高考第一轮文科数学（人教A版）课时规范练35　直接证明与间接证明

课时规范练35直接证明与间接证明1.用合适的方法证明:(1)已知a,b都是正数,求证:a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.2.(2022吉林东北师大附中检测)已知数列{an},{bn}满足a1=4,a2=52,an+1=an+bn2,bn+1=2a(1)求证:anbn=4;(2)求证:2<an+1<an;(3)设数列{an2}的前n项和为Sn,求证:Sn<16+3.(1)用分析法证明:若x>1,则3x2+1x2>3x+1x>(2)用反证法证明:若a<e2,则函数f(x)=ax2-4ex(x>0)无零点.4.列三角形数表:假设第n行的第二个数为an(n≥2,n∈N*).(1)归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式;(2)求证:数列{an}(n≥2,n∈N*)中任意的连续三项不可能构成等差数列.

参考答案课时规范练35直接证明与间接证明1.证明(1)综合法:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)·(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)·(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因为a,b都是正数,所以上式非负,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)≥0,所以a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)反证法:假设a不是偶数,即a是奇数,不妨设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1.因为4(n2+n)是偶数,所以4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾,由上述矛盾可知,a一定是偶数.2.证明(1)因为an+1bn+1=an+bn2×2anbnan+又a1=4,a2=52,且a2=a1+b12,则b1=1,故anbn=a(2)由题易知an>0,bn>0,n∈N*.由(1)可知bn=4an,所以an+1=12an+4an≥12×2an·4an此时an+1=2,即{an}为常数列,an=2(n∈N*)与a1=4矛盾,所以an>2(n∈N*),所以an+1-an=124an-an=所以2<an+1<an.(3)由(2)知an>2(n∈N*),所以an+12=an+bn22=14an2+16则an+12-4<14(an2-4),故an2-4<(a12-4)14n-1(n≥2),即a所以当n=1时,S1=a12=16<16+4当n≥2时,Sn<16+1214+142+…+14n-1+4(n-1)=16+12×14×[1-(14)

n-1]1-14+4(n-1)=16+4-14n-2+4n-4=16+综上,Sn<16+4n.3.证明(1)因为x>1,所以要证3x2+1x2>3x+只需证3x4+1>3x3+x,即证3x3(x-1)>x-1,所以只需证3x3>1.因为x>1,所以3x3>3>1,故3x2+1x2>3x+1令t=x>1,则3x+1x>3x+1x等价于3t2+1t又因为已证明3x2+1x2>3x+所以3t2+1t2>3t+故3x2+1x2>3x+1x>(2)假设函数f(x)=ax2-4ex(x>0)有零点,则方程f(x)=0在(0,+∞)上有解,即a=4exx2在(0,设g(x)=4exx2(x>0),g'(x)=当0<x<2时,g'(x)<0;当x>2时,g'(x)>0.所以g(x)min=g(2)=e2,又因为a<e2,所以a=4exx2在(0,显然矛盾,故假设不成立,即原命题得证.4.(1)解由三角形数表可知a2=2,an+1=an+n(n≥2,n∈N*),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+…+2+2=(n-2)(n-1+2)又a2=2也满足上式,∴an=n2-n+22(n≥2,n(2)证明(反证法)假设{an}中存在连续三项构成等差数列,可设an-1,an,an