【基于数学史的高中数学教学探究12000字（论文）】

基于数学史的高中数学教学研究目录TOC\o"1-2"\h\u29291基于数学史的高中数学教学研究 165711.引言 2273781.1研究的背景 275421.2研究现状 3247221.3研究的方法 4241151.4研究的意义 4193632.弧度制和三角学的发展历史 5242722.1弧度制的发展史 5101122.2三角学的发展历史 5186173.《课程标准》要求与教材分析 7116183.1《课程标准》对数学文化的要求 7142943.2《课程标准》关于三角的内容及要求 8314533.3弧度制的教材分析 8101293.4任意角的三角函数的教材分析 11105724.基于文献的教学案列分析 1343614.1“弧度制”的教学案列分析 13178514.2“任意角的三角函数”的典型案例分析 1330335.基于数学史的三角函数教学设计 14217775.1基于数学史的“弧度制”的教学设计 1436151、问题引入 15119072、探究新知 1534895、课堂小结 181683六、作业布置 1949385.2基于数学史的“任意三角函数”的教学设计 195935一、教材内容分析 196992二、学情分析 1930128三、目标分析 1912221四、教学重难点 1928090五、教学过程 20225941.复习引入: 20123792．新知探究 204461（1）任意角的三角函数能否通过直角三角形来加以定义呢？ 2024789（2）我们是在哪里探讨任意角三角函数的概念的呢？ 20201506.结论与展望 225362参考文献 24摘要:在新课标的背景下,强调了要重视学生的数学文化素养的提升,着手点在于将数学史融入数学教学中,换言之就是把数学史带到数学课堂是必要的.本文首先介绍了“弧度制”和“任意角的三角函数”的数学史;其次依照课程标准的要求剖析教材和文献的教学案例;最后结合数学史编写出相应的教学设计,将数学史融入概念教学,促进学生对概念本质的深刻理解,从而提升学生的数学文化素养.关键词:弧度制;任意角的三角函数;数学史;教学分析;教学设计.中图分类号:G632.01.引言1.1研究的背景21世纪以来的教育提出不能把考试分数作为培育学生的唯一标准.新课程标准一再申明将数学史融入数学文化的重要性,并且更多的数学研究员一致赞同结合数学史进行数学教学.近年来高考题明显结合数学史进行编题,因此,从高考数学题也体现出数学史的重要性.我国的课程标准自20世纪以来,虽然一直强调将数学史融入数学课堂,但事实上由于很多原因,大多数教师在进行教学时并没有做到这一点[1].当然,教师本身也存在一定的问题,有的教师根本不了解与该概念相关的数学史.因而,人们尝试在数学教学中融入数学史,以便提学生的数学素养显得举步维艰.从而,我们非常有必要对当今存在的教学问题进行思考和改正.首先,三角函数的概念是高中数学内容的基础,也是学生数学学习的重点和难点.其次,三角函数是描述周期变化现象的数学模型,是学生学习到的第一个周期函数,是一个晦涩难懂的内容.最后,“弧度制”概念属于三角函数的基础性内容.弧度制统一了进制,从而有了进制度量角的单位制,三角函数成为一种真正意义上的函数.因此在高中数学中对“弧度制”和“任意角的三角函数”的学习就显得尤为重要了.并且这两个概念的发展过程极其悠久,数学的历史极其深厚.因此,结合数学史的数学课堂将会成为主流,并且会取的很好的教学成果.1.2研究现状《弧度制的教学探讨》发表于1984年,作者曾容,明确提出通过角度制来引出弧度制是有必要的,并指出弧度制的教学就索性作为单位换算的概念引入,不必另起炉灶[2].张奠宙于2008年发表了《关于数学史和数学文化》,明确提出尽管人们现在将少许数学史融入当下使用的课本中,但仍需进一步剖析这些数学史资料,几乎所有的史料都是草草带过,只停滞在数学史料本身[1].《为什么要使用弧度制》于2009年在数学通报上被登出,其作者李忠道出了引入弧度的原因,并说明了弧度制的好处,并在文章的后半部分写下一点有关教学的建议[3].李柏青于2009年编写的高中版的中小学数学教学设计,定名为《“任意角的角面数”教学设计》,明确表示在教授任意角的三角函数这一概念时,从它的数学史阐述中引出其概念,让学生能更加直观的体会三角函数的本质,并且给学生做一些相关的习题,让学生更好的掌握这一内容[4].《高中生对三角函数概念的理解》于2010年在华东师范大学被发表,

其作者王东岩在高校实际采访高中学生,发现中学生对弧度的意义还捉摸不清[5].刘丽花于2012年在华北师范大学发表了论文，题目为《三角函数概念教学的调查研究》,其中表述了批阅学生的测试卷后,分析并整理出学生错题的原因有:对三角函数概念理解不清晰,对三角函数的函数本质的理解不够透彻[6].《从“弧度制”一课看数学史在教学设计中的作用》于2013年登刊于科教导刊,其作者为贾利、李文铭,首先实地听录弧度制的教学过程,其次介绍了与弧度制相关的数学史,最后将弧度制的相关历史融入教学设计,表明了把数学史与教学过程相结合是具有重要意义的[7].《弧度制发展的历史溯源》于2016年在数学通报被登出,其作者江灼豪与何小亚明确表示要结合相关的数学史设计教学过程,有些许教育工作者在教学过程中融入了数学史,但是并不清楚什么是“弧度制的必要性”,文中首先对弧度制的演变过程进行梳理,并指出引入弧度制的重大意义,为教师结合数学史进行弧度制教学提供参考[8].《高中三角函数的教学研究》发表于2017年,是云水娟在内蒙古师范大学编写的,道出了在调查学生作业完成效率时,发现了一个严重的问题.学生做题时只是死记硬背,题目稍微变一下形后再来考学生,非常多的学生不会做.为此,云水娟提出了相关的教学建议:在课堂中,教师不能一直讲课,应做到以学生为主体,把课堂还给学生[9].梁杏华于2017年发表的《三角函数的知识重构》,指出当前“任意角的三角函数”教学方式的创新,并不能解决数学内部存在的教学问题,并没有解决教学的根本问题,得出数学教学还是必须从数学本身找出根本原因,实现教学的创新与改善[10].2003年的《课程标准》课程基本理念明确表明了数学在人类文化中占有重要地位.数学课程不单是传授数学知识,更要将数学文化应尽可能与高中数学课程的内容有机地结合起来,有选择性的介绍一些在数学发展历程中起重大作用的人物及历史事件,反映数学在人类文明发展历程中所起的作用,同时也反映了社会的发展对数学的发展的起促进作用[11].2017版的《课程标准》多次表示应将数学文化贯穿整个数学课程,还要求学生在学习数学时收集、阅读数学史,撰写小论文[12],从而提升学生的数学文化素养.综上,将数学史融入三角函数概念教学研究显得极其重要.1.3研究的方法文献研究法通过搜集国内关于弧度制和三角函数的文献资料,梳理出弧度制和三角函数的历史发展过程.整理关于“弧度制”和“任意角的三角函数”概念教学设计的文献研究,从而以数学史的角度去分析人教版课本和文献的教学案例,最后编写基于数学史的教学设计.1.4研究的意义1.三角函数的概念是高中数学教学的重点和难点,也是学习高中数学内容的基础教学情况,但实际教学效果并不让人满意.基于此,本文将数学史融入“弧度制”和“任意角的三角函数”的教学过程,从而让学生深刻理解弧度制和任意角三角函数的数学概念和本质.2.“弧度制”和“任意角三角函数”的概念都有其特有的发展历史,在概念教学中通过探索和创新教学方法的手段融入数学史,使学生能够直观地感知到数学概念的产生背景及其发展的过程,从而帮助学生理解概念的本质,使得学生的数学文化素养得到一定程度的提升.2.弧度制和三角学的发展历史通过搜集国内关于弧度制和三角函数的文献资料,梳理出弧度制和三角函数的历史发展过程如下：2.1弧度制的发展史巴比伦人是60进制的创造者,他们把周角360等分,每一份定为1度,再将1度细分为60等份,每份为1分,将1分再细分为60等份,每一份为1秒,像这种度量制度叫做角度制,但角度制并不是能唯一度量角的[13].在历史上,三角函数概念的产生很早,早先于弧度的概念.而的进制是不统一的,因为角度单位的进制是60进制,但是的进制10进制,所以历史上有许多数学家研究过如何进行进制的统一[14].希腊的托勒密,他把整个圆周细分为360等份,并且使用相同的单位去度量弧长和弦长,弧长是圆周的,直径长为,托勒密把值取为3,得到的直径长为120个单位,半径长记作60个,通过制作了弦表[15].印度的阿耶婆多使用用半径度量圆弧是为弧度制思想的开端,他提出用半径的作为度量圆心角的单位,并且在第一象限内制作了每隔的正弦差值表[16].到底用什么来表示弧度的符号呢?历史上出现过很多表述.一些数学家用表示;一些用表示;也有一些用表示.而詹姆斯•汤姆森最先在创造出“”这个词,后来我国的数学工作者直到1935年才把翻译成“弪()”,弪由弧和径构成,足以说明圆心角的弧度数取决于半径和弧长的大小,直至1956年,《数学名词》的诞生,弪又定义成弧度.综上,可以知道弧度制的出现与三角函数的演变有很大关系.许多数学家达成共识,测量弧长时把半径当做一个单位,然后测量弧长所对的圆心角.学生学习弧度制的发展史对于理解弧度制的本质是很有帮助的,并且对于学习弧度制的意义来说也是很有必要的.2.2三角学的发展历史早在人类观看天文现象寻找规律时,就已形成了三角学的基本概念.三角学最开始是对三角形的测量.随着社会的发展,人们对三角学深入研究已经使三角学不再是一个点，而是变成了一门数学学科.希腊数学家希帕霍斯为了解决天文测量问题编制了全世界上第一张弦表,他在同一个的圆中对不同的弧长列出了对应的弦长(图1),圆的弧长和半径均使用60进制,此时的三角函数是全弧与全弦的对应[17].图1全弧与全弦的对应克劳狄乌斯•托勒密(,约100-178)以为单位构造了从到的弦表,以便于对行星的位置作出预测,这个弦表比希帕霍斯的更加完善.他把整个圆周等细分成360等份,即360度,然后把直径细分成120等份,使用了六十进位的分法[18].这样就可以用直径上的等份来表示了圆弧上任意圆心角所对的弦长.此后,人们对天文学的研究不再感到有趣,因此减缓了三角学的研究,这种状况一直延续到了公元5世纪.直至公元6世纪,印度的阿耶波多(,476-550)将圆周等分为21600份,圆周与直径比为3.1416:1,所以他所得到的半径为或者3438,圆周的就是其度量单位.阿耶波多用同一单位来度量曲线和直线,并对半弦进行计算,即把半弧对半弦对应(如图2),就相当于现如今的正弦线,并不是全弦长,这就不同于希腊人.图2半弧与半弦的对应公元1101-1200年,婆什迦罗把正弦看作比值,他曾写过,在这个等式中就能看出已经有了把弧与半径之比看做正弦函数[19].他大概也是将圆周等分为21600份,把近数值3438作为半径量度,得到.在17世纪50年代末,伟大的数学家欧拉的名著《无穷小分析引论》诞生了,首次引入现代三角函数概念,书中指出函数线与圆半径对应的比值是三角函数,可以更加简单的研究三角函数[20].欧拉定义的三角函数是对现实世界的客观反映,运动或变化过程可以用三角函数反映出来,因而这种定义是科学的,使得三角学具有现代特征.3.《课程标准》要求与教材分析3.1《课程标准》对数学文化的要求《普通高中数学课程标准(实验)》

[11]和《普通高中数学课程标准(2017年版)》[12]中对“数学文化”的要求:2003版《课程标准》(实验版)表明数学在人类文化中占有举足轻重的地位.数学来源于生活，又应用于生活,数学教学应适当融入数学史,让学生感受数学在人类史上的意义,进而树立正确的数学观.数学文化对教学的要求:(1)高中数学课程中应融入数学文化内容,在教学时给学生介绍对数学发展有重大意义的人物以及相关事件,激发学生对数学先驱的敬佩之情.(2)给学生灌输数学文化的知识,从而培养学生求知、务实、敢于追求创新的精神,还能让学生体会数学发展在人类社会发展中的重大作用,从数学的角度去看待客观世界,摸索数学的发展的规律.2017版的《课程标准》明确表示要着力于培养学生的数学文化素养,特别声明了整个数学课程内容应与数学文化相结合,还要求学生通过数学学习的过程去提高自身数学文化素养,并提倡将数学文化与数学的各类考试充分结合.提出教师在数学教学中应融入数学文化,培养学生的科学应用意识以及人文素养;在教学中融入数学文化,便于学生理解数学更加的深入,从而发掘数学的本质,提高了教学水平.3.2《课程标准》关于三角的内容及要求《课程标准》对三角函数内容提出了以下的要求:学会并掌握任意角概念和弧度制概念,理解并应用角度与弧度的换算公式;充分利用单位圆去理解任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的定义,能熟练地画出这三个函数的图像并且利用图像解决问题;能使用三角函数去解决简单的实际问题,遇到描述事物周期变化的问题可以使用三角函数建立数学模型;《课程标准》就表明了:

(1)让学生体会弧度制概念的引入是很有必要的:

(2)三角函数的教学强调“数形结合”,要充分利用单位圆的图像性质;

(3)教学中引导学生体会最典型的周期函数三角函数,并且学会构建周期性变化的函数数学模型.3.3弧度制的教材分析对于教师的教学和学生的学习来说,教材起着方向标的作用.由以上整理所得数学史和新课标的要求,可以得到“弧度制”概念教学应着重体现统一度量单位的数学本质.因为地域不同,本文选取了人民教育出版社(2019年6月第1版)进行分析,本书是依据教育部《普通高中数学课程标准(2017年版)》这一课程标准编写的.在2019版人教版中,将“弧度制”这一内容提到了数学1的第五章第1节第2小节,关于课本引入“弧度制”的方式[21],具体如图3、图4:图3图3弧度制引入-1图图4弧度制引入-2从图3、图4我们可以看到,2019版人教版课本引入弧度制概念仍然是以类比长度和重量单位的方式,课本指出角既可以用度为单位进行度量（角度制）,也可以使用弧度制,并在给出了角度制的概念后,在引出弧度制概念同时设置探究部分揭示“圆心角所对的弧长和半径的比值,是伴随的确定唯一确定的,

与半径长短是没有必然联系的”,

但课本没有给出相应的证明.接下来由师生共同得出弧度制定义和1弧度的角的概念,并辅以图形表示出1弧度的角,从而培养学生的归纳总结能力和数形结合的数学思想.由上我们可以知道,课本在给出“弧度制”这一概念时,既没有阐述弧度制产生与发展过程,也没体现用半径度量弧长的数学思想,学生自然感觉知识的产生很空洞，课堂效率自然得不到提高.再次给出探究,主要为了探究弧度制与角度制之间可以换算，如何换算的问题,然后在旁边附上数学史的部分,如图3所示:图5图5弧度与角度互化注给出了弧度制发展的相关历史信息以及数学思想,能够激发学生学习数学的兴趣,从而提升学生的文化素养,另外,在度量角的时候,“弧度”或“”是可以省略的;推广角的概念后,角的集合在弧度制下能与实数集建立一对一的关系;在例题6就得以证明.3.4任意角的三角函数的教材分析从函数的定义上来说三角函数就是函数.接下来对这个概念相关部分进行教材分析,主要分析教材是如何引出“任意角的三角函数”概念的?是否明确表示了三角函数是周期性函数?定义“任意角的三角函数”的概念时是怎样表述的?

其中又出现了哪些与数学史相关的内容?因此,该部分选取了人民教育出版社(2019年6月第1版)进行分析,,本书是依据教育部《普通高中数学课程标准(2017年版)》这一课程标准编写的.在教材中,三角函数的引入如图6:图图6三角函数的引入如图6,课本中一开始就给出了单位圆定义法,接着引入一个探究题,基于此,教师引导学生回忆锐角三角函数的相关知识.在直角坐标系中标出任意角α,引入象限角这个范畴后,锐角三角函数的意义用角的终边上点的坐标比来表示,这就为定义任意角的三角函数打下了基础.上图为什么突然画了个圆?教材下面锐角三角函数用角终边上点的坐标比来表示之后,才揭示单位圆概念的.教材在依旧使用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数.图图7三角函数的概念如图7,教材中“任意角三角函数”概念阐述分为以下三步:(1)带领学生回忆锐角三角函数的定义;

(2)利用单位圆,更加快捷明朗地把锐角三角函数在图形中表示出来;

(3)在单位圆下给出任意角的三角函数的定义.这种编写排版方式思路清楚、环环相扣,有助于学生快速地熟悉教材了解知识点.但这样引入,无法知道三角函数是刻画周期性变化现象的数学模型,也没有从函数的角度得到定义.通过以上的分析,发现教材引入“任意角三角函数”这一概念的具体式是从锐角三角函数的概念出发的,试图从其出发推广到任意角的三函数.这样排版会导致学生把锐角三角函数当做任意角三角函数的原始模型,这就对任意角三角函数的定义产生了误解.事实上,锐角三角函数研究的是几何量之间的关系,而任意角三角函数研究的是周期性变化.4.基于文献的教学案列分析4.1“弧度制”的教学案列分析王乐、熊惠民[22]的两人的教学设计的流程大致可以分为五步:第一,提出问题,第二,探究新知,第三,拓展创新,第四,课堂小结,第五,布置作业.一开始就摆出弧度制的发展历史,让学生明白为什么要引入弧度制产生的历史,其目的是使度量单位得到统一.然后,分析了课程标准的基本要求,再对教材进行大致的阐述.明确表示教职工在教授讲解弧度制的概念中,了解弧度制概念的历史发展是非常重要的，是讲好该概念的关键.用书本上以前学习过的知识提问,带领学生温习旧知,然后根据学生的回顾情况,引出弧度制这一概念,在弧度制下,推导角度与弧度的换算公式以及扇形面积公式,最后通过教材上的习题巩固才学习的知识点,再布置课后作业.4.2“任意角的三角函数”的典型案例分析三角函数从数学的角度来看其本质就是三角形三边之比,锐角三角函数从知识本质来看在进行教学时起着承上启下的作用.太江艳[23]在函数周期性的教学设计中（见附录）,先以日常生活中见到的事物提出问题,然后才开始带着学生探讨三角函数的概念,按以下几个步骤建构三角函数概念:以直角三角形起始点对锐角三角函数进行温习;其次是在坐标系下利用象限角开始锐角三角函数的探究;然后是怎样在单位圆上通过点的坐标来对锐角三角函数进行描述;最后通过以上过程得出其定义;由锐角三角函数的探讨进而延伸出任意角三角函数.在完成以上环节,给出任意角三角函数的概念定义后,从函数的角度证明任意角的三角函数从本质上看也是一种函数,这一环节是必不可少的,对学生的知识建构起着至关重要的作用,也符合高中数学的教学标准.在此教学过程中,因为没有周期性和建构活动之间的关系表述,所以学生容易把任意角函数肤浅地看作是任意角三角函数,导致学生很难真正地感受到三角函数的周期变化.5.基于数学史的三角函数教学设计5.1基于数学史的“弧度制”的教学设计一、教材内容分析“弧度制”是教材必修1的“三角函数”这一章的主要内容之一.教材中通过举例类比的方式说明弧度制,接着阐述了弧度制的定义.本节主要学习弧度转化为角度,角度化为弧度,1弧度,弧长公式与扇形面积公式在弧度制下的表示.二、学情分析学生已经学习了角度制,对角度有了清晰的了解,但是还未接触过弧度,学习起来会显得有点吃力.三、目标分析知识与技能:(1)熟练使用角度与弧度的换算;(2)了解并掌握1弧度的定义;过程与方法:把学生分成多个小组,然后进行讨论,以此来培养学生的交流能力,感受弧度制的魅力.情感态度与价值观:让学生从头到尾感受弧度制概念的形成过程,培养学生的探索思维以及坚持学习的习惯.四、教学重难点分析教学重点:弧度的定义,1弧度的定义,弧度与角度换算.教学难点:弧度的定义及其与角度的转换.五、教学过程1、问题引入思考题:生活中通常使用厘米、米为单位测量人体的身高,那么应该怎样换算这两种单位呢？人们购买蔬菜时常使用的单位为斤、千克,这两种单位要怎样才能进行换算？测量计算角的大小时通常用度做单位外,还能用哪种单位度量角？我们要怎样对这两种单位进行换算呢？设计意图:一开始就通过一系列问题导入弧度制.2、探究新知例题①:我们初中时就学习了角的测量,当时是怎样定义这个角的呢?例题②:大家都知道长度与重量的度量来说,使用单位制不同能给我们的解题带来便捷.那么我们对角进行度量时是否能用多种单位制进行计算呢?设计意图:这部分通过问题,引导学生思考角的度量是否有不同的单位制.教师活动:教师提问后,先让学生独立思考问题,遇到不懂的进行小组讨论,然后引导学生回想关于角度的知识,告诉学生这对认识弧度制来说是至关重要的,为充分地了解角度与弧度之间的关系打下了坚实的基础.经过讨论后再次对学生进行提问,对回答情况良好的学生给予及时的肯定和适当的表扬,对那些表现不良好的学生给予提示并引导其深入地思考问题.最后教师在讲台上工整地书写弧度制的定义:圆弧的长度与半径相等,那么它所对的圆心角大小就为1弧度.度量角时所用的单位为弧度的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度可以记为1.图81弧度的角图8的长度等于圆的半径,其所对的圆心角大小为1弧度,=1.图81弧度的角讨论得出结论:可以把的角看做把一个圆周角细分成360等份,那么所得的每一等份圆心角的大小就为.的值是固定,其大小与圆的半径的大小是无关的.问题③:在坐标系下画半径不相同的两个圆甲、乙,并在每个圆上标明与半径等长的弧长,在把圆心与弧两端的点连接起来,得到两个角,再把甲、乙两图放在同一个坐标系下,观察两个角的关系是怎样的？问题④:设圆的半径为,弧长为,所对的圆心角为,那么的弧度数大小为多少呢？请问弧度制、角度制都能用来度量角吗？如果能,请表达出他们怎样进行换算的？活动:教师引导学生思考角度制和弧度制之间的关系并归纳出来,期间抽问学生思考的情况,让学生叙述二者的区别与联系.然后教师给予补充与拓展,对回答情况良好的学生给予及时的肯定和适当的表扬,对那些表现不良好的学生给予提示并引导其深入地思考问题.引入弧度后,带着学生拿角度与之比较,让学生学会:第一,弧度制与角度制都是度量角的制度,角度制用“度”做单位,弧度制用“弧度”做单位;第二,1弧度等于与半径等长的弧所对的圆心角,等于圆周角的;第三,无论是在弧度制下,还是在角度制下,每个角的大小都是一个定值,与半径无关.讨论结果:③这个图完全重合,这两个角相等.;把角度转化为弧度:,=≈0.01745,把弧度转化为角度:,.二者间的换算公式为:.问题⑤:弧度制下,平面直角坐标系中终边相同的角用弧度怎么表示?大家再思考下,在弧度制下,扇形的面积与弧长公式应如何表示?问题⑥:把表格补充完整,寻找其中又什么规律?表1弧度与角度转换-1表1弧度与角度转换-1的长旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向逆时针方向1-20活动:教师道出教材的这个“探究”的意图是根据图象填出一些特殊角在弧度制和角度制下的大小,然后做出总结.教师充分地带着学生互动起来,讨论、思考并总结出规律,抽问学生的思考、总结学生的情况,随机抽查学生问题,对回答情况良好的学生给予及时的肯定和适当的表扬,对那些表现不良好的学生给予提示并引导其深入地思考问题.抽查学生后,教师对自己做出总结反思.由表1得,一个圆的半径为,圆心角为,所对的弧长为,那么在弧度下的值为,引导学生认识并掌握角度制、弧度制间是能进行换算.教师对角的概念进行延伸后,在弧度制下,角的集合与实数集间可以建立起一对一的关系.在用角表示其他角时,可以用弧度制,也可以用角度制,主要是依据角的单位来决定另一个角的单位,两个角所用的单位制是一定要统一的,不能出现或者类似的写法.在弧度制下,与角终边相同的角或角本身,都可以写成这样.图9为角的集合与实数集之间的一对一的关系.图9一一对应关系讨论结果:⑤与角终边相同的角,连同角在内,可以写成的形式.弧度制下,与扇形有关的公式有,,.图9一一对应关系表2弧度与角度转换-2表2弧度与角度转换-2的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数逆时针方向逆时针方向逆时针方向1顺时针方向-2顺时针方向0未旋转0逆时针方向逆时针方向3、概念深化:问题6:、、之间有怎样的关系;弧度该怎样与角度进行换算?问题7:在弧度制下,,周角为多少？在角度制下,周角的值又是多少？4、练习巩固:(1)把下列角度化成弧度:①②③(2)把下列弧度化成角度:①②③分析:因为,所以.,将转换为弧度,得,于是,将代人上式,即得.5、课堂小结由学生探索老师归纳得出弧度制的定义,掌握角度与弧度之间的关系换算,、理解并牢记,基于此,就能使角度与弧度的换算变得简洁;要求学生记住需要特别要注意的三个问题;熟记特殊角的弧度数并能加以使用.六、作业布置教科书P179习题3、4、6题．5.2基于数学史的“任意三角函数”的教学设计一、教材内容分析教材中把锐角三角函数放在直角坐标系下讨论,先利用“终边定义法”得出其定义;然后又由“单位圆定义法”得出其定义,最后给出任意角三角函数的概念与定义.但在实际的教学过程中,学生应该注意的问题有:“锐角三角函数”与“任意角的三角函数”之间有哪些不一样的地方?在我们的现实生活中怎么使用三角函数来表示周期性变化的现象呢?“单位圆定义法”与“终边定义法”有哪些不同点呢,它们之间又有什么关联呢?二、学情分析学生学习了必修1,对“函数”的概念有了大致了解,已经掌握了定义域、对应法则和值域是函数不可或缺的元素;也学习过其他的函数,由此知道对怎样学习一个新函数有了一些方法以及学习步骤,并且已经具备学习新函数的能力以及相关的知识储备.三、目标分析知识与技能:(1)对任意角三角函数的函数思想和周期性有一定的了解与掌握.(2)会根据定义判断三角函数的符号并求出角所对应的函数值.过程与方法:(1)让学生借助所学知识去发现、提出并解决新问题,提高学生整理分析、数学表达和解决问题的能力.情感态度与价值观:通过三角函数的几何表示,使学生的数形结合思想能力得以进一步的提升.四、教学重难点教学重点:作出三角函数线并加以运用,函数值的表示.教学难点:建构刻画周期运动的数学模型.五、教学过程1.复习引入:问题1:图10的直角中,是一个直角,根据初中所学的锐角三角函数的定义,的正弦是什么?余弦是什么?正切是什么？图10锐角三角函数图10锐角三角函数设计意图:带领学生温习初中所学的锐角三角函数概念．师生活动:师生共同回忆并加以表述．2．新知探究问题2:大家想想我们能给出任意角的三角函数的定义吗？与锐角三角函数的定义会有哪些区别与联系呢?设计意图:带着学生探讨锐角三角函数与任意角三角函数之间的区别与联系．师生活动:在教学活动中,教师观察学生的实际情况,提出问题诱导学生探索新知:（1）任意角的三角函数能否通过直角三角形来加以定义呢？以此激发学生的动手能力和积极思考．（2）我们是在哪里探讨任意角三角函数的概念的呢？引导学生使用坐标系解决问题,组织学生进行小组讨论,加强学生的数形结合能力与语言表达能力.（3）图11任意角在直角坐标系下的三角函数定义是怎样的呢？图11图11坐标系下的三角函（4）大家思考一下,以为终边的角是否全为锐角吗？如果不是,我们该怎样定义吗？如图12,如果角的终边在第二,三,四象限又该如何定义呢？图12任意角三角函数图12任意角三角函数问题3:我们可以使用哪种方法使得该定义式变得尤为简洁呢？设计意图:引出数学中重要知识点单位圆．师生活动:教师提问,学生先讨论再回答．问题4:到此,任意角三角函数的定义,大家都了解了吗？设计意图:引导学生利用单位圆定义任意角三角函数．师生活动:由学生思考、说出任意角三角函数的定义,教师做出总结．例1:求的正弦、余弦和正切,变式:将变为.设计意图:让学生解决简单的问题，培养学生解决问题的自信心.问题5:正弦函数在弧度制下的定义域是多少?余弦函数、正切函数的又是多少呢？设计意图:通过求函数的定义域,帮助学生理解并掌握三角函数的相关概念．师生活动:先让学生独立作答,再以小组为单位相互检查,最后教师核对讲解．问题6:正弦函数的值在每个象限的符号都是不变的还是会变化？余弦函数、正切函数的呢？设计意图:让学生自主探索出三种函数值的符号随象限的变化会出现什么规律,使学生的数形结合能力得以提升．师生活动:学生先独立思考,老师提问学生,最后在总结归纳．问题7:一个角如果它的终边绕原点多旋转一周或者更多,会影响它的大小吗？是否会改变它的三角函数值呢？设计意图:让学生了解函数的周期变化,培养学生的数形结合能力．师生活动:学生小组讨论共同探索,教师给出结论．例3:确定下列三角函数值的符号并求函数值.（1）（2）（3）.设计意图:通过应用已学公式解决一些简单的问题,让学生加深理解并记住公式,进而培养学生解决问题的信心．3、概念巩固:通过课堂练习,深化学生对所学定义的理解练习:求的正弦值、余弦值和正切值,我们怎样才能把变为.例2:求终边过点(3,-4)的角的正弦值、余弦值和正切值.4、课堂小结我们这节课学习了哪部分的内容？运用到了哪几种思想方法呢？设计意图:让学生自我总结本节课讲的知识点,并培养此习惯．六、作业布置:优佳学案第64页习题第6