高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版高考解答题专项六　概率与统计

高考解答题专项六概率与统计1.(2020全国Ⅲ,文18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):空气质量等级锻炼人次[0,200](200,400](400,600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?空气质量情况人次≤400人次>400好不好附:χ2=n(P(χ2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(100×20+300×35+500×45)=350(3)根据所给数据,可得2×2列联表:空气质量情况人次≤400人次>400好3337不好228根据列联表得χ2=100×(33×8由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.2.(2021江苏无锡下学期2月模拟)已知某班有50位学生,现对该班关于举办辩论赛的态度进行调查,他们综合评价成绩(单位:分)的频数分布以及对举办辩论赛的赞成人数如下表:综合评价成绩[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数510151055赞成人数4812431(1)请根据以上统计数据填写下面2×2列联表,并回答:是否有90%的把握认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的态度有关?对举办辩论赛的态度综合评价成绩小于80分的人数综合评价成绩不小于80分的人数合计赞成不赞成合计(2)若采用分层抽样在综合评价成绩在[60,70),[70,80)的学生中随机抽取5人进行追踪调查,并选其中2人担任辩论赛主持人,求担任主持人的2人中至少有1人在[60,70)的概率.附:χ2=n(P(χ2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)2×2列联表为对举办辩论赛的态度综合评价成绩小于80分的人数综合评价成绩不小于80分的人数合计赞成28432不赞成12618合计401050则χ2=50×(28×6-4×所以有90%的把握认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的态度有关.(2)采用分层抽样,会在[60,70)里抽3人,用A,B,C表示,[70,80)里抽2人,用D,E表示,设M为事件“担任主持人的2人中没有人在[60,70)内”,则基本事件包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个,事件M包含DE,只有1个,则所求事件的概率即为P=1-P(A)=1-1103.(2021山西太原二模)2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》,规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类.某市在实施垃圾分类之前,对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量(单位:吨)进行了调查.已知该市这样的社区有200个,如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.(1)根据上述资料,估计当天这50个社区垃圾量的平均值x(精确到整数)(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率,请估计这200个社区中“超标”社区的个数;(3)市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查,先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个,再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控,求重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率.解:(1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18]的频率分别为0.08,0.1,0.2,0.24,0.18,0.12,0.08,所以估计当天这50个社区垃圾量的平均值为x=5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08=11.04≈11.(2)由(1)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2,所以这200个社区中“超标”社区的概率为0.2,所以这200个社区中“超标”社区的个数为200×0.2=40.(3)由题意知按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中,垃圾量为[14,16)的社区有3个,分别记为a,b,c,按垃圾量为[16,18]的社区有2个,分别记为d,e,从中任选2个的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,其中所求事件“至少有1个垃圾量为[16,18]的社区”为(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共7个.所以重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率为P=710=0.74.(2021江苏南京二模)某公司对项目A进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据表:项目A投资金额x/百万元12345所获利润y/百万元0.30.30.50.91(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系,并用相关系数加以说明;(2)该公司计划用7百万元对A,B两个项目进行投资.若公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万元所获得的利润y近似满足:y=0.16x-0.49x+1+0.49,求附:①对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑i=1nxiy②线性相关系数r=∑i=1nxiyi-n参考数据:对项目A投资的统计数据表中∑i=15xiyi=11,∑i=15yi2=解:(1)由题意可得x=1+2+3+4+5y=0.3+0代入公式可得∑i=15xiyi-5xy=11-5×3×0.6=2,∑i=15xi2-5x2=55-5×32=10,∑i=15yi2-5所以b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-n所以y=bx+a=0.2x,且r=∑i=1nxiyi-nx则y与x的线性相关性较强.(2)由题意,公司对项目B投资x(1≤x≤6)百万元,则对项目A投资(7-x)百万元,则获得的利润y=0.16x-0.49x+1+0.49+0.2(7-x)=1.89-0.49