高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(原卷版+解析)

3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式TOC\o"1-4"\h\z\u3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1二次函数的零点及探究 2知识点2一元二次不等式的概念以及三个“二次”的关系 4知识点3分式不等式的解法 6二、典型题型 7题型1解含参一元二次不等式 9题型2由一元二次不等式的解确定参数 11三、难点题型 11题型1一元二次不等式根分布问题 13题型2一元二次不等式在实数集上恒成立问题 16题型3一元二次不等式在某区间上恒成立问题 18题型4一元二次不等式在某区间上有解问题 21四、活学活用培优训练 31一．基础知识点知识点1二次函数的零点及探究：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异的实数根x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有两个相等的实数根x1,2＝－eq\f(b,2a)没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点有两个零点x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有一个零点x＝－eq\f(b,2a)无零点例1求下列函数的零点．(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1；(3)y＝ax2＋bx＋c,其图象如图所示．例2若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．例3(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．知识点2一元二次不等式的概念以及三个“二次”的关系：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式．三个“二次”的关系：设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象ax2＋bx＋c＞0的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))Rax2＋bx＋c＜0的解集(x1，x2)∅∅例1已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．例2(变结论)例1中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．例3(变条件)若将例1中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．知识点3分式不等式的解法：主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0≤0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0))eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(<k,≥k,≤k))(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式例1解下列不等式：(1)eq\f(2x＋1,x－3)<0；(2)eq\f(2x＋1,3－x)≥1.例2解下列不等式：(1)eq\f(1－x,3x＋2)≤0；(2)eq\f(2x－1,3－4x)>1.二．典型题型题型1解含参一元二次不等式解题技巧：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．例1若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知，关于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．例3设集合，．(1)当m=4时，求；(2)若，求实数m的取值范围．题型2由一元二次不等式的解确定参数解题技巧：已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解．例1已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知的解集是，则下列说法正确的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，则m的取值范围是或D．当时，，的值域是，则的取值范围是例3已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；(2)求关于的不等式的解集．三．难点题型题型1一元二次不等式根分布问题解题技巧：1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2>0，,x1x2>0))⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2<0，,x1x2>0))⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．(3)x1x2<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．2．二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．例1关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（

）A． B．C．D．例2（多选题）已知函数，下列结论中正确的是（

）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．函数在上可以有两个零点D．“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”例3已知二次函数.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；(2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．题型2一元二次不等式在实数集上恒成立问题解题技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M)，y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m)．例1在R上定义运算.若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．例2（多选题）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B．C． D．例3设.(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式.题型3一元二次不等式在某区间上恒成立问题解题技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M)，y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m)．例1已知，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例2（多选题）命题“，”为真命题的一个充分条件为（

）A． B．C． D．例3设函数．(1)若对于，恒成立，求的取值范围；(2)若对于，恒成立，求的取值范围．题型4一元二次不等式在某区间上有解问题解题技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M)，y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m)．例1若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例2（多选题）已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例3已知命题，，命题，.(1)若命题和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.四．活学活用培优训练一、单选题1．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．已知，，则a的最大值为（

）A．1 B． C． D．3．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为4．设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（

）．A． B．C． D．5．已知集合，．设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．已知函数满足对任意，恒有，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题7．下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若关于的不等式的解集为，则D．若，则“”是“”的必要不充分条件8．下列结论错误的是（

）A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R；B．不等式在R上恒成立的条件是且；C．若关于x的不等式的解集为R，则；D．不等式的解为.9．解关于的不等式，则下列结论中正确的是（

）A．当时，原不等式解集可能为B．当时，原不等式解集可能为C．当时，原不等式解集不可能为D．当时，原不等式解集不可能为三、填空题10．方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．11．已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.12．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______．四、解答题13．在，，存在集合，非空集合，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数，使得命题，，命题：______都是真命题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．已知二次函数．(1)若该二次函数的图象与轴有两个交点，且两交点的横坐标互为相反数，解不等式；(2)若关于的方程的两个实根均大于且小于，求实数的取值范围．15．已知函数，．(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．16．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以万元转让该项目；②纯利润最大时，以万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式TOC\o"1-4"\h\z\u3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1二次函数的零点及探究 2知识点2一元二次不等式的概念以及三个“二次”的关系 4知识点3分式不等式的解法 6二、典型题型 7题型1解含参一元二次不等式 9题型2由一元二次不等式的解确定参数 11三、难点题型 11题型1一元二次不等式根分布问题 13题型2一元二次不等式在实数集上恒成立问题 16题型3一元二次不等式在某区间上恒成立问题 18题型4一元二次不等式在某区间上有解问题 21四、活学活用培优训练 31一．基础知识点知识点1二次函数的零点及探究：一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个相异的实数根x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有两个相等的实数根x1,2＝－eq\f(b,2a)没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点有两个零点x1,2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有一个零点x＝－eq\f(b,2a)无零点例1求下列函数的零点．(1)y＝2x2－3x－2；(2)y＝ax2－x－1；(3)y＝ax2＋bx＋c,其图象如图所示．[解](1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－eq\f(1,2)，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－eq\f(1,2).(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，当Δ<0，即a<－eq\f(1,4)时，相应方程无实数根，函数无零点；当Δ＝0，即a＝－eq\f(1,4)时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2.当Δ>0，即a>－eq\f(1,4)时，由ax2－x－1＝0得x1,2＝eq\f(1±\r(1＋4a),2a)，函数有两个零点eq\f(1＋\r(1＋4a),2a)和eq\f(1－\r(1＋4a),2a).综上：当a＝0时，函数的零点为－1；当a＝－eq\f(1,4)时，函数的零点为－2；当a>－eq\f(1,4)时，函数有两个零点eq\f(1＋\r(1＋4a),2a)和eq\f(1－\r(1＋4a),2a)；当a<－eq\f(1,4)时，相应方程无实数根，函数无零点．(3)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1.例2若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．[思路点拨]要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等实数根．[证明]考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，又a>2，所以Δ>0，所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．例3(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．[思路点拨](1)直接求出函数的零点，再加以判定．(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究．[解](1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋eq\r(2)，x2＝－1－eq\r(2)，因为－3<－1－eq\r(2)<－2，所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点．(2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根．显然a≠2.由一元二次方程的根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a－2a＋2>0，,x1＋x2＝－\f(－2a－2,a－2)＝2>0，,x1x2＝\f(－4,a－2)>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>2或a<－2，,a<2，))所以a<－2.即实数a的取值范围(－∞，－2)．知识点2一元二次不等式的概念以及三个“二次”的关系：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式．三个“二次”的关系：设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象ax2＋bx＋c＞0的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))Rax2＋bx＋c＜0的解集(x1，x2)∅∅例1已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6.由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝eq\f(－5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2))).法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<0，故原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2))).例2(变结论)例1中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解]由根与系数的关系知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6且a<0.∴c<0，eq\f(b,c)＝－eq\f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)<0，即x2＋eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)<0.解得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))).例3(变条件)若将例1中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)＜0，则c＞0.又－eq\f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－eq\f(b,a)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(b,a)＝－eq\f(5,3).又eq\f(c,a)＝－eq\f(2,3)，∴b＝－eq\f(5,3)a，c＝－eq\f(2,3)a，∴不等式变为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a))x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，所求不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2))))).法二：由已知得a＜0且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2＝－eq\f(b,a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2＝eq\f(c,a)知c＞0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,c)，x1·x2＝eq\f(a,c)，其中eq\f(a,c)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(3,2)，－eq\f(b,c)＝eq\f(－\f(b,a),\f(c,a))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×2)＝－eq\f(5,2)，∴x1＝－3，x2＝eq\f(1,2).∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3＜x＜\f(1,2))))).知识点3分式不等式的解法：主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0＜0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0＞0,cx＋d＜0))法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0≤0,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0≥0,cx＋d＜0))法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bcx＋d≥0≤0,cx＋d≠0))eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(<k,≥k,≤k))(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式例1解下列不等式：(1)eq\f(2x＋1,x－3)<0；(2)eq\f(2x＋1,3－x)≥1.[解](1)不等式eq\f(2x＋1,x－3)<0可转化为(2x＋1)(x－3)<0，即－eq\f(1,2)<x<3.∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<3)))).(2)原不等式可化为eq\f(2x＋1,3－x)－1≥0即eq\f(3x－2,3－x)≥0.不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2x－3≤0,x≠3))，解得eq\f(2,3)≤x<3.∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)≤x<3)))).例2解下列不等式：(1)eq\f(1－x,3x＋2)≤0；(2)eq\f(2x－1,3－4x)>1.[解](1)由eq\f(1－x,3x＋2)≤0知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－13x＋2≥0,3x＋2≠0))，解得x≥1或x<－eq\f(2,3)，即原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1或x<－\f(2,3))))).(2)不等式eq\f(2x－1,3－4x)>1可化为eq\f(2x－1,3－4x)－1>0，即eq\f(6x－4,4x－3)<0，所以(6x－4)(4x－3)<0，∴eq\f(2,3)<x<eq\f(3,4)，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<\f(3,4))))).二．典型题型题型1解含参一元二次不等式解题技巧：解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．例1若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.【详解】不等式，即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；故实数m的取值范围为．故选：C例2（多选题）已知，关于x的不等式的解集可能是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】分，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】当时，不等式等价于，解得；当时，不等式的解集是；当时，不等式等价于，解得或；当时，不等式的解集为；当时，不等式等价于，解得或．故选:BCD．例3设集合，．(1)当m=4时，求；(2)若，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）解不等式可得到集合A,B,根据集合的交集运算即可求得答案；（2）由题意可推得，分类讨论，确定集合B，列出不等式，可求得实数m的取值范围．（1）由解得．∴．当m＝4时，,∴．（2）∵，∴．即．当时，m＝－1,符合题意；当时，若，，则,显然，不符合题意；若，即，则,∵，∴，解得,∴．综上，实数m的取值范围为．题型2由一元二次不等式的解确定参数解题技巧：已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解．例1已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由题给条件求得，，，再解不等式即可.【详解】关于x的不等式的解集为，且和1是方程的两个根，则，，关于x的不等式，即，，解得，故不等式的解集为，故选：A例2（多选题）已知的解集是，则下列说法正确的是（

）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，则m的取值范围是或D．当时，，的值域是，则的取值范围是【答案】ABD【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答.【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，于是得，即，对于A，不等式化为：，解得，A正确；对于B，，，当且仅当，即时取“=”，B正确；对于C，，令，则在上单调递增，即有，因有解，则，解得或，C不正确；对于D，当时，，则，，依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，从而得或，因此，D正确.故选：ABD例3已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；(2)求关于的不等式的解集．【答案】(1)满足题意的条件为①③，，，；(2)答案见解析﹒【分析】(1)分别假设条件①②和条件②③符合题意，根据二次函数性质和题意即可判断满足题意的条件，根据二次函数的图象性质即可求出a、b、c的值；(2)化简不等式，根据m的范围讨论不等式解集即可．（1）假设条件①②符合题意．∵，二次函数图象开口向下，∴的解集不可能为，不满足题意．假设条件②③符合题意．由，知二次函数图象开口向下，无最小值，不满足题意．∴满足题意的条件为①③．∵不等式的解集为，∴，3是方程的两根，∴，，即，．∴函数在处取得最小值，∴，即，∴，．（2）由(1)知，则，即，即．∴当时，不等式的解集为{或}；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为{或}．三．难点题型题型1一元二次不等式根分布问题解题技巧：1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2>0，,x1x2>0))⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2<0，,x1x2>0))⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．(3)x1x2<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．2．二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．例1关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（

）A． B．C．D．【答案】D【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解.【详解】方程对应的二次函数设为：因为方程恰有一根属于，则需要满足：①，，解得：；②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去把点代入，解得：，此时方程为，两根为，，而，故符合题意；③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，，解得，当时，方程的根为，不合题意；若，方程的根为，符合题意综上：实数m的取值范围为故选：D例2（多选题）已知函数，下列结论中正确的是（

）A．不等式的解集可以是B．不等式的解集可以是C．函数在上可以有两个零点D．“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”【答案】BCD【分析】利用反证法可判断A选项；取，可判断B选项；取，可判断C选项；利用韦达定理、判别式结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，若不等式的是，则且，可得，由，解得，与题意不符，A错；对于B选项，取，，则，此时不等式的解集为，B对；对于C选项，取，，则，由可得，解得或，C对；对于D选项，若方程有一个正根和一个负根，则，可得，即“方程有一个正根和一个负根”“”，若，对于方程，则，故方程有两个不等的实根、，则，此时方程有一个正根和一个负根，又方程有一个正根和一个负根“”，因此，“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，D对.故选：BCD.例3已知二次函数.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；(2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得；（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围．（1）设二次函数的两个零点分别为，，由已知得，而，所以，故，不等式即，解得或，故不等式的解集为或.（2）因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，解得：，即实数t的取值范围为.题型2一元二次不等式在实数集上恒成立问题解题技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M)，y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m)．例1在R上定义运算.若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用新定义得，令，转化为，利用配方法求最值可得，再解一元二次不等式可得答案.【详解】由，得，即，令，此时只需，又，所以，即，解得.故选：A.例2（多选题）下列条件中，为“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于的不等式对恒成立，当时，原不等式即为恒成立；当时，不等式对恒成立，可得，即，解得：.当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：的取值范围为：.所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有或.故选：BC.例3设.(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）不等式转化为对一切实数成立，列不等式即可求解；（2）不等式转化为，对a进行分类讨论求解即可.（1）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得.所以实数a的取值范围为.（2）由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.题型3一元二次不等式在某区间上恒成立问题解题技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M)，y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m)．例1已知，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】参变量分离，得到在上恒成立问题.【详解】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故选：D.例2（多选题）命题“，”为真命题的一个充分条件为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由题设命题知：在上恒成立，利用二次函数的性质求参数范围，结合充分条件的定义判断符合要求的参数范围.【详解】令，则在上恒成立，∴或，可得.∴A、B、C都是命题为真的充分条件，而D不是.故选：ABC例3设函数．(1)若对于，恒成立，求的取值范围；(2)若对于，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知可得对于恒成立，分离参数，构造函数，求解函数的最小值即可；（2）根据已知可得对于，恒成立，构造关于的函数，由即可求解的取值范围.（1）解：若对于，恒成立，即对于恒成立，即对于恒成立．令，，则，故，所以的取值范围为．（2）解：对于，恒成立，即恒成立，故恒成立，令，则，解得，所以的取值范围为．题型4一元二次不等式在某区间上有解问题解题技巧：1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．y≤a恒成立⇔a≥M(函数的最大值为M)，y≥a恒成立⇔a≤m(函数的最小值为m)．例1若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合基本不等式求得的最小值为，把不等式有解，转化为，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意，正实数满足，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为，又由不等式有解，可得，即，解得或，即实数的取值范围为.故选：C.例2（多选题）已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】ABC【分析】设，其图像是开口向下，对称轴是，如图所示，若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，利用数形结合的方法得出，从而解出所有符合条件的的值．【详解】设，其图像开口向下，对称轴是，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得：，又，故可以为0，1，2故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，根据二次函数的对称性结合图像得出是关键的关键，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．例3已知命题，，命题，.(1)若命题和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或【分析】（1）分为两种情况，命题为真、q为假时和为假、q为真时实数a的取值范围；进而求出最终结果；（2）法一：分别求出p真q假，p假q真，p真q真时a的取值范围，再求并集；法二：先考虑反面，即p，q均为假命题时a的取值范围，再求补集.(1)若命题，为真命题，则，即.所以若为真命题，则.若命题，为真命题，则，即.若为真命题，则.①当为真，q为假时，为真，即所以；②当为假，q为真时，p为真，即无解，舍去.综上所述，当命题和命题q有且只有一个为真命题时，a的取值范围为.(2)法一：①当p真q假时，为真，即所以；②当p假q真时，为真，即所以；③当p真q真时，无解，舍去.综上所述，a的取值范围为或.法二：考虑p，q至少有一个为真命题的反面，即p，q均为假命题，即为真，且为真，则解得，即，故p，q至少有一个为真命题时，a的取值范围为的补集.故a的取值范围为或.四．活学活用培优训练一、单选题1．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得，，进而不等式可化为，由此可求不等式的解集．【详解】解：关于x的不等式的解集为，，，可化为，，关于x的不等式的解集是．故选：D．2．已知，，则a的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由题得，，再利用基本不等式和解一元二次不等式求解.【详解】解：可知，，则，，因为，所以，解得，即a的最大值为.故选：D3．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为【答案】B【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为.所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；不等式为，所以选项D错误.故选：B4．设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意，，不等式的解集为，又，则解集中的整数为，，0，进而列出不等式求解即可得答案.【详解】解：关于x的不等式，即，∵，的解集中的整数恰有3个，∴，∴不等式的解集为，又，∴解集中的整数为，，0．∴，即，∴，∵，∴，解得，综上，．故选：C．5．已知集合，．设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解不等式求得集合、，由p是q的必要不充分条件得且，可得或解不等式可得答案.【详解】由得，所以，即，由得，即，因为p是q的必要不充分条件，所以且，所以或，解得，所以实数a的取值范围是．故选：A.6．已知函数满足对任意，恒有，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题设不等式恒成立，结合二次函数的性质可得求a的取值范围即可.【详解】由题设，开口向下且对称轴为，∴要使任意，恒有，则，∴，解得.故选：C.二、多选题7．下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若关于的不等式的解集为，则D．若，则“”是“”的必要不充分条件【答案】BC【分析】A令判断即可；B作差法比较大小；C由一元二次不等式解集及根与系数关系求参数a、b即可；D令判断必要性是否成立.【详解】A：时，错误；B：，而，则，故，所以，即，正确；C：由题设，可得，故，正确；D：当时，而不成立，必要性不成立，错误.故选：BC8．下列结论错误的是（

）A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R；B．不等式在R上恒成立的条件是且；C．若关于x的不等式的解集为R，则；D．不等式的解为.【答案】AD【分析】根据一元二次不等式与对应二次函数的关系，结合各选项的描述判断A、B、C正误即可，对于D将不等式化为求解集即可.【详解】A：函数不存在零点，若则解集为R，若则解集为空集，错误；B：由不等式对应的二次函数图像开口向下，说明且至多与x轴有一个交点，故，正确；C：当时，显然不符合题意，当时由二次函数的性质知：，解得，正确；D：，解得，错误；故选