备考2025届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破4利用导数解决零点问题

突破4利用导数解决零点问题1.[2024安徽六校联考]已知函数f（x）＝aex－x（e是自然对数的底数）.（1）探讨函数f（x）的单调性；（2）若g（x）＝aex（x－1）－lnx＋f（x）有两个零点，求实数a的取值范围.解析（1）由已知，得f'（x）＝aex－1.①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在R上单调递减；②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝－lna，当x∈（－∞，－lna）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－lna）上单调递减，当x∈（－lna，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（－lna，＋∞）上单调递增.（2）原问题等价于g（x）＝axex－（lnx＋x）＝axex－ln（xex）（x＞0）有两个零点，令t＝xex（x＞0），则易得t＞0，所以g（x）＝axex－ln（xex）有两个零点⇔T（t）＝at－lnt有两个零点⇔a＝lntt有两个不同的实数解⇔直线y＝a与函数h（t）＝lnh'（t）＝1－lntt2，由h'（t）＞0得0＜t＜e，由h'（t）＜0得t＞e，所以h（t）在（0，e）上单调递增，在（所以h（t）max＝h（e）＝1e又当t→0时，h（t）→－∞，当t→＋∞时，h（t）→0，所以h（t）的大致图象如图，所以a的取值范围是（0，1e）2.[2024南昌市模拟]已知函数f（x）＝ax（a＞1）.（1）求函数g（x）＝f（x）＋f（1x）在（0，＋∞（2）若方程f（1x）＝1－xlogax有两个不相等的正实数根，求a的取值范围解析（1）g（x）＝ax＋a1x（a＞则g'（x）＝axlna－a1xlnax2＝lnax设φ（x）＝x2ax－a1x（a＞则φ'（x）＝2xax＋x2axlna＋1x2a1xlna＞0故φ（x）在（0，＋∞）上单调递增，又φ（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，所以g（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，＋∞）.则g（x）的微小值为g（1）＝2a，无极大值.（2）方程f（1x）＝1－xlogax，即a1x＝1－xlog即1xa1x＝log令t＝1xa1x（a＞1），明显t＝1x故方程f（1x）＝1－xlogax有两个不相等的正实数根，等价于h（t）＝t－logat有两个不同的零点，等价于关于t的方程t＝logat，即lna＝lntt有两个不同的实数解，亦即直线y＝lna与函数m（t）＝m'（t）＝1－lntt2，故易知m（t）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，且当x＞e时，m（t）＞0，所以m（t）max＝m（e）＝1e，作出m（t）的图象，如图所示，则0＜lna＜1e，解得1＜a＜e1e3.[2024武汉市5月模拟]已知f（x）＝ax＋bx＋c－lnx，其中a，b，c∈（1）若b＝c＝0，探讨f（x）的单调性；（2）已知x1，x2是f（x）的两个零点，且x1＜x2，证明：x2（ax1－1）＜b＜x1（ax2－1）.解析（1）若b＝c＝0，则f（x）＝ax－lnx（x＞0）.f'（x）＝a－1x＝ax①若a≤0，则f'（x）＜0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减；②若a＞0，令f'（x）＞0得x＞1a，令f'（x）＜0得0＜x＜1所以f（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，＋∞综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，＋∞（2）因为x1，x2是f（x）的两个零点，x1＜x2，所以ax1＋bx1＋c－lnx1＝0，ax2＋bx2＋c－ln所以a（x1－x2）＋b（1x1－1x2）＋lnx2－lnx即b＝ax1x2－x1x2·lnx要证x2（ax1－1）＜b＜x1（ax2－1），只需证ax1x2－x2＜b＜ax1x2－x1，即证－x2＜－x1x2lnx2－lnx即证1－x1x2＜lnx2x令t＝x2x1，则t＞1，即证1－1t＜lnt令p（t）＝lnt－1＋1t（t＞1），则p'（t）＝1t－1t2＝所以p（t）在（1，＋∞）上单调递增，则p（t）＞ln1－1＋11＝0，即lnt＞1－1令q（t）＝lnt－t＋1（t＞1），则q'（t）＝1t－1＜0所以q（t）在（1，＋∞）上单调递减，则q（t）＜ln1－1＋1＝0，即lnt＜t－1.综上可得：x2（ax1－1）＜b＜x1（ax2－1）.4.[2024合肥市二检]已知函数f（x）＝2lnx＋12mx2－（2m＋1）x，其中m∈（1）若曲线y＝f（x）仅有一条垂直于y轴的切线，求m的取值范围；（2）探讨函数f（x）的零点个数.解析（1）函数f（x）＝2lnx＋12mx2－（2m＋1）x的定义域为（0，＋∞f'（x）＝2x＋mx－（2m＋1）＝mx2因为曲线y＝f（x）仅有一条垂直于y轴的切线，所以f'（x）＝（mx－1所以m≤0或m＝12又当m＝12时，f'（x）≥0所以m的取值范围是（－∞，0].（2）因为f'（x）＝（mx①当m≤0时，因为x＞0，所以mx－1＜0，所以当x∈（0，2）时，f'（x）＞0；当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＜0.所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，此时f（x）max＝f（2）＝2ln2＋2m－2（2m＋1）＝2ln2－2m－2，当m＝ln2－1时，f（2）＝0，函数f（x）只有一个零点；当ln2－1＜m≤0时，f（2）＜0，函数f（x）没有零点；当m＜ln2－1时，因为当x→0＋或x→＋∞时，f（x）→－∞，且f（2）＞0，所以可作出f（x）的大致图象如图1，图1所以函数f（x）在（0，2）和（2，＋∞）上各有唯一零点，此时函数f（x）有2个零点.②当0＜m＜12时，1m＞当x∈（0，2）∪（1m，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（2，1m）时，f'（x）所以f（x）在（0，2）和（1m，＋∞）上单调递增，在（2，1m当x→0＋时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，且f（2）＝2ln2－2m－2＜0，作出f（x）的大致图象如图2，图2所以函数f（x）在（1m，＋∞）上有唯一零点，此时函数f（x）有且只有1个零点③当m＝12时，f'（x）＝（x－f（x）在（0＋∞）上单调递增.当x→0＋时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以此时函数f（x）在（0，＋∞）上有且只有1个零点.④当m＞12时，0＜1m＜当x∈（0，1m）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（1m，2）时，f'（x）所以f（x）在（0，1m）和（2，＋∞）上单调递增，在（1m，2f（1m）＝2ln1m＋12m·（1m）2－（2m＋1）·1m＝－2ln设g（m）＝－2lnm－12m－2（m＞则g'（m）＝－2m＋12m2＝所以g（m）在（12，＋∞所以g（m）＜－2ln12－12×12－2＝2ln2即f（1m）＜当x→0＋时，f（x）