学案1：高中数学人教A版2019必修 第一册 函数的零点与方程的解

4.5.1函数的零点与方程的解

【学习目标】

课程标准学科素养

1.结合二次函数的图象，了解二次函数与一元二次方程间的关系，能判断1.数形结合

一元二次方程根的存在性及根的个数；2.数学运算

2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定3.逻辑推理

方程根的个数；

3.能够利用零点的存在解决含参问题.

【自主学习】

1.函数的零点

(1)函数/'(x)的零点是使f(x)=0的.

⑵函数的零点、函数的图象、方程的根的关系.

思考1：(1)函数的零点是点吗？

(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程/'5)=0根的个数有什么关系？

2.函数的零点存在定理

(1)条件：函数y=f(x)在区间［a,6］上的图象是，f(a)f(6)<0；

(2)函数尸f(x)在区间(a,8)上有零点，即存在cW(a,6)使f(c)=0,这个c也就是f(x)

=0的根.

思考2：(1)函数尸f(x)在区间［a,3上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)/'(力〈0时，能

否判断函数在区间(a,6)上的零点个数？

(2)函数y=F(x)在区间(a,8)上有零点，是不是一定有f(a)F(6)<0?

1

【小试牛刀】

⑴函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有

零点.()

(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0.()

⑶函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若f(a)f(b)〈O,则函数y=f(x)在区间(a,b)上只

有一个零点.()

【经典例题】

题型一求函数的零点(方程的根)

例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.

(1)f{x}=—x~4x~4；

x—lV—4x+3

(2)f(x)='

x—3

(3)f(x)=4'+5；

⑷/'(x)=log3(x+l).

总结：函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)=O的实数根.

(2)几何法：与函数y=f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

［跟踪训练］1(1)求下列函数的零点：

①f(x)=*—2矛一3零点为___；

②g(x)=lgx+2零点为.

⑵已知一1和4是函数f(x)—a^+bx—^的零点，则F⑴=.

2

题型二判断零点所在的区间

例2f(x)=lnx+f—9的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

［跟踪训练］2函数F(x)=e'+x—2的零点所在的一个区间是()

A.(—2,—1)B.(—1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

题型三函数零点个数的判断

例3函数f(x)=(x—2)(x—5)—1有两个零点矛”x2,且水物则()

A.水2,2〈生＜5B.司＞2且也〉5

C.为＜2,及＞5D.2＜^i＜5,*2＞5

11

［跟踪训练］3若也是方程(万)"=您的根，则照属于区间()

2、A2、

A.(-,1)B.(-,-)

O4J

Al/1、

C.(-,-)xD.(0,-)

J/0

题型四一元二次方程根的分布问题

例4已知函数f\x)=f+2以x+3加+4.

⑴若/'(x)有且只有一个零点，求实数勿的值；

⑵若/'(X)有两个零点，且均比一1大，求R的取值范围.

［跟踪训练］4函数f(x)=x2-2|x|+a—l有四个不同的零点，求实数a的取值范围.

3

【当堂达标】

1.函数/1(才)=4X一6的零点是()

2

-O

A.3R.‘

D.

33

c-

2-2

2.函数/"(x)=x-2+logzX,则/'(x)的零点所在区间为()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

3.若函数f(x)=/+2x+a没有零点，则实数a的取值范围是()

A.a<lB.a>\

C.aWlD.心1

4.已知函数/'(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x,/"(X)的对应值表:

X123456

f[x)1510-76-4-5

则函数f(x)在区间［1,6］上的零点至少有()

A.2个B.3个

C.4个D.5个

5.函数/'(才)=2'+f一2在区间(0,1)内的零点个数是()

A.0B.1

C.2D.3

6.方程2'+x=2的实根的个数为.

7.已知"GR时，函数/'(x)=MV—l)+x—a恒有零点，求实数a的取值范围.

4

【参考答案】

【自主学习】

实数X

思考1(1)不是，是使f(x)=0的实数X,是方程f(x)=o的根.

连续不断的曲线

思考2(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数.

(2)不一定，如F(x)=f在区间(一1,1)上有零点0,但是f(—l)f(l)=lXl=l〉0.

【小试牛刀】

XXX

【经典例题】

例1［解析］⑴令—4x—4=0,解得X=-2,

所以函数f(x)存在零点，且零点为*=一2.

X—IT—4^+3

⑵令=0,解得x—\,

x—3

所以函数/'(X)存在零点，且零点为x=l.

(3)令4'+5=0,显然方程4,+5=0无实数根，所以函数f(x)不存在零点.

(4)令log3(x+l)=0,解得x=0,所以函数f(x)存在零点，且零点为x=0.

［跟踪训练］1［解析］⑴①f(x)=(x—3)令F(x)=0,得荀=-1,X2=3,

的零点为3和一I,

②由lgx+2=0得，lgx=~2,，_¥=焉.故g(x)的零点为高.

-1=0a—6—4=0cl=\

⑵由条件知，

冏=016d+4。-4=0"3

/(I)=a+b—4=-6.

例2C［解析］f⑴=1-9=一8<0,

Z(2)=ln2+8-9=ln2-l<0,

A3)=ln3+27-9=ln3+18>0,

A2)•F(3)<0,.•.函数F(x)的零点所在的区间为(2,3).

［跟踪训练］2［解析］f(_2)=e-2—2=e-4=»4〈。，—一1—2=(—3〈。,

AO)=e°-2=l-2<0,f(l)=e-l>0,

5

/.Ao)•f(i)<o,...函数f(x)的零点所在的一个区间为(o,i).

例3C［解析］作出函数g(x)=(x-2)(X—5)的图象如图，将y=g(x)的图象向下平移1个

单位即得尸/'(x)的图象，由图象易知加>5,故选C.

11

［跟踪训练］3C［解析］构造函数F(x)=(/一而,则函数F5)的图象是一条连续不断的

1111il1111191

曲线，又八0)=(5)。-0=1>0,5)=(5)勺-(-)3>0,^(2)=(2)2-(2)3〈。，制§)=勺)§

—(|)3<0,F⑴=g—1=—；<0,结合选项，因为/1(；)•

故函数f(x)的零点所在的区间为(：，与，

O乙

1111

即方程(5)*=而的根m属于区间(鼻，-).

乙OLt

例4［解析］⑴由题意可知方程V+2“+3/4=0有两个相等实数根,

4=4序一4(3卬+4)=0,即/—30一4=0,

：.m=-1或277=4.

f/=4/-43勿+4>0

⑵由题意得｛-®>-l

[Ql=l+加+4>0

解得一5〈欣一1.

实数/的取值范围是(-5,-1).

总结：解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的

函数值的正负等情况进行求解.

［跟踪训练］4解由f(x)=O得a—l=2|x|—x?,

因为函数f(x)=x2-2|x|+a—l有四个不同的零点，

所以函数y=a—1与y=2|x|—x?的图象有四个交点，

6

画出函数y=2|x|—x?的图象,如图所示,

观察图象可知,0<a-l<l,所以l<a<2.

【当堂达标】

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1.C［解析］令4x—6=0,得x=5，.,.函数f(x)=4x—6的零点是

2.B［解析］Al)=-l+log2l=-l,A2)=log,2=l,.'.AD•/(2)<0,故选B.

3.B［解析］函数/Xx)=f+2x+a没有零点，即方程f+2x+a=0没有实数根，所以4=4

-4aV0,得a>l.

4.B解析:由题表可知A2)•/(3)<0,A3