高中数学-椭圆的参数方程教学设计学情分析教材分析课后反思

椭圆的参数方程【教学设计】

一、教学目标确立依据

【一】课程标准要求及解读

1.课程标准要求

对于对数学有兴趣的学生，让他们学会分析直线、圆和圆锥曲线

的性质，写出它们的参数方程。这样，有助于学生对普通方程、参数

方程与曲线的分析和推导，也有助于启发学生的创新思维与发散思维。

在学习坐标系与参数方程的过程中，要鼓励学生动手操作，数学是想

象和实践的结合，借助教具或计算机软件推导出参数方程。

2.课程标准解读

本节课内容选自普通高中课程标准实验教科书人教B版选修4-4

《坐标系与参数方程》的第二章参数方程。“直线与圆”、“圆锥曲

线”与“参数方程和极坐标方程”是高中解析几何的三个重要组成部

分。“直线与圆”与“圆锥曲线”这两个章节主要以曲线与方程的一

一对应的关系作为解析几何的理论依据。通过直接建立动点横、纵坐

标之间的关系，刻画其整体运动的轨迹，推导出参数方程。通过理解

椭圆规的构造原理与设计，认识到椭圆参数方程在实践中有着广泛的

应用。

【二】教材分析

椭圆的参数方程是高中数学选修4-4第二章圆锥曲线的参数方程

中的一节。本节知识是在选修2-1的椭圆的标准方程和椭圆一般方程

之后的升华，在高考全国I卷中的椭圆大题中有考点。因为人们对事

物的认识是不断加深，层层推进的。因此对椭圆的认识，也遵循这一

规则。

本课学习椭圆参数方程，实际上是对椭圆认识的加深推广。从另

一角度，以动点、动直线、动圆，来重新定义椭圆，最后从两个圆中

演变出椭圆的参数方程。为了更好的教学效果，强烈建议使用几何画

板来演示椭圆的参数方程这一知识的生成。

【三】学情分析

学生在高一学习三角函数，在高二上学期学习椭圆的标准方程。

因此很多学生的基础知识都有遗忘。为了更好的学习效果，在学习新

课之前要复习椭圆的标准方程和三角函数的基础知识，以减少学生在

三角函数的计算中出现错误。在学习这节课之前，刚学习了圆的参数

方程。圆的参数方程中参数的几何意义和椭圆参数的几何意义是不同

的，学生容易混淆。因此在授课当中要通过几何画板，来演示椭圆参

数的几何意义，帮助学生加以区分。

二、教学目标

1.学生通过类比圆的参数方程的推导过程，推导出椭圆的参数方

程。

2.学生通过观察和操作几何画板，探究椭圆的参数方程和参数几

何意义。

3.学生通过观察几何画板的演示，合作探究椭圆规的构造原理。

4.学生通过使用椭圆的参数方程解决椭圆的最值问题，体会数形

结合和坐标法思想。

三、评价设计

目标1评价：学生能准确说出圆的参数方程和参数的几何意义。

通过类比圆的参数方程的推导过程，用代数法推导椭圆的参数方程;

目标2评价：学生能在教师的引导下，发现代数法的推导中的假

设，想到用几何法进行证明。通过几何画板的演示，经过小组讨论后，

小组代表用准确的数学语言表述椭圆的参数方程和参数的几何意义;

目标3评价：学生能在教师设计的几何画板的演示下，找到椭圆

规中的a和b。并根据参数°,写出椭圆规的参数方程。理解椭圆规

的构造原理，达到学以致用的目的；

目标4评价：学生独立完成应用1和应用2,考察对参数方程和

参数几何意义的学习情况，教师点评提升。学生完成应用3,体会坐

标法和数形结合的思想。

四、设计思路

1、参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，

是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。首先通过坐标的平移变换

借助圆的参数方程得出椭圆的参数方程，然后实例展示在建立椭圆方

程过程中，引进参数的意义和作用。使学生体会到有时用参数方程表

示曲线比用普通方程表示更方便，理解参数的几何意义。

2、根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课通过具体实

例，采用“复习导入发现法”。引导和激发学生的探究热情，通过“教

师与学生”和“学生与学生”的交流合作，掌握椭圆参数的深层实质。

3、教学流程为：创设情境引入新知一实例探究启发思维一类比

启发形成新知一应用研究明确原理一例题讲解运用新知一课堂实践

巩固新知一归纳总结完善一课外强化提升能力。

五、教学过程教具：多媒体、PowerPoint课件、《几何画

板》

教

学

学习过程

环教师活动学生活动

设计意图

节

一、复习探究、学生讨论引入

圆的参数方程

思考1：圆心在原点半径为r的圆的参数方程：学生思考，复习旧知

创

（%=rcosd,请学生回激发学生的

设

答。思维。

情[y=rsin0

境

思考2：圆心在（a,b）,半径为r的圆参数方程

引

[x=a+rcosO

入

新[y=Z?+rsin。

知

思考3：参数0的几何意义是什么？

0为0X轴逆时针旋转到与0M重合时所转过的角度，即半

径0M的旋转角。

实

思考4：圆的参数方不罡的推导学生思考动通过类比学

例

圆（x--a)2+(y-6)2：手求解后请习，和具体

探=尸的参数方程是什么？

代表回答，实例明确椭

究是怎样推导出来的:

nd老师的引导圆的参数方

启（X-,令:屋

下探究出椭程的形式。

发J1rJ*sine

1rr圆的参数方

思x=a+rcosb

（6为参数）'程。

维得:，

y=h+rsmO

二、探究总结、形成新知

类探究一：椭圆的参数方程的推导1、出示问题1、让学生积

比22学生思考，极动脑，把

启—+-1（«>>0）引导学生推参数方程类

你能根据圆的参数方程推导出椭圆/b~

发导椭圆参数比推导出

形的一个参数方程吗？方程。来。

成1、代数法推导（有假设）2、几何法推导

新以原点为圆心，分别以a、b（a>8>0）为半径作两个同心

知圆.设/是大圆上的任一点，连接应1,与小圆交于点笈2、培养学生

过点4,8分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点"严谨的思维

问题：求点."的参数方程.2、教师引导方式，为几

当半径力绕点。旋转一周时，就得到了点"的轨迹,学生发现代何法的推导

数法推导中铺平道路。

X=QCOS/,

它的参数方程是的假设。

y=bsin(p.

探究二：类比圆的参数方程中参数的意义，此椭圆的参数3、学生动

手:利用《几3、利用信息

何画板》演技术让学生

示体会当（p明确理解椭

变化时点M圆参数的几

的轨迹的形何意义。为

状。习题应用二

打下基础。

探究三：椭圆的参数方程的应用

椭圆规是用来画椭圆的一种器械.它的构造。如图所1、教师提供1、学以致

示.在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在几何画板研用，探究椭

应直尺上有两个固定滑块4B,它们可分别在纵槽和横槽究工具。圆规的构造

中滑动，在直尺上的点,"处用套管装上铅笔，使直尺转动

用原理。

一周就画出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？2、学生充分

研

究思考、小组2、利用信息

明讨论。技术培养学

确生动手能

原3、学生演示力。

几何画板讲

理

解。3、培养交流

表达能力。

三、知识应用举例

应用一：评价学习目标L考察学生椭圆参数方程的理解

1、正确书写

例

1、在学生解题过程，

题

1.写出圆锥曲线35的参数方程熟悉椭圆的明确解题格

讲

普通方程的式。

解(X—1

r；—cos0,基础上，写

运小

【解答】解：由题意可设＜出椭圆的一

用y±2_.n

[“me,个参数方2、培养学生

新

程，学习用合作能力。

知

x=1+\/3cos0,参数方程解

即，厂（0为参数）为所求.决实际问

-

2+\5sin。题。

应用二：评价学习目标2,考察参数方程中参数的理解

(x=2cost,

2.已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点M在3、本题主要

ly=4sint

针对椭圆的

参数方程，

椭圆上，对应参数t=g~,点。为原点，求直线OM的斜

直线的斜率

率。和参数的几

【分析】将点对应的参数代入椭圆的参数方程得到M何意义等知

的坐标，再利用直线的斜率公式即可求出答案.识进行检查

71K反馈。

【解答】解：当t=3时，点M的坐标为(2cos3,2、师生合

7T作共同完

4sin3),即M(1,2。3),，0M的斜率为k=243.成，熟练明

确椭圆参数

应用三：评价学习目标4,考察应用椭圆参数求最值的几何意

丫2J义。4、类比思想

----1--=1运用深化对

3.已知椭圆Im64有一内接矩形ABCD,求矩

3、学生合作参数方程认

形ABCD的最大面积。探究后上黑识，提升学

【分析】先根据椭圆参数方程设出A点坐标，则椭圆板完成、教生能力。

师点评，提

1升总结深化

----1----1

10064的内接矩形ABCD的面积可用A点坐标表认识。

示，就把矩形ABCD的面积用含参数0的式子表示，再

利用正弦函数的有界性判断0为何值时，面积有最大值.4、本题主要

考查椭圆的5、学生可以

29

工+J参数方程在感受曲线的

【解答】解：:A点在椭圆10064上，.•.可设求最值时的参数方程在

应用，其中代数“消元”

A(lOcos0,8sin0)

结合了三角变形中具有

・•・矩形ABCD的面积为4义(lOcos0)(8sin0)

函数的有界重要作用，

=320cos0sin0=160sin20

n性，属于综体现了参数

Vsin20^1,且当2。二彳时等号成立，合题.方程的优

势。

n

.\40sin26W40,且当2。=2时等号成立，

92

兀-K-----1--y-—_i1

.•.当20=2,即0=4时，椭圆10064的内

接矩形ABCD面积有最大值，

本题之前是借助椭圆方程转化一个变量的函关系，用

均值定理完成。而利用参数方程和三角变换，从而拓广了

解决问题的途经。

四、自主练习（任选两题完成）（10分钟）

V-ac

练习1.椭圆以参数），若夕G[0,2扪，则椭圆

[y=psin6

上的点（02）对应的。=（）

课

A.乃B.-C.2万D.—

堂22

实

培养学生自

践

练习2.当参数。变化时，动点。（2cos43sin。）所确定觉性、自主

的曲线必过（）学生独性、独立性

jr立完成后相的个性品

A.点（2,3）B.点（2,0）C.点（1,3）D.点（0,—）

2互检查质。

巩练习3.椭圆兰+丁=1的内接矩形的最大面积是

固4

新

知

2）

练习4.已知/、8是椭圆—+匕=1与坐标轴正半轴的两

169

交点，在第一象限的椭圆弧上求一点R使四边形以如

的面积最大.

五、课堂小结（2分钟）

归22

纳1.椭圆j+勺=l（a＞人〉0）的一个参数方程学生回顾总培养学生

b~

总结归纳这节总结、表达

结[x=4cos0,课所学知能力、语言

完（夕为参数）识，教师补组织能力

善[y=bsincp.充.

2.椭圆参数的意义

长为

，长轴

个椭圆

道是一

运行轨

卫星的

造地球

个人

课1.一

原点,

为坐标

圆中心

.取椭

43km

154

轴长为

m,短

65k

155

、

反馈

后信息

生知

检查学

立完

课后独

程.

参数方

轨道的

巩求卫星

情

识掌握

固成

22

大

y的最

x+2

求z=

=1,

二+二

满足

数小y

知实

2.已

提况。

16

升25

值。

最小

值与

书设计

六、板

程

参数方

椭圆的

方程

的参数

用椭圆

、应

理解

索、

四.探

数方程

圆的参

一.椭

1

应用

习引入

1复.

应用2

探究一

数方程

圆的参

2.椭

应用3

习

生练

；学

探究

合作

；师生

分析

示例

堂小结