高中数学选3-77.1~7.3综合拔高练

7.1~7.3综合拔高练

五年高考练

考点离散型随机变量的均值与方差

1.（2020课标全国III理,3,5分,#,）在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为

4

PBP2,P3,P4,且£P.=l,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是（）

1=1

A.p尸Pa=o.1,P2=P3=O.4B.p尸Pa=o.4,P2=P：；=O.1

C.pi=p,i=0.2,p2=P3=0.3D.pi=p,i=0.3,p2=p：（=0.2

2.（2019北京，17,13分,*?）改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年

来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付

方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式

都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）支付方

(0,1000](1000,2000]大于2000

式

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（D从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概

率；

（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个

月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,

随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认

为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.

3.(2019课标全国I,21,12分,")为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望

知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对

药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的

治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的

白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约

定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1

分，乙药得T分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分,

甲药得-1分;若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分

别记为a和8,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p,(i=O,1,…,8)表示“甲药的累计得

分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=O,p8=l,Pi=aPl-

i+bpi+cpi”(i=l,2,…，7),其中a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假设

a=0.5,6=0.8.

⑴证明：｛p"「pj(i=0,1,2,…,7)为等比数列；

(ii)求即并根据pi的值解释这种试验方案的合理性.

三年模拟练

应用实践

1.(2020福建福州一中高二下适应性考试,的从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,

事件A表示“取到的2个数之和为偶数”，事件B表示“取到的两个数均为偶

数”，则P(B|A)=()

2.（2020重庆巴蜀中学高二下月考,*已知A学校有15位数学老师,其中9位男

老师,6位女老师,B学校有10位数学老师,其中3位男老师,7位女老师,为了实现

师资均衡,现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校,然后从B学校随机抽取一

位数学老师到市里上公开课,则两次都抽到男老师的概率是（）

AA.—9nB.—12

5555

C.-D.-

1150

3.（2020山东淄博桓台一中高二下期中,#7）已知随机变量X的分布列如下：

X-101

111

P———

236

且Y=aX+3,E（Y）=*则a=.

4.（2020河北邯郸第一中学高二期中，*设验血诊断某种疾病的误诊率为5%,即

若用A表示验血为阳性,B表示受验者患病,则P（HB）=P（A厄）=0.05.若受检人群

中有0.5%患此病，即P（B）=0.005,则一个验血为阳性的人确患此病的概率

为.

5.（2020河北沧州一中高二下月考,"）依据某地某条河流8月份的水文观测点的

历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图甲所示;依据当地的地质构造，得到水

位与灾害等级的条形图如图乙所示.

图甲

(1)以此频率作为概率,试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；

(2)在8月份,该河流域某企业若没受1、2级灾害影响，则利润为500万元;若受1

级灾害影响，则亏损100万元;若受2级灾害影响，则亏损1000万元.

现此企业有如下三种应对方案：

方案防控等级费用(单位:万元)

方案一无措施0

方案二防控1级灾害40

方案三防控2级灾害100

试问，如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.

6.(2020山东济宁一中高三下质量检测,")某班级体育课进行一次定点投篮测试，

规定每人最多投3次,每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分，在B

处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用X表示,如果X的值

不低于3就判定为通过测试,立即停止投篮,否则继续投篮,直到投完三次为止.现

有两种投篮方案:方案1,先在A处投一球，以后都在B处投;方案2,都在B处投篮

已知甲同学在A处投篮的命中率为:在B处投篮的命中率为占

(1)若甲同学选择方案1,求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望；

(2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.

迁移创新

7.(2020江西瑞金四校高三第三次联考,")2020年新冠肺炎给世界人民带来了巨

大的灾难,面对新冠肺炎，早发现、早报告、早隔离、早诊断、早治疗是有效防控

疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎进行筛查,先到

社区医务室进行咽拭子核酸检测,检测结果呈阳性者,再到医院做进一步检查，已

知这55位居民随机一人其咽拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%且每个人的咽

拭子核酸检测是否呈阳性相互独立.

(1)假设患新冠肺炎的概率是0.3%且患病者咽拭子核酸检测呈阳性的概率为98%,

设这55位居民中有一位的咽拭子核酸检测呈阳性,求该居民可以确诊为新冠肺炎

患者的概率；

(2)假设咽拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下:将55

位居民分成若干组,先取每组居民的咽拭子核酸混在一起进行检测,若结果显示阴

性,则可断定本组居民没有患病,不必再检测;若结果显示阳性,则说明本组中至少

有一位居民患病，需再逐个进行检测,现有两个分组方案：

方案一:将55位居民分成11组,每组5人；

方案二:将55位居民分成5组,每组11人.

试分析哪一个方案的工作量更少.

(参考数据：0.98—0.904,0.98"^0,801)

答案全解全析

7.T7.3综合拔高练

五年高考练

44

1.B根据均值E(X)=Ex,p“方差D(X)=£[x[E(X)]2p,以及方差与标准差的关系,

i=li=l

得各选项对应样本的标准差如下表.

标准差

选项均值E(X)方差D(X)

JD(X)

A2.50.65VO.65

B2.51.8571.85

C2.51.0541.05

D2.51.45Vl.45

由此可知选项B对应样本的标准差最大,故选B.

2.解析(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生

有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的

概率为喘=0.4.

(2)X的可能取值为0,1,2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额

大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个

月的支付金额大于1000元”.

由题设知,事件C,D相互独立,且P(0=^=0.4,P(D)上祟=0.6.

所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,

P(X=1)=P(CDUCD)

=P(C)P(万)+P(C)P(D)

=0.4X(1-0.6)+(l-0.4)X0.6=0.52,

P(X=0)=P(CD)-P(C)P(D)=0.24.

所以X的分布列为

X012

P0.240.520.24

故X的数学期望E(X)=0X0.24+1X0.52+2X0.24=1.

(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都

大于2000元”.

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，

则由上个月的样本数据得P(E)=嵩=*.

答案示例1:可以认为有变化.

理由如下：

P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的

支付金额大于2000元的人数发生了变化,所以可以认为有变化.

答案示例2:无法确定有没有变化.

理由如下：

事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生，但还是有可能发生的,所以无法

确定有没有变化.

3.解析(1)X的可能取值为-1,0,1.

P(X=-l)=(l-a)B,

P(X=0)=a8+(l-a)(1-。),

P(X=l)=a(1-B).

所以X的分布列为

X-101

P(1-a)PaB+(1-a)(1-B)a(1-0)

(2)(i)证明：由⑴得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=O.4pi-,+0.5P,+0.lpi+i,

故0.1(pi.,-pi)=o.4(pj-pi-i),

即pi+i-pi=4(pi-pi^).

又因为p-po=Pi^O,

所以｛Pirpj(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为pi的等比数列.

(ii)由(i)可得P8=P8-P7+P7-P6+—+p-po+po=(P8-P7)+(P7-P6)+―+(P>-Po)=—Pl-

由于Ps=l,故Pi=-^-,

4b-l

所以Pi=(pt-p3)+(P3-P2)+(P2-P1)+(P「PO)=一P尸击.

Pl表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙

药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p,=言-0.0039,此时得出错误结论

的概率非常小,说明这种试验方案合理.

三年模拟练

1.B依题意P(A)=^==|,P(AB)q|W，故P(B|A)=^4§故选B.

L«s1UbC«5lui\/l/-4

2.B设“从A学校抽取的数学老师是男老师”为事件M,“从B学校抽取的数学

老师是男老师”为事件N,

则由题意可知P(M)《=|,

P(N|M)=—=—,

10+111

则两次都抽到男老师的概率P(MN)=P(M)P(N|M)=|x±=i|.

故选B.

3.答案4

解析：E(X)=-1X三+0X三+1Xi=-i,Y=aX+3,

2363

.\E(Y)=aE(X)+3=|,

即-1a+3=|,解得a=4.

4.答案短

解析P(B|A)

_P(B)P(AB)_______

P(8)P(aIB)+P(B)P(A|B)

________0.005X0.95________19

0.005X0.95+0.995X0.05218,

5.解析⑴依据题图甲，记该河流8月份“水位小于40米”为事件A”“水位在

40米至50米之间”为事件A2,“水位大于50米”为事件A3,

则P(A,)=(0.02+0.05+0.06)X5=0.65,

P(A2)=(0.04+0.02)X5=0.30,

P(A：J=0.01X5=0.05.

记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件B”“水位在40米至50

米之间且发生1级灾害”为事件B2,“水位大于50米且发生1级灾害”为事件B%

贝！IP(B)=0.10,P(B2)=0.20,P(B3)=0.60.

记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件B,则

P(B)=P(AB)+P(AB)+P(A3B3)=P(AJP(Bi)+P(A2)P(B2)+P(A：S)P(B：s)

=0.65X0.10+0.30X0.20+0.05X0.60=0.155.

故估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155.

(2)以企业利润为随机变量，

若选择方案一,则利润X,的可能取值为500,-100,-1000,由(1)知

P(X1=500)=0.65X0.90+0.30X0.75+0.05X0=0.81,

P(Xt=-100)=0.155,

P(Xt=-l000)=0.65X0+0.30X0.05+0.05X0.40=0.035.

故X1的分布列为

X,500-100-1000

P0.810.1550.035

则该企业在8月份的利润期望E(XJ=500X0.81+(-100)X0.155+(-1

000)X0.035=354.5.

若选择方案二，则利润X2的可能取值为460,7040,由(1)知，

P(X2=460)=0.81+0.155=0.965,

P(X2=-1040)=0.035.

故X?的分布列为

X2460-1040

P0.9650.035

则该企业在8月份的利润期望E(Xz)=460X0.965+(-1040)X0.035=407.5.

若选择方案三,则该企业在8月份的利润期望E(X3)-500-100=400.

因为E(X2)>E(XJ〉E(XJ,所以该企业应选择方案二.

6.解析(1)设甲同学在A处投中为事件A,在B处第i次投中为事件Bi(i=l,2),

则P(A)="P(Bi)W.

45

X的可能取值为0,2,3,4,

P(X=0)=P=P(A)P(Bi)•P(B2)=|X|X|^,

P(x=2)=PUBJ)+P(近小2)=^-x-x-+-x-x丝2,

245545525

P(X=3)=P(A)=±

4

P(X=4)=PUB,B,)=-X-X

45525

故X的分布列为

X0234

p36112

10025425

X的数学期望E(X)=0X—+2X-+3xi+4X-=—=3.15.

10025425100

(2)设甲同学选择方案1