历年高中数学联赛真题分类汇编34不等式

1/2历年高中数学联赛真题分类汇编专题34不等式第三缉1．【2017年浙江预赛】设fx=x2+ax+b在【答案】0【解析】提示：因为fx=x所以a,b满足由此可以得到a2−2b2．【2017年江苏预赛】设x、y是实数,则2x+2y【答案】1【解析】提示:因为2x所以2两边同除以2x4+当x=因此2x+2y3．【2016年陕西预赛】设m、n均为正整数，且满足24m=n4.则m的最小值为________.【答案】54【解析】由n4=24m=23×3m，知mmin=2×33=54.4．【2016年陕西预赛】设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且f(x)+g(x)=2x.若对x∈[1，2]，不等式af(x)+g(2x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是_______.【答案】[−17【解析】由f(x)+g(x)=2x①⇒f(-x)+g(-x)=2-x⇒-f(x)+g(x)=2-x.②由式①、②得，g(x)=2x+2−x2，f由af(x)+g(2x)≥0⇒a(2x-2-x)+22x+2-2x≥0.③令t=2x-2–x，由x[1，2]，得t∈[32，154]，且22x+2则对t∈[32，154因为函数t+2t在区间[32，154故−a≤176，即5．【2016年陕西预赛】设a∈R.则函数f(x)=|2x-1|+|3x-2|+|4x-3|+|5x-4|的最小值为_______.【答案】1【解析】注意到，f(x)=2|x−=2(|x−≥2|(x−当且仅当(x−12)(x−故f（x6．【2016年福建预赛】设f(x)为定义在R上的函数，若f(0)=1008，且对任意的x∈R，满足f(x+4)-f(x)≤2(x+1)，f(x+12)-f(x)≥6(x+5).则f(2016)2016【答案】504.【解析】由条件知f(x+12)-f(x)=(f(x+12)-f(x+8))+(f(x+8)-f(x+4))+(f(x+4)-f(x))≤2((x+8)+1)+2((x+4)+1)+2(x+1)=6x+30-6(x+5).又f(x+12)-f(x)≥6(x+5)，于是，f(x+12)-f(x)=6(x+5).则f(2016)==6×(2009+5)×168故f(2016)20167．【2016年福建预赛】当x、y、z为正数时，4xz+yzx【答案】172【解析】注意到，（1）x2+16（2）y2+1则x2+y2+z2=(=2当且仅当x：y：z=4：1：17时，上式等号成立.从而，4xz+yzx2+8．【2016年新疆预赛】已知x、y>0,且x+2y=2.则x2【答案】2【解析】令a=x则a=a⋅b=x+2y=2，由ab故当x=2y=1时,x29．【2016年山西预赛】设n为正整数，使3介于n+3n【答案】4【解析】注意到，n+4n+1而3为无理数，则1+3故n=310．【2016年全国】设实数a满足a<9a【答案】a∈【解析】由a<a则由原不等式得:−1<9a又a<0，故a∈−11．【2016年吉林预赛】设实数x、y满足x−y+1≥0,y+1≥0,【答案】1【解析】试题分析：画出线性约束条件x−y+1≥0,y+1≥0,x+y+1≤0,的可行域，由可行域知目标函数考点：线性规划的有关知识。点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数转化为斜截式的形式，即的形式，但要注意的正负。当为正时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最大时对应的点；当为负时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最小时对应的点。12．【2016年吉林预赛】设实数x、y满足x−y+1≥0,y+1≥0,【答案】1【解析】试题分析：画出线性约束条件x−y+1≥0,y+1≥0,x+y+1≤0,的可行域，由可行域知目标函数考点：线性规划的有关知识。点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数转化为斜截式的形式，即的形式，但要注意的正负。当为正时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最大时对应的点；当为负时，求z的最大值就是求直线在y轴上的截距最小时对应的点。13．【2016年浙江预赛】已知a、b、【答案】8【解析】注意到，4a14．【2016年上海预赛】已知，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】由及有，所故结果为．15．【2016年四川预赛】设实数x、y、z、w满足x+y+z+w=1.则M=xw+2yw+3xy+3zw+4xz+5yz的最大值为________.【答案】3【解析】易知，对任意的实数t，有t1−t≤1注意到M=x=x≤1当且仅当x=y=z=1从而，M的最大值为3216．【2016年江西预赛】若对于所有的正数x、y,均有x+【答案】2【解析】由xx+y所以a≥2,实数a的最小值为217．【2016年湖北预赛】已知实数x、y满足x23+【答案】2,14【解析】设x=3则2x+y=2=13x+2y=3故P===8−3=8−3由θ∈0,218．【2016年河南预赛】若实数x、y满足x2【答案】3−【解析】依题意有x−y2令x−y=2cos于是，x=sin则x2故x2+y19．【2016年河南预赛】已知函数fx=1【答案】0,1【解析】依题意，知f'x=0在区间（0,2）上有两个不同的零点，即x2则x1⇒c故c220．【2016年甘肃预赛】若实数x,y满足x2【答案】2【解析】x21．【2016年甘肃预赛】已知甲、乙两个工程队各有若干人.若从甲工程队调90人到乙工程队，则乙工程队的总人数是甲工程队的2倍；若从乙工程队调部分人到甲工程队，则甲工程队的总人数是乙工程队的6倍.则甲工程队原来最少有__________人.【答案】153【解析】设甲、乙两队原来各有a、b人.则2a−90=b+90再设从乙工程队调c人到甲工程队.则.a+c=6b−c由①、②消去b，整理得11a−7c=1620⇒c=11a−1620由于a、c为正整数，从而，c=11a−1620又74a+1,则a的最小值为153.因此，甲工程队原来最少有153人.22．【2016年北京预赛】记自然数x的数字和为Sx.则方程x+S【答案】1980【解析】易知，x<2016.注意到，小于2016的自然数中的数字和最大为28，例如，S1999=28，这表明，Sx最后，SS由方程得x=2016−S≥2016−28−10−9=1969.故x∈1969,1970又x、Sx经检验，只有1980+18+9+9=2016.因此，方程的解集为1980.23．【2016高中数学联赛（第01试）】设实数a满足a<9a3−11a<|a|，则a的取值范围是 【答案】−【解析】由a<|a|可得a<0，原不等式可变形为1>9即−1<9a2−11<1又a<0，故a∈−24．【2015年全国】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x,y)|(|x|+|3y|−6)⋅(|3x|+|y|−6)≤0}所对应的平面区域的面积为______.【答案】24【解析】设K1先考虑点集K1在第一象限中的部分，此时，x+3y≤6.故这些点对应于图中的△OCD由对称性，知点集K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD类似地，设K2则点集K2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH由点集K的定义，知K所对应的平面区域是被点集K1因此，本题所要求的即为图中阴影区域的面积S.由lCD:x+3y=6，由对称性知S=8S故答案为：2425．【2015年浙江预赛】设a、b∈Z.若对任意的x≤0，均有ax+2x2+2b【答案】a=1b=−2【解析】令x=0，知b≤0.考虑过定点0,2的直线y=ax+2，与开口向上的抛物线y=x2+2b，满足对任意x≤0因此，−−2b又a、b∈Z，故26．【2015年上海预赛】若实数x、y满足x−3x+1=3y+2【答案】9+3【解析】已知等式即x+y=3x+1+3令u=x+1则u≥0,v≥0,x+y=u故式①变形为u⇔u−于是，点M（u，v）在圆弧AB：u−3显然，当M取点C3+152u=12+315故x+ymax27．【2015年新疆预赛】若实数x、y满足2x2+3xy+2【答案】−【解析】令k=x+y+xy.由2⇒2⇒2x+y将上面方程视为关于x+y的二次方程.由x+y为实数知Δ=1+81+k故x+y+xy的最小值为−928．【2015年天津预赛】设a、b、c、【答案】1【解析】由已知等式得1−ta+再由柯西不等式得1−t2a⇒≥当且仅当t=2，故所求的最小值为1.29．【2015年四川预赛】已知