第14讲 直线的方程8种常见考法归类解析版-新高二数学暑假自学课讲义

第14讲直线的方程8种常见考法归类根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系.知识点1直线方程的点斜式、斜截式名称条件方程图形点斜式直线l过定点P(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)斜截式直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)y＝kx＋b注：1．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？斜率存在及已知点(或直线在y轴上的截距)．2．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：(1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.3．当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.4．直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)的特例．如：直线l的斜率为k且过点(0，b)，该直线方程为y＝kx＋b.5．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．6．斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．知识点2直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线注：（1）两点式方程①利用两点式求直线方程必须满足x1≠x2且y1≠y2，即直线不垂直于坐标轴．（即：当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．）②两点式方程与这两个点的顺序无关．③方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．截距式方程①如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．②将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．③与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．④过原点的直线的横、纵截距都为零．知识点3直线的一般式方程1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．系数的几何意义：当B≠0时，则－eq\f(A,B)＝k(斜率)，－eq\f(C,B)＝b(y轴上的截距)；当B＝0，A≠0时，则－eq\f(C,A)＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．3．直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．4.当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．注：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示（2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线1、求直线的点斜式方程的方法步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．2、直线的斜截式方程的求解策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；(3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．3、求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．4、截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．5、求直线一般式方程的策略(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需确定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．6、含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．7、利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.注若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．8、利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.9、与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.考点一：直线的点斜式方程例1．（2023秋·高二课时练习）已知直线的方程是，则（）A．直线经过点，斜率为-1 B．直线经过点，斜率为-1C．直线经过点，斜率为-1 D．直线经过点，斜率为1【答案】C【分析】将直线的方程化为点斜式方程的形式，即可得出答案.【详解】根据已知可得出直线的点斜式方程为，所以，直线经过点，斜率为-1.故选：C.变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距.【答案】，.【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线点斜式方程求解作答.【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即，当时，，所以直线的方程为，直线l在y轴上的截距为.变式2．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线不经过第__________象限.【答案】四【分析】由题意可写出直线的方程，作出其图象，即可得答案.【详解】由题意知在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为的直线方程为，即，直线与x轴交点为，与y轴交点为，即该直线经过一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为：四变式3．（河南省开封市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又直线经过点，所以直线的方程为，即.故选：D变式4．（2023春·上海宝山·高二统考期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为______.【答案】【分析】依题意可得直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为直线过点，且与向量垂直，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即.故答案为：变式5．（2023秋·高一单元测试）已知的顶点分别为，求：(1)直线AB的方程(2)AB边上的高所在直线的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）由AB的坐标可得斜率，由点斜式方程可写出方程，化为一般式即可；（2）由垂直关系可得高线的斜率，由高线过点C，同（1）可得.【详解】（1），，由点斜式方程可得，化为一般式可得（2）由（1）可知，故AB边上的高线所在直线的斜率为，又AB边上的高线所在直线过点，所以方程为，化为一般式可得.

变式6．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边所在直线的点斜式方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得直线与轴平行，且过点，可得直线的方程；（2）由题意可得直线的倾斜角为，可得斜率，根据点斜式方程求解即可．【详解】（1）如图所示，

直线过点，，可得直线与轴平行，故边所在直线的方程为（2）由可得直线的倾斜角为，故斜率，故所在直线的方程为．考点二：直线的斜截式方程例2．（2023·高二课时练习）写出下列直线的斜率以及在y轴上的截距.并画出图形.(1)；(2).【答案】(1)斜率为－3，在y轴上的截距为5，图像见解析(2)斜率为，在y轴上的截距为0，图像见解析【分析】（1）根据斜率和截距的概念可直接写出结果，然后两点作图法作出图像即可；（2）根据斜率和截距的概念可直接写出结果，然后两点作图法作出图像即可.（1）斜率为－3，在y轴上的截距为5；图像如下图：（2）斜率为，在y轴上的截距为0，图像如下图：变式1．【多选】（2023秋·高二课时练习）一次函数，则下列结论正确的有（

）A．当时，函数图像经过一、二、三象限B．当时，函数图像经过一、三、四象限C．时，函数图像必经过一、三象限D．时，函数在实数上恒为增函数【答案】ABCD【分析】根据一次函数的斜率以及的正负，对选项逐个判断即可；【详解】在一次函数中，若，则图像经过一、二、三象限；若，则图像经过一、三、四象限；若，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数上恒为增函数；故选:ABCD.变式2．（2023·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解.【详解】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，,故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B变式3．【多选】（2023·高二课时练习）已知直线，，则它们的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立；选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立；选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立；选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立.故选：AB.变式4．（2023·全国·高三专题练习）在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】结合直线的图像，利用直线的斜率与纵截距进行判断.【详解】因为直线总在直线的上方，所以直线与直线平行，且直线在y轴上的截距必大于直线在y轴上的截距，所以，．故A，B，D错误.故选：C.考点三：直线的两点式方程例3．【多选】（2023秋·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）下列说法正确的有（

）A．直线的斜率越大，则倾斜角越大B．两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线C．若直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为135°D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化【答案】BC【分析】选项A，选取，求解对用倾斜角，可判断；选项B，由两点式中，分析可判定；选项C，化简方向向量得到，故，分析可判定；选项D，分析直线，可判断.【详解】选项A，当时，对应倾斜角，当时，对应倾斜角，错误；选项B，由于两点式中，故垂直于x轴和y轴的直线不能用两点式表示，其他直线都能选取两个点满足，可用两点式表示，正确；选项C，方向向量可化简为，故斜率，故对应倾斜角，正确；选项D，直线斜率不存在，不能转化为斜截式，错误.故选：BC变式1．（2023秋·高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线的两点式方程运算求解.【详解】因为，则线l的方程为，整理得，所以直线l的方程为.故选：D.变式2．（2023秋·高二校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即.故选：D变式3．（2023秋·山东济宁·高二校考阶段练习）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，则的欧拉线方程为______．【答案】【分析】根据已知点的坐标，分别求得三角形垂心和重心的坐标，再求欧拉线方程即可.【详解】由，，，可知边上的高所在的直线为，又，因此边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线为：，即，联立，所以的垂心坐标为，由重心坐标公式可得的重心坐标为，所以的欧拉线方程为：，化简得．故答案为：.考点四：直线的截距式方程例4．【多选】（2023秋·高二课时练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A．y=-x+5 B．y=x+5C．y= D．y=-【答案】AC【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.【详解】当直线过坐标原点时，直线过点,所以直线方程为y=;当直线不过坐标原点时，设直线方程为=1，代入点，可得a=5，即y=-x+5.故选:AC.变式1．（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（

）条A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据直线过原点和不过原点，即可求解直线方程.【详解】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得，此时直线方程为，故选：C变式2．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________.【答案】或【分析】对两坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，再利用待定系数法即可求得直线方程.【详解】若直线在两坐标轴上的截距为0，则直线过坐标原点，所以直线方程可以写为，即；当截距不为零时，不妨设直线方程为，代入点可得，即；综上可知，直线方程为或.故答案为：或变式3．（2023秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（

）A．B．C．或D．或或【答案】D【分析】直线过原点求出直线方程，直线不过原点设出直线方程，利用待定系数法求解.【详解】当此直线过原点时，直线方程为，化为；当此直线不过原点时，设直线的方程为，或，把点分别代入可得，或，解得，．直线的方程为或．综上可知：直线的方程为或，．故选：D．变式4．（2023秋·高二课时练习）过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为______，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为______.【答案】【分析】设直线的截距式方程，将点坐标代入求解即可；先求出直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求解即可.【详解】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为，因为直线过，所以，解得，所以直线方程为.当直线方程为时，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，故答案为.变式5．（2023秋·高二校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____.【答案】【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可.【详解】设直线的方程为，则解得则直线的方程为+=1，即.故答案为：变式6．（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为________________.【答案】或.【分析】设直线方程的截距式为，将代入解方程即可得求出的值，进而求出直线l的方程.【详解】设直线方程的截距式为.则，解得或，则直线方程是或，即或.故答案为：或.变式7．（2023·江苏·高二假期作业）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程.【答案】或【分析】依题意设所求直线的方程为，即可得到方程组，解得、，即可得解.【详解】由题意知，直线在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线的方程为，由已知可得，解得或，所以或，故直线的方程为或．变式8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线过点，则的最小值为______．【答案】/【分析】由直线过点，可得，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值．【详解】∵直线过点，．，当且仅当，即，时取等号．的最小值为．故答案为：．考点五：直线的一般式方程（一）直线的一般式方程及辨析例5．（2023春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知点，则直线的一般式方程为___________.【答案】【分析】利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可.【详解】，则直线的方程为，即.故答案为：.变式1．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（

）A．若，则直线l的斜率小于0B．若，则直线l的倾斜角为C．直线l可能经过坐标原点D．若，则直线l的倾斜角为【答案】ABD【分析】根据题意，由直线的斜率即可判断A，将代入即可判断B，将原点坐标代入即可判断C，将即可判断D.【详解】对于A选项，若，则直线l的斜率，故A正确；对于B选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故B正确；对于C选项，将代入中，显然不成立，故C错误；对于D选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故D正确.故选：ABD.变式2．（2023秋·高二课时练习）当直线方程的系数A，B，C满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？(1)过坐标原点；(2)与两条坐标轴都相交；(3)只与x轴相交；(4)是x轴所在直线；(5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成．【答案】(1)且不同为(2)都不为0(3)且(4)(5)证明见解析【分析】（1）将代入可得答案；（2）分、讨论，可得答案；（3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可，根据直线方程可化成形式可得答案；（4）将直线方程化为可得答案；（5）将代入直线方程得，再代入直线方程化简可得答案.【详解】（1）将代入得，当且不同为方程表示过坐标原点的直线；（2）直线与两条坐标轴都相交说明横纵截距都存在，当且时直线过原点满足条件，当时，令时，令时，所以都不为0，综上所述，时直线与两条坐标轴都相交；（3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可，因此直线方程可化成形式，故且；（4）x轴的方程为，因此方程中时方程表示的直线是x轴所在直线；（5）因为为直线上一点，所以，所以，所以方程可化为，即，所以这条直线的方程可以写成．变式3．（2023·全国·高三对口高考）以下关于直线的说法中，不正确的是（

）A．直线一定不经过原点B．直线一定不经过第三象限C．直线一定经过第二象限D．直线可表示经过点的所有直线【答案】B【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分、、三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；【详解】对于直线，令，解得，故直线恒过点，一定不经过原点，故A正确；当时直线即为，直线过二、三象限，当时直线即为，若，则，，直线过一、二、三象限，若，则，，直线过二、三、四象限，所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；因为直线恒过点，所以直线可表示经过点的所有直线，故选：B（二）直线的一般式方程的应用例6．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）若直线经过第一、二、四象限，则有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由一次函数的性质判断【详解】直线即，经过第一、二、四象限，则，得，故选：B变式1．（2023·全国·高二假期作业）如果，，那么直线不经过的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限.【详解】由题设，直线可写成，又，，∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限.故选：A.变式2．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二校考开学考试）若直线不过第二象限，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线不过第二象限可确定斜率、在轴截距的范围，从而构造不等式组求得结果.【详解】直线不过第二象限，，解得：，即实数的取值范围为.故选：C.变式3．【多选】（2023·高二课时练习）直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由斜率为正及大小关系可确定；由直线在轴截距的正负可确定正负.【详解】直线斜率存在，则直线方程可化为，；，，又，，C正确，D错误；又，，，A错误，B正确.故选：BC.变式4．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则________.【答案】/-0.5【分析】先分别求出x轴上的截距及y轴上截距，再根据数量关系计算求解即可.【详解】令，得，令，得．由于直线在轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，故，解得．故答案为：变式5．（2023秋·高二课时练习）已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案.【详解】由已知，令得直线在y轴的截距为，令得直线在x轴的截距为，由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得，即.故选：D.考点六：两直线平行与垂直的应用由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直例7．【多选】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）设直线：，：，下列说法正确的是（

）A．当时，直线与不重合B．当时，直线与相交C．当时，D．当时，【答案】BD【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D.【详解】对于A，时，若,,且时，两直线：，：重合，A错误；对于B，联立，可得,当时，，此时方程组有唯一一组解，故直线与相交，B正确；对于C，时，若，则无解，此时；若，则有无数多组解，此时重合，故C错误；对于D，若，则由可得，即两直线斜率之积等于，故；若,则可得，此时满足，直线：，：，此时，故当时，，D正确，故选：变式1．（2023秋·山东东营·高二统考期末）若直线l：与直线m：互相平行，则______．【答案】/【分析】根据两直线方程，判断斜率存在，由题意可得，解出a后，验证是否符合题意，可得答案.【详解】由题意可知直线l：的斜率为，因为直线l：与直线m：互相平行，故直线m：的斜率存在，且为，则，解得或，当时，直线l：与直线m：重合，不合题意，当时，直线l：与直线m：互相平行，故答案为：变式2．（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线平行，则m的值为（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】B【分析】根据直线的平行可列出方程，求得m的值，验证直线是否重合，即得答案.【详解】由题意知直线与直线平行，而直线的斜率为，则直线必有斜率，即，则，故，解得或，当时，直线与直线重合，不合题意；当时，直线与直线平行，符合题意，故，故选：B变式3．（2023秋·河北沧州·高二任丘市第一中学校考阶段练习）已知，，直线与直线平行，则的最小值是______.【答案】9【分析】由两直线平行，求得，再利用基本不等式求的最小值【详解】直线与直线平行，有，即，，当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9变式4．（2023秋·北京海淀·高二校考阶段练习）已知直线，.若，则实数a=___________，若，则实数a=___________．【答案】0-1【分析】根据直线垂直以及平行的充要条件，即可列出方程，解出即得.【详解】因为，所以有，解得；因为，所以有，解得，当时，与重合，舍去；当时，，，与不重合，满足条件，所以.故答案为：0；-1.变式5．（2023秋·河北沧州·高二任丘市第一中学校考阶段练习）直线：，：，则“”是“”的（

）条件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【分析】先求出两直线垂直时a的值，进而可判断充分必要条件．【详解】直线：，：，当时,有，解得或.所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立，则“”是“”的充分不必要条件.故选：B变式6．【多选】（2023秋·高二校考课时练习）已知直线，则（

）A．若，则B．若，则C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则D．当时，不经过第一象限【答案】BCD【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可.【详解】由题知，直线对于A，当时，，解得或，故A错误；对于B，当时，，解得，故B正确；对于C，在直线中，当时，，当时，，所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；对于D，由题知当时，的图象为故D正确；故选：BCD由两条直线的平行、垂直求直线方程例8．（2023秋·四川凉山·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案.【详解】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除；C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点，所以C中直线不符合，D中直线符合要求.故选：D变式1．（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）直线过点且与直线垂直，则的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案.【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故选：C.变式2．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求：(1)过点且与直线l平行的直线的方程；(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两直线平行得到斜率，再利用点斜式写出方程；（2）根据两直线垂直得到斜率，再利用点斜式写出方程.【详解】（1）因为直线的斜率为，所以与直线l平行的直线的斜率为，又所求直线过，所以所求直线方程为，即．（2）因为直线的斜率为，所以与直线l垂直的直线的斜率为，又所求直线过，所以所求直线方程为，即．变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________．【答案】【分析】根据平行关系可设直线为，计算与两坐标交点，根据面积公式求即可.【详解】

由题意可设方程为：，令，得，令，得，由题意知：，得，故直线方程为：，故答案为：考点七：直线过定点问题例9．（2023·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第____象限．【答案】四【分析】化简直线方程为，列方程组，进而求解即可.【详解】直线可化为，由，得，所以直线恒过定点，因为在第四象限，故直线恒过第四象限．故答案为：四.变式1．（2023·高二课时练习）若直线不经过第四象限，则k的取值范围为_______．【答案】【解析】直线过定点，根据点所在的象限可得斜率的取值范围.【详解】因为可化为，故直线过定点，而为第二象限中的点，且直线不经过第四象限，故斜率.故答案为：.变式2．【多选】（2023秋·贵州·高二校联考阶段练习）对于直线：，下列说法错误的是（

）A．直线恒过定点B．直线斜率必定存在C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为D．时直线的倾斜角为【答案】BD【分析】求出过的定点判断A；根据m的取值情况判断B；当时，求出直线的横纵截距计算判断C；当时，求出直线的斜率判断D作答.【详解】对于A，直线：恒过定点，A正确；对于B，当时，直线：垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在，B错误；对于C，当时，直线：与x轴、y轴分别交于点，此时直线与两坐标轴围成的三角形面积为，C正确；对于D，当时，直线：的斜率，因此倾斜角为，D错误.故选：BD变式3．【多选】（2023·高二课时练习）下列说法正确的有（

）A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限B．直线必过定点C．过点，且斜率为的直线的点斜式方程为D．斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为【答案】ABC【分析】由直线经过象限可确定的正负，由此知A正确；整理可求得B中直线过定点，得B正确；由直线点斜式和斜截式方程定义可确定CD正误.【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限可得：，，在第二象限，A正确；对于B，由得：，则直线恒过定点，B正确；对于C，由点斜式方程定义可知该直线方程为：，C正确；对于D，由斜截式方程定义可知该直线方程为：，D错误.故选：ABC.变式4．（2023秋·安徽滁州·高二校考期末）已知直线．(1)求证：直线过定点；(2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程．【答案】(1)直线过定点，证明见详解；(2)【分析】（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明.（2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到方程组，即可求出直线方程.【详解】（1）证明：方程化为：，由直线系方程的性质有：，解得，故直线恒过点（2）设直线，则由题意得：，解得，所以直线，即，所以所求直线方程为：.变式5．（2023·高二课时练习）已知一条动直线，(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；(2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围；(3)若直线与x､y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析，定点；(2)；(3)或.【分析】（1）整理直线方程得．由且可求；（2）由（1）知，直线恒过定点，讨论直线与y轴是否有交点，若有交点，只需纵截距小于等于零即可；（3）设直线的方程，可得，从而可得所求直线的方程．【详解】（1）证明：整理直线方程得．由且可得，，故直线恒过定点，；（2）由（1）知，直线恒过定点，当直线与y轴没有交点时，即，此时直线方程为，符合题意；当直线与y轴有交点时，，求出直线的纵截距，其小于等于零即可满足题意，令，则，，若直线不经过第二象限，则，∴；所以m的取值范围为；（3）设直线方程为，，则，①由题意得，，②由①②整理得，解得，，或，，所求直线的方程为或即或．变式6．（2023秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知直线的方程为：.(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点；（2）令令，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）证明：原方程整理得：．由，可得，不论为何值，直线必过定点.（2）设直线的方程为．令令．．当且仅当，即时，三角形面积最小．则的方程为．考点八：直线与坐标轴围成三角形的面积、周长问题例10．（2023秋·浙江台州·高二校考阶段练习）已知直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为______________【答案】【分析】先由题意及直线的几何意义可推得，再分别令与求得在两坐标轴的截距，由此利用三角形面积与基本关系式即可求得面积的最小值.【详解】因为直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，所以由化为，得，即，故，令，则；令，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即面积的最小值为.故答案为：..变式1．（2023秋·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)时，求直线l的方程．(2)当的面积最小时，求直线l的方程．【答案】(1)(2).【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程;（2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程.【详解】（1）作，则.由三角形相似，，可求得，，∴方程为，即；（2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，，∵l过点，∴，解得，∴的面积，化简，得.①∴，解得或（舍去）.∴S的最小值为4，将代入①式，得，解得，∴.∴直线l的方程为.变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程．【答案】直线l的方程为或或或．【分析】设直线的截距，根据题意列式求解，再利用直线的截距式方程运算求解.【详解】设直线l在x，y的截距分别为，由题意可得，解得或，又因为直线l的倾斜角为锐角，则直线l的斜率，即，可得或或或，所以直线l的方程为或或或变式3．（2023·高二课时练习）已知的三个顶点的坐标为，，．(1)求边AB上过点C的高所在直线的方程；(2)若直线l与AC平行，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据直线的斜率公式，结合互相垂直直线的斜率性质、直线的点斜式方程进行求解即可；（2）根据直线的截距式方程，结合平行直线的斜率性质进行求解即可.【详解】（1），边AB上的高所在直线的斜率为，又直线过点，所求直线的方程为：，即；（2）设直线l的方程为：，即，，，解得：，直线l的方程为：，直线l过点，三角形斜边长为，直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．变式4．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.(1)求面积的最小值以及面积最小时直线的方程;(2)是否存在直线，使的周长为12，若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.【答案】(1)最小值为，(2)存在，或【分析】（1）设直线，代入点坐标，利用均值不等式求解即可；（2）结合以及周长为12列出方程组，求解即可.【详解】（1）设，则直线，直线过点，则故，故，当且仅当，即时取得等号，此时直线，故，此时直线的方程为.（2）假设存在满足条件的直线，由已知有解得或故存在满足条件的直线或变式5．（2023·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；(2)当取最小值时，求直线的方程；(3)当取最小值时，求直线的方程．【答案】(1)，此时直线的方程为．(2)(3)【分析】（1）设，，，则直线的方程为，依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；（2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此时、的值，从而求出直线方程；（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，分别求出，的坐标，求出的方程，根据基本不等式的性质求出直线方程即可．【详解】（1）依题意设，，，设直线的方程为，代入得，所以，则，当且仅当，即、时取等号，从而，当且仅当，即、时取等号，此时直线的方程为，即，所以，此时直线的方程为．（2）由（1）可得，所以，当且仅当，即，时取等号，此时直线的方程为，即．（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，令，解得，令，解得，所以，，则，当且仅当，即，即时，取最小值，此时直线的方程为．1．两条直线垂直的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】讨论直线的斜率存在性，根据两线垂直推得相关系数的数量关系，结合充要性定义即可得答案.【详解】当斜率不存在时、，则垂直的直线的斜率为0，即、，故；所以斜率不存在，同理有；当两垂直的直线斜率都存在时，此时，故；综上，题设两线垂直的充要条件是.故选：A2．直线与平行（不重合）的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用斜率存在的两条直线平行的充要条件，列式计算作答.【详解】直线，即，其斜率为，纵截距为，因直线与平行（不重合），有，化为：，所以直线与平行（不重合）的充要条件是.故选：C3．若直线与直线平行，则___________．【答案】【分析】根据两直线平行，则两直线斜率相等，得到，解出即可.【详解】直线的斜率为3直线的斜率即故答案为：.4．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线过原点，相互垂直直线间的斜率关系，平移知识，可得到所求直线.【详解】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为，再将该直线向右平移1个单位可得：，即.故选：A.5．直线的倾斜角___________．【答案】【分析】先求直线的斜率，进而得倾斜角的正切，从而得解.【详解】直线，整理得，由直线的方程可得直线的斜率为，则，又由，故所以倾斜角为.故答案为：.6．给定三点，那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程是_______．【答案】【分析】先求得直线BC的斜率，进而得到与直线BC垂直的直线的斜率，进而得到通过点A并且与直线BC垂直的直线方程【详解】直线BC的斜率，则与直线BC垂直的直线的斜率则通过点A并且与直线BC垂直的直线方程是，即故答案为：一、单选题1．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出直线的点斜式方程，再化为一般式即可.【详解】过点且斜率为的直线的方程是，即.故选：C2．（2023秋·高一单元测试）若，，则直线不经过第象限（

）A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】将直线方程化为，由斜率以及纵截距的正负判断即可.【详解】依题意、、均不为，所以直线可化为，因为，，所以，，所以直线的斜率为正，纵截距为正，即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限.故选：D3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，的倾斜角分别为，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用斜率与倾斜角的关系判定即可.【详解】由题意得，，所以为钝角，为锐角，所以．故选：A．4．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）若直线与直线互相平行，则实数的值为（

）A．2或0 B．1 C．0 D．0或【答案】C【分析】根据题意结合直线平行运算求解，注意检验防止出现重合.【详解】若直线与直线互相平行，则，解得或，当时，直线与直线平行，符合题意；当时，直线与直线重合，不符合题意；综上所述：.故选：C.5．（2023秋·高二课时练习）若直线与垂直，则m的值为（

）A． B． C．5 D．【答案】D【分析】根据两直线垂直，斜率之积等于-1求解.【详解】直线：的斜率，当时，直线：的斜率为，由于两直线垂直，，解得；若，，直线的斜率不存在，要保证必有，显然不成立；；故选：D.6．（2023·江苏·高二假期作业）直线与(不同时为0)的位置关系是（

）A．平行 B．垂直C．斜交 D．与的值有关【答案】B【分析】分与都不为零和与中有一个为零讨论即可.【详解】与不能同时为0，①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为，故两条直线垂直；②当与中有一个为零时，若时，则两直线分别为与，两直线垂直，若时，则两直线分别为与，两直线垂直，故两条直线垂直．故选：B7．（2023秋·高二课时练习）直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的斜率的相反数，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据已知表示出直线mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.【详解】因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，所以，0-3n+3=0，解得.因为直线的斜率为，由已知可得，直线mx+ny+3=0的斜率为，即.所以.故选：D.8．（2023秋·高二课时练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】整理所得直线方程为，根据题意，即可求得结果.【详解】把直线方程整理为，令，故，所以直线恒过定点为.故选：C.二、多选题8．（2023秋·福建·高二校联考期中）下列说法正确的有（

）．A．直线过定点B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为【答案】AB【分析】求出直线过的定点判断A；写出直线的点斜式方程判断B；求出直线斜截式方程判断C；求出直线方程判断D作答.【详解】对于A，直线恒过定点，A正确；对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误；对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为，当该直线不过原点时，方程为，D错误.故选：AB9．（2023·江苏·高二假期作业）下列各直线中，与直线平行的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】利用两直线平行的条件即可判断各选项.【详解】直线，即的斜率为2，在轴的截距为，对于A，直线，即的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，A正确；对于B，直线的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，B正确；对于C，直线，即的斜率为2，在轴的截距为，所以两直线平行，C正确；对于D，直线的斜率为－2，所以两直线不平行，D错误．故选：ABC．10．（2023秋·湖南株洲·高二校考期末）已知直线：，则下列结论正确的是（

）A．直线在两坐标轴上的截距均为1B．向量是直线的一个法向量C．过点与直线平行的直线方程为D．若直线m：，则【答案】BCD【分析】根据直线截距的概念判断A即可；根据直线方向向量与法向量的关系判断B即可；根据直线与直线的位置关系求解方程求解直线方程即可判断C；根据一般式两直线垂直的充要条件判断D即可.【详解】解：对于A，令，则，令，则，直线在两坐标轴上的截距均为，故A错误；对于B，因为直线的方向向量为或，则，所以向量是直线的一个法向量；故B正确.对于C，设与直线平行的直线方程为（），因为直线过，所以，所以过点与直线平行的直线方程为，故C正确.对于D，直线：的斜率为1，直线的斜率为，斜率，所以两直线垂直，故D正确.故选：BCD.11．（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程.【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程，令，得；令，得.故围成的三角形面积为,化简可得或.对于方程，，故方程无解.对于方程，可得或.故直线的方程或，即或.故选:CD.三、填空题12．（上海市虹口区2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为________.【答案】【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程求解作答.【详解】依题意，直线的斜率，因为，因此直线的斜率为，直线过点，所以直线的方程为.故答案为：13．（2023春·上海浦东新·高二统考期末）过点且与直线平行的直线方程是______．【答案】【分析】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答.【详解】设与直线平行的直线方程是，依题意，，解得，所以所求直线方程是.故答案为：14．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则________．【答案】13【分析】根据题意求点的坐标，再结合垂直关系运算求解.【详解】对于直线，即，令，则，则，可得直线过定点，对于直线，即，令，则，则，可得直线过定点，因为，则，即，所以.故答案为：13.

15．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为_________.【答案】或【分析】分截距为