《导数及其应用》（理）复习概要

《导数及其应用》（理）复习概要山东张俊华李绪军一、导数1．导数的定义函数在点处可导：函数在到之间的平均变化率，即，如果当时，有极限，则称在点处可导．注意：（1）导数与导函数之间既有联系又有区别．一般地，导数是对一个点而言的，它是一个确定的数值（常数），与给定的函数及x（或）的位置有关，而与无关；导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，但与x、x均无关．因此，导数和导函数常用“求函数在点处的导数”与“求函数的导数”在文字叙述上加以区别；同时采用“”与“等在符号上加以区别．函数在处的导数是一个数，它就是导函数在处的值，即是一个常量．也可以先求导数，再用代入计算其值，但前提条件是在处必须可导．（2）并不是所有的函数都有导数．（3）自变量的增量有多种表达形式，不论采用哪种形式，中自变量的增量都必须用相应的形式．如求，易出现这样的错误：，这是将中自变量的增量误认为是所致，事实上应为，令，则．2．导数的几何意义函数在点的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率k，即．3．求函数的导数的方法、步骤（1）用定义基于对导数定义三个层次的理解，求一个函数的导数，一般先求函数的改变量，再求平均变化率，最后取极限，得导数．即分为以下三个步骤：①求差分，即求函数的变化量（增量）；②求差商，即求平均变化率（增量之比）；③求导，即求局部变化率（增量比的极限）．以上步骤熟练之后，可一并写成．（2）利用基本函数的导数公式、四则运算法则及复合函数的求导法则求导数．①常用的导数公式（C为常数），， ， （，且），（，且）；②两个函数四则运算的导数，这个法则可推广到任意有限个可导函数的和（或差）；，特别的；，特别的当时，有．③复合函数的导数设，则．注意：对复合函数求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步是对哪个变量求导，不要混淆，最后要将中间变量换为自变量的函数．二、导数的应用1．求切线的斜率：根据导数的几何意义，函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率．注意：当切线平行于轴时，这时导数不存在，切线方程为．2．求函数的单调区间：利用导数判断函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）令，解出x的取值范围，得函数单调递增的区间；令，解出x的取值范围，得函数单调递减的区间．注意：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意到定义域，以及定义域内的不连续点或不可导点．函数在某一区间（或）是在该区间上为增函数（或减函数）的充分条件．如函数在为增函数，但有．3．求函数极值：设函数在点x0处连续且，若在点附近左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在点附近左侧，右侧，则为函数的极小值点．注意：可导函数在点取得极值的充要条件是且在左右侧符号不同．是为极值点的必要不充分条件．函数的极值点是区间内的点，不能是区间的端点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数在极小值点处是不可导的．把使的点附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然．4．求函数的最值：在闭区间［a，b］上连续的单调函数，在［a，b］上必有最大值与最小值．设函数在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，先求出的点，然后求出使的所有点的函数值，再与端点函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注意：极值与最值的区别：（1）函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念．（2）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．（3）函数在定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有．三、定积分与微积分基本定理如果函数在区间［a，b］上连续，用分点将区间［a，b］等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间［a，b］上的定积分，记作，即．1．性质：由定积分的定义，可得到定积分的如下性质：（1）（为常数）；（2）；（3）。（其中a＜c＜b）2．几何意义：（1）当在区间［a，b］中，函数f（x）≥０，定积分在几何上表示：由曲线y=f（x）、直线x=a，x=b及x轴所围成的曲线梯形的面积Ｓ，如图1所示，即；（2）当在区间［a，b］中，函数f（x）≤0时，在几何上表示如图2所示，它等于所示曲线梯形面积的负值，即；（3）当f（x）在区间［a，b］上有正有负时，积分f（x）dx在几何上表示如图3所示的几个小曲边梯形面积的代数和．在x轴上方取正号，在x轴下方取负号，．3．求定积分的方法：（1）定义法：①分割：n等分区间［a，b］；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：；（2）微积分基本定理：一般地，如果，且f（x）在［a，b］上可积，．4．求平面图形的面积的一般步骤：（1）画出图形，将其适当地分割成若干个曲边梯形；（2）对每一个曲边梯形确定