高中数学-指数函数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

人教A版高一数学必修第一册

4.2.1指数函数的概念

教学设计

教材分析：

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.2.1

节《指数函数的概念》.从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、基函数，以及函

数性质基础上，通过实际问题的探究，建立的第四个函数模型.其研究和学习过程，与以前

的研究函数过程类似.先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图象，然

后借助函数图象讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数

的一般方法，让学生充分感受，数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等以及由特殊到

一般的思想方法.

教学重、难点与核心素养:

教学重难点：核心素养

重点：指数函数的概念a.数学抽象：指数函数的概念；

b.逻辑推理:推理得到具体问题中变量间的关

难点：通过实例和问题，引导学生计算、

系式；

推理、归纳并概括指数函数的概念

C.数学运算：通过数据运算发现指数增长和指

数衰减的变化规律；

d.数学建模：在实际问题中建立指数函数模

型；

1

设计意图

教学过程核心素养

目标

2

（一）创设问题情境

我们祖国在各个方面取得了突飞猛进的发展，在网上铺天盖地而来开门见

的各种报道中，最常见的一个名词就是指数增长，指数增长是怎样的一种

增长方式呢？学习了本节课之后对会指数增长有一个初步的认识.山,通过对

对于基山（。＞0）,我们已经把指数》的范围拓展到了实指数赛运

数.上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对塞函数的研究，进一步算及函数

了解了研究一类函数的过程和方法.下面继续研究其他类型的基本初等函概念和性

数.

（二）探索新知质学习的

铺垫，提出

问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来

研究课题：

越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自2011

指数函数.

年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了

培养和发

景区门票.下表给出了A,B两地景区2011年至2015年的游客人

次以及逐年增加量展数学抽

象和数学

A地景区B地景区

时间/年

人次/万次年增加用/万次人次/万次年增加量/万次建模的核

2001600278

心素养.

2002609930931

20036201134435

20046311138339

20056411042744

探究问题：

2006650947548

20076611152853探究1.通

2008671105886。

20096811065567过景区门

20106911072974

票价格制

20117021181182

2012711990392定与参观

2013721101005102

2014732111118113景区人数，

2015743111244126

两个变量

函数关系

比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利

于观察规律，根据表，分别画出A,B两地景区采取不同措施后的15年游的建立，体

客人次的图会数学源

于生活，发

展学生数

学抽象、数

3

人颇次［人协欢学建模和

13001300

11001100/数学运算

900900

700■....♦•.♦•♦♦J700A«核心素养

500500“

3(X)1300

20012003200520072009201120132015时而年20012003200520072009201120132015时向年

图4.2-1图1.2-2通过典例

问题的分

观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性

析，让学生

增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区的游客人次则是

体验实际

非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规

问题分析

律.

我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通方法，及指

过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请

点t函数变

你试一试.

像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长.因此，B地景区化特点.培

的游客人次近似于指数增长.显然，从2001年开始，B地景区游客人养分析问

次的变化规律可以近似描述为：

题与解决

1

1年后，游客人次是2001年的1.11倍；

问题的能

2

2年后，游客人次是2001年的1.11倍；力

3

3年后，游客人次是2001年的1.11倍；

做减法可

以得到游

“年后，游客人次是2001年的1.11倍.

如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么客人次的

X年增加量，

y=1.11(x£[0,+°°)).①

这是一个函数，其中指数X是自变量.做除法可

问题2当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减以得到游

（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半客人次的

衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的年增长

关系？率.增加

设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,如果把刚死亡的生物体内量、增长率

碳14含量看成1个单位，那么；是刻画事

物变化规

4

1律的两个

死亡1年后，生物体内碳14含量为（1-p）；

很重要的

2

死亡2年后，生物体内碳14含量为（1-p）；

量.

3

死亡3年后，生物体内碳14含量为（1-p）；...........探究2.通

5730过生物体

死亡5730年后，生物体内碳14含量为（1-p）.

死亡时间

5730-

根据已知条件，（1-p）=2,从而l-p=2，所以p=1-2.与体内碳

14含量，函

设生物死亡年数为X,死亡生物体内碳14含量为y,那么尸（1-p/,

数关系的

v=（小局*建立，体会

2

即,（xeto（+«>））.这也是一个函数，指数x是自变

指数函数

（乙向应用的广

量.死亡生物体内碳14含量每年都以1-2衰减率衰减.像这样，衰

泛性，并抽

减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14

含量呈指数衰减.象指数函

探究3：观察这两个函数模型，你还能举出生活中类似结构的函数模型吗？数的概念.

体会由特

你能说出这些模型结构的共同特征？殊到一般

的研究方

法，发展学

如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和（5）国

生数学抽

象、数学建

Xy=（d）周X

,那么函数丫=1.11和2模和数学

可以表示为y=由的形式，运算核心

一般地，函数y=，（a>0,且a^l）（a>0,且厚1）叫做指数函数，其中_素养

是自变量，函数的定义域是R

思考：指数函数的结构特征？待定系

数法

（三）典例解析

例1.已知指数函数设贝x）=a'（a>0,且aWl）,且43）=兀

求丸0），KD，犬-3）的值；

5

1通过典

“〃3a炉

解：因为火x)=a，且火3尸兀，则°=兀，解得。=,例分析，进

一步熟悉

*11

于是火x)=",所以的)="0=1,")="'=的，火-3)="‘产

指数函数

的概念，及

认识到指

致函数变

例2(1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元

门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A,B两化迅速的

地旅游收入变化情况.特点

解：(1)设经过x年，游客给A,B两地带来的收入分别为/(x)和g

X

(x),则f(x)=1150x(10X+600),g(x)=1000x278x1.11.

利用计算工具可得，

借助几何

当x=0时，f(0)-g(0)=412000.

当gl0.22时，/(10.22)gg(10.22).画板软件，

结合图可知：当xVlO.22时，f(x)>g(x),

让学生从

当x>10.22时，f(x)<g(x).

当x=14时，/(14)-g(14)-347303.图象上直

这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后

观感受两

10年，虽然/(x)>g(x),但g(x)的增长速度大于/(x)；根据上述

地收入的

数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有/(x)=g(x),

差异，还让

I

I4OL学生感受

指数函数

的增长迅

速特点

O|!2345678910111213141516X

这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，/(x)<g(x),游客

给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015年，

B地的收入已经比A地多347303万元了.

(2)在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原

来的百分之几？

经过两个半衰期是否是一个全衰期呢？(课后阅读与思考)

6

7

通过

（四）当堂达标

练习巩固

1.下列函数一定是指数函数的是（D）

A.y=2”iB.y=3C.y=32‘D.y=3~x本节所学

2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（C).知识，巩固

指数函数

O\X\~O\7xo]/JxZ\ox的概念，及

了解指数

（A）（B）（C）（D）

函数变化

3.己知函数次》）=（2“一1》是指数函数，则实数”的取值范围是（；，1）U（1,

特点，增强

+oo）.学生的教

学抽象和

X

4.若函数段）是指数函数，且12）=2,则於）=啦.数学运算、

数学推理

的素养

（五）小结：

学生根

通过教科书中从景区游客人次增长、碳14衰减等具体背景出发，通过运算

据课堂学

发现其中的指数增长和指数衰减的变化规律，然后归纳其共性得到指数函

习，自主总

数的概念结知识要

X点，及运用

函数y=a（a>0,且”力）叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是的思想方

R.法.注意总

（六）作业结自己在

学习中的

预习下节课内容指数函数的图象和性质

易错点.

4.2.1指数函数的概念

板

一、指数函数的概念二、例1：

书

设

A地计

B地例2：

8

4.2.1指数函数的概念

临清一中

2019.11.19

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4.2.1指数函数的概念

学情分析

学生对函数的图象、性质的关系已经构建了一定的认知结构，对正比例函数、反比例函数、

秒球数二次函数等最简单的函数概念和性质有了初步的认识，学会了解决一些简单函

数问题的方法.刚刚有了研究辱函数的经验，便可以按研究一个函数的基本方法去研究指

数函数的主要内容。当体会过由姨岫釉搬学活动，国了解了黝侬合的思想，有一些研究函

数问题方法的痛思想，解决一些数学问题有一定的能力.同时通过研究指数函数对研究对

数函数做了铺垫，启着承上启下的作用.

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4.2.1指数函数的概念

效果分析

本节课首先从问题1出发，分别通过变量的数据和这些数据的图象初步抽象出实际问

题的变化规律。学生会直观地看到变化的趋势，但还不能准确地刻画这一变化规律。然后

引导学生利用己知数据来说明图象的变化规律，并从图象中得到启发去处理数据，从而数

形结合地发现实际问题变化规律的本质。最后，学生通过给出问题变化规律的数学表示，

归纳概括指数函数的一般表达式。问题2是一个衰减问题，学生更好地感受到指数函数模

型，促进学生了解中国文化、关心社会。

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4.2.1指数函数的概念

教材分析

本节课是新版教材人教A