2025版高考数学一轮总复习考点突破第七章立体几何7.2空间点直线平面之间的位置关系

第七章立体几何7.2空间点、直线、平面之间的位置关系考点一平面的基本性质例1【多选题】已知A，B，C表示三个不同的点，l表示直线，α，β表示平面，则下列推断正确的是（AB）A.A∈α，AB.α,β不重合,A∈α,A∈βC.l⊄αD.A,B,C∈α,A,B,C∈解：对于A，因为A∈α，A∈β，α∩对于B，α,β不重合,A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线对于C，若l∩α=A，则有l⊄α，对于D，若α∩β=AB,C∈AB,则故选AB.【点拨】结合平面的基本性质及其相关推论进行推断，必要时画出图形分析.变式1两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（C）A.异面 B.相交C.可能共面，也可能异面 D.平行解：两条直线都与一个平面平行，在空间中，这两条直线可能相交、平行或者异面.其中相交或者平行属于共面直线，所以这两条直线的位置关系是可能共面，也可能异面.故选C．例2如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F（1）E，C，D1，F证明：如图所示，连接CD1，EF，因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF//因为A1D1//BC，且A因为EF//A1B，所以EF//CD1，所以EF与CD1能确定一个平面（2）CE，D1F，[答案]由（1）知EF//CD所以四边形CD所以CE与D1F必相交，设交点为则P∈CE，且因为CE⊂平面ABCD，D1F所以P∈平面ABCD，且P∈平面又因为平面ABCD∩平面A所以P∈AD，所以CE，D1【点拨】共面、共线、共点问题的证明.①证明共面的方法：先确定一个平面，再证其余的线（或点）在这个平面内.②证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.③证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.变式2如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，证明：（方法一）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，所以直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面冲突.假设不成立，所以AD与BC是异面直线．（方法二）因为a∩c=P，所以它们确定一个平面，设为α.由题意,知C∉平面α，B∈平面α，BC⊄平面α，AD⊂平面考点二推断两条直线的位置关系例3（1）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（A.BM=EN,且直线BM，B.BM≠EN，且直线BM，C.BM=EN，且直线BM，D.BM≠EN，且直线BM，解：如图,连接BD，BE，并过点E作EH⊥CD于点H，连接HN.则BM=BC2+CM2=72BC，EN=（2）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a,b的位置关系是（D）A.确定是异面直线 B.确定是相交直线C.可能是平行直线 D.可能是异面直线，也可能是相交直线解：如图,设直线a与直线b分别与两条异面直线相交于点A,B,C,D（不妨设点A与点C不重合）.由题意,可得当点D与点B重合时，两条直线相交;当点D与点B不重合时，两条直线异面.所以直线a,b的位置关系是异面或相交.故选D．【点拨】空间两条直线位置关系的判定方法：变式3（1）已知平面α//平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：①a//b；②a⊥b解：因为平面α//平面β，直线a⊂α，直线b所以直线a与直线b无公共点，即a与b不相交，故④错误.当直线a与直线b共面时，依据面面平行的性质，可得a//b，故当直线a与直线b异面时，a与b所成角的大小可以是90∘，故②综上，知①②③都有可能出现，共有3种情形．故填3.（2）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AA1A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有且仅有三条 D.多数条解：如图,在EF上随意取一点M，直线A1D1与点M确定一个平面，这个平面与DC有且仅有1个交点E.当点M取不同的位置就确定不同的平面，从而与DC有不同的交点E.而直线ME与这3条异面直线都有交点，故在空间中与直线A1D1,考点三异面直线所成的角例4（1）已知在菱形ABCD中,AB=BD=2，将△ABD沿BD折起，使点A到达点P处，且PC=3，若E为线段PDA.32 B.34 C.1解：如图，取CD的中点F，连接BE，BF，EF.因为E为线段PD的中点，F是线段CD的中点，所以EF//PC，EF=32，∠因为四边形ABCD是菱形，AB=BD=2，所以BE=BF=3.在△BEF中，cos∠（2）正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2A.π6 B.π4 C.π解：如图，取B1C1的中点E，连接A在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1又A1E⊥B1C1，且BB1∩B又A1E//AD，∠A1EC不妨设AB=2，则AA1=22，A1E【点拨】求异面直线所成角的一般步骤.①作：通过作平行线得到相交直线.②证：证明所作角为异面直线所成的角（或其补角）.③求：解三角形，求出所作的角，假如求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；假如求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.变式4（1）在四面体A-BCD中，BC=BD=CD=2，AB=23，NA.π3 B.π6 C.π解：如图,取BD的中点为M，连接MN，CM.又N是AD的中点，则MN//AB，所以∠MNC（或其补角）为异面直线AB与CN所成的角．在△MNC中，MN=12AB=3，CN=3，CM=（2）（教材题改编）如图是某正方体的平面绽开图，B是所在棱的中点，则在该正方体中，AB与CD所成角的余弦值为