新教材同步系列2024春高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.4组合数课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第六章6.2A级——基础过关练1．计算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝()A．120 B．240C．60 D．480【答案】A【解析】Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,10)＝120.2．有10个一模一样的小球，现分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不怜悯形有()A．15种 B．12种C．9种 D．6种【答案】A【解析】首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩4个球．①4个球分给1个人，有Ceq\o\al(1,3)＝3(种)分法；②4个球分给2个人，有3Ceq\o\al(2,3)＝9(种)分法；③4个球分给3个人，有3(种)分法．共有3＋9＋3＝15种分法．3．方程Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x-4,14)的解集为()A．{4} B．{14}C．{4，6} D．{14，2}【答案】C【解析】由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14－(2x－4)，,2x－4≤14，,x≤14，))解得x＝4或x＝6.4．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种 B．70种C．75种 D．150种【答案】C【解析】由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,5)＝75(种).5．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参与学校组织的活动，若按性别比例接受分层随机抽样的方法，则不同的抽取方法数为()A．224 B．112C．56 D．28【答案】B【解析】由分层随机抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,4)＝112.6．(2024年长春模拟)基础学科招生改革试点，也称强基支配，是教化部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培育有志于服务国家重大战略需求且综合素养优秀或基础学科拔尖的学生.2024年的强基支配报名时间集中在4月12日～30日，某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生打算报名三所高校的强基支配，若每所高校至少有一名学生报名，每名学生只报名一所高校，且甲和乙协商好报名同一所学校，则共有不同的报名方式的种数为()A．28 B．32C．36 D．40【答案】C【解析】依据题意，把甲、乙2人视为一个人，则五个人看成四个人，从四个人中先取出两个人，然后与剩下两个人进行全排列，则有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)不同的方法．7．(多选)若1<k<n，那么与Ceq\o\al(k,n)相等的是()A．eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(k+1,n＋1) B．eq\f(n,k)Ceq\o\al(k-1,n－1)C．eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(k,n－1) D．eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(k-1,n－1)【答案】ABC【解析】Ceq\o\al(k,n)＝eq\f(n！,(n－k)！k！)，A中，eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(k+1,n＋1)＝eq\f(k＋1,n＋1)·eq\f((n＋1)！,(n－k)！(k＋1)！)＝eq\f(n！,(n－k)！k！).B中，eq\f(n,k)Ceq\o\al(k-1,n－1)＝eq\f(n,k)·eq\f((n－1)！,(n－k)！(k－1)！)＝eq\f(n！,(n－k)！k！).C中，eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(k,n－1)＝eq\f(n,n－k)·eq\f((n－1)！,(n－k－1)！k！)＝eq\f(n！,(n－k)！k！).D中，eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(k-1,n－1)＝eq\f(k－1,n－1)·eq\f((n－1)！,(n－k)！(k－1)！)＝eq\f((n－2)！,(n－k)！(k－2)！)，故不相等．8．若Ceq\o\al(m-1,8)＞3Ceq\o\al(m,8)，则m的值为________．【答案】7或8【解析】由eq\f(8！,(m－1)！(9－m)！)＞eq\f(3×8！,m！(8－m)！)，得m>27－3m，所以m>eq\f(27,4).又因为0≤m－1≤8，0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，所以m＝7或m＝8.9．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．【答案】60【解析】依据题意，全部可能的决赛结果有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝6×eq\f(5×4,2)×1＝60(种).10．有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班．(1)每班至少1个名额，有多少种支配方案？(2)每班至少2个名额，有多少种支配方案？(3)可以允许某些班级没出名额，有多少种支配方案？解：(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有Ceq\o\al(2,9)＝36(种)分法．(2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，依据解第(1)小问的方法，可得有Ceq\o\al(2,6)＝15(种)分法．(3)增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为将13个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，依据解第(1)小问的方法，可得有Ceq\o\al(2,12)＝66(种)分法．B级——实力提升练11．(多选)众所周知，组合数Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)，这里m，n∈N*，并且m≤n.牛顿在探讨广义二项式定理过程中把二项式系数Ceq\o\al(m,n)中的下标n推广到随意实数，规定广义组合数Ceq\o\al(m,x)＝eq\f(x(x－1)…(x－m＋1),m！)是组合数的一种推广，其中(m∈N*，x∈R)，且定义Ceq\o\al(0,x)＝1，比如Ceq\o\al(5,2)＝eq\f(2(2－1)(2－2)(2－3)(2－4),5！)＝0.下列命题是真命题的有()A．Ceq\o\al(4,－7)＝－210B．当m，n为正整数且m>n时，Ceq\o\al(m,n)＝0C．当m为正奇数时，Ceq\o\al(m,－1)＝－1D．当n为正整数时，Ceq\o\al(m,－n)＝(－1)mCeq\o\al(m,n＋m－1)【答案】BCD【解析】由题意，Ceq\o\al(4,－7)＝eq\f(－7(－7－1)(－7－2)(－7－3),4！)＝210，A不正确．由Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)，当m，n为正整数且m>n时，n－m≤－1，所以n－m＋1≤0，所以n，n－1，n－2，…，n－m＋1这m个数中，确定有某个数为0，所以Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)＝0，B正确．当m为正奇数时，Ceq\o\al(m,－1)＝eq\f(－1×(－2)…(－1－m＋1),m！)＝eq\f(－1×(－2)…(－m),m！)＝－1，C正确．当n为正整数时，Ceq\o\al(m,－n)＝eq\f(－n(－n－1)(－n－2)…(－n－m＋1),m！)＝(－1)meq\f(n(n＋1)(n＋2)…(n＋m－1),m！)，Ceq\o\al(m,n＋m－1)＝eq\f((n＋m－1)(n＋m－2)…(n＋m－1－m＋1),m！)＝eq\f((n＋m－1)(n＋m－2)…(n＋1)n,m！)，所以Ceq\o\al(m,－n)＝(－1)mCeq\o\al(m,n＋m－1)，D正确．12．口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是()A．甲多 B．乙多C．一样多 D．不确定【答案】C【解析】两只是同色手套的取法有Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(2,10)＝150(种).两只不是同色手套的取法有Ceq\o\al(1,15)·Ceq\o\al(1,10)＝150(种).13．如图，某区有7条南北向街道，5条东西向街道．图中有______个矩形；从A点走向B点最短的走法有______种．【答案】210210【解析】在7条东西向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(2,5)＝210(个)；每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，确定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有Ceq\o\al(6,10)Ceq\o\al(4,4)＝210(种)走法．14．(2024年福建模拟)福厦高速铁路，正线全长300.483千米，2017年开工建设，沿线设福州站→福州南站→福清西站→莆田站→泉港站→泉州东站→泉州南站→厦门北站→漳州站9座客站，设计速度每小时350千米．为了加快推动福厦高速铁路重点项目进展，即西溪特大桥、泉州湾跨海大桥、木兰溪特大桥3个限制性工程的建设，项目监管公司确定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同支配方案共有________种(用数字作答).【答案】72【解析】把6人分成3组，共有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))＝15(种)不同的分法，其中甲、乙在同一组中有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))＝3(种)分法，所以甲、乙不在同一组中有15－3＝12(种)不同的分组，再分派到3个不同的项目现场，共有12Aeq\o\al(3,3)＝72(种)不同的方案．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出全部次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次测试才找到最终一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了全部4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有Ceq\o\al(2,4)·A