高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (三)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题（3）

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.如图，在矩形A8CD中，48=2,4。=1,点E为8的中点，F为线段CE（端点除外）上一动点

现将ZJZM尸沿A尸折起，使得平面力BD1平面A8C,设直线FD与平面ABC尸所成角为仇则sin。

的最大值为（)

AB.AD

-14i

2.如图，已知正四面体D-ABC的棱长为2,记二面角C-AB-D的平面角为a,

直线D4与平面ABC所成的角为/?,直线D4与BC所成的角为y,则（）

A.a>13

B.a<P

C.a>y

D.0>丫

3.如图，单位正方体4BCD的对角面上存在一动点

P,过点P作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于M,N

两点.则△BMN的面积最大值为（）

A.

2

B.1

2

C.3瓜

16

D.V6

2

4.如图，在四棱锥P-4BCO中，底面ABCO为菱形，4D4B=60。侧面PAD为正三角形，且平面

PADABCD,则下列说法错误的是（）

A.在棱4。上存在点使ZD1平面PMB

B.异面直线A。与P8所成的角为90。

C.二面角P-BC-4的大小为45。

D.BD1,平面PAC

5.己知空间中不同直线机、〃和不同平面a、p,下面四个结论:

①若m、〃互为异面直线，m//a,n//a,n〃0,则a〃/?；

②若m_Ln,mla,n//p,则al£；

③若n1a,mlIa,则n1m；

④若al0,mla,n//m,则《〃0.其中正确的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①③

6.如图，平面四边形ACBZ）中，AB1BC,AB1DA,AB=AD=1,

BC=e,现将A/IBD沿48翻折，使点。移动至点P,且P414C,

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

A.87rB.67rC.4兀D.

7.已知a,b是两条不同的直线a,£是两个不同的平面，且aua,bu/?,a〃/?,b〃a,则“a〃b”

是“a〃优'的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.如图，正方体ABCD-&B1GD1棱长为1,线段当劣上有两个动点E,F,且EF则下

列结论不正确的是（）

GBl

A.4CJ■平面BEFB.AE,8尸始终在同一个平面内

C.E尸〃平面ABCDD.三棱锥4-BEF的体积为定值

二、多项选择题（本大题共7小题，共28.0分）

9.20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可

以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及

他们的过渡形态.其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点，14个面（6个正方形、8个正

三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为1,

则（）

A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2

B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直

C.它的体积为

3

D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等

10.如图，直三棱柱4BC-&B1G的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2,E是棱BC上的动

点，F是棱&G上靠近C1点的三分点，M是棱CG上的动点，则二面角4一FM-E的正切值丕亘

能是（）

By

A酒B.套C.V6D.V5

55

11.在长方体4BC0-&当的/中，M,P是平面DCCiA内不同的两点，N,。是平面ABC。内不同

的两点，且M,P,N,Q«CD,E,尸分别是线段MMP。的中点.则下列结论正确的是（）

A.若MN〃PQ,则EF〃CD

B.若E,P重合，则MP〃CD

C.若MN与PQ相交，且A/P〃CO,则NQ可以与C£＞相交

D.若MN与PQ是异面直线，则EF不可能与CD平行

12.如图，直角梯形ABC。，AB//CD,AB1BC,BC=CD=^AB=2,E为AB中点，以DE为折

痕把AOE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2b.则（）

A.PC1ED.

B•二面角P-DC—8的大小为?

C.PC与平面PE。所成角的正切值为应

D.BE与面PDC的距离为北

13.已知边长为2的等边团ABC,点。、E分别是边AC、AB上的点，

满足DE〃3。且铝=A（AG（0,1））.将国ADE沿直线OE折到团

AC

4DE的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（）

A.在边AE上存在点凡使得在翻折过程中，满足BF〃平面

A'CD

B.存在2e（0,3,使得在翻折过程中的某个位置，满足平面ABC1平面8sE

C.若2=5当二面角4-CE-B等于60。时，|力’8|=，

D.在翻折过程中，四棱锥4-BCDE体积的最大值记为/Q）,/■（用的最大值为小

14.在四面体ABC。中，已知力C=BD=5,AB=CD=2V13.AD=BC=3V5.则下列说法正确

的是

A.四面体4BCD的体积是24

B.△4BC是钝角三角形

C.四面体ABCD的外接球的表面积是617r

D.若平面a与直线AB、C£»均平行，且与四面体ABCD的每个面都相交,则平面a截四面体ABCD

所得的截面面积最大值为12

15.如图，直三棱柱4BC—44G，△/8C为等腰直角三角形，

4818C，且力。=44=2,E，/分别是为C，4G的中点，D，

A/分别是44，上的两个动点，贝ij（）

A.与6。一定是异面直线

B.三棱锥。-加£户的体积为定值1

3

7E

C.直片G线与50所成角为1

D.若。为44的中点，则四棱锥O-5片所的外接球表面积为5兀

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

16.如图在四棱锥P-4BCD中，P4I5?®ABCD,AB//CD,/.BAD=90°,AB=6,PA=3,AD=遍,

E是直线P8上的一个动点，则4E与平面PDC所成角的最大值为.

17.如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2,M是侧棱PC的

中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB、PD于点E、

F（可与端点重合），则四棱锥P-4EMF的体积的取值范围是

18.如图，在透明塑料制成的长方体ABCO-4/口。］容器内灌进一些水，将容器底面一边3c固定

于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱4Di始终与水面EFG”平行；

④当E6441时，4E+B尸是定值，其中正确说法的是.

四、解答题（本大题共12小题，共144.0分）

19.在直三棱柱ABC-必当Ci中，AC=4,CB=2,AAr=2,/.ACB=60°,E,F分别是占《,

BC的中点.

(1)证明：平面AEBJL平面BBiGC；

(2)证明：GF〃平面ABE；

(3)设尸是BE的中点，求点G到平面&FP的距离.

20.如图，三棱柱4BC-4当的中，AXAABC,AC=BC,AB=2&A=4.以AB,BC为邻

边作平行四边形ABC。，连接&O和

(1)求证：A1。//平面BCQBi；

(2)若二面角4-DC-4为45。，

①证明：平面4G。，平面4遇。；

②求直线力遇与平面46。所成角的正切值.

21.如图，在四棱锥PfBCD中，底面"CQ为平行四边形，PA=PD=AB=BD=^AD,E,F分

别是PC,4B中点.

P

4HB

(I)求证401PB；

(II)当二面角P——B为120。时，求直线所与平面P8C所成角的正弦值.

22.如图，在三棱锥4-BCD中，BC=CD=BD=AC=3,AD=2,E是C£>的中点，荏=3万,

平面ACO_L平面BEF,

(1)证明：BE1EF：

(2)求直线CD和平面ABD所成角的正弦值.

23.如图，在多面体ABCCEF中，四边形A2CZ)是正方形，BF1平面ABC。，DE_L平面ABC£>,BF=

DE,M为棱AE的中点.

(1)求证：平面BDM〃平面EFC;

(2)若48=1,BF=2,求三棱锥A-CEF的体积.

24.如图，三棱柱4BC—4BiCi的所有棱长都相等，平面44道传_L平面A8C,乙4&C=60。，点。

为线段AC的中点，点E在线段AB上.

(I)求证：平面4DE1平面ABC;

(II)若4B=2,求点C到平面ABC1的距离.

25.如图1,已知四边形8COE为直角梯形，ZBIM)，BE//CD,且BE=2CD=2BC=2,A为

BE的中点.将△的?!沿AO折到APD4位置(如图2),连结PC,尸8构成一个四棱锥P-4BCD.

(I)求证AD1PB；

⑺若出ABCD.

①求二面角B-PC-。的大小；

②在棱PC上存在点M,满足丽=APC(O<A<1)，使得直线AM与平面P8C所成的角为J5」,

求4的值.

26.三棱柱ABC-&B©中，平面44//_L平面ABC,AB=AAr==4,BC=2,AC=2同

点F为棱AB的中点，点E为线段&Q上的动点.

(1)求证：EF1BC；

(2)若点E为线段46的中点，求点C到平面BEF的距离.

27.如图，在△4BC中，AB=3,4C=2BC=4,。为AC的中点，AE=2而，=-4PC.WAADE

沿。E翻折至△4'0E,得四棱锥A-BCOE.

(I)证明：A'P1DE；

(11)若44=2g，求直线AP与平面■口3所成角的正切值.

28.如图，四棱锥P-4BCD中，底面ABC。是直角梯形,48〃CD,ND4B=60。,AB=4。=2CD=

2,侧面PAC，底面ABC。，且△PAD是以A。为底的等腰三角形.

p

(I)证明：AD1PB

(n)若四棱锥P-A8CD的体积等于李问：是否存在过点C的平面CMN分别交AB,P8于点M,

N,使得平面CMN〃平面/MD?若存在，求出ACMN的面积；若不存在，请说明理由.

29.如图，在四棱锥力一DBCE中，底面。8CE是等腰梯形，BC=2DE,BD=DE=CE,△ADE是

等边三角形，点尸在AC上，且AC=34尸.

B

⑴证明：/W〃平面8EF.

(2)若平面ADE_L平面BCED,求二面角F—BE—C的余弦值.

30.如图，直角三角形ABC中，已知直角边48=百，AC=网,沿斜边上的高AO折起，使点8

到达点P的位置，连接PA,PD,PC,得到四面体P—ACC,且二面角C—4。—P为120。.

(1)证明：AD1PC；

(2)求二面角C-PA-。的正切值.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题主要考查空间直线与平面垂直的判定与性质和空间中平面与平面垂直的判定与性质.

在矩形ABCD中,过点。作AF的垂线交A尸于点。，交AB于点M,设CF=x,(0<x<1)MM=t,

由推导出t=--,由0cx<1,得

2-X

t<1„在翻折后的几何体中，推导H1DMJ■平面ABC,连结MF,则zMFD是直线尸。与平面ABCF

所成角，即=由此能求出sin。的最大值.

解：在矩形ABCQ中，过点。作AF的垂线交AF于点O,交AB于点M,

设CF=x,(0<x<1),AM=t,

由图易得4ZMM拓然1FZM,

所以也="即有工=」_

DADF12-7

即t=£,由0<x<l,可得：<t<L

在翻折后的几何体中，AF10D,AF1OM,

又0DC0M=0,

所以4F1平面OMD,

所以平面0Mo，平面A8CF,

有因为平面ABD_L平面ABCF,且平面OMDn平面ABD=DM,

所以DM1¥0ABCF.

连接MF,贝亚MF。是直线FD与平面ABCF所成角，即4MF。=0,

而DM=y/l-t2,DF=2-x=\,

则。=—=24t2,

sinDFtVl-t=V—t+

由于:<t<l,所以3<产<1,

则当t2=：时，即t=4时，S讥8取到最大值，其最大值为去

故选C.

2.答案：A

解析:

本题考查二面角、线面角、异面直线所成角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置

关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.

设三棱锥D-ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E,连结QE、CE、过。作DOLCE,交CE

于O,连结A。，则/OEC=a,乙DAO=0,取8c的中点产，可证明8cl平面AFD,这样可以求

出y,由此求出a,£,y这样可以比较大小.

解：如图所示，取A8的中点E,连接。E,CE,过。作OOJ.CE,交CE于0,连接A。,

•・,正四面体。-ABC,

・•・DO，平面ABC,

・•・乙DEC=a,Z-DAO=0.

由题知，DE=CE=V4^I=V3,DC=2,

DE2+CE2-DC23+3-41

cosa=---————=—k一7==

2DECE2XV3XV33

•.TO=CO=|CE=尊

取BC的中点F,连接。凡AF,则DF1BC,AF1BC,

又。尸n4尸=F,BC_L平面AFQ,

BCLAD,Y=90°.

:.丫>a>0.

故选A.

3.答案：A

解析：

根据题意和正方体的特征，分析点尸动的过程中，x随着y变化情况作出轨迹图象，数形结合能求出

结果.

本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表

示出来，考查了作图和读图能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

解：连接&G，则&CJ/MN,当M,N在正方体侧面上（非棱上）运动时，

分别过作MM11面4BiGD「NNi，面4/的。]，则MN=监附，此时△BMN面积小于△8%刈

的面积，故当MN在面为B1C1D1上时，面积最大，

当M€A]Bi，NGBiQ,设=xG[0,1],则MN=y[2x,BM=BN=V1+x2,ABMN为等腰三角形,

底边MN上的高为J1+M，

△BMN的面-积----为----缶=---寸----、.-V3,当工=1时取等号；

22~2

同理当M6AxDr,Ne。也1，设。1河=xe[0,1],则MN=岳,BM=BN=,2+（1-犷〃BMN为

等腰三角形，底边MN上的高为J.-2X+3,

△BMN的面积为自三xV2x=«—钎+67，

22

令/(%)=x4—4x3+6%2,/，(久)=4x3—12x2+12%=4x(x2—3x4-3)>0,

故f(x)单调递增，当x=l取最大值为当

故选:A

4.答案：。

解析：

本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题

的关键.综合性较强，难度较大.

根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可.

解：对于A,取AO的中点连PM,BM,

又底面A8CD是NDAB=60。的菱形，

•••三角形A3。是等边三角形，

又PMCBM=M,PM、8时＜Z平面/＞历8,

AD1平面PBM,故A正确，

对于B,AD_L平面PBM,PBu平面PMB,

：.ADLPB,即异面直线与PB所成的角为90。，故B正确,

对于C,•••底面A8C。为菱形，BC〃4D,

又BMLAD,则BM1BC,

又40J.PB,则BC1PB,

NPBM即为二面角P-BC—4的平面角，

•.•平面PAD_L平面ABCD,PM1AD,平面PADn平面4BCD=AD,PMu平面PAD,

.­.PM1平面ABCD,又MBu平面ABCD,：.PM1MB,

设4B=1,则BM=—,PM=—)

22

在直角三角形PBM中，tan/PBM=^=l,

即4PBM=45。，故二面角P-BC-4的大小为45。，故C正确，

对于D,若BD上平面PAC,又PCu平面PAC,

则BD1PC,又PM工BD,则需BC1MC,显然不成立，故错误的是£>,

故选：D.

5.答案:D

解析：

本题主要考查空间几何元素位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象

分析推理能力.

利用空间几何元素的位置关系逐一对每一个命题判断得解.

解：①若根、〃互为异面直线，m//a,n//a,\m',n\\n',m',n'ca,m'Cin'=0,

则m'//0,n7/j8,则a〃夕，所以该命题是真命题；

②若〃山,，〃山i，n〃0,则a与£也有可能平行，所以该命题是假命题；

③若〃_Lc，m//a,所以?n〃M,Mua,所以〃L”'.则,山〃，所以该命题是真命题；

④若n//m,则〃有可能在平面0内，所以该命题是假命题.

故选D

6.答案：C

解析：

本小题主要考查简单的儿何体、球的表面积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算

求解能力.

由14B,翻折后得至UP4JL4B,又P414C,可得P4进而推导出8c1®PAB,BC1PB,

得出三棱锥P-ABC外接球球心是PC的中点，得出外接球的半径，进而可求答案.

解：由D4J.4B,翻折后得到P4148,

5LPAS.AC,ABdAC=A,AB,ACc^ABC,

则PA，面ABC,BCu曲8C,可知PA1BC.

又因为4B_LBC,PAOAB=A,PA,ABc/g/PAB,

则BC1面PAB,PBu面PAB,于是BC1PB,

因此三棱锥P-ABC外接球球心是PC的中点O.

计算可知CP=yJPA2+AB2+BC2=2,

则外接球半径为1,从而外接球表面积为47T.

故选C.

7.答案：D

解析：

本题考查充分条件和必要条件的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面间相

互关系的合理运用，充分使用规则几何模型解题.结合正方体分析线面关系，举反例即可.

解：①证明充分性，如图所示：

设a为正方体上底面；设0为长方体左底面，期中aua,bu/?,a〃氏b//a

满足a〃b,但a与0相交，即“a〃b”不是“a〃夕的充分条件；

②证明必要性，如图所示：

设a为正方体上底面，设口为正方体下底面，期中aua,bua///?,b//a；

满足a〃0，但直线。与人异面，即"a〃/'不是“a〃夕的必要条件；

故选

8.答案：B

解析：

本题主要考查了空间中线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，以及三棱锥的体积，考查了空间

想象能力与推理能力，属于中档题.

由题意，利用线面平行与垂直的判定定理及三棱锥的体积公式，逐项分析，即可得出结论.

解：由题可知,正方体4BCD-4B1GD1棱长为1,

则Di。1平面ABCD,而"u平面ABCD,

:.DiD1AC,

连接8。交AC于点。，则4CJ.B0,

而£)iDnBC=D,u平面BBiDi。，

：.AC_L平面88出。，

由于是E,尸线段当。1上的两个动点，则AC1EF,

•••BEu平面8占。10,ACLBE,

又BECEF=E,所以4。3_平面3£：/，故选项A正确；

vB,E,尸同在平面BBiDiD上，而4不在平面B&Di。上,

--.AE,8尸不在同一个平面内，故选项B错误;

•­•EF//BD,BDu面ABCD,EFC面ABCD,

〃平面ABCD,故选项C正确；

由于EF=心，BiB=1,5LBBLEF,

21

••SABEF=.BIB=：x.x1=乎

由于4cL平面BEF,则40，平面BEF,AO=巫

2

..11^2y/21

^A-BEF—gSn^BEF=^X~X~=

由于底面积和高都不变，则体积为定值，故选项。正确.

故选：B.

9.答案：ACD

解析：

本题考查棱锥和棱柱的体积公式，异面直线的夹角，二面角，属于较难题.

可将该立方八面体理解为1个直四棱柱和4个四棱锥组成，逐项分析即可.

解：由题意，可将该立方八面体理解为1个直四棱柱和4个四棱锥组成，如图所示:

H

ED

B

对于A选项，取AE,DH,MN的中点R,S,O,连接MR,RS,SN,

・・•立方八面体的棱长为1，ZkAEM为等边三角形，

，根据对称性可知梯形的高为丝=乌

MR=^fAB=VLMRSN

则NM=1+2XJ(3-(3=2,

在棱柱E4DH-FBCG中，BH=/2+业+(河=?,

根据对称性可知，。为MN和84的交点，0M=ON=OB=OH=1,

故该立方八面体的12个顶点在同一个球面上，其直径为2,故A正确；

对于B选项，可知4M〃PB,直线AM和直线8c不在同一平面内，

4PBe为直线AM和直线8c的夹角，其大小为60。，故8错误；

对于C选项，分别计算直四棱柱和四棱锥的体积，

所以该立方八面体的体积为V=lxlx-/2+4xixlxV2x—=-.故C正确；

323

对于。选项，该立方八面体的每一条棱所相交而来的两个面均是一个正方形和一个三角形,

根据对称性可知，它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等，故。正确；

故选ACD.

10.答案：B

解析：

本题考查二面角正切值的计算，涉及线面垂直的判定，线面垂直的性质，面面垂直的性质，三角形

面积的计算，二次函数值域，属于综合题.

由题意，作出二面角A-FM-E的平面角乙4D。，设GM=x,则04x42,求出tan〃DO=^=

3y/33V3-V4+X2

b=4+x，再由二次函数求出tan乙4D0的范围，再根据选项判断即可.

小4+。2

解：取BC的中点。连接A。，••,△A8C是等边三角形，二

AO1BC,

又•.•三棱柱4BC-&8道1是直三棱柱，••・面4BC_1面

BCCiB],

,••面ABCn面BCCiBi=BC,AOc®ABC,AOiffi

BCCiB],

vFMu面BCCjBi，AO1FM,

过点。作。D_LFM交尸M于。点，连接D4,

vODQAO=0,OD、力Ou面AOO,FMiffiADO,

ADADO,.-.FM1.AD,

■■440。是二面角4-FM-E的平面角，

设CiM=x,则04x《2,则MC=2-x,FM=V4+x2,

SAOFM=\FM-OD=-ix2x-|x(2-x)x3,

解得。。=指提，

v4+xz

ABC是边长为6的等边三角形，.•・4。=3A/5，

‘右,me幺。3733V3-V4+X2

在RtZk/DO中，tan^ADO=—==4+x,

V4+X2

令44-%=C,则44£46,

则甯=柠耍=国手=国芋I*/

当t=5时,ta山D。取最小值嗜

当t=4时,即x=0,ta"°得当t=6时，即x=2,tanUD。=①(雷,

tan4W。的取值范围是日等考］,

所以，而史至＜剋变，源＜逐＜逋，

5552

故二面角力-FM-E的正切值不可能是雪.

故选&

11.答案：BD

解析：

本题重点考查空间中直线与直线的位置关系，属于较难题.

根据题意对选项逐个判断即可.

解：若MN〃PQ,则M、N、P、。四点共面y,当MN<PQ时，

平面DCC也、ABCD.y两两相交有三条交线，分别为MP、NQ、CD,

则三条交线交于一点0,则8与平面y交于点0,则EF与C。不平行.故A错误;

若E,尸两点重合，则MP〃NQ,M、N、P、。四点共面y,

平面DCCiA、ABCD、y两两相交有三条交线，分别为例P、NQ、CD,

由MP〃NQ,得MP"NQ“CD,故B正确;

若MN与PQ相交，确定平面y,平面DCCWi、ABCD、y两两相交有三条交线，分别为MP、NQ、

CD,

因为MP〃CD,所以MP“NQ“CD,所以NQ与CQ不可能相交.故C错误;

当与PQ是异面直线时，如图，连接NP,取NP中点G,连

接EG,FG.则EG〃MP,

因为MPu平面CCCiDi，EGC平面CCGD1，贝ijEG〃平面DCG/.

假设EF//C0,

因为CDu平面。CG5，EFC平面DCCiA，所以£7=7/平面DCC15.

又EFCiEG=E,.•.平面EFG〃平面DCGDi，同理可得，平面EFG〃平面4BCD,

则平面DCG5〃平面ABCD,与平面DCGDin平面4BCD=CD矛盾.

所以假设错误，EF不可能与C£>平行，故。正确.

故选BD.

12.答案:BD

解析：

本题考查了空间中垂直关系的相互转化，线面角，面面角求解，属于较难题.

假设PC1矶)可推出线面垂直，可得与/££)/，=/££)/=45。矛盾，可判断A选项；

确定二面角的平面角为NP。“，然后可判断B；

NCPD为直线PC与平面出为所成角，在RtAPCD中,tanNCPD=£2=也，显然C不成立;

PD2

取中点“，连接E“，证明E”即为BE与面PCC的距离，即可判断。.

解：由题意可得，DC=EB=2,DC//EB,且8c_LBE,

则四边形BCCE为正方形，所以CELAB,CD1DE,

4中，若PCLED，又EDLCD，PCnCD=C,PCu平面POC,CDu平面POC,

可得ED，平面PDC,又PDu平面PDC,则EDLPD，

而NEDP=NED4=45。,显然矛盾，故A错误；

8中，因为PD1CD，CD工DE，

所以二面角尸―QC-8的平面角为/PQA，

所以NPDE=ZADE=450，故B选项正确；

C中，由CQJ•平面PAO

可知NCPO为直线PC与平面PAD所成角，

在R3PC。中，tanZCPD=—=->故C选项错误；

PD2

。中，由题意可得，DC=EB=2,DC//EB,且8clBE,

则四边形BCCE为正方形，所以。ELAB,CD1DE,

取尸。中点H,连接EH,•:PE=DE,：.EH1PD,

•••CD_L平面PED>-CD1EH,

CDCPD=D,

•••EH，平面PDC,

-BE//DC,BC1CD,则BE与面PDC的距离为EH,

vPD=<12-4=2V2,PE=ED=2,

•••EH=V2,

即BE与面PDC的距离为四,

故。正确.

故选：BD.

13.答案：CD

解析：

本题考查了线面平行的判定和二面角，属于较难题.

对于4在边4E上点F,在4。上取一点N,使得FN〃ED,在ED上取一点H,使得NH〃EF,作HG〃BE

交BC于点、G,即可判断出结论；对于8,),在翻折过程中，点4在底面8C0E的射影不可能在交

线BC上，即可判断出结论；对于C,取EO的中点M,8c的中点为N,可得|4N|=?,|4'B|=

y/A'N2+BN2,即可得出；对于。.在翻折过程中，取平面4E01平面8CQE,四棱锥体积

fW=l-SBCDE-=Ae(0,1),利用导数研究函数的单调性即可得出.

解：对于4假设存在尸使得BF〃平面4CD,

如图1所示，

因为BFu平面48E,平面48EC平面4CD=4'4故BF〃44

但在平面4BE内，BF,4'力是相交的,

故假设错误，即不存在尸64E,使得BF〃平面4CD,故A错误.

对于B,如图2,

取BC,DE的中点分别为/,H,连接/H,A'l,A'H,AI,

因为△ABC为等边三角形,故4/1BC,

因为DE〃BC,故NA'OE=乙ADE=ZACB=60°,ZA'ED=AAED=NABC=60°,

所以△A'DEA4DE均为等边三角形，故47/1DE,AH1DE,

因为DE〃BC,AI1BC,AI1DE，故4，,/共线，

所以/HJLOE,因为力'Hn/H=H,A'H/Hu平面A因/,

故DE_L平面AH/,

而DEu平面CBED,故平面4'"/1平面CBED,

若某个位置，满足平面4BC1平面8CQE,则4'在平面8CQE的射影在/”上，也在BC上，故4'在

平面BCDE的射影为H,所以AH>/H,

此时"絮=察=焉W这与六（。，3矛盾，故8错误.

对于C,如图2（仍取BC,CE的中点分别为连接

A'

因为力'H1DE,IH1BC,所以44'用为二面角A-DE-/的平面角，

因为二面角4-DE-B等于60。，故乙4〃/60，

又AH=HI=导则|47|=冬

因为BC//DE,所以BCIA'H,BC1HI,

因为4HCiHI=H,A'Hu平面4"/,Hlu平面AH/,

所以8cl平面AH/,因为47u平面47//,所以BCJL&/,

则|AB|=y/A'N2+B12=J(y)2+1=y>因此C正确；

对于，如图4(仍取BC,DE的中点分别为1,H,连接力,4如,4B仍取),

作4在底面CBED上的射影O,则。在/H上.

因为靠=4,8C〃DE,所以等=4且半=九所以4"=8;I其。E=22.

又KV-CBED=9x：x(DE+CB)xxA'O

1l,

=-(2A+2)xV3(l-A)xA'O

6

<i(2A+2)xV3(l-A)xV3A=-A3+A,

令f(Q=-23+2,2G(0,1),则尸(Q=-3A2+1,

当；le(0,g)时，fU)>0；当；时，f(A)<0.

所以f(A)在(o,f)为增函数，在为减函数，

故/Wmax=f(f)=等.

故。正确.

故选：CD.

14.答案：ACD

解析：

本题主要考查了四面体的体积，余弦定理，球的体积公式，几何体的截面问题，属于较难题.该四面

体的三组对棱的长度分别相等，可将其补成一个长、宽、高分别为3、4、6的长方体，可得四面体

ABCQ的体积，可判断A；由余弦定理可得cosC>0,可判断B,四面体的外接球即为补成的长方体

的外接球，求得外接球的半径，可判断C,由爱+号=1，当PN=PQ时，SPNMQ有最大值，可判断

D.

解：根据题意可知，该四面体的三组对棱的长度分别相等，

可将其补成一个长、宽、高分别为3、4、6的长方体，

因此四面体A8CO的体积：VA_BCD=|x3x4x6=24,A选项正确；

△ABC中，角C为最大角，因为cosC=⑶⑸2+5：（2、©Z>0,

所以△ABC为锐角三角形，B选项错误；

四面体的外接球即为补成的长方体的外接球，

所以外接球的半径r=lV32+42+62=叵,

22

外接球的表面积S=4口2=61兀，C选项正确,

如图所示，

器+券=1,故PN+PQ=2g,

当PN=PQ时，SPNMQ有最大值，此时，SPNMQ=1x

4x6=12,。选项正确.

故选ACD.

15.答案：BCD

解析：

本题考查异面直线成角，棱锥的体积以及棱锥的外接球，球的表面积，难度较大.

由异面直线成角，棱锥的体积以及棱锥的外接球，球的表面积，逐个进行计算判断.

解：A项，当M,8重合时，FM（即BF）与8。是相交直线，故该说法错误；

B项,由已知可得BiF14G，

又平面48c_L平面CA&Ci，所以8述，平面C441G，

在矩形4EF&中，AOEF的面积S=1xEFx/tjF=|x2x1=1,

又B]F=泊的=1,所以三棱锥0-ME尸的体积加_曲=|SxB1F=|xlxl=1,

所以该说法正确；

C项，由Z&J■平面AiBiG，得力A11&G，

又BiG-LA1B1,所以BIG1平面4B1B4所以为的_LBD,所以该说法正确；

。项，由题意可得四边形BBiFE为矩形，连接BF,

则矩形BB/E外接圆的圆心为8F的中点01，且0/=。他=易

过01作OiNLEF与点M连接£W,Op

则。iN=],DN=1,OiNlDN,故0/=在，

N2

所以01就是四棱锥。-BB1FE的外接球的球心，所以外接球半径R=亨，

故外接球的表面积S垢斤;5丁，故该说法正确.

故选BCD.

16.答案：30。

解析：

本题考查直线与平面所成的角的问题，涉及线面垂直的判定定理，线面平行的判定与性质，属中高

档题，难度较大.利用线面平行的判定定理和性质定理确定平面PAB和平面PCZ）的交线为过点P且

与A8平行的直线PG,在平面尸4。中，过4作尸。的垂线，交PD于H,利用线面垂直的判定定理

可以证明AH1•平面PCD,延长AE交直线PG与。，连接QH,可以判定41QH为直线AE与平面PCD

所成的角，计算得到A4的长度为定值，当且仅当AQ最小时，即Q与P重合，也就是E与P重合

时，得到N4QH的最大值，在三角形中计算可得答案.

解：如图所示：•••4B〃CD,ABu平面PAB,CD平面PAB,；.CD〃平面PAB,

设平面PABn平面PCD=PG,根据线面平行的性质定理得CD〃直线PG.

PA1平面ABCD,PA1AB,又：乙BAD=90°,:.AD1BA,

又PACtAD=A,

•••直线力B，平面PAD,

GP1平面PAD,CD_L平面PAD,

GP1PA,

在平面PAO中，过A作尸。的垂线，交PD于H,

延长AE交直线PG与。，连接QH,

vCD1平面PAD,.-.CD直线AH,

又•：PDCCD=D,PD,CDu平面尸CD,

AH1平面PCD,

.••乙4QH为直线4E与平面PC。所成的角，

vPG1PA,：.力Q的最小值为4P,当且仅当。与P重合时，也就是E与P重合时，40取得最小值.

由于R7A/MD中，PA=3,AD=痘,

.,.乙4Po=乙4PH=30°,且AH为定值|,

当AQ取得最小值时，直线AE,也就是直线AQ与平面PCD所成的角4AQH取得最小值为44PH=30°,

故答案为30。.

p

解析：

本题主要考查了棱锥的体积问题，以及基本不等式的运用，考查了空间想象能力与计算能力，属于

较难题.

首先证明一个结论：在三棱锥S-4BC中，棱S4,SB,SC上取点B】，G，则铲皿=堂黑出,

vS-ABCSASBbC

设霁=%，黑=，再分析，p-AEF,，P-MEF,Vp-AFM，^P-AEM=^P-ABCy进而可得结论.

rurDz

解：首先证明一个结论：在三棱锥S—ABC中，棱SA,SB,SC上取点4，B1,C1,

_SAiSBiSQ

AVs-ABC-SASBSC'

设SB与平面SAC所成角为。，

则_卜B]-s41cl=招SAiSQsin-SCSB1S出6_541幽60

'ys-ABC^B-SAC^YSASCsinZ-ASCSBsinOSASBSC

、九PEPF

攻­=X,—=y,

PBPD)

则VPTEF=x'y-VP_ABD=-xy,

KP-MEF=2Xy^P-BCD=3Xy»

Vp-AFM=2^P-ACD=&V，

^P-AEM=2%-ABC=3x»

2

所以KP-4EM尸=^P-AEF+^P-MEF~^P-AFM+^P-AEM~2%y=&(%+")，

则x+y=3xy,所以％=

所以Up-AEMF=|（x+y）=|（y+六）=|•差，

令t=3y—1,

则上=竺之=%+1+2）,

3y-l9t9、tJ

因为ye[pl],

所以teE，2],

则FT==；（t+；+2）€（当且仅当t=1时，取最小值）,

3y~Lyeycyz

所以Vp-AEMF=2-6[1,1],

故答案为岑1].

18.答案：①③④

解析：

本题是中档题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，

逻辑推理能力.

①由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有40〃EH〃FG〃BC,且平面4EFB〃平面QHGC,

由此分析可得结论正确；

②水面四边形EFGH的面积是改变的：

③利用直线平行直线，直线平行平面的判断定理，容易推出结论；

④当Ee时，AE+B尸是定值.通过水的体积判断即可.

解：根据面面平行性质定理，可得8c固定时，

在倾斜的过程中，始终有AD"EH〃FG〃BC,且平面4EFB〃平面O”GC,

故水的形状成棱柱形，故①正确；

水面四边形EFGH的面积是改变的，因为EF是变化的，而即是不变的，所以四边形EFGH的面积

是改变的，故②错误；

因为A\D\〃AD“CB“EH,AXDX仁水面EFGH,EHu7K面EFGH,

所以45〃水面EFG”正确，故③正确；

由于水的体积是定值，高不变，所以底面A8FE面积不变，

即当E644时，4E+BF是定值.故④正确.

故答案为①③④.

19.答案：解：(1)证明：直三棱柱ABC-&BG中，BBil平面ABC,ABu平面A8C,

AB1BB、,

在△力BC中，r4C=2BC=4,Z.ACB=60°,

••・由余