2023-2024学年云南大学附中星耀学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年云南大学附中星耀学校高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z=1+i，则|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.2.已知命题p：存在x∈R，使得cosx<1；命题q：对任意x∈R，都有ex2≥1，则下列命题中为真命题的是A.p和q都是真命题 B.(￢p)和q都是真命题

C.p和(￢q)都是真命题 D.p和q都是假命题3.已知向量a,b满足|a|=1，(4a+bA.12 B.1 C.2 4.某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8.则下列说法错误的是(

)A.这组数据的平均数为8 B.这组数据的众数为7

C.这组数据的极差为4 D.这组数据的第80百分位数为95.已知圆O：x2+y2=4，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上)，MA.4x2+16y2=1 B.166.已知函数y=x2−cosx−a在(−π,π)上有且仅有一个零点，则实数a的值为A.1 B.−1 C.2 D.−27.已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为(

)A.322 B.2 C.8.已知函数f(x)=|lnx|，若f(x1)=f(x2)A.2 B.2 C.22二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(2x+π6A.f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin(2x+π3)的图象

B.直线x=2π3是f(x)图象的一条对称轴

C.f(x)在10.已知函数f(x)=x3−ax+2(a∈R)，则A.当a<0时，函数f(x)存在极值点

B.若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为直线y=2x，则a=1

C.点(0,2)是曲线y=f(x)的对称中心

D.当a=1时，函数f(x)有三个零点11.已知圆C：x2+y2−10x+13=0，抛物线W：y2=4x的焦点为F，A.存在点P，使△PFC为等边三角形

B.若Q为C上一点，则|PQ|最小值为1

C.若|PC|=4，则直线PF与C相切

D.若以PF为直径的圆与C相外切，则|PF|=22−12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a913.在△ABC中，tanA，tanB是方程x2−6x+7=0的两个根，则C的值是______．14.如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态.例如，按(2,2)将导致(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)改变状态.如果要求只改变(1,1)的状态，则需按开关的最少次数为______．(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB=bsin2A．

(1)求角A；

(2)若b=1，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=−lnx+ax+a2−2．

(1)当a=2时，求过点(1,f(1))的切线方程；

(2)若f(x)有极值且f(x)≥0恒成立，求17.(本小题15分)

如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=2，E为DC的中点，将△ADE沿AE进行翻折，使点D与点P重合，且PB=23．

(1)证明：PA⊥BE；

(2)求平面PAE与平面PCE18.(本小题17分)

2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由4道减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得6分，有错选或全不选的得0分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分；若正确答案是“三项”的，则选对1个得2分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1−p(其中0<p<1)．

(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若p=13，求学生甲该题得2分的概率；

(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：

Ⅰ：随机选一个选项；Ⅱ：随机选两个选项；Ⅲ：随机选三个选项．

①若p=12，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望；

②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案19.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1：y=2x和l2：y=−2x，右焦点坐标为(5,0),O为坐标原点．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为k1、k2，

证明：k1⋅k2为定值；

(3)直线y=4x−6与双曲线的右支交于点A1，B1(A1在B1的上方)，过点A1，B1分别作l2，l1的平行线，交于点P1，过点P1且斜率为

参考答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.D

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.BC

11.AC

12.16

13.π414.5

15.解(1)因为asinB=bsin2A，

由正弦定理得sinAsinB=2sinBsinAcosA，

因为角A，B，C为△ABC的内角，

所以sinA>0，sinB>0，

所以cosA=12，

而A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)因为b=1，S△ABC=12bcsinA=12c⋅32=3，16.解：(1)定义域(0,+∞)，当a=2时，f(x)=−lnx+2x+2，f′(x)=−1x+2，f′(1)=1，f(1)=4，

所以过点(1,f(1))的切线方程为y−4=1⋅(x−1)，即x−y+3=0．

(2)f(x)≥0⇔f(x)min≥0，f′(x)=−1x+a．

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(x)无极值，故a≤0舍去；

当a>0时，f′(x)=ax−1x，f(x)在(0,1a)上单调递减，[1a,+∞)上单调递增，存在极小值，

f(x)min=f(1a)=lna+a217.解：(1)证明：由题知AE=BE=22，

所以AB2=AE2+BE2，

所以△ABE为直角三角形，BE⊥AE，

因为PE=DE=2，BE=22，PB=23，

所以PB2=PE2+BE2，

所以△PBE为直角三角形，BE⊥PE，

因为PE∩AE=E，

所以BE⊥平面PAE，因为PA⊂平面PAE，

所以PA⊥BE．

(2)由题知以B为原点建立如图空间直角坐标系B−xyz，

取AE中点M，由题知PE=AE，所以PM⊥AE，

由(1)知BE⊥平面PAE，所以BE⊥PM，

因为AE∩BE=E，所以PM⊥平面ABE，

B(0,0,0)，A(0,4,0)C(2,0,0)，E(2,2,0)，M(1,3,0)，P(1,3,2)，

CE=(0,2,0)，CP=(−1,3,2)，

设平面PCE的一个法向量为m=(x,y,z)，

则2y=0−x+3y+2z=0，

，y=0，令x=2，则z=1，

18.解：(1)记事件A为“正确答案选两个选项”，事件B为“学生甲得2分”，

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=13×0+23×C31C41=12，

即学生甲该题得2分的概率为12；

(2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，

所以X可以取X023P331则数学期望E(X)=0×38+2×38+3×14=32；

②记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，

则P(X=0)=p×2C41+(1−p)×1C41=1+p4，

P(X=2)=p×0+(1−p)×C31C41=34(1−p)，

P(X=3)=p×C21C41+(1−p)×0=12p，

所以E(X)=0×1+p4+2×34(1−p)+3×19.解：(1)因为双曲线C的两条渐近线分别为l1：y=2x和l2：y=−2x，右焦点坐标为(5,0)，

所以c=5ba=2a2=b2+