高中数学必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练 (五)

必修二第八章第六节《空间直线、平面的垂直》解答题提高训练(5)

1.如图，在三棱锥V-4BC中，VA=VB=VC,ACIBC,O,M

分别为AB,3的中点.

(I)求证：平面4BCJL平面VAB；

(口)若4。=8配△SAB是面积为旧的等边三角形，求四棱锥C-

80MIZ的体积.

2.如图，PA平面ABCD,四边形ABC。是正方形,PA=AD=2,

M、N分别是4B.PC的中点.

⑴求证：平面MN。_L平面PCD；

(2)求点P到平面MND的距离.

3.如图，在四棱锥M-4BCD中，ABLAD,AB=AM=AD=2,MB=MD=2V2.

(1)证明：AM1平面ABCD；

(2)若CD〃/IB,2CD=AB,E线段BM上一点，且BE=2EM,求直线EC与平面BCM所成

角的正弦值.

4.在四棱锥P-4BC0中，PAABCD,AB=BD=DA=2V3,BC=

CD=2.

(1)求证：平面PAC1平面尸B£＞；

(2)若直线CD与平面尸BC所成角的正弦值为4,求平面PCO与平面PBC

所成锐二面角的余弦值.

5.在四棱锥P-ABCD中，AP=PD=DC=CB=1,AB=2,^APD=Z.DCB=/.CBA=90°,

平面PADJ•平面ABCD.

(I)求证：PB=PC；

(n)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.

6.如图，四棱柱4BC0—4BiG0i的底面为菱形，M为中点，N为441中点，P为当的中点.

AB

(1)证明：直线PN〃平面AMD;

(2)若44I1平面ABCD,AB=2,AAr=4,乙BAD=60°,求平面AMD与平面PN%所成的锐二面

角的余弦值.

7.如图，在四棱锥S—4BCD中，AB1AD,AB//CD,平面SAD_L平面A8CZ),M是线段相＞上

一点，AM=AB,DM=DC,SMI40.

(1)证明：BMJ■平面SMC；

(2)若CD=3AB,设三棱锥C-SBM与四棱锥S—4BCD的体积分别为匕与V,求子的值.

8.如图，在三棱锥P-4BC中，点M,N分别是棱A8,AC的中点，且P4=PC,PNLAB.

p

A.'z^,---------

V

(I)求证：MN〃平面PBC；

(n)求证：PN1BC.

9.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SO垂直于底面ABCQ,SD=1.

(1)求证BC1SC；

(2)求平面S8C与平面A8CD所成二面角的大小；

(3)设棱S4的中点为求异面直线。用与S8所成角的大小

10.如图，在正方体48(?。―4/道1。1中，CG=gCG，BE=抑,BF=|AB,B^G与£E交于点、

O.

(1)证明：E,F,G四点共面;

(2)求证：BiGIDiE.

11.已知四棱锥£—/BCD中，四边形A8CO为等腰梯形，AB//DC，AD=DC=2,48=4,

△4DE为等边三角形，且平面4DE_L平面ABCD

(1)求证：力E18。；

(2)是否存在一点F,满足血(0<2<1)，且使平面ACF与平面BCE所成的锐二面角

的余弦值为遐.若存在，求出；I的值，否则请说明理由.

13

12.在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为直角梯形，BC//AD,AADC=^°,BC=CD=；AD,

PA=PD,E,F为AD,PC的中点.

(I)求证：PA〃平面BEE

(H)求证：AD1PB.

13.如图，在平行六面体4BCD中，AA1=ArD,AB=BC,AABC=120°.

(1)证明：AD1BA1；

(2)若平面4DD1&_L平面A8CD,且求直线与平面A/iCD所成角的正弦值.

14.如图所示的多面体中，四边形ABCZ)是正方形，平面ZED_L平面ABC。，EF//DC,ED=EF

1

-CD=1,Z.EAD=30°.

(I)求证：AE1FC；

(II)求点。到平面8b的距离.

15.如图，ABCD-ABiGDi是棱长为1的正方体.

(I)求证：平面ABDL平面为ACC1；

(n)在棱CC1上是否存在点P,使得二面角4一8D—P的平面角与二

面角P-BC-C的平面角相等，如果存在，求出CP的长，如果

不存在，请说明理由.

16.如图，在三棱柱ABC-4B1G中，CG1平面ABC,D,E,F,G分别为AC,A^,的

中点，AB=BC=娼,4c=7L4i=2.

Ci

(1)求证：AC_L平面BEF；

(2)求二面角B-CD-G的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面8CZ)相交.

17.如图，正方体的棱长为4,M,N分别为棱为劣，CQ的中点，P为。劣上一

(1)证明：CP〃平面BiMN；

(2)求点C到平面/MN的距离.

18.如图，在四棱锥P-ABCO中，AB//CD,AB1BC,CD=2AB,PAABCD,E为PZ）的

中点.

(/)证明：4E〃平面P8C;

(11)若「4=(?。=2,求点E到平面P3C的距离.

19.如图，四边形ABCZ)中，AD//BC,^BAD=90°,AB=BC=®AD=20,E,F分别是线

段A。，CO的中点.以EF为折痕把^DEF折起，使点。到达点尸的位置，G为线段PB的中点.

p

(1)证明：平面G4C〃平面PEF；

(2)若平面PEF1平面ABCFE,求直线AG与平面PAC所成角的正弦值.

20.如图，在多面体A8CZJE尸中，平面ADEFJ■平面4BCD.四边形AOEF为正方形，四边形ABC。

为梯形，S.AD//BC,ABAD=90°,AB=AD=1,BC=3.

(1)求证：AF1CD；

(2)求直线BF与平面CQE所成角的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：解：(I)证明：VVA=VB,。为AB的中点，二7。！AB,

•••VO2+OA2=VA2,

•••AC1BC,OC=0A,

■：VA=VC,：.VO2+OC2=VC2,VO1.0C,

OCQAB=0,：.VO_L平面ABC.

VOU平面.,.平面ABCJ■平面VAB.

(n)•,•AC=BC,OCLAB,:.OCL平面VAB,

△匕4B是面积为旧的等边三角形，••.IM=VB=AB=2,OC=1,

.•・四棱锥C-BOMV的体积为:

1.3

V四边形BOMV-X1X-X

C-BOMV=-XOCXS=34^^VAB—~

解析：(I)推导出VOJL48,VOIOCf推导出，0_L平面ABC,由此能证明平面/BC，平面以B.

(11)推导出。018,。。_1平面以8,VA=VB=AB=2,OC=1,四棱锥C-BOMIZ的体积为

VC-BOMV=-XOCXS四边形80MV・

本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

2.答案：(1)证明：•・,PAJ_平面ABCD,AB1ADf/.AB.AD.

A尸两两互相垂直，

如图所示，分别以48、A。、AP所在直线为x轴、y轴和z

轴建立空间直角坐标系，可得4(000),8(2,0,0),C(2,2,

0),0(0,2,0),P(0,0,2),

M(l,0,0),N(l/，1),

・••丽=(0,1，1),ND=(-1,1,-1),而=(0,2,-2)

设沆=(x,y,z)是平面MND的一个法向量,

可得伯亚=y+z=。取了…得-2,z=l,

[m-ND=-x+y-z—O

•••隹=(一2,-1,1)是平面MND的一•个法向量，同理可得元=(0,1,1)是平面PC£＞的一个法向量，

•••m-n=-2x0+(―1)xl+lxl=0,mln,

即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MNDJL平面PCD-

(2)解：由⑴得沅=(-2,-1,1)是平面MND的一个法向量，

~PD=(0,2,-2),得而-m=0x(-2)+2x(-1)+(-2)x1=-4,

•・•点P到平面MND的距离d=粤=于*=乎.

|m|V4+1+13

解析：(1)作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得而、而、丽的坐标，利用垂直向量

数量积为零的方法算出平面平面PC。的法向量分别为访=(—和亢=(0,1,1),算

出布•诂=0可得沅1元，从而得出平面MNDJ■平面PCQ；

(2)由(1)中求出的平面MVZ)法向量沅=(一2,-1,1)与向量方=(0,2,-2),利用点到平面的距离公

式加以计算即可得到点P到平面MND的距离.

本题在特殊的四棱锥中证明面面垂直，着重考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、二面角的

定义及求法和点到平面的距离等知识，属于中档题.

3.答案：解：(1)•；AB=AM==2,MB=MD=2五,

AM2+AD2=MD2,AM2+AB2=MB2

所以AM_LAD,AMIAB,

因为=4AD,4Bu平面ABC。，

所以AM，平面A8CZX

(2)因为4B1AC,所以A。、AM、AB两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角单标

系，

E

材y

因为4B=4M=4D=2,

所以4(0,0,0),0(2,0,0),M(0,2,0),B(0,0,2),C(2,0,1)

BD=(2,0,-2),DM=(-2,2,0),

■：BE=2EB

•••E(0,泊，=

设平面BOM的一个法向量为元=(x,y,z),

rfafnBD=0zg[2x_2z=0

In.DM=0*l-2x+2y=O-

取x=1,得记=(1,1,1),

所以cos(元，3>=器=尊=一簪•

所以直线EC与平面3QM所成角的正弦值为运.

53

解析：本题考查了线面垂直的判定、直线与平面所成角和利用空间向量求线面的夹角，属于中档题.

(1)由勾股定理得4BA.AM,AD14M.由线面垂直的判定即可得证;

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求线与平面所成角即可.

4.答案：(1)证明：连接AC,

•:AB=BD=DA=2V3，BC=CD=2,

.•.△ZBD为等边三角形，△BCD为等腰三角形，

AC1BD,

•••PA_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

PA1BD,

又AC介PA=A,AC、PAu平面PAC,

•••BD，平面PAC,

vBDu平面PBD,

平面PAC_L平面PBD.

(2)解：以4为原点，AD,AP为y、z轴，在平面48C£>内，作Ax1面PAO,建立如图所示的空间

直角坐标系，

设P4=a(a>0),则P(0,0,a),5(3,73,0),。(2,2启0),£)(0,2-,0),

CD=(-2,0,0),'BC=(-l,V3,0).PC=(2,273,-a)-

设平面PBC的法向量为沅=®y,z),则但,匣=。，即卜"+丹=°,

令y—1,则无=V3>z=#，二沆=(V3,l>?)，

•••直线CD与平面P8C所成角的正弦值为更，

4

•1•Icos<CD.7n>1-1同而1-1心；V4，

解得a=2或—2(舍负)，

PC=(2,2V3,-2)，rn=(V3,l.2®

同理可得，平面PC。的法向量元=(0,1,V3).

—>t、mn1+67

•1•cos<7711]>=而=屈1+屈=/

故平面PC。与平面PBC所成锐二面角的余弦值为巳

O

解析：⑴连接AC,易知4cl8。，由24_L平面ABC。，推出24180,再根据线面垂直、面面垂

直的判定定理，即可得证；

(2)以A为原点建立空间直角坐标系，设PA=a(a>0),用a表示平面PBC的法向量记,由|cos(而，

沅>|=更，求得a的值，再求出平面PCO的法向量记，然后计算出cos<访，元〉的值，即可.

14

本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质

定理，以及利用空间向量处理线面角和二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑

推理能力和运算能力，属于中档题.

5.答案：解：(1)设A。、BC的中点分别为O、E,连接PO、OE、EP,

则0E为直角梯形ABC。的中位线，故BC10E.

由4P=PD,所以P。_L4D,

又平面P4。1平面ABCD,平面P40D平面ABC。=AD,POu平面PAD,

所以P。1平面ABCD,PO1BC,又P。C0E=0,PO,0Eu平面PEO,

所以BC_L平面PEO,

又PEu平面PEO,故BCLPE,又E为8c中点，所以P8=PC.

(2)在A8上取一点F,使得4B=4A/，则OF,OE,OP两两垂直，

以。为原点，射线。凡OE,0P分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

P(0,0,y),4点心,0),C(-i,|,0),

从而：PA==(0,1,0),

设平面PCD的法向量为五=(x,y,z),

.n-DC=y=0

可取元=(四,0,—1),

一一PA-nV6

cos<PA,n>=--------=—.

I^llnl3

故直线P8与平面PC。夹角的正弦值为渔.

3

解析：本题考查利用空间向量求解线面角以及线面垂直的判定和性质，属于中档题.

(I)利用线面垂直的判定和性质即可得BC1平面PEO,进而得证；

(U)建立空间坐标系，求出平面PC。的法向量，然后利用空间向量夹角公式求出结果.

6.答案：解：(1)连&N,由B、P〃BC〃AD,C平面AM。，二〃平面AMD

•:N为AAi，：.AN=B[M,AN//BtM,故四边形制8泌为平行四边形，

•••B、N“AM•••BjNC平面AMD,AMu平面AMD•••BiN〃平面AMD.

•:NB、CB[P=B],B[N,BJu平面NB[P,

二平面NBiP〃平面AMD.

vPNu平面NBiP,

PN〃平面AMD.

(2)连AC交8。于O,有4C1B。，以。为原点，OA、OB为x轴、y轴正方向，建立空间直角坐标

系

4(何)，0),0(0,-1,0),M(0,l,2),P(-^,|,4),N(何),2),&(0,-1,4),

DA=(V3,1-0),两=(0,2,2),而=(苧而=(今一|,0)，

设平面AMD法向量左=(xj,z)

a-DA=0=

度氏:加6）

.a-DM=0

设平面PN£）i法向量3=（x；y,,z,）

3V3,1,,

—x--y-2z=0

/?•PN=0

一—>=

F•PD=。V3,3,n

.Tx-2y=°

取口=(V3,l>2)

平面AMD与平面PNDi所成锐二面角余弦值为

邛।一同旷N

解析：（1）连BiN,证得8止〃平面AMD,根据四边形ANBiM为平行四边形，可证得B】N〃平面AMD,

进而证得平面NB$〃平面AMD,判定可得直线PN〃平面AMD,

（2）连AC交8。于。，有4c18。，以。为原点，0A、08为x轴、），轴正方向，建立空间直角坐标

系，

求出平面AM。法向量4和平面PN。1法向量瓦可通过夹角公式计算平面AM。与平面PN。1所成锐二

面角余弦值.

本题考查了直线与平面平行的判定问题，也考查了空间想象能力与思维能力，以及利用空间向量求

二面角余弦值，是中档题.

7.答案：（1）证明：•.•平面$4。_L平面ABCD,平面SADn平面4BC。=AD,SMu平面SAD,SM1AD

SM_L平面ABCD,

•••BMu平面ABCD,SM1BM.

•••四边形ABC。是直角梯形，AB13AM=AB,DM=DC,

AMDC都是等腰直角三角形，

•••乙4MB=乙CMD=45°,4BMC=90°,BM1CM.

•：SMu平面SMC,CMu平面SMC,SMPtCM=M,

：.BM1平面SMC.

(2)解：三棱锥C-SBM与三棱锥S-CBM的体积相等，

由(1)知SM1平面ABC。，

可/jSMxl(4B+CD)xzlD，

设4B=a,由CC=34B,AM=AB,DM=DC,

得CD=3a,BM=V2a,CM=3>/2a,AD=4a，

11V2(ZX3V2(13

从叫"=诉诉=3

解析：本题综合考查了面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理以及棱锥

的体积公式等，涉及到的知识较多，综合性很强，对答题者根据题设条件及要解决的问题进行知识

的重新组合、灵活转化的能力要求较高，属于中档题.

(1)证明平面&WC,由题意及图形，先证SM1BM,再证BM1CM,然后由线面垂直的判定定

理直接得出结论即可.

(2)由图形知，三棱锥C-SBM与三棱锥S-CBM的体积相等，而三棱锥S—CBM与四棱锥S—ABCD

等高，故体积比可以转化成面积比，代入数据计算既得.

8.答案：证明：

(I)因为在△ABC中，点M,N分别是AB,AC中点，

所以：MN〃BC,

又因为MNC平面PBC,BCu平面PBC,

所以：MN〃平面PBC.

(11)因为点％是47的中点，月/4=。。，

所以PN14C,

又因PN14B,48u平面ABC,ACu平面ABC,ABnAC=A,

故PN1平面ABC,

因为8cu平面ABC,

所以：PN1BC.

解析：本题考查的知识要点：线面平行的判定的应用，线面垂直的判定和性质的应用，主要考查学

生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

(I)直接利用中位线的性质的应用和线面平行的性质的应用求出结果.

(n)利用线面垂直的判定和性质即可得证.

9.答案：(1)证明•••底面ABCO是正方形，

•••BC1CD,

vSDJL底面ABCD,BCu底面ABCD,

■.SD1BC,

又DCCSD=D,

BC1-TffiSDC,

■：SCu平面SDC,

：.BC1SC.

(2)由(1)知BC_LSC,

又CD1BC,

•••NSCD为所求二面角的平面角，

在Rt团DSC中，

■■SD=DC=1,

乙SCD=45".

故平面SBC与平面所成二面角的大小45。；

(3)取A8中点P,连结MP,DP,

在回4BS,由中位线定理得MP〃SB,

NDMP或其补角是异面直线。M与SB所成角,

.•.MP=.4,DM=争即=乒=争

所以中，有Qp2=Mp2+DM2,

:.乙DMP=9。°.

故异面直线。河与SB所成角的大小90。.

解析：本题考查线面垂直，线线垂直，考查线线角，面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判断,

正确找出线线角，面面角，属于中档题.

(1)由题意得到BC_L面SCC,即可证明结论；

(2)NSLO为所求二面角的平面角，在RtE)DSC中，即可得到结论.

(3)由题意得到NDA/P或其补角是异面直线DM与S3所成角，求解即可.

10.答案：证明：(1)如下图，连接AC,41cl.

因为霹=器号，所以即〃居,

又A\C\〃AC,所以EF〃&C],

所以E,F,4,Ci四点共面；

(2)易得RtAB]C[G三Rt△C[CE,所以NC/IG=乙CJE,

所以NC/iG+“"Bi=ZtCjE+“"Bi=90°,

所以4GOG=90。，即&GJ.EC1.

因为GA1平面BCGBi，所以GDiIBjG,

又EGnRD】=G，EC]、C1D1u平面EG。],

所以8"1平面ECR1，

又DRu平面EC】Di，

所以aG1D、E.

解析：本题考查平面的基本性质及应用，空间中直线与直线的位置关系，考查线面垂直的判定，考

查空间思维能力，是中档题.

(1)连接AC,QG，证得E尸〃&G，即E,F,4,G四点共面;

(2)易得Rt△BiCiG三Rt△gCE,得4C】OG=90。，即BiG_LECi，证得B】GJ■平面EGZ\,即可得

证1D]E.

11.答案：(1)证明：取48的中点G,连接。G,

•：BG=^AB=CD,BG//CD,

四边形8CCG是平行四边形，DG=BC=AG=AD=2,

.•.△ADG为等边三角形，DG=\AB,

•••△4BD是直角三角形，AD1BD.

•••平面4DE平面ABCD,BDu平面ABCD,平面4DECl平面ABC。=AD,

•••BD，平面ADE,

vAEu平面ADE,AE1BD-,

(2)尸为E8中点即可满足条件.

取A。的中点“，连接E”，则EH=V^,BD=2V3，

•.・平面4DE_L平面ABC。，EHADE,平面ADEC平面ABC。=4。，EH1AD,

：.EH_L平面ABCD,

如图建立空间直角坐标系。-xyz,

E

则D(0,0,0),4(2,0,0),8(0,26,0),C(-l,V3,0),E(l,0,回

则育=(2,0，0),CB=(l,V3,0).EB=(-1.2V3,-V3).

EF=.X~EB=(-2,2V3A,-V3A)，

DF=D^E+EF=(1-A,2V3A,V3-V3A)，

设平面AOF的法向量为记=Qi，yi，Zi),平面BCE的法向量为元=(如为々).

由jDF-m=0得［(1—A)xx+2y/3Ay+(V3—V5%)zi=0

1曲.记=0匕尤1=0

取市=(CM-1,24),

由怦,三=0,得卜2+后广。，

(E8-n=01一孙+275y2一遮z?—0

取五二(一次/，3).

于是|cos(沅，记＞I=卷卷

|A-1+6A|_，65

-V13-V5A2-2A+1-13*

解得"刎U=一"舍去)

所以存在；I=3使得平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为迤.

213

解析：本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质和二面角，属于中档题.

(1)取AB的中点G,连接QG,先证BD1平面AOE,由ZEu平面AQE,可得ZE，BD

(2)取A。的中点H,连接EH,如图建立空间直角坐标系。-xyz,求出平面49F的法向量为记=

(0,2-1,22),平面3CE的法向量为元=(一丹1,3).由|cos＜记，元＞1=磊=等可得％=也即

可求解.

12.答案：证明：(I)如图:

连接AC交8E于0,并连接EC,FO,

因为BC〃4。，BC=\AD,E为A。中点，

所以AE^BC，因此四边形ABCE为平行四边形，

所以。是AC中点.

又因为F为PC中点，所以。尸〃PA.

又因为OFu平面8E居P4,平面BEE所以P4〃平面BEE

(口)连接PE.

因为P4=4。，E为AO中点，所以PE14D.

又因为BC〃4D,BC=\AD,E为A。的中点，

所以四边形BC£>E为平行四边形，因此BE〃CD.

又因为N/WC=90。，即4D1CD,所以4DJLBE.

又因为PEnBE=E,PE、BE都在平面PBE内.所以40_L平面PBE,

而PBu平面PBE,因此4D1PB.

解析：本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定和线面垂直的性质，属于基础题.

(1)连接4。交8£于0,并连接EC,FO,利用平面几何知识，结合题目条件得0F〃P4再利用线

面平行的判定得结论；

(U)连接PE,利用平面几何知识，结合题目条件得PE_LA0和AD_LBE,再线面垂直的判定得4。_L

平面PBE,最后利用线面垂直的性质得结论.

13.答案：证明：(1)取A。中点O,连接。8,。&,BD,

H

AAr=A1D,■■AD10Ar,

又NABC=120°,ABAD60，

又AD=AB=BD,

•••△4BD是等边三角形，。为AO的中点，

•••AD1OB,

OArnOB=0,(7.41.013C平面0.小3,

AD1平面&OB,

vAyBu平面40B,

•••AD1BAr.

解：(2)•.•平面4。0遇11平面ABCD,

平面4。。出n平面4BCD=AD,

又A。.LAD,4Q(Z平面4DD|J4I,

•••&。_L平面ABCD,013C平面，13C'D,

:,4］。1OB,

•1.OA.。&、08两两垂直，

以。为坐标原点，分别以04。8、。4所在射线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz,

xy

设AB=4D=4iD=2,

则4(1,0,0),4(0,0,V5),

B(0,V3,0),D(-l,0,0),

则西=（1,0,遮），DC=AB=（-1,73,0）.

而7=（0,-百,百），

设平面为B1CD的法向量记=（x,y,z）,

则（五•DC=-x+V3y=0

In-DA-i=x+V3z=0'

令x=b，则y=l，z=-1,

则五=（遮,1,一1），

设直线与平面&B1CD所成角为。，

则sinJ=|cos<元，西>|=I高翳I

_利_叵

・・・直线B七与平面4出6所成角的正弦值为手.

解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

(1)取AO中点。，连接。8,。&,BD,推导出ADJ.O&,△2BD是等边三角形，从而4。1OB,

进而4。1平面&OB,由此能证明401A$；

(2)推导出。4、。&、OB两两垂直，以。为坐标原点，分别以OA、OB、。公所在射线为x、y、z

轴建立空间直角坐标系。-孙z,利用向量法能求出直线与平面4BiCD所成角的正弦值.

14.答案：解：(I)•••四边形A8C。是正方形，-CDLAD,£___________£

a

又•.・平面4ED1平面ABCD,平面4EDn平面4BCC=AD,CDu面/；\\

ABCD,

CD1平面ADE,（2分）/—

又AEu平面ADE,.-.CD1AE,（3分）.

•••在△40E中，AD=2,DE=1,Z.EAD=30°,

由余弦定理得，AE=V3,•1.AE2+DE2=AD2,AE1EO.（4分）

又CDCiED=D,；.AE1平面EFCD.（5分）

又FCu平面EFCDAAE1FC.（6分）

（II）过点E做EH_L4D交AO于点”，连结FD

•••平面4£>E1平面A8CD平面4DEn平面48C。=40,EHu平面ADE,

EHABCD,在RtZkHE。中，£77=亨（7分）

5LEF//DC,•••DCu面ABCD,EFC面ABCD

EF//^ABCD,­,E到面ABCD的距离等于尸到面ABCD的距离（8分），

•••VF-BCD=?“CD.EH=3x24=今（9分）

在直角梯形EF2A中，EF=1,AE=陋，DC=2,AB=2,可得BF=2,

•••SABFC=；x夜x孚=?（10分）

设D点到平面BFC的距离为d,vVD_BCF=NCD，

即:SABCF•d=9，；•点D到平面BCF的距离”.(12分)

解析：(1)首先证明<:。_1平面4。,CDLAE,又在AAOE中，由余弦定理得可得4E_LED即可得

AE_L平面EFCC.4E1FC.

(11)过点£做"_14。交4。于点/7,连结皿求得砒=争易知E到面A8CD的距离等于F到

面A3CO的距离，设。点到平面BFC的距离为d,得到点。到平面3b的距离声.

7

本题考查了空间线线垂直的证明，等体积法求点到面的距离，属于中档题.

15.答案：(I)证明：由题意可知，AArABCD,又BOu平面ABC。，所以

又因为底面ABC。是正方形，所以对角线4C1B。，

又4Cn44i=4,AC,u平面414CC],所以BDJ_平面414CCi，

又BDu平面&BD,所以平面4BD1平面44CC1；

(II)解：以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，'：,

因为正方体的棱长为1,设CP=a,,/1匚二

则P(0,l,a),4i(l,0,1),0),0(0,0,0),C(0,l,0),

所以丽=(1,1,0),西=(1,0,1),DP=(0,1,a)油[、_/

设平面4BD的法向量为元=(x,y,z),

则有g,竺="+y=°,令x=-1,则y=z=1,故元=(-1,1,1),1

In-DAX=x+z=0

设平面PBD的法向量为沅=(p,q,r),

则有伫'空一P+"°，令p=-l,则q=l,r=故沆=(一1,1,-2),

因为44i_L平面ABCD,不妨取平面CBD的一个法向量为元=(0,0,1)，

因为二面角占一8。一P的平面角与二面角P-BD-C的平面角相等，

所以|cos<n,m>|—|cos<m,n^>,

即需=解，所以占解得a=”史，

|n||m|g12+^lx」2+表2

所以CP=11更＞1,

2

故在棱CC1上不存在点P,使得二面角4一BD-P的平面角与二面角P-BD-C的平面角相等.

解析：(I)先证明_LBD,再利用正方形的性质证明ACLBD,从而可证BD_L平面为ACG，由面

面垂直的判定定理证明即可：

(□)建立合适的空间直角坐标系，设CP=a,求出所需点的坐标和向量的坐标，求出三个平面的法

向量，利用向量的夹角公式列出等式关系，求出a的值判断即可.

本题考查了面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直

角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

16.答案：(1)证明：•：E,尸分别是AC,4G的中点，

：.EF//CCr,

•••CCi1平面ABC,

•••EF，平面ABC,

又ACu平面ABC,

•••EF±AC,

"AB=BC,E是4c的中点，

BE1AC,

又BEnEF=E,BEu平面BEF,EFu平面BEF,

AC，平面BEF；

(2)解：由(1)可知，EF1AC,BELAC,EF1平面ABC,

又BEu平面ABC,

EF±BE,

故以E为原点，以EB,EC,即为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

则8(2,0,0),C(0,l>0),D(0,—1,1),

，就0),而=(0,-2,1),

设平面BCD的法向量为前=(%j,z),

元•匣=0(—2x+y=0

[—2y+z=0,

元-CD=0

令y=2,可得五=(1,2,4),

又EFLBE,BELAC,

且EFCAC=E,EFu平面/CCp4i，4Cu平面

・•・EBJ"平面4CCi4i，

EB=(2,0，0)为平面CDG的一个法向量，

t云甘n-EB2V21

：•cos<n,EB>=――<="=-=—,

|n||EB|VHX221

由图形可知，二面角B-CD—G为钝二面角，

••・二面角B-CD-G的余弦值为一宗；

(3)证明:尸(0,0,2),G(2,0,1),

•••FG=(2,0,—1),

FG•元=2+0—4=—2力0,

而与元不垂直，

•••FG与平面BCD不平行,

又FG仁平面BCD,

•••FG与平面BC£＞相交.

解析：本题考查了线面垂直的判定，利用空间向量求二面角，空间中直线和平面的位置关系，属于

中档题.

(1)证明EFJ.AC,BEVAC,即可得出4C_1_平面8ER

(2)建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角的余弦值进行求解即可；

(3)根据题意，利用向量而与平面的法向量不垂直即可得解.

17.答案：(1)证明：在。劣上取点Q使得。iQ=l,连接QMQN,

则由已知易得MQ〃当N,

所以M,Q,N,8i四点共面,

Y.PQ//CN,且PQ=CN=2,

所以四边形PQNC为平行四边形，

所以CP〃QN,

因为QNu平面/MN,CP仁平面/MN,

所以CP〃平面&MN.

(2)解：因为当"=B[N=CjM=V42+22=2V5.

所以取MN中点H,连接可得BiHJ.MN,

在Rt团NCiM中，MN=J(2通＞+22=2逐，

故SmBWN=j\MN\\B.H\=|x2A/6xJ(2V5)2-(V6)2=2同,

又S®BGN=[x2x4=4,点M到平面&CN的距离为棱长4,

设点C到平面&MN的距离为d,

则由N为CCi的中点可得Q到平面&MN的距离也为cl.

由匕:1-JMN=KM-BIQN可得三x2A/2T,d=-x4x4,

解得d=晅，

21

故点C到平面B1MN的距离为等.

解析：本题考查了线面平行的判断，空间中点到平面的距离，是中档题,

(1)在。。[上取点。使得DiQ=1,连接QM,QN,可得M,Q,N,8i四点共面，进而四边形PQNC为平

行四边形，所以CP〃平面&MN.

(2)因为=B[N=GM=V42+22=2通,

所以取MN中点”，连接Bi",可得B[HJ.MN,在Rt回NGM中，MN=J(2通/+22=2遍，求

得=：x2乃xJ(2>/5)2-(V6)2=2721-设点C到平面B】MN的距离为4,

则由N为CQ的中点可得Q到平面&MN的距离也为d.由忆用MN=NM-BGN可得答案.

18.答案：(I)证明：设线段C。的中点为匕连接EEFA,

在APCO中，EF为中位线，

故E/7/PC,

又EF仁平面PCB,PCu平面PCB,

所以EF〃平面PCB,

在底面直角梯形A8C。中，FC"BA,且FC=AB,故四边形QFBC为平行四边形，

^FA//CB,

又FAC平面PCB,CBu平面PCB,所以F4〃平面PCB,

又因为EFu平面EFA,FAu平面EFA,S.EFC\FA=F,所以平面EF4〃平面PCB,

又4Eu平面EE4,所以有4E〃平面PC8.

(口)解：由(I)可知，点E到平面PCB的距离是点O到平面PC8的距离的一半.

因为PA1平面ABC。，AB1BC.PA^AB=A,所以BC1平面PAB,所以BC1PB.

1112

所以%-BCD=：SABCDPA=^X^X2XBCX2=IBC.

在RtZsP43中，AB=1,PB=>JPA2+AB2=74+7=V5>

所以SAPCB=|XBCXV5=yBC.

设点D到平面PBC的距离为d,

则二xdx更BC=2BC，解得d=延，

3235

所以点E到平面PBC的距离为独.

5

解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查点E到平面PCB的距离、三棱锥体积的求法，属于中

档题.

(I)设线段CD的中点为凡连接£/，R4.通过线面平行证明平面£尸4〃平面PC8,再证明：4E〃平

面PCB；

(D)由(I)可知，点E到平面PC3的距离是点。到平面PC3的距离的一半，利