高中数学必修一函数的值域考点详解

高中数学必修一函数的值域考点详解

函数的值域

学习目标

1.会用函数图象或函数性质研究简单函数的值域.

2.会研究、=寝("0,与广帖+；(。＞°)性质.

3.会利用换元法研究复合函数的值域.

4.会求分段函数的值域.

5.会利用方程思想研究函数的值域.

基础梳理

1.解决下列问题：

(1)函数蚱2、1)的值域是().

A.(T,2)B.(0.2)C.(0,2]D.(2.+®)

(2)求函数八Q+G的值域为.

2.解决下列问题：

(1)函数”言的值域为().

5x+l

A.lyeRB.C.{ywR|yh2,y*5)

(2)函数》,=邙的值域为(

1+Vx

C.[-1,i)(-00,-|]U[1•+8)

3.解决下列问题:

(1)函数卜=1。82(3*+1)的值域为().

A.(0,+00)B.[o,+oc)C.(1.+oc)D.|1»+8)

(3)函数”石。"的值域是

4.画出下列函数的图象并写出其值域:

⑴”卜-1|+k+1|;

23x<0,

(2)y=\i

—一,x>0.

X

5.(1)设函数r(x)=logj4'-2'),xe[L2],求/(*)的值域.

(2)若函数y=，og,q-210g1X+5在定义域［2,4］上有最大值"，最小值6,求"-6.

自主探究

1.观察函数”］的图象，写出不同定义域下的值域:

X

定义域值域

定义域值域

[>•+8)

[1,+»)

(F,1]

(F,1]

2.求函数的值域，关键是弄清函数的单调性，利用函数的图象来观察单调性是常

用方法.为了求)，=三(止4)的值域，我们先研究「高的图象.

(1)请写出(-T)的定义域、值域、对称中心、单调性；

(2)用的描点法画出”七|(x*T)的图象，该图能否由某个函数的图象平移得到？

(3)求广高(4)的值域.

3.由上问知道，”竺仁。，也力与反比例函数的图象有关系，试将”的化

cx+a\cd)xex+d

成”叫上的形式，并说明它与y」图象之间的关系.

x+nx

4.(1)给出函数y=x+1(xxO).

①函数r的取值可以是1,2,3吗？如不能，请说明理由；如果能，请求出相应的x.

②利用①的启示，你能否得到r=x+1(A。)所以函数数值的集合即值域？

X

(2)给出函数.、--口"。)，你能利用(1)的办法得到它的值域吗？

(3)研究函数y=«x+2(a>0.b>0)与=ar+—(a>0.6<0)的性质.

y-ax-¥-(a>0,b>0)v=ar+-(«>0.6>0)

X

定义域

值域

最大值

最小值

奇偶性

单调性

简图

5.函数与方程是两个不同的数学概念，但对于用解析式示示的函数y=/(x),可以视

为关于变量、,J的一个二元方程，也可以把它看成是以『为待定系数关于变量、的一

元方程，这种转换看问题的角度对于研究某些函数的值域很重要.请从方程的角度

研究下列函数的值域.

e”-e~x2x~-x+I

6.利用不等式的性质求值域一种方法，下列解题过程是否有误，说明理由.

题目：求函数k3-2口值域

解答：•「Ji-X?NO,-2^1-<0,/.3-25/1~x2<3,

.・函数户3-2位了的值域为(rc.3］.

案例分析

1.求函数”一一2蛆+1,XE［-1，1］的值域.

【解析】二次函数”］是开口向上的抛物线，对称轴为直线》

(1)若刖W-1,则函数尸=/-2,x+l,x«-L1］单调递增(如图一)，f(-1)=2+2m,/(l)=2-2/n,

所以所求函数值域为[2+2m2-2问.

图二

(2)若由函数.r=x、2mx+1,图象(如图二)可以知道函数值域为

[/(哂/⑴],又/㈣=1-疝,所以所求函数值域为口-苏，2-2司.

(3)若由函数y=--2mx+I,xw[-1,1]图象(如图三)可以知道函数值域为

[/(桃),/(-叨，又/(加)=]-川，所以所求函数值域为J,2+2加].

(4)若/I,则函数y=x2-2mx+1,xe[-1,1]单调递减(如图四)，/(-l)=2+2m,/(l)=2-2m,

所以所求函数值域为[2-2*2+2,”].

2.求函数y=2x+4灯的值域.

【解析】设r=4-x,则,20,且x=l",

代人已知函数得＞=2(1-r)+4,,

Xy=-2/!+4r+2=-2(r-l)S+4(raO),根据图象观察可知ye(~oc,4].

说明：本题使用的方法就是换元法，是等价转化思想的一个具体应用.

3.求下列函数的值域：

(1)”号；

X-I

(2)八F；

I+X

(3)y=,xe[-2,-1)U(-1.+*);

(4)

x+2x+6

【解析】(1)方法一：”容=狂芈5+言，

X-

9

•/——wO,

x-1

;.”5,即函数值域为(Y:,5)U(5,+8).

方法二：由广业得一再..故”5,

X-1y-5

即函数值域为(F,5)11(5,+8),

(2)方法一：y=—-1,•.*x2>0,/.1+x3>1,

1+X'

因而0<台与2。-1<”1,即函数值域为(-1,1].

方法二：由]得/,解得：

故函数值域为

(3)函数可化为=2+1，其图象是由反比例函数广，先向左平移1个单位，再向

上平移2个单位得到，如平当xe[-2,-l)U(T，+8)时，容易看出ye(~oo,1]U(2,+00).

(4)将原函数化为>Y+(3yT)x+6y-2=0(*),把此方程看作关于'的方程，下面研究

方程有实数解时，待定量，的取值范围.

当时，r=-2,方程有解，所以,可以取0；

"0时，令A=(3y-1)'-4r(6y-2)wo,解得Jv”！.

63

所以>V[且JF0.

综上所述，所求函数的值域为鸟，;].

说明：本题就是利用方程思想研究函数值域的，也可以称这种方法为“判别法”.

能力提升

1.若函数卜=--2x+3,xw[O,内的值域是[2,3],那么实数〃满足()

A.a=1B.a>1C.I<a<2D.a=2

2.求下列函数的值域：

(1)y=x+y/2-x；(2)y=x2+74-x2.

3.；［：：',/)

设小)=是二次函数，若伙)］的值域是曲+8)则g(x)的值域是

拓展迁移

1.已知尸>1,函数/(x)=1og2史4+*(xT)+gg2(P-x)

(D求函数./(X)的定义域：

(2)求函数/(X)的值域.

2.已知函数/(x)=a"-2j4-a*-l(a>0.a#l).

(1)求函数/(*)的定义域、值域；

(2)是否存在实数a,使得函数/(x)在区间(2.+3上恒有/(r)NO.

挑战极限

1.已知函数/(小卜?

(1)是否存在实数使得函数”/㈤的定义域和值域都是3小若存在,

求出的值；若不存在，说明理由；

(2)若存在实数“，b(a<h),使得函数F=/(x)的定义域为回A],值域为[ma,m6](m*0).求

实数”的取值范围.

课程小结

1.求函数的值域，关键是弄清函数的单调性，利用函数的图象来观察单调性是常

用方法.

2,熟悉二次函数的图象与性质，会求二次函数在给定区间上的值域，并能将相关

问题转化为二次函数来解决.

3.利用换元法求函数值域时，应该注意新产生“元”的取值范围.

4.对于复合函数蚱/a(明，xeD,我们一般使用换元法研究值域：

⑴令"=g(x),则'=/(")；

(2)求函数”=g(x),壮。的值域心

答案：函数的值域

基础达标

1.(1)B.(2)【解析】(1)函数y=2',单调递增，利用图象，不

难看出，总。.2).(2)函数定义域为［L+8),容易知道函数在定义域上单调递增，x=l

时，所以所求值域为：氏+42.(1)D.⑵B【解析】(1)八悬。X后,

(2)方法一：y=上岑o4=匕^,;620,二三^~2()0-l<yW1・

1+Vx1+71+N

方法二：y=H!i£)=2,1换元后得忏二_I(,?0).利用函数尸2的图象变换解

l+Vx1+Vx\+tx

决.3.(1)A；(2)C；(3)|o3].【解析】(1)令u=31+1,贝l]y=log?〃，vxeR,we(l.+x),

6

所以J€(0,+8).(2)函数丁=Vi^二F的定义域为(-g,2],

令〃=16-V,则y=4,vx€(-a>,2]9.*.M€[0,16)9故pe[0.4).

(3)令/=-3/+5x-2=-3(x一斗+上在白，又/是被开方数，「.OWfwW.

\6/121212

」.OWyW#,即)的值域为

6

2x.x^l,

4.【解析】(1)y=|x-l|+|x+l|=2,

2x,xW-I

如图，容易看出函数值域为［2.+8).

2',xW0,

(3)画出分段函数JI的图象，容易看出函数值域为(~CO.o)u(o.l］.

——,x>0

x

5.【解析】(1)令/=2%由I-W2,得2W/W4,所以/(X)=>(/)=噫(/—)=log/-；).函

数次)在［2.4］是增函数数，所以当/=4,即v=2.*(/)有最大值晦12=2+log,3,当/=2,

即x=l,9(/)有最小值，综上所述，/(x)的值域［I.2+log：3］.

(2)设logIX=/,则/€,1.一事，所以，y-11-21+5,-y|•最后可得

自主探究

(2)描点画图如图，尸”,的图象由尸二的图象向左平移1个单位，再向上平

X+IX

移1个单位得到.⑶/(4)［,X小时，/(r)Tl.所以，八舒Q4)的值域为)).

心+6a"力+(：')alid)

3.【解析】y

cx+dJ”x+

令化_4],则尸竺丑，+」匚.

c\acJcx+dcx+«

c

所以"竺号的图象是由反比例函数”上图象向左平移幺个单位，再向上平移乌个单

cx+dxcc

位得到(如果[＜。，9＜。，则向相反方向平移相同幅度即可).

CC

所以，＞=笆卜=0.3，]的图象也是双曲线，关于点3对称，与直线、=-4及直

线.”巴无限靠近.

C

4.【解析】(1)①令X+L|,得FT+I=0,该方程无解，所以，不能取值为1.

X

令x+1=2,得.d-2x+l=0,解得x=l,所以当x=I时，y-2.

x

令X+_L=3,得,」-3X+1=0,解得­邛，所以当“卑时，”3.

x22

②设户X+1可到得A•，由r+LK得关于X方程x2-fcr+l=().

xx

存.在x使尸x,取值为ko方程A-Ax+1=0有实根,o△二火二-420,即A22或A,这-2.所

x

以，：的所有取值的范围，即值域为(Y.-2]“2.+8).

(2)由＞=ar+2得ar?-yx-k-b=0.A=y2-4而(其中“＞。)，

X

当力＜0时，A＞0恒成立，所以ywR,当方＞0,由A20得/2必或＞W-2&・

y=ax+—(a>0.b>0)y=ar+-(<i>0.6<0)

定义域{x|x*0}

R

值域(-ac,-2\/ab\u^24ab.+8)

最大值最在(0,+8)上，当\=/时，最小无最大值，无最小

小值值2而；值

在(-«.0)上，当x=-'时,最大

1^>0o(y+l)(y-l)<0oT<y<l.所以函数」=—t~~工■的值域为(T.1).

1-ye+e

方法二：y=31=亡#=1一番.换元得”1-a(,>0),再利用函数图象,

e"+le'+1e-+1/+i

(2)函数.空序定义域为R.

X+1

y=2xoy(2+])=2x2_x+]o(2-,y)r1-x+1=0.

下面研究J如何取值，才能保证上述关于变量,的方程有实数解.

若y=2,贝l](2-yW-x+l-y=0o-x-l=0ox=-l,满足要求；

若尸2,则(2-亦—+17=0有解.

当且仅当4=1-4(2-〉)(1->)川04尸-12."7这00p-|)W；

即有-乎Wy-^W^o等W，w¥，所以等空且k2.综上所述：所求

函数值域为卜券.空.

6.【解析】此处利用基本初等函数”3-力(其中,=2)来求值域，但没有正确“基

本元”，的取值范围.正确解答如下：

vx2>0,即-/wo,..OWI-fWI(被开方数为非负数)，

/.O^Vl-x2WO..JW3-2J1T‘二3,

，函数》=3-2目的值域为[1.3]

能力闯关

1.C.【解析】国出函数十=『-2x+3的图象，容易看出使ye[2,3]的人•取值范围应是[0.2]

的子集，所以定义域应满足IWZ2.

2.【解析】(1)令〃=y/2-x20,贝ljx=2-〃。于是y=2-/+”=-,丁〃>0,..当〃=；

时，y无最小值，故”即为所求值域，(2)令，="手，则

x2=4-/2.vO^/^2,.当，《时，&=?当,=2时，k=2.故臼2.备即为所求值

域.

3.C.【解析】令u=g(r),则/[g(*)]=/("),画出其图象(如右图)，因为"=g(r)是一

个二次函数，所以”的取值范围，也即g(x)的值域是一个连续的区间，所以当且仅当

ue[0.+8)时,/[g(x)]=/(«z)的值域为[0,+8),即g(x)的值域为[0,+8).说明；本题使用

了换元法和图象法研究函数值域.

拓展迁移

X+1

万一]>'X><-1

1.【解析】(D由二l>O.nx>；又由已知2，所以函数的定义域为

__________口”

(I.P)•(2)/(x)=log,(x+l)(p-x)=log,[-x2+(p-l)x+p.令

/=-N+(p一1扭+p=-1x-1+g(X)，①当；了।即1<P<3时，/在(1.p)上单调减，

12}4[p>l

g(p)<t<g(l)9即0</<2p-2,所以f(x)<l+log式p-1),函数/(x)的值域为(-oc.l+log2(p-1))；

②当卜w'lw等即0?3时，g(p)«Wg(一],即0<，W”正，所以/但《21叫5+1)-2,

p>\12>4

函数f(x)的值域为(y,2log：("l)-2].综上；当1<”3时.函数/(灯的值域为

(^o.l+log,(p-l)).当时，函数/(x)的值域为(Y1.2log：(p+l)-2].

2.【解析】(1)由4-iTN0,得a*W4.当">1时，x<log„4；当Ocavl时，x>log,4,所

以当a>l时，/(*)的定义域为(f.log.4]；当时，/(x)的定义域为[log.4.+/).

当，―0时,3(，)是关于，的单调递减函数,所以-5=g(2)<g(,)=/(x)Wg(O)=3,

所以函数公)的值域是(T.3].

(2)若存在实数〃使得函数/⑴在区间(2.+8)恒有小户。，则区间(2,+8)是函数f(r)

定义域的子集，由(1)知，不满足条件.

若。<”1,则/(x)的定义域为[嗨4.+功，应有产由、.>2得

a'<a-.由于Ov/<1,因此,>行,故/(x)=g(r)vr(>/5)=-2限0,即/(*)》。不成立，

综上，满足条件的“不存在.

挑战极限

1.【解析】(1)不存在实数a