新教材人教A版高中数学选择性必修第一册训练：双曲线综合大题 分层练习题含答案解析

12.双曲线综合大题

基础过关练................................................................1

能力提升练...............................................................6

培优拔尖练...............................................................12

基础过关练

1.求满足下列条件的曲线标准方程:

（1）两焦点分别为耳卜四，0）,乙（&,0）,且经过点21,的椭圆标准方程;

⑵与双曲线有相同渐近线，且焦距为动的双曲线标准方程.

【答案】（吟+），』（2）与一q=1或十5=1

【分析】（1）利用椭圆的定义以及点在椭圆上求解；（2）根据双曲线及渐近线方程的定义求解.

22

⑴设所求椭圆的标准方程为7+5一"">"°）两焦点分别为片（一乙（8°）,

C=>/2

19

乂.椭圆过点尸1，’.•.吃+东=1,又/="卡?...":?’",所以椭圆的标准方程

2

为二+丁=1.

3

（2）方法一：

⑴，若焦点在X轴上，设所求双曲线方程为5-4=1（皿〃>0）,

因为与-5=1（见〃>。）与双曲线上-t=1有相同渐近线，

mn46

所以K=Y5,设该双曲线的焦距为2q,

m2

又因为焦距2q=2石，所以q=石，所以〃，+“2=]=5,

n_y/622

联立^=T，解得加=2,/=3,则双曲线方程为土-E=l,

，2<23

m~+n~=5

22

(ii),若焦点在y轴上，设所求双曲线方程为鼻-鼻=l(m,〃>0),

mn

>>222

因为与-二=1(见〃>0)与双曲线二-匕=1有相同渐近线,

m~nr46

所以'=渔，设该双曲线的焦距为2q,

n2

又因为焦距2q=2石，所以c产行，所以/+〃2=C；=5,

m_\[6

联立一了解得病=3,〃2=2,则双曲线方程为工=1,

32

m2+/=5

•・•双曲线的标准方程为：/—片=1或炉—右=1

2332

方法二：

设与双曲线《=1有相同渐近线的双曲线方程为：—-^=2(2^0)

4646

焦距为2石，.•"=«

.•.|4A|+|6A|=5,.-./1=±1

，双曲线的标准方程为：二_£=1或t_《=l

2332

2.己知A(-2,0),8(2,0)两点，动点P满足直线总和直线P8的斜率之积为1,求动点P

的轨迹方程，并指出其轨迹的图形.

【答案】轨迹方程为f-V=4(XH±2),轨迹图形为双曲线(除去两个顶点(±2,0))

【分析】设p(x,y),根据斜率的乘积可得轨迹方程及图形.

【详解】设p(x,y),则上；，其中xwi2.

x+2x-2

故二^=1即d—y2=4(x#±2),轨迹图形为双曲线(除去两个顶点(±2,0)).

x-4

r2v2

3.双曲线C:%-』=l(“>0,b>0),右焦点为尸(c,0).

ab

(1)若双曲线C为等轴双曲线，且过点P(2,石)，求双曲线C的方程；

(2)经过原点。倾斜角为45的直线/与双曲线C的右支交于点尸是以线段。尸为底边

的等腰三角形，求双曲线C的离心率.

【答案】(l)Y-y2=i⑵丽+&

2

【分析】(1)设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求解即可；

(2)法一：表达出利用双曲线定义求出；.2a=画二四八从而求出离心率;

M1(2K21),2

法二：表达出M将其代入双曲线方程，得到关于e的齐次方程，求出离心率.

(1)

双曲线C为等轴双曲线，

•••双曲线过点网2,6)，将其代入得：1=1="=1

:.C:x2-y2

(2)

法一：是以线段OF为底边的等腰三角形，ZMOF=45，

OMF是等腰直角三角形，\OF\=c,

过M作M4_Lx轴于点A,则4(],0),知6，'|),

设左焦点耳(-c,0),由双曲线定义知|M4|—|MF|=2a,

于是e=丽+夜.

2

法二：前同法一得加修|),点M在C:「T=l("0,〃>0)上,

整理得:e4-6e2+4=0>解得:e2=3±>/5,

16+2布_石+1V10+V2

e>l,.\e2=3+石ne=J3+石

2

于是e-+丘

2

22

4.已知双曲线c「-与=1（«>0,6>0）,第一象限内的点P在C上，双曲线的左、

ab-

右焦点分别记为"，B，且「耳|=2|尸闻，P耳.尸鸟=0,0为坐标原点.

（1）求双曲线C的离心率；

⑵若△。与尸的面积为2,求点P的坐标.

【答案】⑴G⑵p（亭，竽.

\）

【分析】（1）利用双曲线定义及勾股定理即可得到双曲线C的离心率；

（2）利用点在曲线上及三角形面积公式可得点P的坐标.

（1）

V|P^|=2|P^|,\PF\-\PF^=2a,：.\PF,\=4a,\PF^=2a,

2*42222

■：PFtlPF2,.-.（2£-）=（4«）+（2«）,化为：c=5a,

e?=5,e=45,即双曲线C的离心率为逐.

（2）

由题意可得：S防心=gx2ax4a=2x2,S89=gc，|y/=2,

又c2=5a，,解彳'Ja=l,c=>/5.y=,

pP5

2

所以〃=4,双曲线方程为r-2_=i,

4

把％=竽代入双曲线方程，得：%2_7=1，4>0,解得/=苧.

.J3旧4石）

・・y~~5~，-5~,

F\]O\\F2*

5.过双曲线三-±=1的右焦点后，倾斜角为30。的直线交双曲线于4,B两点,O为坐标

36

原点，月为左焦点.

⑴求I期;

⑵求MOB的面积；

(3)求证:|4用+忸闾=|明|+忸用.

【答案】(1)苧(2)竿(3)证明见解析

【分析】(1)设出直线AB的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长

公式求出答案；

(2)在第一问的基础上，求出原点。到直线AB的距离,从而求出三角形的面积;

(3)利用双曲线定义进行证明即可.

(1)

由双曲线的方程得a=JJ,b=y/6,

221

••c=\/a+b=3尸i(-3,0),F2(3,0).

直线AB的方程为〉=乎。-3).

设A(5,yJ,8(%,%)，由，22得5Y+6X—27=0,

工-匕=1

136

.627

・・X]+X2=-彳，XyX-f——1.

.•/叫=后|…M+YH+*噂.

(2)

直线AB的方程变形为V3x-3y-3>/3=0,

•c_1116®3_12相

♦•SAOB=5Il4ARBI卜1=]X—^―X-=-y-•

(3)

证明：由双曲线的定义得|A图一|A凰=26，|班忸段=26,

.♦JMITMRmIT鸣I，整理得:|你|+|明|=|前|+怛£].

能力提升练

22

1.已知圆锥曲线C的方程为工+工=1.

9-k4-k

(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

(2)若双曲线C与直线y=x+i有公共点且实轴长最长，求此双曲线的方程.

-V-------/--=1.

【答案】(1)答案见解析(2)32

【分析】(1)根据椭圆与双曲线的性质即可求解：

(2)根据直线与双曲线的交点个数分两类讨论，可求出左的范围，从而得出实轴取最大值时

的％值.

(1)

,9-&>0,

当且仅当，4-&>0,=/<4时，方程表示椭圆；

9-k#4-k

当且仅当(9一外(4一&)<0n4<&<9时，方程表示双曲线.

(2)

y=x+l,

联立｛fy2_得：(13-2A)/+2(9-&)x+(9-切(&-3)=0

[4<jfc<9iQ/73、

①当sc,:即％=1时，公共点的坐标为Hr，-：，符合题意；

[13-2k=0,2<44J

4<%<9,

②当《13—2々工0,解得或13U13<&<9.

22

A>0,

由①②得k的取值范围为:6<k<9.实轴长2a=2M7,

所以0<2^/^二I426，当且仅当％=6时，等号成立.

因此当&=6时，双曲线实轴长最长，

此时双曲线的方程为=1.

32

丫2V212

2.已知椭圆C:^+2=l（a＞匕＞0）的离心率为椭圆的短轴端点与双曲线、v-』=1的

焦点重合，过点P（4,0）且不垂直于x轴的直线/与椭圆相交于A,B两点、.

⑴求椭圆C的方程；

（2）若点8关于x轴的对称点为点E,证明：直线AE与x轴交于定点.

【答案】⑴《+丫=1（2）证明见解析

43

【分析】（1）由双曲线方程可得椭圆中的6=依，再根据离心率及a,b,c的关系列式求解；（2）

根据题意设直线方程，把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到个一元二次

方程，根据题设条件结合韦达定理求解问题中结论.

（1）

由双曲线:*=[得焦点（o,±@,得°=6

b=6

由题意可得a2=b2+c2,解得a=2,c=l,

c1

e=—=—

a2

故椭圆。的方程为；＜4=1-

设直线/：y=%（%-4）,点4（西,%）,3（孙力），则点£（孙-%）-

y=^（x-4）

由，f/_，得（4公+3b2-32产》+64&2-12=0,A=（32火2）2-4（4二+3）（64标-12）>0,

--+---1

43

解得

32k264k212

从而x+x=

}24k2+3'入"，一止+3

直线AE的方程为y-Ji=上土星（X-xj,令y=Q得X=

X]-X271十丁2

又；x=M%-4）,%=%（苍一4）,

c64公-12.32k2

=二J-4)+-(x「4)=2平2-4&+，2)=2,止+3=

女(%一4)+后(々一4)(X[+x.)-8'32k2.

4标+3-8

故直线AE与x轴交于定点(1,0).

3.已知双曲线「：xJy2=4,双曲线「的右焦点为F,圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过

坐标原点。，圆C与双曲线「的右支交于A、B两点.

(1)当」OE4是以尸为直角顶点的直角三角形，求OE4的面积；

(2)若点A的坐标是(石,1),求直线A8的方程；

⑶求证：直线AB与圆W+y2=2相切.

【一答案】(1)SA*=2及(2)―厂'「=y-1⑶证明见解析

2\/2—y/5

【分析】(1)根据题意求得42拒,2),由三角形面积公式即可求得答案；

(2)设圆C的方程为/+(〉-匕)2="，由点4的坐标求得"联立「：/-丁=4求得8点坐标，

可得答案；

(3)设直线AB的方程为，="+机，A(石,%),8(々,%)，联立「：V-y2=4,可得根与系数的

关系式，再联立)".可得X%=2,结合根与系数的关系式化简，可得d+),2=2的

x-y=4

圆心到直线A8的距离等于半径，可证明结论.

(1)

由题意二OE4是以尸为直角顶点的直角三角形，F(2应,0),

所以A(2&,2),所以OE4的面积&g,=；x2应x2=2&;

(2)

设圆C的方程为Y+(y-力2=/，由题意，5+俗-1)2=凡所以〃=3,

故圆C的方程为》2+(了-3)2=9

Y+(v—3)2=9

由1~22,，得：/—3丫+2=0,所以必=1,必=2,

x-y=4

故4、8两点的坐标分别是(行,1),(2712),

所以直线AB的方程为：与鸟=厂1；

2V2-V5

(3)

证明：设直线A3的方程为丫=履+机，4(再,)，1),8(々,必)，

圆C的方程为犬+()，-6)2=〃3>0),

Iy=kx+m,,,,

由<2，,，得：0-k2)x2-2bnx-2-2=0,

[x-y=4m

小旦百育阳Jl—k口,2机病+2

由题意，得：<A八，且%+%2=；一万，玉工2="^~7，

[A>01-&2k-i

由,x+(y))二b,得：,2_切+2=0,所以y%=2,

x-y=4

2

所以("1+m)(kx2+〃z)=lcx[x2+hn(x]+x2)+m=2,

2+2

gpkx'"^+k,nx-^^+m=2,所以加2=2r+2,

k--11-fc-

因为原点O到直线AB的距离"=瑞?=&,所以直线AB与圆f+y'2相切.

4.已知双曲线「：会-丁=[,Ft凡是其左、右两个焦点.尸是位于双曲线「右支上一点，平

面内还存在Q满足尸6=/1g。(/1>0).

(1)若Q的坐标为(26,-6)，求2的值；

⑵若%>0,几=3,且P6.pQ=g,试判断。是否位于双曲线上，并说明理由；

(3)若。位于双曲线上，试用4表示267。，并求出;1=7时的值.

【答案】(1)%=；(2)Q在双曲线上；理由见解析⑶尸/w=萦万+11/1-：+3)"€(0,+8)；

16

【分析】(1)根据双曲线方程求出工的坐标，由及向量的坐标运算，求出点尸的

坐标，再利用点尸在双曲线上即可求解；

(2)根据尸耳・尸。=华及向量的线性运算，得出两・尸鸟=4及点?在双曲线上，求出点尸的

坐标，根据尸鸟=38。，求出点Q的坐标，结合点与双曲线的位置关系即可求解；

(3)根据尸及向量的坐标运算，得出点Q的坐标，利用点Q在双曲线上及向量的

数量积的坐标运算即可求解.

(1)

a2=2,Z?2=\=>c2=a2-{-b2=3=/^(>/3,0),

设P(七,yj，则尸鸟=(g一4,-4储。=(石，-司,

因为”=26。(/1>0),

上-Xp=&Xp=6-上入

所以<解得<所以「(百-血，信卜

-yP=-后%=必

2

将尸代入双曲线方程、-y2=1中，化筒得7万+6/1_1=0,

解得2=；或2=7（舍去）.

所以4的值为;.

(2)

由(1)知,耳(6,0),6(6,0)，

PFtPQ=PF^PF2+F2Q^=PF^PF2+^PF^=^PFcPF2=y^>PFCPF2=4,

设尸(不，几)，则尸片=(-^-x0-y0),PF2=(^-x0,-y0),

因为点P(x。，几)在双曲线上，所以予-为2=1①，

P/P-3+y—+£-1考-4=4②,

得加=口,%=半,所以尸竽,平］,

联立①②,

设Q(q,%),所以PE=(半］KQ=(4一6团,

因为P&=3&Q,所以■

将点Q呼

所以。在双曲线上

(3)

由(1)知，耳(6,0),凡(6,0),

设户(％儿)，。(々,%),则用=(-G-%-%),PF；=(6-%,-%),&=(xe-y/3,yej

因为在=402(4>()),

（r-r-x_出+®f

所以日久y融解得二屋，所以川

因为点。在双曲线上，所以今-为2=即=2,

[2JIA)

化简得3(2+1)2-2百(2+1)^0=2(2+1)(2-1),A>0,

3(/l+l)-2>/3x()=2(A-l),解得2=26/_5,

班.也=班("+心0=尸不也+；尸鸟)=竽W•利

2+1<3x^2+1<3万+114+25-4^=^22+11/1-J+3^

,AG(0,+OO)

~~T\2_一)~T\212

代入a=7,解得P4.PQ=16.

所以班PQ的值为16.

5.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点41,0)、8(0,-1),动点P(x,y)满足:

OP=mOA+(m-\^OB(meR).

⑴求点尸的轨迹方程；

22

⑵设点P的轨迹与双曲线C：5-卓=1(“>0,6>0)交于相异两点用、N.若以MN为直径

的圆经过原点，且双曲线C的虚轴长是实轴长的正倍，求双曲线C的方程.

【答案】(l)y=-x+l;(2)4X2-2/=1.

【分析】(1)利用向量坐标运算及相等向量，列式消去参数，〃作答.

(2)由给定条件，将双曲线方程化简为2--/=2/,再与点尸的轨迹方程联立求出/作

答.

(1)

uiu[x=m

依题意，OP=(m,T〃+l),而0P=(x,y),则，m+\,消去m得：y=-x+l,

所以点P的轨迹方程是y=-x+l.

(2)

-)2

因双曲线C的虚轴长是实轴长的灰倍，即匕=缶，双曲线C的方程为5-当=1,

a-2a~

fy=­x+1

由士，2c2消去y并整理得：x2+2x-\-2a2=0,设〃a，x),N(&,%),

12x—y=Za

则玉+X?=-2,王.&=-1-2/,又以MN为直径的圆经过原点，即OM,ON,有“七+必必=0,

22

而y•%=(f+1)(-A2+1)=T项+x,)+l=-1-2«+2+1=-2a+2,

因此，-1-2〃一2片+2=0，4/=1,解得/=!，

42

所以双曲线方程为4/-2产=1.

培优拔尖练

1.平面直角坐标系xOy中，已知点M（—2,0）,N（2,0）.点A满足|AM|—|AN|=26,记点A的

轨迹C.

（1）求C的方程；

（2）设点T与点A关于原点O对称，N用77V的角平分线为直线/,过点A作/的垂线，垂足为

AH

H,交。于另一点8,求­的最大值.

DH

【答案】（1）3-/=1（工>0）；⑵：

【分析】（1）根据双曲线定义得到点A的轨迹为以屈（-2,0）,双（2,0）为焦点的双曲线的右支，

求出。=造功=1,得到轨迹方程：

（2）设出4（%,%）,°=（1欢），根据角平分线的条件，结合向量投影

模长相等得到%=3物,，从而求出A,T点坐标，确定直线/的方程，由点到直线距离

公式求出|AH|,再求出直线AB的方程为*=-6+笠^,与双曲线方程联立，利用

,,AB\\AH\

弦长公式求出|4可，结合基本不等式求出喇之3,最后求出扁的最大值.

（1）

由题意得：|MV|=4,4V|=

所以点A的轨迹为以M（-2,0）,N（2,0）为焦点的双曲线的右支，

即c=2,a=石，尸=02-/=4-3=1,

所以C的方程为1—V=l（x>0）；

由对称性，不妨设A在第一象限，设4（%,%）,则7（一七,—%）,

设直线/的斜率为A,记由/为NM7N的角平分线，

TM•a_TN-a

其中1-城=1,%)2石,

则I网网,

2

所以17Mb++=^(-2+Xo)+^-1’

同理得：|TN卜半天+石，

7M=5-2,%),77V=(Xo+2,%),

TMaTNa(/-2,%)，(1,左)_(%)+2,%).(1«)

代入=E■中，"-L

\™\|邛方/+力

化简得：x0=3仅，

23/c_,1

将与一3注)代入手-%2=],毛2石中，解得：x=^—

0-J"&2_]'

的、一(3k11/3k11

1，3二_1W1yj3k2-\y13k2-l)

设直线/的方程为y=^+〃，将Jk1]

代入，解得：〃=)3产-1，

IV3)t2-1W

所以直线/的方程为产履+J3k2-1,后＞/，

由点到直线距离公式得：以句5^^+质％2/

3k2-1,

|训=环一J

t2+l

由直线AB的斜率为设直线A8的方程为x=-O+，〃

k

(3k\y4k

将A一点代入，解得：m=-^

(，3公一1。3k2-1)3k--1，

4*v

所以直线A5的方程为了=-勿+*\,将其与二~=l(x>0)联立得:

3k—1

/.八28公7s+3

k2-3]y2--,y+——=A0,

<)'gU3公-1

设4(*“1),3(工2，%)>

8k27k2+3

则i21f屈才书一俨_3)秋_[

，

由乂必<0可知：々〈石，又，所以上f

3

二+邛

226(

\AB\=yll+k\y]-y2\=\l\+k•J(y+必丫Tyy?

(3次)凡2T

AB3件+1丫3（公+1『

由均值不等式，而二避茂/添天=3’当且仅当3-八女一

即公=1时，等号成立，因为上/巨,6],故々=1,

MM=1/

所以忸叫|AB|-4,当且仅当&=1时，等号成立，

由

1

岛\AH的最大值为：.

\BH4

2'）

2.已知双曲线「：〉白=1（〃>0,%>0）过点。（氐与，且r的渐近线方程为、=±四.

⑴求r的方程；

（2）如图，过原点。作互相垂直的直线4，4分别交双曲线于A,B两点和C,D两点，A,

。在x轴同侧.

①求四边形AC5D面积的取值范围；

②设直线A。与两渐近线分别交于“，N两点，是否存在直线AO使M,N为线段AO的三

等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴x2一《=l⑵①[6,+8）；②不存在，理由见解析

【分析】（1）根据题意求得片,从，即可得解;

（2）①易知直线/1,，2的斜率均存在旦不为0，设A（X|,y1）,8（X2）2）,C（X3，y3），D（X4,y4），4的

卜=区

方程为丫=丘，则4的方程为y=-Jx，联立，y2，消元，贝!IA>O,利用韦达定理求

k---=\

x3

得玉+天,4马，再根据弦长公式可求得|AB|,同理可求得公的范围及ca,再根据

Sg”=；|人如|8|整理即可得出答案;

y=tx+m

②设直线A£>的方程为丫="+相，A(xs,ys),D(xft,yft),联立，/，消元，根据A〉0求

X--=1

3

得，，加的关系，利用韦达定理求得三+%，入5%，再利用弦长公式求得|A£)|,易求得〃,N的坐

标,即可求出|MN|,再根据M,N为线段AD的三等分点，可得|AO|=3|MN|.结合AB±CD,

可得两个等量关系，从而可得出结论.

(1)

解：由题意有=6,则6=岛①，

a

将点尸(百,回代入双曲线方程得*-'=1②，

联立①②解得

b=3

故「的方程为/=1;

3

(2)

解：①，易知直线4，&的斜率均存在且不为0,

设4aB(xiy2),C(x3,y3),D(x4,y4),

《的方程为丫=6，则4的方程为'=-?》，

k

y=kx

联立《，9消y整理得(3-&2b2_3=0,

X...-1

3

直线4与双曲线「交于两点,

故3—^工0且A=12(3—公)>0,贝1味2<3,

3

则X+W=0,玉W=一^^，

则网=Jl+%2[%+々)-4中2=2档]?,

1

y=­x

联立《\,消y整理得。公一川/一二二。,

》21=1

3

直线4与双曲线「交于两点，

故3〃一1#。且A=12/(3公解得公>g,

根据对称性可知四边形AC8O为菱形,

16A:216

«3,4]

16k2

-3€（0,1],

（1+尸）2

S.CBDe[6,+8）；

②，假设满足题意的直线A。存在，

易知直线AZ）斜率存在，设直线A£＞的方程为丫=氏+加,

A（x5,y5）,D（x6,y6）,

y=tx^m

联立｛2/,整理得（3-/卜2-2切a-加一3=0,

X-----=1

3

则（3—r）工0且A=4产加2+4（〃「+3）（3—」）＞0,

解得产工3且产〈加+3,

2km

毛+%=3-k2

由韦达定理有，

-tn2-3

不工6=

3-k2

4t2m24（-苏-3）

则|4O|=+马）2-4/a=J1+产

（3"）2

(l+r)(12w2-12z2+36)

7(3^

不妨设M为直线AO与渐近线y=氐的交点,

m

x=

y=tx+my/3-t

联立《解得，

y=6xy[3m

y=y/3-t

(m也tn、

'-m

同理可得N点的坐标为

+

2

Im-m2/y/3m2112^1+rj/n

中行一京7(3-咛’

因为M,N为线段AD的三等分点，|AD|=3|M/V|,

|(1+*)(12,"2T2/+36)

'V

整理得*+8/-3=0,①

ABLCD,：.AO±DO,

则A0-00=0，即才5%+%”=0，

大5%+%%=毛毛+(a5+加)(a6+m)

=(1+/2)%毛+f机(%+%)+机2=(1+/)^7^+‘机+机2=0'

整理得_3/+2〃*3=()e

联立①②得『=-5,无解，

故没有满足条件的直线AO.

3.己知双曲线C的离心率e=6,左焦点片(-c，0)到其渐近线的距离为6.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线C的左支于P、。两点和A、B两点，若

TATP

,P、。两点的中点为M,A、B两点的中点为M0为坐标原点，求两直线0M和

TBTQ

ON的斜率之和.

【答案】(1)二一二=1(2)0

【分析】（1）由点到线的距离公式及离心率，结合+从即可求解；

（2）直线AB：y=klx+m,4（占,乂），8（天,%）,外电,%），。（%,”），

22

结合韦达定理可得?+*+2=4m^

联立直线与双曲线方程,

42Al化2—2乂"八6]

X,X4.4m2公

由已知得化简得匕+七=。，进而得解.

同理可得寸十2=（抬_2）"+6）X2X4

(1)

依题意，焦点在X轴上，设实半轴、虚半轴长分别为a,h,则渐近线为y=±2x,

a

左焦点耳（-c,0）到其渐近线的距离d=

,*,—=fc2=3ci2=a2+b2»解得"=3,

a

22

所以双曲线方程是'-X=1.

36

(2)

设T(O,m),直线AB：y=ktx+m,A(X1,yJ,B(x2,j2),

直线尸Q：y=k2x+m,「(£,%),(?(x4,y4),

y=kxx+m

联立“fy2=>(2--2加A/-—6=0,

-------1

36

’2-#HO

A=4m/；+4(2-%：)0/+6)>O

4/匕2

2mk,,n(3+xj=++三+2=

依题意,口+々=嚏/

X(X2X2Xj（好—2）（加+6）

in2+6八

x.x.=-^：--->0

〔6-2

x,xdc4m2k；

同理可得，,+5+2=代_2）（艰+6）,

..回一回.工=2

"国一网’•♦石一千

4机2%：4机%;

,,,（6-2）（m2+6）=（后_2）荷+6）'化筒得4="3

;仁工占，*,•。+&2=0.

k

•,•KkON〜k=&/一1»oMK=e

**•k°M+kON=0.

22

4.已知双曲线c："方=Q>o,b>0）的左焦点为F,右顶点为A,渐近线方程为y=土瓜，

F到渐近线的距离为G.

⑴求C的方程；

⑵若直线/过R且与C交于尸，。两点（异于C的两个顶点），直线x=f与直线AP,AQ

的交点分别为M,N.是否存在实数/,使得|F7W+FN卜卜若存在，求出，的值；

若不存在，请说明理由.

【答案】（l）f一5=1（2）存在，，=-1

【分析】（1）根据/到渐近线的距离为G，可求得力，再根据渐近线方程可求得〃,，即得双

曲线方程；

（2）假设存在，设直线的方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，然后表示出

点M,N的坐标，进而得到向量的坐标，利用其数量积为零，将根与系数的关系式

代入，看能否解出参数，的值，即可得答案.

⑴

双曲线C：鼻一斗=l（a>0,6>0）一条渐近线方程为y=，x

\bc\

焦点尸（-c,o）,则焦点到准线的距离”=b

\la2+b2

由尸到渐近线的距离为G可知：6=石，

由渐近线方程为》=±b》知：§=&,故。=1,

所以双曲线方程为：x2-^-=l;

3

（2）

设直线/的方程为》=冲-2,

x=my-2

联立《2V2，整理得：(3/_1)y2_i2冲+9=0,

x--=1

3

设P。,y),。5，%)，而A(l,0),F(-2,0),

［川\2m9

则M+%==­：，》%=丁］，

3m-13m-1

4-—3/72^—4

所以x,+x=m(y,+y)-4=—~=〃广y%-2m(y+y,)+4=,•:4一,

223"7~-1t-3m-1

假设存在实数Z，使得|五M+硒卜卜M-尸M，则FM-FN=O,

故由原方程：y=^7(xT),令x=t得,

同理AQ方程：y=上;(x-1)，令x=f得Na,』："-。)，

x2-\x2-1

所以尸fNuQ+Z-^Q-DXf+Z-^Q-lAuO,

Xj-1x2-\

即(^+2)2+-~a-i)2=o,

(3一1)(4-1)

9

则(f+2/+,翌T-----(一1-=0,

一3疗一4