湖北省2024年春季高二期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省2024年春季高二期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x|x2−3x−4≤0}，集合B={y|y=4−A.[−1,2] B.[−4,1] C.[0,1] D.[0,2]2.已知函数y=f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则函数y=f(x)的极大值点有(

)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.已知函数f(x)在[a,b]的图象是连续不断的，则“f(a)⋅f(b)<0”是“f(x)在(a,b)上有零点”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.等比数列{an}的前n项积为Tn，T9=512A.2 B.22 C.4 5.空间向量a=(1,0,1)在b=(0,1,1)上的投影向量为(

)A.(12,0,12) B.(6.设P为椭圆x24+y23=1上一动点，F1、FA.2 B.3 C.4 D.57.从数字0、1、2、3、4中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有(

)A.52个 B.64个 C.66个 D.70个8.已知55>e8，a=313，b=514，c=A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.若随机变量X~B(10,13),则D(3X-1)=20

B.若随机变量X~N(μ,σ2),当μ不变时,σ越小,该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖

C.回归分析中,样本决定系数R2越大,残差平方和越小,模型拟合效果越好

D.在独立性检验中,当χ2≥χα(χα为10.定义在R上的非常数函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x+2)为偶函数且f(x)+f(x+2)=3.则下列说法中一定正确的是(

)A.f(x)的图象关于直线x=2对称 B.6是函数f(x)的一个周期

C.f(1)=32 D.f′(x)的图象关于直线11.已知不等式lnx≤x−1对任意x>0恒成立，则下列不等式中一定成立的是(

)A.lnx≥1−1x B.C606三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某中学举办女子排球赛，高二年级A班与B班进行比赛，每局比赛A班获胜概率为25，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制(先赢两局者获胜)，则A班获胜的概率是

．13.已知函数f(x)=|x2−ax|在[12,314.过点(0,t)有且只有一条直线与曲线y=xex相切，则实数t的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知在(1−2x)n=(1)求n的值，并求展开式中所有项的系数和;(2)求展开式中系数绝对值最大的项．16.(本小题15分)随着“特种兵旅行”在网络的爆火,某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通(也称旅游年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例,市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出,其旅游消费支出(单位:百元)近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ=11.8,σ(1)若2023年到本市景区旅游游客为500万人,试估计2023年有多少游客(单位:万)在本市的年旅游消费支出不低于1500元;(2)现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人,抽到外地游客的概率为25.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户,否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的列联表,并依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联游客来源客户星级合计三星客户一星客户当地游客外地游客100合计3001000参考数据:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈参考公式:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+α0.100.050.010.001χ2.7063.8416.63510.82817.(本小题15分)已知f(x)=x−(1)判断f(x)的单调性;(2)若f(x)的极大值为−3，求实数a的值．18.(本小题17分)某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品——纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为12，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为13，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为(1)求学生小杰获得奖品的概率;(2)已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率;(3)求学生小杰通过的比赛轮数X的分布列与数学期望．19.(本小题17分)已知f(x)是定义在[a,b]上的函数，∀n∈N∗，将区间[a,b]划分为任意n个互不相交的小区间，将分点按从小到大记作xi(i=0,1,⋯,n)，其中x0=a，xn=b.若存在一个常数(1)证明：若f(x)是定义在[−1,1]的单调递增函数，则f(x)为[−1,1]上的有界变差函数;(2)判断f(x)=x2在[−1,1]上是否为有界变差函数?(3)判断f(x)=xcosπx,x>00,x=0在参考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.C

6.B

7.D

8.B

9.ACD

10.ACD

11.ABC

12.4412513.(−∞,114.(415.解：(1)因为二项式(1−2x)n展开式中所有项的二项式系数之和为512，

所以2n=512，n=9；

在(1−2x)n=a0+a1x+⋯+anxn中，令x=1，得：展开式中所有项的系数和

a0+a1+a2+···+a9=−1．

(2)因为二项式(1−2x)n展开式的通项为

T16.解：（1）由于μ=11.8,σ=3.2，所以μ+σ=15，

估计2023年在本市的年旅游消费支出不低于1500元的概率为P（x≥μ+σ）=1−P(μ−σ<x<μ+σ)2=1−0.68272=0.15865，

0.15865×500=79.325，

估计2023年有79.325万游客(单位:万)在本市的年旅游消费支出不低于1500元．

（2游客来源客户星级合计三星客户一星客户当地游客200400600外地游客100300400合计3007001000所以χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=1000×(200×300−400×100)2600×400×300×700≈7.9365>6.635，

根据小概率值α=0.01的独立性检验,

我们推断H017.解：(1)函数f(x)的定义域为x>0，则f′(x)=(x+1−a)(x−1)x2，

令f′(x)=0，解得：x1=1，x2=a−1，

当x1<x2时，即a−1>1，a>2，

x∈(0,1)，f′(x)>0，f(x)单调递增；

x∈(1,a−1)，f′(x)<0，f(x)单调递减；

x∈(a−1,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增．

当x2<x1时，即a−1<1，a<2，

①当a−1⩽0时，即a⩽1，

x∈(0,1)，f′(x)<0，f(x)单调递减；

x∈(1,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增；

②当0<a−1<1时，即1<a<2，

x∈(0,a−1)，f′(x)>0，f(x)单调递增；

x∈(a−1,1)，f′(x)<0，f(x)单调递减；

x∈(1,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增；

综上所述，当a>2时，f(x)在(0,1)，(a−1,+∞)上单调递增，在(1,a−1)上单调递减；

当a⩽1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；

当1<a<2时，f(x)在(0,a−1)，(1,+∞)上单调递增，在(a−1,1)上单调递减．

(2)由(1)可知：

当a>2时，f(x)在x=1时取得极大值，f(1)=2−a=−3，所以a=5；

当a⩽1时，无极大值；

当1<a<2时，18.解：(1)设学生小杰通过第i轮比赛为事件Ai，i=1，2，3，B表示获得奖品，则B=BA1+BA2+BA3，所以

P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=12×13+12×(1−13)×X0123P1111E(X)=0×1219.解：(1)设−1=x0<x1<x2<⋯<xn=1，

因为f(x)是定义在[−1,1]的单调递增函数，

所以i=1n=1fxi−fxi−1

=fx1−fx0+f