华师大 八年级上册 数学 教学案-一次函数的学案 学案

一次函数

知识梳理

一.变量和常量

变量：在一个变化过程中可以取丕圆数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取相目数值的量

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其

对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方法：

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

(3)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

(4)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零

(5)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零

4.一次函数的定义

一般地，形如y=kx+b的函数,叫做一次函数，其中x是自变量。

当b=°时，一次函数>=依，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是良也要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.

⑵当6=0,左彳°时，>=丘仍是一次函数.

(3)当b=°,左=°时，它不是一次函数..

⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.

【例1】指出下列各式中的变量与常量.

(1)圆的周长公式:C=Fd(C是周长,d是直径)；

⑵匀速运动公式表示速度J衣示时间,S去示路程)；

(3)y=-2x；

(4)y=ax+A(a,A为常数).

【例2】如图19-1.1-1,AABC的底

边BC上的高是6cm,当三角形的顶点C

沿底边BC所在直线向B点运动时，三角

形的面积发生变化

(1)在这个变化过程中，哪些量是变

t?哪些量是常量?

(2)若。的底边BC的长为x(cm)，那么△A8C的面

积)\cm2)可表示为.

(3)当△ABC的底边长分别为12cm,13cm时,求AABC

的面积

［例1］卜列夫上变域x,y的关系:①3工-2y=0；②5X->2=

|;(Dy=13x1=±x；⑤>=2f-3x+1；(6).n-=1.其中*是y的函数是

例3.求下列函数中的取值范围

(1)y=2v:-3x+5；(2)y=^-j；

(3)y=/2x-4;(4)y=—

/x+3

(5)y=/^T+3/^2T；(6)y=(x-l)°.

例4.一个等腰三角形的周长是80CM,请你写出一腰长为x与底边长为y的函数关系并求出x的取值范

围。

练习

1下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数?

12

(1)y=—x；(2)y=---；(3)y=-3-5x；

2x

(4)y=-5x2；(5)y=6x-—(6)y=x(x-4)-x2.

2

2当m为何值时，函数尸-（m-2）xm2-3+（m-4）是一次函数？

3.函数y=l+Jx+3中自变量x的取值范围是

4.已知y=（m-+2m）xm1如果y是X的正比例函数，则m（）

A.2B.-2C2,-2D.0

5.已知函数y=2x—9,当尤=5时的函数值y=；反之，当函数值为16时，x=

一次函数的性质及.图像

知识梳理

b

1.一次函数y二kx+b的同象是经过点（0,b）（-丁，0）的一条____

k

正比例函数y二kx的同象是经过点和的一条直线。

2.一次函数的图像及性质

|k和b对图象影响|一次函数丫=卜＞+1＞（1＜土0）图象

当kVO时,

V随X的增大而增大；y随*的增大而减小-

3.直线与直线的位置关系

直线平孑亍与垂直

4.直线的平移

【例1】F列函数中，哪些是一次函数?

I7—

=--Z-*;②y=---;③,=-3-5工；④「

/X

勒=6x--1-;(§)y=x(x+6)-x2.

［例2】已知函数y=(m-2)x3-,w,+/n+7.

(1)当m为何值时,y是x的次函数？

(2)若函数是次函数，则x为何值时,y的值为3?

例3.若y=（m-2）xm2-3是正比例函数，m=

例4.已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，求y的值；

（3）当y=4时，求x的值.

练习

1.已知函数y=（同-3）必+2口-3）x是关于x的正比例函数，则a的值是一

2.过点（2,3）的正比例函数解析式是（）

263

A.y=—xB.y=—C.,y=2%—1D.y=­x

3x2

3.当m时，,=（加一4）12，"+1+4%—5是一次函数

4.2y-3与3x+l成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为

一次函数的图像和性质

X

例1（2012-黄石）已知反比例函数尸一（6为常数），当x>0时，y随x的增大而增大，则一次函数

b

产出6的图象不经过第几象限.（）

4一B.二C.S〃四

例2.（2012*贵阳）在正比例函数产一3%中，函数y的值随x值的增大而增大，则尸（0，5）在

第象限.

例3.已知一次函数丁=（°—Dx+”的图象如图所示，那么♦的取值范围是（）

A.a>lB«<1ca>0Da<0

例4.（2013*大庆）对于函数y=-3x+l,下列结论正确的是（）

A.它的图象必经过点（-1,3）

B.它的图象经过第一、二、三象限

C.当x>l时，y<0

D.y的值随x值的增大而增大

例5（2014*巴中市，第9题，3分）已知直线广必x+〃，其中例〃是常数且满足：mn=6,an=8,那

么该直线经过（）

A.第二、三、四象限B.第一、二、三象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

例6.某一次函数的图像经过点（-1,2）,且经过第一二三象限，写出一个符合上述条件的函数关系式

例7.已知一次函数y=（3a+2）x—（4一b）,求字母a、b为何值时：

（1）y随x的增大而增大；（2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点;

（4）图象平行于直线y=-4x+3；（5）图象与y轴交点在x轴下方

练习

1.（2013-徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）

A.y=2x+8B.y=-2+4xC.y=-2x+8D.y=4x

2.已知一次函数丫=（m+2）x+（1-m）,若y随x的增大而减小，且此函数图像与y轴的

交点在x轴上方，则m的取值范围是（）

A.m>-2B.m<lC.<-2D.-2<m<l

3.如果一次函数y=卮+b的图象经过第一象限，且与》轴负半轴相交，那么（）

A.k>09b>0B.k>0,b<0c.k<0,b>0D.k<09b<0

4（2013•莆田）如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（)

A.m>0B.m<0C.m>2D.m<2

5.(2013.遵义)Pi(xi,yi),P2(x2,y2)是正比例函数y=-'x图象上的两点，下列判断中，正确的

2

是()

A.yi>y2B.yi<y2

C.当X1VX2时，yi<y2D.当xi〈X2时，yi>y2

6.(2013*眉山)若实数a,b,c满足a+b+c=0,且aVbVc,则函数y=cx+a的图象可能是()

7.(2013>福州)A,B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x+a,y+b),B(x,

y),下列结论正确的是()

A.a>0B.a<0C.b=0D.ab<0

8.已知过点(2,-3)的直线y=ax+b(awO)不经过第一象限.设s=a+2b,则s的取值范围是【】

3333

A.-5<s<——B.-6<s<——C.-6<s<——D.-7<s<——

2222

9.直线y=(6-3m)x+(2n—4)不经过第三象限，则叭n的范围是

10.已知直线产kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第象限

11,已知一次函数y=+

(1)当m取何值时，y随X的增大而减小？

(2)当m取何值时，函数的图象过原点？

一次函数解析式的确定

【例1】已知次函数图像经过4(-2,-3),8(1,3)两点.

(1)求这个-次函数的解析式；

(2)试判断点)是否在这个一次函数的图像匕

例2.若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2WxW6,相应的函数值的范围是-HWyW9,求此

函数的解析

例3.已知关于x的一次函数＞=(3-掰)”2那2+18.

(l)m为何值时，函数的图象经过原点？

(2)m为何值时，函数的图象经过点(0,—2)?

(3)m为何值时，函数的图象和直线y=-x平行?

(4)m为何值时，y随x的增大而减小？

例4.判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上

例5.已知一次函数y=mx+n的图象如图14-2-2所示.

(1)求m,n的值；(2)在直角坐标系内画出函数y=nx+m的图象.

图14-2-2

例6.已知一次函数的图像经过A(3,0)且与坐标轴围成三角形的面积是6,求一次函数的解析式。

例7.已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于y轴对称，求k、b的值。

例8.求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+l平行的一次函数的表达式

练习

1、已知直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于x轴对称，求k、b的值。

2.已知直线y=2x+l.

(1)求已知直线与y轴交点M的坐标；

(2)若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k,b的值

3.直线也与x轴交于点力(1,0),与y轴交于点5(0,—2).

(1)求直线"的解析式；

(2)若直线相上的点C在第一象.限，且以廿2,求点。的坐标.

4.已知一次函数尸图象过点(0,2),且与两坐标轴围成的三角形面积为2,求此一次函数

的解析式.

5.一次函数的图像与y=2x-5平行且与x轴交于点(-2,0)求解析式

6.己知一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A(—6,0),交y轴于点B,且△AOB的面积为12,y随

x的增大而增大，求k,b的值

8.一次函数y=kx+b(kWO)的图像如图所示，则下列结论正确的是【

^12\*

A.k=2B.k=3C.b=2D.b=3

9.若点A(2,4)在函数y=kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是【】

A.(1,2)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(2,-4)

10.一次函数y=2x+4的图像与y轴交点的坐标是【】

A.(0,-4)B.(0,4)C.(2,0)D.(-2,0)

平移

1.直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线

2.直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线

3.直线¥='x向右平移2个单位得到直线

2

3

4.直线y=--x+2向左平移2个单位得到直线

2

5.直线y=2x+l向上平移4个单位得到直线

6.直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线

7.将直线y=2x+l平移后经过点（2,1）,则平移后的直线解析式为

3

8.直线y=—-x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线

4----

9.把函数y=3x+l的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是

9

10.直线m：y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则

11.将函数y=-3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为【】

A.y=—3x+2B.y=—3x—2C.y=-3（x+2）D.y=-3（x-2）

一次函数与方程（组）不等式（组）的关系

例1.（2012*贵阳）如图，一次函数尸左x+仇的图象（与尸的¥+■&的图象，2相交于点P，则方程组

卜"的解是（3

y=k2x+b2

例2.（2013*青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+l的图象相交于点P,则这个正比例

函数的表达式是.

例3.（2012-桂林）如图，函数产ax—1的图象过点（1,2）,则不等式ax~\>2的解集是.

例4（2010湖北省咸宁）如图，直线I：y=x+l与直线4y=相交于点夕（。，2）,则关于x的

不等式x+1的解集为.

例5（2010湖北武汉）如图，直线y1=kx+b过点A（0《2）,且与直线y2=mx交于点P（1,m）,则不

等式组mx>kx+b>mx-2的解集是.

练习

1.如图过/点的一次函数的图象与正比例函数尸2x的图象相交于点8,则这个一次函数的解析式是

（）

x

A.尸2力"3B.y=x-3C.y=2x-3D.y=-A+3

2.(2010湖北孝感)若直线x+2y=2m与直线2x+y=2〃z+3(加为常数)的交点在第四象限，则

整数0的值为()

A.13,—2,11,0B.—2,—1,0,1

C.—1,0,1,2D.0,1,2,3

3.(2010江苏镇江)两直线/1：y=2x—1%:y=x+l的交点坐标为()

A.(—2,3)B.(2,-3)C.(—2,—3)D.(2,3)

4.2010贵州贵阳）一次函数y=kx+b的图象如图2所示，当y<0时，x的取值范围是

(A)x<0(B)x>Q(C)x<2(D)x>2

（i<>e）

5（2010年山.西）如图，直线y=左x+b交坐标轴于A（—3,0）、B（0,5）两点，则不等式一左x-Z?<0

的解集为（）

A.x>—3B.x<—3C.x>3D.x<3

6.（2010福建莆田）A（（药,%）、B（Qi，%）是一次函数y=kx+2（k>0）图像上的不同的两点，若t=

（西一々）（%-%）则（）

A.Z<1B.t=0C.t>oD.%<1

7.（2012*潍坊）若直线厂一2x-4与直线产4肝6的交点在第三象限，则。的取值范围是（）

A.一4V8V8B.-4<Z><0C./><-4或b>8D.一4W6W8

7.（2012*恩施州）如图，直线尸班6经过4（3,1）和6（6,0）两点，则不等式组』x的

3

解集为_________________

交点问题及直线围成的面积问题

例1.已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4）,且0A=0B

（1）求两个函数的解析式；（2）求AAOB的面积;

例2.已知直线m经过两点(1,6)、(-3,-2),它和x轴、y轴的交点式B、A,直线n过点(2,-2),且

与y轴交点的纵坐标是-3,它和x轴、y轴的交点是D、C；

(1)分别写出两条直线解析式，并画草图；

(2)计,算四边形ABCD的面积；

(3)若直线AB与DC交于点E,求4BCE的面积。

例3.如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P(2,p)在第一象限，直线PA交y轴于点

C(0,2),直线PB交y轴于点D,AAOP的面积为6；

(1)求△COP的面积；

(2)求点A的坐标及p的值；

(3)若ABOP与ADOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。

例4.如图，已知点A(2,4),B(-2,2),C(4,0),求△ABC的面积

例5.如图11—31所示，已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A,B两点，直线/经过原点，与线段

AB交于点C,