高中数学总复习知识点对应练习提文新人教

第一部分集合知识点

一集合的含义

1.集合的中元素的三个特性：

元素确定性元素的互异性元素的无序性

2.集合的表示:{…}

集合的表示方法

1）列举法:{a,b,c...}

2）描述法:{xeR|x-3〉2},{x|x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图：

3.集合的分类：有限集无限集空集

4.常见集合表示

R实数集Q有理数集N自然数集Z整数集N*正整数集C复数集

二集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集

注意：Aq8有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2B或B二A

2.“相等”关系：A=B（525,且5W5,则5=5）

实例：设A={x|x2-l=0}“元素相同则两集合相等”

①任何一个集合是它本身的子集。AcA

②真子集:如果A屋B,且AwB那就说集合A是集合B的真子集，记作A&B或A

③如果AcB,BcC,那么AcC

④如果AqB同时B◎那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为◎

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

♦有n个元素的集合，含有2n个子集，2自个真子集

三、集合的运算

运算交集并集补集

类型

由所有属于A且属于B由所有属于集合A或属于集设S是一个集合，A是S的

定

一个子集，由S中所有不属

义的元素所组成的集合，合B的元素所组成的集合，

于A的元素组成的集合，叫

叫做A,B的交集.记作叫做A.B的并集.记作：做S中子集A的补集，记作

AAB,即AClB={x|xeA,AUB,即AUB={x|XGA,

CSA,CsA={x|xeS,JU^A）

且xeB}.或xeB}）.

韦

恩

图

示图1图2

AHA=AAA0=0AUA=AAU^=A(CUA)n(CUB)=Cu(AUB)

性

AnB=BAAAABCAAUB=BUAAUBoA(CUA)U(C„B)=CJADB)

质

ADBcBAUBoBAU(CUA)=UAH©A)=6

第二部分函数知识点

一.函数.

1、映射

(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,

在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)

叫做集合A到集合B的映射，记作f：A-Bo(象与原象P36)

注意:对映射定义的理解。判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域(注意区间表示方法)

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

1、下列各对函数中，相同的是()

Y_1_1

A、/(%)=Igx2,g(x)=21gxB、f(x)=1g----,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)

x-\

C、/(〃)==D、f(x)=x,f(x)=E

V1-v

2、M={x|0Wx<2},N={y|0«y<3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合

N的函数关系的有()

A、0个B、1个C、2个D、3个

x+2(x<-l)

3函数y(x)=.x2(-\<X<2)若y(x)=3,则产

2x(x>2)

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域

是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

♦相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无

关)；⑤定义城一致(两点必须同时具备)

2

练习.函数y=7log0.5(4x-3x)),=G-2x-i5「(七的定义域.

|x+3|-3-Vx+1

2求函数定义域的两个难点问题

(1)已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

(2)已知f(2Ll)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域

2+x

练习.设/(x)=lg，则外3+”2)的定义域为

2-x2x

变式练习：/(2-^)=A/4-X2,求/(五)的定义域。

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且xWR

的分式;

④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域:

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

1

1.(直接法)y

+2x+3

2./(x)=2-124+2x--

3.(换元法)y=-x+y/2x-\

4.(△法)y=f—

-x2+4

aY—1

6.(分离常数法)①%七②"KT0")

3

7.(单调性)y=x-Jx£[T3])

2x

8.①y—,,?—j,，②y—yjx+l--\/x-1(结合分子/分母有理化的数学方法)

9.(图象法)y=3+2x—Y(—1<XW2)

Q

10.(对号函数)y=2x+-(xN4)

X

11.(几何意义)y=|x+2]—|x—1|

四.函数的奇偶性

1.定义：设y=f(x),xWA,如果对于任意xWA,都有y(-x)=/(x),则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意xGA,者B有/(-x)=-/(x),则称y=f(x)为奇函数。

2.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：

/(%)+/(-%)=0奇函数

/(%)-/(-%)=0偶函数

3.性质：

①y=f(x)是偶函数oy=f(x)的图象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数oy=f(x)的图象关于原

点对称，

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③W土奇=奇偶土偶=偶奇乂奇=偶偶义偶=偶奇乂偶=奇［两函数的定义域立，跖DQD?要关于

原点对称］

4.奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

1已知函数/(X)是定义在(-8,+00)上的偶函数.当xe(-8,0)时，f(x)=x-x4,则当

xe(0,+8)时，y(x)=

-V+h

2已知定义域为R的函数是奇函数。

(I)求的值；

(II)若对任意的reR,不等式/(『-2r)+/®2一幻＜o恒成立，求女的取值范围;

3已知/(x)在(-1,1)上有定义，且满足x,ye(-l,l)有了(x)-/(y)=/(二2),

\-xy

证明：/(X)在(一1,1)上为奇函数；

4若奇函数/(x)(xeR)满足/(2)=1,/(x+2)=/(x)+/(2),则八5)=

五、函数的单调性

1.证明函数单调性的方法：

(I).定义法：

①任取X”X2GD,且Xr<X2；

©作差f(x)—f(X2)；

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差f(X)—f(X2)的正负)；

(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(II)用导数证明：若/(x)在某个区间A内有导数，

则/(x)»0,(xeA)。/(x)在A内为增函数；

/1(x)<0,CXGA)O/(X)在A内为减函数。

2.求单调区间的方法：

a.定义法：

b.导数法：

c.图象法：

d.复合函数丁=/[g(x)]在公共定义域上的单调性：

若f与g的单调性相同，则/[g(x)]为增函数；

若f与g的单调性相反，则/[g(x)]为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

3.一些有用的结论：

a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；

b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；

c.在公共定义域内

增函数/(x)+增函数g(x)是增函数；

减函数/(X)+减函数g(x)是减函数；

增函数/(X)-减函数g(x)是增函数；

减函数/(X)-增函数g(x)是减函数。

d.函数y=or+2(a>0,/?>0)在(-8,-7^板卜瓦,+oo)上单调递增；在加。技

X

上是单调递减。

4设y=/[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则y=/[g(x)]在M上是减函

数；若f(x)与g(与的单调性相同,则y=/[g(x)]在M上是增函数。(同增异减)

1判断函数/〈X)=-x3(xe/?)的单调性。

2例函数/(x)对任意的,都有/(m+”)=/(㈤+/(〃)一1,并且当x〉0时,

⑴求证：在R上是增函数；

⑵若/(3)=4,解不等式/(Y+a-5)<2

3函数y=10goi(6+x—2/)的单调增区间是

4(高考真题)已知/(%)=占”1"+40*<1是(­，小功上的减函数，那么。的取值范围是

log,,无,x>l

()

(A)(0,1)(B)(0,1)(C)[1,1)(D)[1,1)

5.函数的单调性通常也可以以下列形式表达：

/㈤寸(以>0单调递增

%-x2

/(史二/(2)<0单调递减

X]-x2

六.函数的周期性：

1.(定义)若/(x+T)=/(x)(TwO)=/(x)是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是/(幻的周期

(推广)若/(x+a)=/(x+b),则/(x)是周期函数，6-。是它的一个周期

对照记忆

/(%+«)=f(x-d)说明：

f(a+x)=f(a一x)说明：

2.若/(x+a)=-/(x)；f(x+a)=-^—；f(x+a)=-—^~；则/(x)周期是2。

f(x)f(x)

1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f足必=—f(x),则，f(6)的值为

(A)-l(B)0(C)1(D)2

2定义在R上的偶函数f(x),满足/(2+x)=/(2-x),在区间[-2,0]上单调递减，设

a=f(-1.5),h=f(&),c=f(5)，则。，"C的大小顺序为

3已知f(X)是定义在实数集上的函数，旦/'(x+2)=匕/区,苟•⑴=2+后,则

1--(X)

f(2005)=.

4已知/(x)是(-oo,+8)上的奇函数，.f(2+x)=-/(x),当04x41时，f(x)=x,则

f(7.5)=_______

5设/(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足/(2+x)=-/(x),当xe[0,2]

时/(X)=2x—x2

⑴求证：/(x)是周期函数；

(2)当xe[2,4]时，求"x)的解析式;

⑶计算：,◎+/①+/(2)+/(2005)

七、

1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域;

2.求反函数的步骤：

①求原函数y=./Xx),(xeA)的值域B

②把y=/(x)看作方程，解出x=(p(y)；

③x,y互换的y=/(x)的反函数为y=/T(x),(xeB)。

3、关于反函数的性质

(1)y=f(x)和y=f'(x)的图象关于直线y=x对称；

(2)y=f(x)和y=r'(x)具有相同的单调性；

(3)已知y=f(x知求fYa),可利用f(x)=a,从中求出x,即是f'(a)；

(4)f-1[f(x)]=x;

(5)若点(a,b)在y=f(x)的图象上，则(b,a)在y=f'(x)的图象上；

(6)y=f(x)的图象与其反函数y=fT(x)的图象的交点一定在直线y=x上；

1设函数"/(x)的反函数为丁=尸(幻，且y=/(2x-l)的图像过点则尸尸⑴

的图像必过()

(A)(1,1)(B)(1,1)(C)(1,0)(D)(0,1)

2：y=3k>g尸，(x20)的反函数为o

3：已知/(x)=x?+2x+3,(xN0),求y=/(2x-l)的反函数。

4：设/(幻=9*-2.3、,贝炉t(0)=。

八.一次函数与正比例函数

1.正比例函数y=kx(k#0)的图象是经过两点0(0,0),A(l,k)的一条直线；

一次函数丫=1«+13(1<#0)的图象是经过两点A(0,b),8(-2,0)的一条直线，但在取值时要根据

k

具体情况灵活选取.因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两点即可画出

一条直线.一次函数丫=1«+13的图象是恒过(0,b)点且平行于直线丫=1«的一条直线，其中k叫直

线丫=1«+13的斜率，b是直线y=kx+b在y轴上的截距(注意：截距b不是距离，它可以是正数，也

可以是负数或零).

2.一次函数y=kx+b(kW0)与正比例函数y=kx(kW0)的性质.

y=kx(kWO)y=kx+b(kWO,且bWO)

经过原点(0,0)与两坐标轴的交点(0,b)为和(一

b/k,0)

k>0经过一、三象限必过一、三象限

k<0经过二、四象限必过二、四象限

当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增

大而减小。

当k>0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角最大。

八.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析:T

1.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a#0)的图象是一条抛物线，对称轴％=二2,顶点坐标

2a

a4ac-J,其中a是二次项系数，决定开口方向和大小，b是一次项系数与a决定对

2a4a

称轴的位置，c为常数项是与Y轴的截距。

2.二次函数与一元二次方程关系

一元二次方程ar2+bx+c=O(awO)的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a^O)y=0的x的解。

一元二次不等式ax2+6x+c>0(<0)的解集(a>0)

二次函数△情况一元二次不等式解集

ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0

Y=ax2+bx+c(a>0)△=b2-4ac

(a>0)(a>0)

\[/一加工VX［或

△>0｛乂玉<x<x2]

图

象

与

解

u△=0｛小1｝①

4ac-h2b,4ac-h2

+---------,其中〃—，k—

4a2a4a

4.一兀二次方程or?+fer+c=O是二次函数y=依2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

①当△=〃-4ac>0时，图象与x轴交于两点A&，0),8(w，0)(犬户工2)，其中的王，々是一兀二次

方程以2+加+C=0卜冲0)的两根.(xi+x2=-b/a;Xi*X2=c/a韦达定理)这两点间的距离

b2aC

AB=\x2-xt\=^~^.

②当A=()时，图象与x轴只有一个交点；

③当△<()时，图象与x轴没有交点.

r当”>0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y>0;

2,当。<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0

5.待定系数法求二次函数方程

二次函数的解析式：

(1)一般形式：y=a£+Z?九+c(aw。)

(2)顶点式：y=a(x—力>+左3工。)

(3)两根式：y="(%—%])(龙一九2)(aw。)

例1.抛物线与x轴交与A(-2,0)、5(1,0)两点，且经过点C(2,8),求抛物线解析式。

解：•••抛物线与x轴交于4(一2,。)、5(1,0)两点

/.设抛物线为y=a(x+2)(%—1)(。w0)

•..抛物线过点C(2,8)

.•.8=a(2+2)(2—l)

即。=2

/.y=2(无+2)(无一1)

练习.已知抛物线y=a/+b九+c(“w。)，满足下列条件，求函数解析式。

①图像过点4(0,1)、B(l,2)、C(2,-1)

②图像过点A(L0)、B(0,一3)且对称轴是％=2

③图像顶点是(一2,3),且过点(一1,3)

9

④图像和X轴交于(-2,0)和(4，0)两点，且过点(1,--)

1、已知函数/(力=4,一加X+5在区间［-2,+00)上是增函数，则/⑴的范围是

()

(A)/(1)>25(B)./•⑴=25(C)/(1)<25(D)/(I)>25

2、方程〃a+2mx+l=0有一根大于1,另一根小于1,则实根m的取值范围是

3.抛物线顶点"(L16)且与X轴交于两点A、B,且AB=8.求抛物线的解

析式。

九.函数的图象变换(在下面画出图形变化的方法图形)

作出下列函数的简图：

(1)y=|log^|；(2)y=|2x-l|；

(3)y=2：xl；(4)y=|x2+2x-31

十.函数的零点.

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数y=.f(x)(xe。)，把使=0成立的实数x叫做函数

y=/(x)(xeD)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0实数根，亦即函数y=/(x)的图象

与x轴交点的横坐标。

即：方程/(%)=0有实数根o函数y=/(x)的图象与x轴有交点o函数y=/(x)有零点.

3、函数零点的求法：

①(代数法)求方程/(x)=0的实数根；

©(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(x)的图象联系起来，并利

用函数的性质找出零

4.函数零点所在区间的判定

如果函数尸/1(*)在区间［a,3上的图象是连续不断的一条曲线，并且有F®­<0,那

么，函数片/(x)在区间(a,b)内有零点，即存在ce(a,b),使得F(c)=0,这个c也就是方

程f(x)=0的根。

5.二分法求零点

十一.初等函数

1.根式

①定义：若一个数的〃次方等于a(〃>l,且〃wN*),则这个数称。的〃次方根。即若x"=a,

则x称a的〃次方根〃>1且〃GN*),

1)当〃为奇数时，。的〃次方根记作后；

2)当〃为偶数时，负数a没有〃次方根，而正数a有两个〃次方根且互为相反数，记作

±y/a(a>0)o

②性质：1)(心)"=a；2)当〃为奇数时，行=a；

3)当“为偶数时，^=]a\=r(a-0)。

一a(a<0)

2.分数指数累

正数的分数指数基的意义，规定：

m___

a"=(a>0,m,〃wN*,n>1),

--11*

a"--—j=(a>0,m,n&N,n>Y)

a"~\a'"

♦0的正分数指数暴等于0,0的负分数指数累没有意义

①规定：1)a"y如GN*；2)a°=1(〃W。)；

n个

[tn____

3)a~p=—(/?GQ,4)an='4cF(a>0,mGN*且〃>1)。

a1yn

rsr+s/c

②性质：i)a-a=ascQ)；

1s

2)、(aX=a'(tz>0,r5eQ);

3)(a-by=a'-b'\a>0,b>0,reQ)o

(注)上述性质对r、seR均适用。

3.对数的概念

①定义：如果。(a>0,且awl)的8次基等于N,就是4=N,那么数匕称以a为底N的对数,

记作log“N=仇其中a称对数的底，N称真数。

1)以10为底的对数称常用对数，lo&oN记作IgN；

2)以无理数e(e=2.71828-)为底的对数称自然对数，log,N,记作InN；

②基本性质：

1)真数N为正数(负数和零无对数)；2)log“1=0；

og

3)Iog(,a=1；4)对数恒等式：a'-'=N。

③运算性质：如果a〉0,aw0,M>0,N>0WD

1)log”(MN)=log4M+log„N；

2)log噂=log“M-log„N；

n

3)\ogaM=n\ogaM(nGR)。

④换底公式：log”N="池N(a>0,6?w0,/n>0,m1,N>0),

log,”a

n

1)log•log4Z=1；2)logb"=—log,*。

u/;m

4.指数函数与对数函数

(1)指数函数：

①定义：函数y=a«a>0,且a/1)称指数函数，

1)函数的定义域为R；2)函数的值域为(0,+8)；

3)当0<。<1时函数为减函数，当。>1时函数为增函数。

②函数图像：

1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限；

2)指数函数都以x轴为渐近线(当()<a<l时，图象向左无限接近x轴，当。>1时，图象向

右无限接近％轴)；

3)对于相同的a(a>0,且awl),函数y=优与y=的图象关于y轴对称。

③函数值的变化特征：

0<a<\a>1

®x>0H寸0vyv1,①x>0fl寸y>1,

@x=0时y=1,②]=00寸y=1,

③xv00寸y>1③x<oa寸0<y<1,

（2）对数函数：

①定义：函数y=log“x（a>0,且aw1）称对数函数,

1）函数的定义域为（0,+8）；2）函数的值域为R；

3）当（）<a<l时函数为减函数，当。>1时函数为增函数；

4）对数函数y=log“x与指数函数y=a，（a>0,且awl）互为反函数。

②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0,1）,且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y轴为渐近线（当0<。<1时，图象向上无限接近y轴；当。>1时，图象向

下无限接近y轴）；

3）对于相同的a（a>0,且a#1）,函数y=log.x与y=log〕x的图象关于x轴对称。

③函数值的变化特征:

0<a<1a>1

①龙〉1时y<0,①x>1时y>0,

②x=l时y=0,②x=l时y=0,

③0cx<1时y>0.③xv0H寸0vyv1.

5.指数函数与对数函数对比

（1）指数函数yua1与对数函数y=log“x（a>0,a#1）互为反函数

名称指数函数对数函数

x

一般形式Y=a(a>0且aWl)y=logax(a>0,aWl)

定义域(―CO,+OO)(0,+8)

值域(0,+8)(-8,+OO)

过定点(0,1)(1,0)

指数函数y=a*与对数函数y=log,,x(a>0,aWl)图象关于y=x对称

Jy

X

Y=a(0<a<l\'"忙F(a>l)x

图象Y71oga(a>l)

1

x

y=loga(0<a<l)

a>1,在(-8,+8)上为增函数a>l,在(0,+8)上为增函数

单调性0<a<l,在(-8,+8)上为减0<a<l,在(0,+8)上为减函

函数数

值分布y>iy<iy>0y<0

(2).比较两个幕值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数

相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关

系(对数式比较大小同理)

记住下列特殊值为底数的函数图象：

(3)研究指数，对数函数问题，尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制

(4)指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,

讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

1、(1)y=71羡+lg(5—3x)的定义域为；

1

(2)y=2々的值域为；

(3)丁=坨(-/+1)的递增区间为,值域为

2

2、(1)log]X--<0,则xG________

c4

3、要使函数y=1+2*+4Z在XG(-8,1]上y>0恒成立。求a的取值范围。

4.若ax+—•a'——<0(a>0且aWl),求产2a”—3,a*+4的值域.

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6.塞函数.

1.基函数的定义(形式定义)

一般地，形如y=xa(aeH)的函数称为基函数，其中。是常数.

自变量X是幕的底数，换句话说，累的底数是单变量X