第13讲 两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类解析版-新高二数学暑假自学课讲义

第13讲两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类能根据斜率判定两条直线平行或垂直.知识点1两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.知识点2两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．（3）判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．1、两条直线平行的判定及应用k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．2、利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．3、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤考点一：两条直线平行的判定及应用（一）两条直线平行的概念辨析例1．（2023·高二课时练习）下列说法正确的是（

）A．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件B．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件C．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件D．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件【答案】B【分析】根据直线平行和相交的条件依次判断即可.【详解】当两条直线的斜率相等且截距也相等时，两直线重合，故A错误；的倾斜角不相等，则两直线必定相交，反之也成立，故B正确；倾斜角相等时，两直线可能重合，故C错误；法向量平行时，两直线可能重合，故D错误.故答案为：B变式1．（2023秋·北京·高二人大附中校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题①若，则斜率；

②若斜率，则；③若，则倾斜角；④若倾斜角，则，其中正确命题的个数是（

）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确；由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确，所以正确的命题个数是4．故选：D．变式2．【多选】（2023秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若与为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（

）A．若，则它们的斜率相等 B．若与的斜率相等，则C．若，则它们的倾斜角相等 D．若与的倾斜角相等，则【答案】BCD【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确.【详解】对于A，当和倾斜角均为时，，但两直线斜率不存在，A错误；对于B，若和斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知，B正确；对于C，若，可知两直线倾斜角相等，C正确；对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知，D正确.故选：BCD.（二）两条直线平行关系的判定例2．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线与是否平行．(1)经过点，，经过点，；(2)经过点，，经过点，．【答案】(1)不平行(2)平行【分析】（1）求出、，即可判断；（2）求出、的方程，即可判断.【详解】（1）因为经过点，，所以，又经过点，，所以，因为，所以与不平行；（2）直线经过点，的方程为，直线经过点，的方程为，故直线和直线平行；变式1．（2023秋·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行或重合：（1）经过点，；经过点，；()（2）的斜率为，经过点，；()（3）平行于轴，经过点，；()（4）经过点，，经过点，．()【答案】不平行平行或重合平行重合【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）.【详解】（1），，，所以与不平行．（2）的斜率，的斜率，即，无法判断两直线是否重合，所以与平行或重合．（3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以．（4）由题意，知，，所以与平行或重合．需进一步研究，，，四点是否共线，．所以，，，四点共线，所以与重合．变式2．【多选】（2023秋·高二课时练习）满足下列条件的直线与一定平行的是（

）A．经过点，，经过点，B．的斜率为1，经过点，C．经过点，，经过点，D．经过点，，经过点，【答案】CD【分析】求出设直线的斜率为，直线的斜率为．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系；【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为．对于A．，，，与不平行．对于B，，，，故或与重合对于C，，，则有．又，则A，B，M不共线．故.对于D，由已知点的坐标，得与均与x轴垂直且不重合，故有．故选：CD变式3．（2023秋·高二课时练习）过点和点的直线与直线的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对【答案】B【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可.【详解】过点和点的直线方程为，斜率为0，又因为直线斜率为0，所以两直线平行.故选：B变式4．（2023·全国·高二专题练习）判断三点是否共线，并说明理由．【答案】共线，理由见解析.【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.【详解】这三点共线，理由如下：由直线斜率公式可得：，直线的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点，所以这三点共线.（三）已知两条直线平行求参数例3．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.【详解】因为直线的倾斜角为，所以，又，所以.故选：C.变式1．（2023·江苏·高二假期作业）已知过和的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是（

）A．－8 B．0 C．2 D．10【答案】A【分析】由两点的斜率公式表示出直线的斜率，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.【详解】由题意可知，，解得．故选：A变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角为，直线的斜率为，若∥，则的值为________．【答案】/2或/或2【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线的斜率为，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案.【详解】由题意知，解得.故答案为：考点二：两条直线垂直的判定及应用（一）两条直线垂直的概念辨析例4．【多选】（2023秋·高二课时练习）下列说法中，正确的有（

）A．斜率均不存在的两条直线可能重合B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则【答案】ACD【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，若，则斜率均不存在，但两者重合，故A正确；对于BD，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为，故B错误；D正确；对于C，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为时，这两条直线垂直，故C正确.故选：ACD.变式1．【多选】（2023秋·高二课时练习）下列说法中正确的有（

）A．若两直线平行，则两直线的斜率相等B．若两直线的斜率相等，则两直线平行C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于【答案】BC【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误；对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B正确；对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确；对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误；故选：BC变式2．（2023·高二课时练习）下列说法中，正确的是（

）A．每一条直线都有倾斜角和斜率B．若直线倾斜角为，则斜率为C．若两直线的斜率，满足，则两直线互相垂直D．直线与直线（）一定互相平行【答案】C【分析】根据直线的倾斜角与斜率的定义及关系，以及两直线的位置的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，每条直线都有倾斜角，当倾斜角为，直线的斜率不存在，所以A错误；对于B中，当直线倾斜角为，此时直线的斜率不存在，所以B错误；对于C中，若两直线的斜率分别为，，当，则两直线互相垂直，所以C正确；对于D中，当时，直线与直线为重合直线，所以D错误.故选：C.两条直线垂直关系的判定例5．【多选】（2023秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线互相垂直的是（

）A．的斜率为，经过点，B．的倾斜角为，经过点C．经过点，经过点D．的斜率为2，经过点【答案】ABC【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为，从而可选出正确答案.【详解】的斜率为，因为，所以成立，故A正确；的斜率为，的斜率为，由，则成立，故B正确；的斜率为，的斜率为，由则成立，故C正确；的斜率为，由，所以不成立，故D错误.故选：ABC．变式1．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)经过点经过点；(2)经过点经过点．【答案】(1)不垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析【分析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别计算出、的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；（2）由题知轴，轴，即可判断（2）组直线垂直.【详解】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为，，，，∴与不垂直．（2）由题意知的倾斜角为90°，则轴；由题知直线的斜率存在，设为，，则轴，∴．变式2．（2023秋·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线与是否垂直：(1)的倾斜角为，经过，两点；(2)的斜率为，经过，两点；(3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且.【答案】(1)(2)与不垂直(3)【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可；（2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可；（3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可.（1）因为的倾斜角为，所以的斜率为.因为经过，两点，所以的斜率为.因为，所以.（2）因为经过，两点，所以的斜率为.因为的斜率为，且，所以与不垂直.（3）记的斜率为，因为，所以，解得或.因为为锐角，所以.因为的斜率为，且，所以.变式3．（2023秋·福建三明·高二校联考期中）已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直【答案】B【分析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率，可知斜率乘积为，从而得到垂直关系.【详解】由题意可得：直线的斜率，直线的斜率，∵，则与垂直.故选：B.变式4．【多选】（2023·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（

）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC变式5．（2023秋·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线的斜率是方程的两个根，则（

）A． B．C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定【答案】C【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论.【详解】设直线的斜率为，则，，不垂直，A错误；若，则，与矛盾，，不平行，B错误；不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误.故选：C.变式6．【多选】（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）（多选）若，，，，下面结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确；又∵，∴，∴，故B正确；∵，，∴，，∴，故C正确；又∵，，∴∴，故D错误．故选:ABC．（三）已知两直线垂直求参数例6．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】求出直线的斜率为，分、两种情况讨论，在时，由两直线斜率之积为可求得实数的值；在时，直接验证.综合可得结果.【详解】直线的斜率．①当时，直线的斜率．因为，所以，即，解得．②当时，、，此时直线为轴，又、，则直线为轴，显然．综上可知，或.故选：C.变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.【答案】0或5【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解.【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，而经过点，则其斜率可能不存在，当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，由得，即，解得；综上，a的值为0或5.故答案为：0或5.变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为，直线经过点，，且与l垂直，直线与直线平行，则等于（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【分析】由直线l的倾斜角为，与l垂直可得，再由直线与直线平行求得，由过求得，进而求.【详解】由题意知：，而与l垂直，即，又直线与直线平行，则，故，又经过点，，则，解得，所以.故选：B.变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知的顶点为，，，是否存在使为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】存在，或或【分析】对的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果.【详解】

若A为直角，则，∴，即，解得；若B为直角，则，∴，即，解得；若C为直角，则，∴，即，解得．综上所述，存在或或，使为直角三角形．变式4．（2023秋·青海海东·高二校考期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标；【详解】设C点标为，直线AH斜率，∴，而点B的横坐标为6，则，直线BH的斜率，∴直线AC斜率，∴，∴点C的坐标为．故选:.变式5．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，，直线过点，交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，那么的值是________．【答案】/4.75【分析】由题易知，即为圆的直径，即,由列出方程，即可求出答案.【详解】由题易知，即为圆的直径，即,∴，即，解得．故答案：.变式6．（2023·江苏·高二假期作业）已知，，．(1)求点的坐标，满足，；(2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；（2）根据条件可得即可求出结果.【详解】（1）设，由已知得，又，可得，即．①由已知得，又，可得，即．②联立①②解得，∴．（2）设，∵，∴，又∵，，∴，解得．∴，又∵，∴轴，故直线MQ的倾斜角为90°．变式7．【多选】（2023秋·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解.【详解】设，由题意可得，可化为，解得:或，即或．故选：AC考点三：两直线平行与垂直的综合应用例7．【多选】（2023秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.【详解】对A，若，则，故A正确；对B，若，又两直线不重合，则，故B正确；对C，若，则与不垂直，故C错误；对D，若，则，故D正确.故选：ABD.变式1．【多选】（2023秋·山东济南·高二校考期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（

）A．若斜率，则 B．若，则C．若倾斜角，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则，正确；对于D,若，不妨取，则，不满足，不垂直，D错误，故选：例8．（2023秋·全国·高二期中）已知三点，则△ABC为__________三角形.【答案】直角【分析】根据直线斜率关系即得.【详解】如图，猜想是直角三角形，由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案为：直角.变式1．（2023秋·河南商丘·高二校联考期中）若，，，则的外接圆面积为______．【答案】【分析】由斜率得，从而可得是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径，求得长后得圆半径，从而得圆面积．【详解】，，，∴，是直角三角形的斜边，也是的外接圆的直径，，外接圆半径为，圆表面积为．故答案为：．变式2．（2023秋·高二课时练习）以为顶点的四边形是（

）A．平行四边形，但不是矩形B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形【答案】D【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状.【详解】

在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中，，，所以四边形ABCD是直角梯形；故选：D.变式3．（2023·高二课时练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.【答案】或或.【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标.【详解】由题，，所以kAC=2，，kBC=－3，设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，所以，，，得x=7，y=5，即②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，所以，，得x=－1，y=9，即③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC所以，得x=3，y=－3，即所以D的坐标为或或.变式4．（2023·江苏·高二假期作业）已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形．【答案】证明见解析【分析】先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线的斜率乘积为，可得一组邻边垂直，从而可得结论.【详解】因为，所以，，所以，，所以∥，∥，所以四边形为平行四边形，因为，所以，所以四边形为矩形.变式5．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知四边形的顶点.(1)求斜率与斜率；(2)求证：四边形为矩形.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用斜率公式求解即可；（2）利用直线平行与垂直的性质依次证得，，，从而得证.【详解】（1）因为，所以，即.（2）因为，所以.又因为，所以，所以四边形为平行四边形，又因为，所以，所以四边形为矩形.变式6．（2023·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标按逆时针顺序依次为，，，，其中．则四边形的形状为______.【答案】矩形【分析】根据点的坐标计算斜率，利用斜率相等得到直线平行，再根据矩形的判定，即可得到答案；【详解】由斜率公式得，，，，所以，，从而，．所以四边形为平行四边形．又，所以，故四边形为矩形．故答案为：矩形.变式7．（2023·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.【答案】证明见解析【分析】建立坐标系，根据得出，从而证明菱形的对角线互相垂直.【详解】以AB为x轴，过A作AB的垂线为y轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为因为四边形是菱形，所以由，所以，菱形的对角线互相垂直.一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）下列说法中正确的是（

）A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行【答案】C【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；若，则或，的斜率都不存在，B错误；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．故选：C.2．（2023·高二课时练习）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】D【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立；综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件.故选：D3．（2023·全国·高二专题练习）已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，则四边形ABCD的形状是（

）A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．直角梯形【答案】D【分析】由斜率的两点式分别求出，进而可判断直线的位置关系，即可知正确选项.【详解】∵∴ABCD，AD⊥AB，AD⊥CD，AD与BC不平行，∴四边形ABCD为直角梯形.故选：D.4．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合【答案】B【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可.【详解】因为直线经过点，，所以直线的斜率为：，又因为，所以两直线垂直，故选：B5．（2023·江苏·高二假期作业）已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是（

）A．平行 B．垂直C．可能重合 D．无法确定【答案】B【分析】由韦达定理可知，由此可作出判断.【详解】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．故选：B6．（2023·江苏·高二假期作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对【答案】B【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系.【详解】由题意，点和点，可得，所以的方程为，又由直线的斜率为0，且两直线不重合，所以两直线平行.故选：B.7．（2023春·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考开学考试）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【解析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率；可知斜率乘积为，从而得到垂直关系.【详解】直线经过，两点

直线的斜率：直线的倾斜角为

直线的斜率：

本题正确选项：【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系.8．（2023秋·山东泰安·高二统考期末）若直线与直线平行，则实数k的值为（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k的值.【详解】因为直线与直线平行，所以两直线斜率相等，即.故选：D.9．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为，，，则边上的高的斜率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据已知求出的斜率，再根据两直线垂直的斜率关系即可求解.【详解】，，设边上的高的斜率为，则，故选：C10．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】设点，由为直角，得，然后由列式计算即可.【详解】由题意，设点，为直角，，由，，解得或，所以点的坐标为或故选：B二、多选题11．（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（

）A．若，则斜率B．若斜率，则C．若倾斜角，则D．若，则倾斜角【答案】BCD【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误.B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.故选：BCD12．（2023·全国·高二专题练习）(多选)下列直线l1与直线l2平行的有（

）A．直线l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l2过点C(3，-3)，D(8，-7)B．直线l1经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l2过点C(3，4)，D(5，2)C．直线l1经过点A(1，)，B(2，2)，直线l2的倾斜角为60°且过原点D．直线l1经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l2的斜率为0【答案】AC【分析】直接利用两直线平行的条件进行判断.【详解】A选项中，，且两直线不重合，故l1l2；B选项中，，∵∴两直线不平行；C选项中，，且两直线不重合，故l1l2；D选项中，l1斜率不存在，l2的斜率为0，∴两直线不平行.故选：AC【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:(1)若两直线斜率都不存在,两直线平行;(2)两直线的斜率都存在,且k1=k2,b1≠b2,则两直线平行;(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1三、填空题13．（2023·全国·高二专题练习）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________.【答案】(3,4)【分析】设D为(x,y)，由平行四边形知对边所在的直线斜率相等，列方程组即可求D的坐标.【详解】设顶点D的坐标为(x,y)，∵ABDC，ADBC，∴，解得，∴点D的坐标为(3,4).故答案为：(3,4).14．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数_____.【答案】【分析】分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线相互垂直的性质即可得解．【详解】因为，，所以，因为两条直线相互垂直，所