的个数为

［解析］3；由/(-3)=/(0),/(—1)=-2可得b=3,c=O,从而方程/(x)=x等价于

x>0x<0x<0

V或V2，解41得到1=0或%=—2,从而得方程/(x)=x

X=f(x)=2x+3x=xx~+3x=x

的解的个数为3

4.(05江苏)已知。涉为常数，若/(X)=》2+4X+3,

f(ax+b)-x2+1Ox+24,则5a-b=

[解析]2；因为_/(》)=炉+4》+3,所以

f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+(b2+4Z?+3)

a2=1

又f(ax+h)=x2+\Ox+24,所以，《2ab+4a=10

b2+4b+3=24

a=\[a=-1

解得1或4，所以5〃一〃二2

b=3b=—7

a,a>b()

5.对。、AwR,记mar{。，b}=<,函数f(x)=ma¥(sinx,cosx)(xGR)

bya<h

的最小值是()

V2,V2

A.-1；—；c.---1

2

［解析］C；作出/(x)=sinx和g(x)=cosx的图象即可得到函数

/(x)=niar{sinx,cosx}(xGR)的最小值是——

7,(x)xe[(),/)

6.(中山市09届高三统测)已知函数/(x)=<其中

力(%)=一2。一/)2+1,%(x)=—2x+2。作出函数/(x)的图象;

［解析］函数f(x)图象如下:

说明：图象过尾)、k(1,0)点：在区间0日上的图象为上凸的曲线段；在区间

-,1上的图象为直线段.

2

综合提高训练：

7.(09年惠州第二次调研考)如图，动点P在正方体ABCO—AgG。的对角线上.过

点户作垂直于平面§4的直线，与正方体表面相交于“，N.设BP=x,MN=y,

则函数y=/(x)的图象大致是(

Di

A

［解析］B；过点尸作垂直于平面84。。的直线，当点尸运动时，线与正方体表面相交于

M,N两点形成的轨迹为平行四边形，可以看出x与y的变化趋势是先

递增再递减，并且在x的中点值时y取最大

8.(06重庆)如图所示，单位圆中A台的长为x,7(x)表示弧AB与弦

AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=/(x)的图像是()

示,

单位圆中的长为X,/(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当AB的长小

于半圆时，函数y=/(x)的值增加的越来越快，当A3的长大于半圆时，函数y=/(x)的值

增加的越来越慢，所以函数y=/(x)的图像是D.

9.(06福建)已知/(x)是二次函数，不等式/(x)<0的解集是(0,5),且/(x)在区间［一1,4］

上的最大值是12。

⑴求/(x)的解析式；

(II)是否存在实数内使得方程/(刈+3二7=0在区间(加,加+1)内有且只有两个不等的

x

实数根？若存在，求出，〃的取值范围；若不存在，说明理由。

［解析］(I)/(x)是二次函数，且/(%)<()的解集是(0,5),

可设f(x)=ax(x—5)(。>0).

.♦./(x)在区间［―1,4］上的最大值是/(一1)=6〃，由已知，得6。=12,

CL=2,

/(%)=2x(%-5)=2x2-10x(xeR).

37

(ID方程/(%)+—=0等价于方程2X3-10X2+37=0.

x

设/i(x)=2x3—10x2+37,则/z'(x)=6x2—20x=2x(3x—10).

当xe(0,5)时，"(x)<0M(x)是减函数；

当X€(5,+8)时，/f(x)>O,/z(x)是增函数。

加3)=1>0,*)=-MQ爪4)=5>0,

方程/z(x)=0在区间(3,号),(号,4)内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,+00)内没有

实数根，

所以存在惟一的自然数m=3,使得方程/(%)+=37=0在区间(私加+1)内有且只有两个不同

x

的实数根。

第4讲函数的单调性与最值

★知识梳理

函数的单调性定义：

设函数y=/(x)的定义域为A,区间/qA

如果对于区间/内的任意两个值占，/，当的<当时，都有/(的)</(々)，那么就说

y=/(x)在区间/上是单调增函数,/称为y=f(x)的单调增区间

如果对于区间/内的任意两个值的，々，当的<当时，都有/(为)〉/12)，那么就说

y=/(x)在区间I上是单调减函数,/称为y=f{x)的单调减区间

如果用导数的语言来，那就是：

设函数y=/(x),如果在某区间/上尸(x)>0,那么设函为区间/上的增函数;

如果在某区间I上f'(x)<0,那么/(%)为区间/上的减函数;

1.函数的最大(小)值

设函数y=/(x)的定义域为A

如果存在定值/eA，使得对于任意xeA,有/(x)W)(Xo)恒成立，那么称/(X。)为

y=的最大值;

如果存在定值x°eA,使得对于任意xeA,有f(x)>/(%)恒成立，那么称/(%)为

y=f(x)的最小值。

★重、难点突破

重点：掌握求函数的单调性与最值的方法

难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值

重难点：1.对函数单调性的理解

(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须

先求函数的定义域；

(2)函数单调性定义中的匹，占有三个特征：一是任意性；二是大小，即

X,<x2(xi<x2);三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

(3)若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间/上/'(x)>0(/'(x)<0)仅是/(x)为

区间/上的增函数(减函数)的充分不必要条件。

(4)关于函数的单调性的证明，如果用定义证明y=/(x)在某区间/上的单

调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。但是要注意，

不能用区间/上的两个特殊值来代替。而要证明y=/(x)在某区间/上不是单调递增的，只

要举出反例就可以了，即只要找到区间/上两个特殊的不，%，若不(尤2,有/小)2/5)

即可。如果用导数证明y=/(x)在某区间/上递增或递减，那么就证明在某区间/上

八X)>0或/'(幻<0。

(5)函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y=,分别在(-oo,0)

X

和(0,+8)内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(-8,0)U(0,+8)内是单调递减

的，只能说函数y=-的单调递减区间为(一8,0)和(0,+8)

x

(6)一些单调性的判断规则：①若/(X)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么

/(x)+g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)。②复合函数的单调性规则是“异减同增”

2.函数的最值的求法

(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。

(2)利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性

求最值。

(3)基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取

得)。

(4)导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法

(5)数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化

范围。

★热点考点题型探析

考点1函数的单调性

题型1：讨论函数的单调性

----，x<1,

[例1](2008广东)设&eR,函数/(X)={1—xF(x)=f(x)—kx,xeR.

—Jx—l,xNl

试讨论函数尸(x)的单调性.

［解题思路］分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导

数来研究。

1f1

［解析］:因为/(x)=<1-x''，所以F(x)=/(x)-依=1l-x,xeR.

-Jx-l,X>1-^Jx-\-kx

⑴当x<l时，l-x>0,尸(x)=--------k,(x<1)

(I-%)2

①当上《O时，F(x)>0在(一8,1)上恒成立，故F(x)在区间(一8,1)上单调递增;

Ia

②当%>0时，令F'(x)=------7―女=0,(%<1),解得x=l—J,

(1-x)k

且当x<l-二时.，F\x)<0；当1一二<彳<1时，F\x)>0

kk

Jk

故F(x)在区间(-oo,l-")上单调递减,在区间(1—"』)上单调递增；

kk

⑵当x>l时，x-l>0,F'(x)-----,—k,(x>1)

①当女NO时，E'(x)<0在(l,+oo)上恒成立，故F(x)在区间(1,+8)上单调递减；

②当k<0时，令尸'(幻=一一—A=解得x=l+二y,

且当l<x<l+_v时，F\x)<0；当x>l+」v时，F'(x)>0

4k24k2

故F(X)在区间(1,1+—］)上单调递减,在区间a+—1，+»)上单调递增；

4k4k'

综上得，①当k=0时，F(x)在区间(-8,1)上单调递增，F(x)在区间(1,+8)上单调递减;

②当k<0时，F(x)在区间(-8,1)上单调递增，在区间(1,1+上单调递减,在区间

1

(1+—\,+8)上单调递增；③当上〉0时，F(x)在区间(—8,1—丝)上单调递减,在区间

4Hk

五

(1-—,1)上单调递增,在区间(L+00)上单调递减.

【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意

分段处理.

题型2：研究抽象函数的单调性

［例2］定义在R上的函数y=/(x),/(0)/0,当x>0时，/(x)>1,且对任意的a、bGR,

有/(a+h)=f(a)-fCh).

(1)求证：/(0)=1；

(2)求证：对任意的xWR,恒有f(x)>0；

(3)求证：/(x)是R上的增函数；

(4)若/(x)■/(2x—A2)>1,求x的取值范围.

［解题思路］抽象函数问题要充分利用“恒成立'’进行"赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。

［解析］(1)证明：令a=b=O,则/XO)=f2(0).

又/(0)#0,：.f(0)=1.

(2)证明：当x<0时，-x>0,

'.f(0)=f(x)-f(一x)=1.

:.f(—%)=—-—>0.又时f(x)>1>0,

fM

.•.xCR时，恒有/(x)>0.

(3)证明：设X［<X2，则X2—为>0.

.,.f(X2