高中数学 空间几何体解答题（计算题）训练含答案

高中数学空间几何体解答题(计算题)专题训练含答案

姓名：班级：考号：

一、计算题(共20题)

1、一个多面体的直观图和三视图如下:

(其中就川分别是月死死中点)

(1)求证：胸〃平面C公爵；

(2)求多面体8-CDSF的体积.

2、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图甲所示.墩的上半部分是正四棱锥

P-EFGH,下半部分是长方体-即期.图乙、图丙分别是该标识墩的正(主)视

图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；

(2)求该安全标识墩的体积；

(3)证明：直线BD1.平面PEG.

p

3、如图所示，正方形N88与直角梯形所在平面互相垂直，43忑=90",

•AFHDS,DE=DA=2J4F=2.

(I)求证：/CM平面立丽;

(ID求四面体密:虚尸的体积.

4、某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图甲所示.墩的上半部分是正四棱锥

P-EFGH,下半部分是长方体，密”-酬图乙、图丙分别是该标识墩的正(主)视图和

俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；

(2)求该安全标识墩的体积；

(3)证明：直线初_L平面尸岚?.

p

5、如图，在四棱锥力中，底面幻为直角梯形，AD//BC,/A除90°,平面咏J_

£

底面力腼，0为49的中点，物是气的中点，PA=PD,BO2AD.

(I)求证：24//平面囱幻；

(II)求证：平面胤见L平面PAD.

6、下图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的体积.

即左网

俯视图

7、下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图.

(I)若歹为，叨的中点，求证：切，面PCD；

(H)证明此，'，'面尸四7；

(III)求面性。与面F8所成的二面角(锐角)的余弦值.

8、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中肺，学分别是川5',WC*的中点，仃是废

上的一动点.

(I)求该几何体的体积与表面积；

(II)求证：亮

(III)当FG^C/口时，在棱力门上确定一点尹，使得GF〃平面并给出证明.

俯视图

9、如图，在四棱锥尸/6切中，AD//BC,AB=AD=2BC,仍=如，"是阳的中点.

(1)求证：平面OAB-,

(2)求证：BDLOA.

10、已知几何体4—6。物的三视图

如图所不，其中俯视图和侧视图都是

腰长为4的等腰直角三角形，正视图

为直角梯形.

(1)求此几何体的体积V的大小；

(2)求异面直线DE与AB所成角的

余弦值；

(3)试探究在DE上是否存在点Q,使得AQ_LBQ并说明理由.

11、如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形,

俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示).

(1)求四棱锥人/况》的体积；

(2)证明：劭〃平面比G

⑶若6为8。上的动点，求证：AELPG.

12、如图，在四面体工£0C(中，百，NADH=12伊,且必=，3=8=L

(I)设P为线段的中点，试在线段月F上求一点也，使得摩_1口4；

(II)求二面角0-工二-2的平面角的余弦值.

13、右图是一几何体的直观图、正视图和俯视图。

(I)在正视图右侧，按照画三视图的要求画出该几何体的侧视图;

(II)在所给直观图中连结BD,证明BD〃面PEC；

(III)按照给出的尺寸，求该几何体的体积。

俯视图

14、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD_L底面ABCD,PD=DC,

E是PC的中点，作EFLPB交FB于点F.

(1)证明：PA〃平面EDE；

(2)证明：PB_L平面EED.

15、一个几何体的三视图如右图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个

长为宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.

(I)求该几何体的体积V；

(H)求该几何体的表面积s.

俯视图

16、如图棱柱45c当氏G鼻的底面是菱形，平面“C】C_L平面WC”.

(I)求证：即L“；

(II)设且5=a,Z.SAC-30',四边形H4G二的面积为3a3，求棱柱如汇♦&舄GQi的体

积.

日JS

17、直棱柱.心⑺-耳耳qq中，底面且孔力是直角梯形,

Z5JD=^ADC=-.AB=2AD=2CD=2

2

(I)求证：J_平面田用6。

(H)在4网上是否存一点P,使得门尸与平面8侬与平面月磔i都平行？证明你的结论.

ABi

Ci

Mi

B

DC

18、如图，在直角梯形超8中，4=/：口=900,孤＜:8,•平面超8,U=

=-J2a.

(I)求证:平面视J_平面工W；

(II)设骸的中点为肝，且功试求出四棱锥S-公CD的体积

19、如图，多面体ABCD—EFG中，底面ABCD为正方形，GD//FC//AE,AE_L平面ABCD,

其正视图、俯视图如下：

(I)求证：平面AEF,平面BDG；

(H)若存在见＞0使得花=工症，二面角A—BG—K的大小为5IT,求/的值。

20、如图：梯形口和正ZiF班所在平面互

=ca=—HR

相垂直，其中力04QC,2且。为金石中点.

(I)求证：8C7/平面F8；

(II)求证：ACLPD.

=参考答案=

一、计算题

1、（1）由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的

直三棱柱，且AB=3C="=2,

DE=CF=2近,：.£CBF=90°,2分

取2F中点C?,连瀛^然仃，由N分别是AF,BC中点，可设：我。疗CF,MG//EF,

...面面CDEF：.胸〃面CDSF…

（2）作用另_LZ）豆于丑，由于三棱柱公疸一班茅为直三棱柱

...乩百1面口0宴F,

Fl.3壮=M上・・533,

2、解：（1）该安全标识墩侧视图如图所示.....3分

（2）该安全标识墩的体积

y=+/scb您引Gy=耳乂40区4。乂60+404。黄£。

=64000(c»?s)…6分

(3)由题设知四边形用g2门和四边形的GH均为正方形.

又A3CD-EFQH为长方体，.•.B口8FH.

设点◎是正方形赤心笈的对称中心，

•.•产一辟强是正四棱锥，

PO1面酬皈，而成f仁面“15/,

：.PO1FH.

*：FHL通F0c置3=。

广。u面工密白，承7u面尹豆3,

.•.其五_L面至0t.而配)疗艮廿，故B0_L面尸敏土…12分

3、(I)证明：设HCT赭门=。，取3百中点仃,

连结F0a3,所以，。行事万/比

因为且#1万,DE=之如巴所以如？旦（X?,

从而四边形且西3。是平行四边形，

2

分

因为FGc平面BSF,AO^Z平面BEF,

所以/平面班渺，即NC〃平面....................6分

（H）解：因为平面0JL平面且。骸ABLAD,

所以工能」平面加砺.8分

因为用尸疗万，Z.4Z)^=90°,DE=jDA=2AF=2,

—xED'^AD=2

所以&D醉的面积为210分

_=I:S*凸j?wx29

所以四面体密:虚产的体积33••••12分

4、解：（1）该安全标识墩侧视图如图所示3分

(2)该安全标识墩的体积

¥=63-S3H5&£等=W乂4。x40x60+40x40x20

=64000(c»?J)…6分

⑶由题设知四边形且BC口和四边形即仃方均为正方形.

:.E八FH

又A3CD-为长方体，,即"WK.

设点。是正方形即心笈的对称中心，

•.•产一以花"是正四棱锥，

PO1面聆酬,而比f仁面酬皈，

：.PO±FH.

LEG,POnEG=O

FOu面产敏7,面尸百b,

.-.FMJ.面尸演3s.而BD//FH,故SD±面百演五…12分

5、证明：(I)连接交6。于此连接助K……2分

1

YBC//AD且BO2AD,即BetAQ.

...四边形比3为平行四边形，且川为/C中点,

又•.•点〃在是棱阳的中点，

/.MN//PA...............4分

•初VU平面旗以为(Z平面』侬，.....5分

PA//平面/跖0..............6分

(II)'：AD//BC,B(=2AD,0为/〃的中点,

...四边形式制为平行四边形，

CD//BQ..............8分

•：/AD090°修90°EliQBVAD.

又,/平面PADL平面/况0

且平面为。n平面ABCD=AD,.......10分

.•.60，平面/D......11分

•.•80U平面PQB,

，平面。4厉，平面为D..........12分

£

另证：AD//BC,BO2AD,0为/〃的中点

，BC//DQ且BC=DQ,

四边形8C%为平行四边形，.•.缪〃阳.

,///膝90°g90°即〃，4

*/PA=PD,C.PQLAD.

'：所B9Q,：.ADL平面PBQ.

,：平面必〃，

，平面平面PAD.

6、解:分三部分，一个圆柱,半圆柱和一个四棱柱

1,

F-2x2x1+-(jTxrxl)+7rxrx2

35

=4+一界

2

7、解：(I)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形,PA_L面ABCD,

PA〃EB,PA=2EB=4.丁PA=AD,F为PD的中点,

/.PD±AF,

又"/CD±DA,CD±PA,PAnDA=A,

.•.CD,面ADP,

/.CD±AF.又CDQDP=D,，AF，面PCD.------------4分

(II)取PC的中点M,AC与BD的交点为N,连结MN,

.*.MN=2PA,MN〃PA,

，MN=EB,MN〃EB,故四边形BEMN为平行四边形，

，EM〃BN,又EMU面PEC,，BD〃面PEC.------------7分

(III)分别以BC,BA,BE为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则C(4,0,0),D(4,4,0),E(0,0,2),A(0,4,0),P(0,4,4),

2F为PD的中点，AF(2,4,2).

2AFL面PCD,...就为面PCD的一个法向量,

FA=(-2,0,-2),设平面PEC的法向量为G=(x,y,z),

圈"CE=0

则弗•CP=0

z=2x

・・.41,一无+"z=0,令x=i,.•.r界=(1-12),

10分

瓦4，四

COS<Hvin,期-A,_>走

|加|问

5k

/.瓦i与］的夹角为了.

也

面PEC与面PDC所成的二面角(锐角)的余弦值为2.------------12分

8、(I)由三视图可知直观图为直三棱柱，

底面月0卢中ADI.DF,口F=AD==«,

一1次5

该几何体的体积为2表面积为2',,•,44》

(II)证明：连接工该，可知百，◎共线，且

又•.一/：」通口FDLCD,金门08=。,

二尸5上而dBCZ).又•.•/Cu面HRCZ):.FDLAC.

又•.•ZWfW=0,

:.面祝RV又C7?『u面FIW,

:.GN±AC............................8分

(HI)点尸与点d重合时，受〃面产BZ..............................10分

证明：取Fc中点3,连接行达G&a数.

11

•••G是酬的中点：..♦.•松是力方的中点：金河幺5D。

GH//AM且GH=AM:.四边形©到必是平行四边形.

CM//MH.又•.•鲍在c面FMC,CM仁面画痣，

:CM〃面EMT即GP〃面..........…….........13分

9、证明：(1)设小是力的中点，连结砌¥,A。

因为历是必的中点，所以•//〃,K2MN=AD............................2分

又ADIIBC,AD=2BC,

所以四边形6。则是平行四边形，从而腋7/AE...............................4分

又加Q平面的8,AHu平面的8,

所以.，〃//平面的8；......................................................7分

(2)设〃是劭的中点，连结力〃，0H.

因为所以/〃，龙.

又因为OB=OD,所以OHLBD.............................................9分

因为AHu平面OAH,OHu平面OAH,AHV\0H=H,

所以初，平面力〃.....................................................12分

因为如u平面应0,所以物，如........................................14分

10、解析：(1)由该几何体的三视图知/7JL面劭郎，且EC=BC=AC=4,BD=1,

••3=2­°

1140

=^■5L.=-x10x4=—

•333

即该几何体的体积V为16.

(2)解法1:过点B作BF//ED交EC于F,连结AF,

则ZFBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角.

在4BAF中，AB=4应，BF=AF==皿+9=5.

解法2：以C为原点，以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4)

二£琳=(0,-4,取且5=(T,4,0),

—2

cos<DEAB>=-

：._________t________5

殛

异面直线DE与AB所成的角的余弦值为亏.

(3)解法1:在DE上存在点Q,使得AQJLBQ.取BC中点0,过点0作0Q1DE于点Q,

E

则点Q满足题设.

连结EO、0D,在RtAECO和RtAOBD中

SCOBc

COOD：.RihECORiAQBD：.ZSOC=OBD

VZ£（?C+ZC3O=50aAZWC+ZW5=9Q'Z5O5=90".

•.•OE=初审Mb=2.75,OD=1朋+M=第

ccOSOD鼠及忑„

・•・ED5

...以0为圆心、以BC为直径的圆与DE相切.切点为Q/.SQ1CQ

•.•小江面冽阳以鸵匚面仁双里BQLAC.•.距上面月侬

•月您U面ACQw.w.w.k.s.5.u.c.o.m.

解法2:以C为原点，以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

设满足题设的点Q存在，其坐标为（0,m,n）,则蔡=（T，然㈤，苑=由履-4㈤

后。二（0户力幽-4）,谡）二（"4一%1-海）

VAQ±BQ.•.那O-4）+/=0----------------------------①

...点Q在ED上，，存在4£正仪＞0)使得至=&

4a_w+兄

◎掰/-4)=4Q4一灌,1一曲1人-五二T二二1+鼻----------②

(^―)4=,n矛-84+16=0

②代入①得'1+2。+&，解得2=4

f03当

••・满足题设的点Q存在，其坐标为'"5'5'

11、解：⑴由几何体的三视图可知，底面力发力是边长为4的正方形，为，平面48切,为〃窈,

且必=4我,BE=2收,AB=AD=CD=CB=\,

11640

3PAXS，tncD=3X4X4X4=3

⑵证明：连结力C交物于。点，

取PC中点凡连结明

■:EB〃PA,且必=5必,

1

又0F//PA,且0F=2PA,

:.EB〃0F,且EB=0F,，四边形段/为平行四边形，:.EF〃BD.

又必t平面在T,则平面PEC,所以切〃平面也:

(3)连结朋•.•刘=丽='2，/EBA=/BAP=90°,

二△烟s△从尸，：.ZPBA=ABEA,：.ZPBA+ABAE=ZBEA+ZBAE=90°,：.PBVAE.

又：BCJ_平面APEB,...BCJLAE,...AE，平面PBG,AAE1PG.

12、解：在平面内过点01作废_LCM交AS于点N.

以。为坐标原点，分别以3、W、8所在直线为x轴、t轴、z轴，建立空间直角坐

标系(如图)......................................................1分

则接L0A,m0j、a：。,A。,卞!)、5(——22-,0)\f'f—2,0,~2)...................…..3分

——3中...

(I)设京=五国。女兄口,因为也7一1三'3,

所以场=由+海=L+题-，，芋◎=Q-g4巩0)

P£=OE-OP=(---Ji,^-2-^)

1_3

04=-

因为FW_LCM,所以丽.无1=0.即,解得3.

故所求点为

即点£为线段弱的三等分点（靠近点H）..............................7分

（ID设平面抽。的法向量为硝c5=ao,-i）,

__'x-2=0

吗~LC用,，石

,"77一二方+上升0

由.用工加得〔22*.

令z=1得*=L3"=^3.即强i=（L君＞D...................................9分

又吗=电1，°）是平面aic的法向量,...................................io分

…3国空3居

所以V'5'l5

故二面角口-金。一8的平面角的余弦值为5............................12分

13、解（I）如图所示。

情视图

（H）证明，取PC的中点M,设AC与BD的交点为N,连结MN、ME,丁尸孙=］龌4第=亡我

2//PA

；.MN=EB,MN〃EB,故BEMN为平行四边形。

，EM〃BN,又EMU平面PEC,BD<Z面PEC,，BD〃平面PEC。

(III)32$23

14、证明：(1)连结AC交ED与。，连结E。.

•.•底面ABCD是正方形，

.•.点。是AC的中点.

又♦.•就是PC的中点

.•.在△F,C中，EQ为中位线

PA//E0.…3分

而E。u平面EDB,PAU平面EDE,

.,.PA〃平面EDE.…6分

(2)由PD_L底面ABCD,得PDLBC.

•.•底面ABCD是正方形，

DC±BC,

/.BC±平面PDC.而DEc平面PDC,

BC1DE.@…8分

•；PD=DC,E是PC的中点,

/.△PDC是等腰三角形，DE±PC.(2)••,10分

由①和②得DE，平面PBC.

而FBu平面：PEC,

/.DE±PB.…12分

又EF_LPB且DE「1EF=E

，PE_L平面EFD.…13分

15、解：⑴由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如右图)，

其底面是边长为1的正方形，高为—，------3分

所以旷=1*1乂依=忑.------------------6分

⑵由三视图可知，该平行六面体中，

1.面筋L面为7G片,

所以乩4=之，----------9分

侧面，超我-&»SAG均为矩形,

£—2x(lxl-rlx.nj^-f-lx2)=6+2、512分

昨3

16、(I)略6分(II)212分

17、证明：（I）直棱柱•但D-W用0口中,

郎，平面ABCD,

..BB^LAC.“O分

又•：/BAD=/ADC=9C,

.45=2.9=28=?,

A.4C=V2,NO8=45°,

...万号=也，BCLAC...5分

又㈣Cl却两出Cu平面SAGG

力入平面BBCC…7分

(H)在4星上是否存一点尹，使得£中与平面

就喝与平面总都平行？证明你的结论.

解：存在点尸，户为/龙的中点..................8分

证明：由。为43的中点，

£

有PR"AB,且PR=2AB..................9分

£

又,：DCMAB,DC=2AB,

：,DC〃阳，且DC=PB、,

，加身尸为平行四边形，

从而绥〃废..............11分

又第u面/络，DP(Z面4CR,

:.DP//而ACK.............12分

同理，0F"面BCB\.............................................................13分

故尸为44的中点符合题意...................14分

18、证明：丫乙工=,二怒-L月0

又的上平面乩直拓c平面ABCD,

.........................2分

.・一平面,SW.......................................................4分

又超u平面展斐，

：.平面SABJL平面SAD6分

(II)设劭的中点为财，且Q四"La纶，试求出四棱锥£-48的体积

—BD,/^BDA—451

又放为颔中点,

DM_LM...........8分

由条件加，■C.MCn^S=M

:.DM1面勖U，又RCu面1S3c,

则aMJL3cr,.....io分

由(1)可知初，£C,Me口数=心，；EC_L面'总，则8C_L9口,

12分

由平面几何知识，则△£口是等腰直角三角形,

则DC=42DB=2X,13分

T”1r.ec1,（z+2a,后t

*3=5\阳=补丁）&五&=万）

故14分

19、

19.(I)证明：连AC,BD,在正方形ABCD中，AC1BD,又

AEHGDHFC'

>=GD，面月88又ACu面A3CD,则月C_LGR/月CJ.BD,GDC1

AE1面月88

则AC1面瓦?G,MCu面月或P,故面/EMCJL面%X7……4'

GD=FC=入

(II)解：由三视图知'=>四边形DCFG为平行四边形nbG"CD且FG=CD

GDHFCJ

正方形ABCD中，AB//CD且AB=CD

=且FG=AB=4瓦G,9共面=>平面ABG即平面ABFGnKFfl平面ABG=F.

作K0J.4G干0,连接F0,屋_L平面ABCD=松J.J1B：

正方形ABCD中，ADLAB=>J1B_L平面AEGD……6分］

AE//GD=AE,G