新教材同步备课2024春高中数学全书要点速记教师用书新人教A版必修第二册

第六章平面对量及其应用1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是随意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算运算法则(或几何意义)运算律加法(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.【重要结论】(1)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1．(2)对于随意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.4．平面对量基本定理假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．5．平面对量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0．6．平面对量的数量积(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].(2)数量积的定义、性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|·cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝a|a|＝x夹角cosθ＝acosθ＝xa⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系axx【易错警示】(1)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；(2)两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．(3)投影向量：设a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθbb＝a(4)平面对量数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③支配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.【拓展】极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]7．正弦、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinBa2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，R为△ABC的外接圆半径cosA＝b2cosB＝c2cosC＝a8．三角形面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bc第七章复数1．复数的概念(1)概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝a22．复数的几何意义复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)平面对量OZ＝(a，b)．3．复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：z1z2＝a+bic+di＝第八章立体几何初步1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；②棱锥的底面是随意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相像多边形．(2)特别的四棱柱四棱柱直平行六面体正四棱柱(3)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任始终角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线2．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．【重要结论】依据斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S3．圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图及侧面积公式几何体圆柱圆锥圆台侧面绽开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4．柱体、锥体、台体和球的表面积和体积几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋SS)球S＝4πR2V＝43πR【拓展】求空间几何体的体积的常用方法：公式法、割补法、等体积法．5．4个基本领实基本领实1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．基本领实2假如一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本领实3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本领实4平行于同一条直线的两条直线平行．推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．6．空间点、线、面的位置关系(1)空间两条直线的三种位置关系共面直线(2)定理：假如空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(3)线面、面面平行(垂直)的判定与性质定理关系判定定理性质定理直线与平面平行假如平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行一条直线与一个平面平行，假如过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行平面与平面平行假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行两个平面平行，假如另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行直线与平面垂直假如一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直垂直于同一个平面的两条直线平行平面与平面垂直假如一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直两个平面垂直，假如一个平面内有始终线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直【必记结论】三种关系之间的转化(4)三种角的定义及范围类别定义范围异面直线所成的角设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(0°，90°]直线和平面所成的角一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角[0°，90°]二面角从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角[0°，180°]第九章统计1．普查与抽样调查(1)全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查．①总体：调查对象的全体．②个体：组成总体的每一个调查对象．(2)抽样调查：依据确定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的状况作出估计和推断的调查方法．①样本：从总体中抽取的那部分个体．②样本量：样本中包含的个体数．2．简洁随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本．假如抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简洁随机抽样；假如抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简洁随机抽样．放回简洁随机抽样和不放回简洁随机抽样统称为简洁随机抽样，通过简洁随机抽样获得的样本称为简洁随机样本．(2)方法：抽签法和随机数法．3．分层随机抽样(1)一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简洁随机抽样，再把全部子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，假如每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的支配方式为比例支配．(2)假如总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为x，y，两层的总体平均数分别为X，Y，总体平均数为W，样本平均数为w，则w＝mm4．作频率分布直方图的步骤5．总体百分位数的估计(1)百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算i＝n×p%；第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．(3)四分位数①25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．②第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．6．总体集中趋势的估计名称概念平均数假如有n个数x1，x2，…，xn，那么1n(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用x表示，即x＝1n(x1＋x2＋…＋x中位数将一组数据按从小到大或从大到小的依次排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数众数一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数7．总体离散程度的估计假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，那么这n个数的(1)方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2(2)标准差s＝1n8．分层随机抽样的均值与方差分层随机抽样中，假如样本量是按比例支配，记总的样本平均数为w，样本方差为s2．以分两层抽样的状况为例．假设第一层有m个数分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s12；其次层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为s22.则s2＝1m其中【重要结论】(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2．①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．第十章概率1．样本空间与样本点(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示；(2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间；称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．2．随机事务、必定事务与不行能事务(1)随机事务：样本空间Ω的子集称为随机事务，简称事务，随机事务一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事务A发生．(2)随机事务的特别情形：必定事务Ω(含有全部样本点)、不行能事务∅(不含任何样本点)、基本领件(只包含一个样本点)．3．两个事务的关系和运算事务的关系或运算含义符号表示包含关系A发生导致B发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事务(和事务)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事务(积事务)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω4．频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事务A发生的频率fn(A)会渐渐稳定于事务A发生的概率P(A)，我们称频率的这特性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．5．古典概型(1)古典概型试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．(2)古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事务A包含其中的k个样本点，则定义事务A的概率P(A)＝kn＝n6．概率的基本性质性质1对随意的事务A，都有P(A)≥0．性质2必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．性质3假如事务A与事务B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性质4假如事务A与事务B互为对立事务，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5假如A⊆B，那么P(A)≤P(B)．性质6设A，B是一个随机试验中的两个事务，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．7．相互独立事务(1)概念：对随意两个事务A与B，假如P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事务A与事务B相互独立，简称独立．(2)性质：假如事务A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数21A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－iB[化简可得z＝21-i＝21+i12．(2024·湖南长沙试验中学期末)“治国之道，富民为始．”共同富有是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼．共同富有是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消退两极分化和贫困基础上的普遍富有．请你运用数学学习中所学的统计学问加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富有要求的是()A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小C．平均数大，方差大 D．平均数大，方差小D[方差反映的是一组数据的波动状况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富有要求的是平均数大，方差小．故选D.]3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是()A．若m∥α，m⊥n，则n⊥αB．若m∥α，β⊥α，则m∥βC．若m∥α，n⊥α，则m⊥nD．若m∥α，m⊥β，则α∥βC[若m∥α，不妨设m在α内的投影为m′，则m∥m′，对于选项A：若m∥α，m⊥n，则n⊥m′，结合线面垂直判定定理可知，n不愿定垂直α，故A错误；对于选项B：若m∥α，β⊥α，此时m与β可能相交、平行或m在β上，故B错误；对于选项C：若m∥α，n⊥α，则n⊥m′，从而m⊥n，故C正确；对于选项D：若m∥α，m⊥β，则m′⊥β，结合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D错误．故选C.]4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝2，c＝2，则()A．a＝3＋1B．A＝15°C．C＝45°D．△ABC为钝角三角形D[由正弦定理，212＝2sinC有sinC＝22，因为C∈(0，π)，故C＝45°或C＝135°，故三角形有两解，故ABC均错误，当C＝45°时，A5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为()A．15B．25C．4C[由题知，基本领件的总数有25种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、候、公，共5种情形，故所求事务的概率为1－525＝2025＝6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，G为EF的中点，则A．12ADC．34ADB[DG＝1＝12(DA+＝12(－AD+＝12故选B.]7．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A．32B．155C．10C[如图所示，补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，则所求角为∠BC1D，∵BC1＝2，BD＝22+1-2×2×1×cos60°＝3，C1D＝AB1＝5，易得C1D28．(2024·吉林期末)体积相等的球、正四面体和正方体，则它们的表面积的大小关系为()A．S球<S正四面体<S正方体B．S球<S正方体<S正四面体C．S正四面体<S球<S正方体D．S正方体<S球<S正四面体B[设球、正四面体和正方体的体积都为V，若球的半径为R，则V＝43πR3，可得其表面积为S1＝4πR2＝336πV2.若正四面体的棱长为m，则V＝13·34m2·63m＝212m3，可得m＝362V，所以其表面积为S若正方体的棱长为a，可得V＝a3，所以正方体的表面积为S3＝6a2＝63V2＝3216V2，可得S1<S3<S2，即S球<S二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项实力指标值(满分为5分)．绘制了如图所示的六维实力雷达图．例如，图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确的是()A．甲的逻辑推理指标高于乙的逻辑推理指标值B．甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值C．甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值D．甲的六维实力整体水平低于乙的六维实力整体水平AD[对于A选项，甲的逻辑推理实力指标值为4，乙的逻辑推理实力指标值为3，所以甲的逻辑推理实力指标值高于乙的逻辑推理实力指标值，故选项A正确；对于B选项，甲的数学建模实力指标值为3，乙的直观想象实力指标值为5，所以甲的数学建模实力指标值低于乙的直观想象实力指标值，故选项B错误；对于C选项，甲的数学运算实力指标值为4，甲的直观想象实力指标值为5，所以甲的数学运算实力指标值低于甲的直观想象实力指标值，所以选项C错误.对于D选项，甲的六维实力指标值的平均值为4+3+4+5+10．已知复数z满意i-1A．z＝2B．z的虚部为－iC．z的共轭复数为z＝－1＋iD．z是方程x2－2x＋2＝0的一个根AD[因为(i－1)z＝2i，所以z＝2ii-对于A，z＝12+-对于B，z的虚部为－1，故选项B错误；对于C，z的共轭复数为z＝1＋i，故选项C错误；对于D，因为方程x2－2x＋2＝0的根为2±8-4i2＝1±i，所以z11．口袋里装有2红，2白共4个形态相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事务A＝“取出的两球同色”，B＝“第一次取出的是红球”，C＝“其次次取出的是红球”，D＝“取出的两球不同色”，下列推断中正确的()A．A与B相互独立 B．A与D互为对立C．B与C互斥 D．B与D相互独立ABD[盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，共4×3＝12个基本领件，事务A共有4个基本领件，事务B共6个基本领件，事务C共6个基本领件，事务D共8个基本领件，由题可得P(A)＝412＝13，P(B)＝612＝12，P(D)＝812＝23，P(AB)＝212＝16，P(BD)＝412＝13，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(BD)＝P(B)P(D)，所以A与对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误．故选ABD.]12．已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则()A．棱台的高为23B．棱台的表面积为1263C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为3D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为2BD[在正三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1＝6，AB＝12，AA1＝6，在平面ABB1A1中，由点A1向AB作垂线，垂足为D，取线段BC的中点E，连接AE，在平面AEA1中，由点A1向AE作垂线，垂足为F，连接DF，在等腰梯形ABB1A1中，AB＝12，B1A1＝6，AA1＝6，则AD＝12-62＝3，A1D＝62-32＝33，所以棱台的表面积为3×12(6＋12)×33+34×62＋34×122＝1263，故选项B正确；又三棱台为正三棱台，所以A1F为正三棱台ABC-A1B1C1的高，所以A1F⊥AB，由A1F∩A1D＝A1，所以AB⊥平面A1DF，AB⊥DF，在Rt△ADF中，AF＝ADcosπ6＝332＝23棱台的侧棱与底面所成角为∠A1AE，cos∠A1AE＝AFAA1＝2棱台的侧面与底面所成二面角为∠A1DF，sin∠A1DF＝A1FA1D三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在一次校内歌手大赛中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95．则这组数据的75%分位数是________．95[依题意，先将上述6个分数从小到大排列为：88，89，92，93，95，99，6×75%＝4.5，向上取整为第5个数，即95．]14．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，假如甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是________．0.79[∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，∴1－(1－0.5)(1－0.4)(1－0.3)≥a，解得a≤0.79．∴a的最大值是0.79．]15．如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为π125π12[如图所示，由题意可知：∠ABC＝母线与水平面所成角为：∠EDB＝∠DBF＝π2-π16．一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m．30[如图所示，设水柱CD的高度为h，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h，∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°，又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝3h，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，∴3h2＝h2＋602－2×60×h×即h2＋30h－1800＝0，解得h＝30．∴水柱的高度是30m．]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2024·浙江台州期末)设i为虚数单位，a∈R，复数z1＝2＋a2-1i，z①z1＋z2∈R；②z1z2＝6－2i；③在复平面内复数z1对应的点在第一象限的角平分线上．(1)求实数a的值；(2)若z1z2＋b(b∈R)注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解](1)若选①：由z1＋z2＝3＋(a2－3)i∈R，得a2－3＝0，解得a＝±3.若选②：由z1z2＝2a2＋(a2－5)i＝6－2i⇒2a2=6a若选③：由2＝a2－1得a＝±3.(2)z1z2＋b＝2+2i1-2i＋b＝－25＋b＋618．(本小题满分12分)(2024·山东济南期末)已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现接受样本按比例支配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参与献爱心活动．(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学担当敬老院卫生打扫工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②记事务M＝“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，求P(M).[解](1)由题意知，高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，又接受样本量按比例支配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学．故应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①由题意知，全部可能的抽取结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)．②不妨设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，则M＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)}，共含有15个样本点．所以P(M)＝1521＝519．(本小题满分12分)甲、乙、丙三台机器是否须要照看相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都须要照看的概率为0.05，甲、丙都须要照看的概率为0.1，乙、丙都须要照看的概率为0.125．(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内须要照看的概率；(2)计算这一小时内至少有一台机器须要照看的概率．[解]记甲、乙、丙三台机器在某一小时内须要照看分别为事务A，B，C，则A，B，C两两相互独立．(1)由题意得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内须要照看的概率分别为0.2，0.25，0.5．(2)∵A，B，C两两相互独立，∴A，∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不须要照看的概率为P(ABC)＝P(A)P(B∴这一小时内至少有一台须要照看的概率为P＝1－P(ABC)＝1－0.320．(本小题满分12分)(2024·湖北十堰期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(1＋cosA，sinB)，n＝3a，b且m(1)求角A的大小；(2)若D是BC的中点，AD＝1，求△ABC面积的最大值．[解](1)由m＝(1＋cosA，sinB)，n＝3a，b且m得(1＋cosA)b＝3asinB，由正弦定理得(1＋cosA)sinB＝3sinAsinB，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴1＋cosA＝3sinA，∴2sinA-π又∵A∈(0，π)，A－π6∈-π6，5π6，∴A－π(2)由AD＝12AB+AC，得到AD2＝14(AB则4＝b2＋c2＋2bccos∠BAC，化简得b2＋c2＝4－bc≥2bc，∴bc≤43当且仅当b＝c时，等号成立，∴S△ABC＝12bcsinA≤12×即△ABC面积的最大值为3321．(本小题满分12分)(2024·湖北孝感重点中学联考期中)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为一般市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的相识，举办了“创建文明城市”学问竞赛，从全部答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成果(满分100分，成果均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成果的第80百分位数和平均数；(2)已知落在[50，60)的平均成果是56，方差是7，落在[60，70)的平均成果为65，方差是4，求两组成果的总平均数z和总方差s2．[解](1)∵每组小矩形的面积之和为1，∴(0.00