高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第三册 全概率公式

全概率公式同步练习

1.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙

厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为二,士•，三，现从这10盒中

101520

任取一盒,再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（）

A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2

2.如果在上题中已知取得的X光片是次品，则该次品是由甲厂生产的概率为（）

A.0.085B.0.226C.0.625D.0.815

3.设有5个袋子中放有白球,黑球,其中1号袋中白球占需另外2,3,4,5号4个袋子中白球都

3

占士今从中随机取1个袋子,从所取的袋子中随机取1个球,结果是白球,则这个球是来自1号

4

袋子中的概率为（）

11cl2

A.—B.-C.-D.—

4323

4.（多选题）在某一季节,疾病D.的发病率为2乳病人中40%表现出症状S,疾病D2的发病率为

5猊其中18%表现出症状S,疾病Ds的发病率为0.5览症状S在病人中占60虬则（）

A.任意一位病人有症状S的概率为0.02

B.病人有症状S时患疾病D,的概率为0.4

C.病人有症状S时患疾病D?的概率为0.45

D.病人有症状S时患疾病D：；的概率为0.25

5.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为;

第三个人摸到中奖彩票的概率为.

6.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球,先从甲

罐中随机取出一球放入乙罐，分别以川,A2和A：；表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的

事件;再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.则

P（B）=.

7.某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占

40%>35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85,求从该

厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.

8.某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为之第一次落下未打破,第二次落下打

2

79

破的概率为一,若前两次未打破,第三次落下时打破的概率为一,求透镜落下三次未打破的概

1010

率.

扩展练习

1.某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如

A.0.814B.0.809C.0.727D.0.652

2.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%35%20%且各车间

的次品率分别为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由_____车间生产的可

能性最大（）

A.甲B.乙

C.丙D.无法确定

3.盒中有a个红球,b个黑球,今随机地从中取出一个,观察其颜色后放回，并加上同色球c个,

再从盒中第二次抽取一球,则第二次抽出的是黑球的概率为.

4.设盒中有m只红球,n只白球,每次从盒中任取一只球,看后放回,再放入k只与所取颜色相

同的球.若在盒中连取四次,则第一次，第二次取到红球,第三次,第四次取到白球的概率为

5.假定患有疾病（d„d2,d：J中的某一个的人可能出现症状S={SQS2,S3,S4}中一个或多个,

其中：

5尸食欲不振S?=胸痛

$3=呼吸急促S,=发热

现从20000份患有疾病d„d2ld3的病历卡中统计得到下列数据：

疾病人数出现S中一个或几个症状人数

di77507500

^252504200

由70003500

试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测

该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？

6.袋中有n个球,其中n-1个红球，1个白球.n个人依次从袋中各取一球,每人取一球后不再放

回袋中,求第i(i=l,2,…，n)人取到白球的概率.

参考答案

1.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙

厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为▲•，三，三,现从这10盒中

101520

任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为()

A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2

分析：选A.以A2,A：,分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得

的X光片为次品，

,P(42)二二P(i43)=~»

v1010"10

P(B4片，P(B4)*P(B旬点

则由全概率公式，所求概率为

P(B)=P(AI)P(B4)+P(42)P(BP2)+P(A3)P(B旬

=­X—+—X—+—X^-=0.08.

101010151020

2.如果在上题中已知取得的X光片是次品，则该次品是由甲厂生产的概率为()

A.0.085B.0.226C.0.625D.0.815

分析：选C.以AI,A2,A：,分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,B表示取得

的X光片为次品，

P(71)=—,P(^2)=~JP(i4)=~~,

v1io"io"3io

P(B&W，P(B&W，P(BA)高

P(A®P(Ai)P(BlAi)Ax2.

所以p(B)=o.O8,P(41B)■乌0.625.

P(,B)p⑻0.08

3.设有5个袋子中放有白球,黑球,其中1号袋中白球占另外2,3,4,5号4个袋子中白球都

3

占之今从中随机取1个袋子,从所取的袋子中随机取1个球,结果是白球,则这个球是来自1号

4

袋子中的概率为()

、八

A.—1Bc.l-C.-1nD.一2

4323

分析:选A.设取到第i号袋子，i=l,2,3,4,5.

B:取到白球,

11

由贝叶斯公式得P(AJB)=3p(4)p(Bi4)M+FlFFFiT4

4.(多选题)在某一季节,疾病D)的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病Dz的发病率为

5%,其中18%表现出症状S,疾病D：,的发病率为0.5览症状S在病人中占60%则()

A.任意一位病人有症状S的概率为0.02

B.病人有症状S时患疾病工的概率为0.4

C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45

D.病人有症状S时患疾病D：；的概率为0.25

分析：选ABC.P(DJ=O.02,P@)=0.05,

P(D3)=0.005,P(S|Dl)=0.4,

P(S|D2)=0.18,P(S|D:i)=0.6,

3

由全概率公式得P(S)=EP(Di)P(S|Di)=0.02X0.4+0.05X0.18+0.005X0.6=0.02.

i=l

由贝叶斯公式得：

P(D)P(S|D)O.02X0.4

P(D||S)=11=0.4,

P⑸0.02

-5

P(D)P(S|D)_O.OO5XO.6

P(D|S)33=0.15.

3P(S)0.02

5.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为―

第三个人摸到中奖彩票的概率为.

分析：记“第i个人抽中中奖彩票”为事件4，

j-

显然p(AJ=g,而p(A2)=P[A2n(A,u41)]

=P(A2nA,)+P(A2n4)=P(AzA)+P(A?4)

1411

=P(A.)P(A2|A,)+P(2)P(A2sP=-x0+-XV-,

p(A3)—p[A3n(A1A2+A1A2+A1A2+A1A2)〕

=P(A1A2A3)+P(A,A3)+P(^41A,A3)+P(4彳2A3)=0+0+0+P(A4%2)

————4311

=P(241)P(X2I/11)P(A3|A1242)=-X-X-=".

合莱•一-

55

6.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球,先从甲

罐中随机取出一球放入乙罐,分别以4,A?和A.,表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的

事件;再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.则

P(B)=.

分析：由题意AhA?,A3是两两互斥的事件，

且A)UA2UAj=。,

所以P(B)=P[Bn(AIUA2UA3)]=P(BA,)+

P(BA2)+P(BA3)=P(AI)P(B|A,)+

P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=

5524349

—X—I—X—I—x——.

10111011101122

9

答案:一

22

7.某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药,三地的供货量分别占

40%,35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65、0.70和0.85,求从该

厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.

分析：设川:药材来自甲地，A?:药材来自乙地，

A3：药材来自丙地，B:抽到优等品；

P(41)=0.4,P(i42)=0.35,P(i43)=0.25,

P(B41)=0.65,P(5i42)=0.7,

P(B4)=0.85,p(3)=p(34)P(A1)+P(B

A2)P(A2)+P(B43)P(Y13)

=0.65X0.4+0.7X0.35+0.85X0.25=0.7175.

1

8.某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为一,第一次落下未打破,第二次落下打

2

79、

破的概率为一,若前两次未打破,第三次落下时打破的概率为一,求透镜落下三次未打破的概

1010

率.

分析：以A、,i=l,2,3表示事件“透镜落下第i次时打破”，以B表示事件“透镜落下三次未

打破”，因为B=A】A?A3,所以P(8)=P(%i“24)

=p(否)P(不瓦)P(瓦瓦石)

=(1-3(1-£)(1-9)二总

扩展练习

1.某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如

下的概率：

一批产品中的次品数01234

概率0.10.20.40.20.1

现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品，则认为该批产品不合格,

则一批产品通过检验的概率为()

A.0.814B.0.809C.0.727D.0.652

分析：选A.以A表示一批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则由题意得，

Ci。

P(Ao)=O.1,P(B|A())=l,P(A,)=0.2,P(B|A,)=湍=0.9,P(A2)=0.4,

Goo

cio

P(B|A2)=^0.809,

C100

Q10QIO

P(A3)=0.2,P(B|A3)=舟^0.727,P(A4)=0.1,P(B|A4)=号七0.652.

C100C100

由全概率公式，得

4

P(B)=./P(ADP(B|Aj)=O.1X1+0.2X0.9+0.4X0.809+0.2X0.727+0.1X0.65220.814.

2.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%,35%20%，且各车间

的次品率分别为4%2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品，则该次品由_____车间生产的可

能性最大()

A.甲B.乙

C.丙D.无法确定

分析：选A.设Ah&A：,表示产品来自甲、乙、丙车间,B表示产品为次品的事件，易知&A?,A：，

是样本空间。中的事件,且有P(AJ=O.45,P本)=0.35,

P(A3)=0.2,

P(B|A)=0.04,P(B|A?)=0.02,P(B|A3)=0.05.

由全概率公式得P(B)=P(Al)P(B|Al)+

P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)=0.45X0.04+0.35X0.02+0.2X0.05=0.035.

由贝叶斯公式得P(AdB)=-45X-°^0.514,

0.035

0.35X0.02_______

P(A21B)=---------=0.200,

0.035

c/、0.20X0.05cccc

P(A31B)=---------^0.286,

0.035

所以，该次品由甲车间生产的可能性最大.

3.盒中有a个红球,b个黑球,今随机地从中取出一个,观察其颜色后放回，并加上同色球c个,

再从盒中第二次抽取一球,则第二次抽出的是黑球的概率为.

分析：设A:第一次抽出的是黑球,B:第二次抽出的是黑球，

则B=AB+AB,由全概率公式,

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A),由题意,

/、b/।、b+c

P(A),P⑻止而

Pa捻P⑻心募,

LL-/Xb(b+c)abb

所以P(B)二---------

(a+b)(a+b+c)(a+b)(a+b+c)a+b

答案:接

4.设盒中有m只红球,n只白球,每次从盒中任取一只球,看后放回，再放入k只与所取颜色相

同的球.若在盒中连取四次,则第一次,第二次取到红球，第三次,第四次取到白球的概率为

分析:设R(i=l,2,3,4)表示第i次取到红球的事件,Ri(i=l,2,3,4)表示第i次取到白球的事

件则有

P(RR玛R^)

・)

=P(R1)P(R2|R1)P(R^|R1R2)P虱R版3

—m•..m+k•---n---•___n_+_k_

m+nm+n+km+n+2km+n+3k

_.mm+knn+k

口m+nm+n+km+n+2km+n+3k

5.假定患有疾病｛d„d2,dj中的某一个的人可能出现症状s=｛Si，S2,S3,S4｝中一个或多个,

其中：

$|=食欲不振$2=胸痛

S尸呼吸急促S,=发热

现从20000份患有疾病&,d21d3的病历卡中统计得到下列数据：

疾病人数出现S中一个或几个症状人数

&77507500

52504200

d2

d；(70003500

试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时,在没有别的可依据的诊断手段情况下,推测

该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？

分析：以A表示事件“患者出现S中的某些症状”，上表示事件“患者患有疾病&”（i=l,2,3）,

由于该问题数据很多,用事件的频率近似作为概率，由统计数据可知，

P（Di）J75。=0.