分式恒等变形学

分式恒等变形

方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再

通分。

例1.若。+机2=2004,Z?+m2=2003,c+m2=2002且abc=24,求

abc1113任■

—十—+-----------------的值。

becaababc

,,92b2r2

例2.若abewO,a+b+c=0求一+—+一的值。

9beacab

a2-heb2-acc1-ba八

例3.求证:-------------+-----------------+-----------------=0

(a+〃)(Q+C)(Q+〃)S+C)(c+〃)m+c)

例4.设正数x,y,z满足不等式

922^^2222

厂+＞一一+»+＞厂+k+『-），乜求证x,y.z是某个三角形的三边长

2xy2yz2xz

例5.求分式—L+-1-+34816

H---------T4---------rH----------TT当a=2时的值.

l-a1+a\+al+a41+a81+小

心1111

例6.若"一1+—1+—1=----1----求证:_____1—___“

abca+b+ca1b1c1，+夕+,7・

例力化简:土心+j+二+夕-"。-?!，?

a-\-bb+cc+a(a+b)(b+c)(c+〃)

x-16x-10

例8.计算:

x2+3x+2x2-x-2x2-4

例9・化简。3+〃28+而2+。3+43一。26+。匕2-。3+。2―。2。2+力2/_匕4,

/izg。2(60)2Z?2-(c-a)2c2-(a-b)2

例10.

S+c)”_6(«+/?)-c(b+c\-a2

例11.已知Q+Z7+C=O,求证一；---；---7=0

b+c-aa1+c2-b2b2+a2-c2

已知a+h+c=0,求一^—+Y—+——

例12.的值

2a~+be2h~+ac2c"+ah

例13,已知xyz=l,x+y+z=2,x2+y2+z2=16,求代数式

111的话

-----ZT~-1--------1-------T-的值。

xy+2zyz+2xzx+2y

方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分

1-x2

例14.已知分式（1+孙）2一（*+才

（1）在什么条件下此分式有意义？

（2）在什么条件下分式的值为正、为负？

（3）分式的值能否为0?

-16机~+4nr-2/n+4/7

例16.化简:―；----；----+—：x—--------+("7+2)

m4+4机~+16m3―8nf—4m+4

2

例17.

/一从+2ab

«2(---)+^2(---)+c2(---)

例18.化简：——&一看巨

^(----)+b(-----)4-c(-)

bccaab

方法三、倒数法

21

例19.若工+—=3

x

(1)已知。+1=5,则/+f+l=.

例20.

aa

X4+19X2+1

⑵若丁+4犬+1=0,则

2X}+19X2+2X

X2

⑶若一—=7,则

X—X+1x4+x2+1

■w2-.八m.iX1+32%4+X

例21.若d—3x+l=O,贝——J——

X8+3X4+1

例22.设一—=1,则,£3的值是()

x~-mx+\x-mx+1

A.1B.-4—C.—\—D.—\—

nr+33m2-23m2+\

11.2x+3xy-2y

-------=3------------------

例23.己知Xy，求X-2孙-y的值。

例24.设/+。3/?—4/〃+。63+64=0(。20,/7*()),求@的值.

ab

已知上=%yzzx口7c

例25.------=b1,-------=c,且abc。0,求x的值。

x+yy+z-----z+x

Y

例26,已知/Xx)=——，求下列的值

1+X

/(六)+/(煮)++/(1)+/(1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(2011)+/(20⑵

4V/JLLX.I乙

方法四、等比定理、设k法

例27.已知：生+生+%/+/+%=4+4+4=4+%+%=k,求k；

qa2a3a4

gjQ工r尤yzxy+yz+zx,,_

例28.如果一二=二一,求一^r---的值。

234x2+y2+z2

»abcda-b+c-d«一

例29.若一=一=一=一，则-------------的值是______或________.

bcdaa+b-c+d

例30.若abc，0,且巴虫="£=上，求(a+b)S+c)(c+a)的值。

cababc

zx+y-zx-y+z-x+y+z„八(x+y)(y+z)(z+x)_

例31.若一—=———=,且xyzwO,求^~~◊的值；

zyxxyz

pqr

例32.已知一―——=—-----=-.....,求证px+qy+rz=(x+y+z)(p+q+r)。

x-yzy-zxz-xy

例33.已知二二=二*=士2汇，且①凶±£2^=一］,求

zyXxyz

x+y+z,

F*知Bh2+bx+x2_b2-bx+x2^X_bx_b

例34.

a+ay+ya—ay+yayya

,y+z-xz+x-yx+y-z。…

例35.已知^-------=-------=―--=P,求p+p+2P的值。

x+y+zy+z-xz+x-y

方法五巧变“1”

abc

例36.若abc=l,求证:----------------1-----------------1---------------=1.

1+a+ab\-\-b-\-be1+c+ca

例37.已知-------+----——+----——=1,求证：abc=\.

l+a+abl+b+be\+c+ca

例38.若abc=l,解关于x的方程--—+—-—+—--=2012.

1+a+aZ?l+b+be1+c+ca

111111

例39.已知ax=hy=cz=\9求----r---------TH----------rH----------H----------H---------7的值。

l+a41+M1+c41+x41+/1+z4

例40,设a、b、c均为正数，且a+b+c=l,求证一+―+-29。

abc

方法六、换元法

x2+—r-x-+3

例4L化简分式:x+-

X

nm

例42.mn

nm

mn

例43,化简

(y-x)(z—x)十(z—yXx—y)।(x—z)(y—z)

(x-2y+z)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2x)(x-2y+z)

例44.设a,b,c是实数，且

S—c)~+(c—a)?+(Q—b)?=(Z?+c—2Q)2+(c+Q—2bs+(a+b—2c)2)求分式

(be+1)(。。+1)(。。+1)

(6Z2+1)02+1)(C2+1)

例45.关于x的方程x+2=c+2的两根是％=c，z=2,求关于x的方程

XCC

x+2=a+2的两个根？

x-1a-1

例46.若x+y+z=O,-i-+—=0,求(x+l)2+(y+2)2+(z+3>的值。

x+1y+2z+3

.222

xyz唯abc八4、-xyz

例47.已知F---1=1,1----1=0求证：——+H-=1.

abcxyz9abc

例48.设x、y、z都是正数，求证二一+二一+二_2_2_

x+yy+zz+xx+y+z

方法七、巧解方程组：消元思想；整体相加（减）；整体相乘；两两相加（减）；

倒数法

例49.已知三个不全为零的数x、y、z满足4x—3y-6z=0,x+2y-7z=0。求

2x2+3y2+6z2

的值。

x2+5/+7z2

12

例50.已知1,b+-=\,求c+*的值。

ba

例51.已知x+,=y+—=z+,，其中x,y,z互不相等，求证：x2y2z2=1.

yzx

例52.已知x+1=y+2=z+'=f,其中x,y,z互不相等，求t的值。

yzx

1117

例53.已知xH——4,y-\—=19zH—=一,求xyz的值。

yzx3

4x2

由一

4y2

例54.解方程组：一^v=z

14-4/

4z2

ll+4z2~=”

’11_1

-4-

Xy+z-2

111

例55.解方程组:

-3

yz+x

111

Zx+y-4

i,abc为、一abc

例56.已知---+----+----=0,求证：------+-----7+-----r=0

b—cc—au-b(h—c)(c—d)(Q-Z?)一

例57.已知。2-〃工0,且也一“2=史二一/=〃，求证:

b+cc+a

abc=+Z?)(Z?+c)(c+a)且M=一a.

9a+b

方法八、降次思想

例58.已知V一x—「0,求/+1+1的值。

X

例59.已知f一5X一1997=0,求㈠一、)+二一1)一|的值。

(x-l)(x-2)

42

—.L._2n-p.2x—3ux+293省

例60.已知x2-x-l=0,求一^-----——=----的1Vt值。

x3+2ax2+l122

方法九、裂项：因式分解再裂相

例61.计算:+J…++

1x32x43x517xl918x20

例62.化简一--+—5—+...+-----------

1x2x32x3x4〃("+1)(〃+2)

111

例63.-----------------------1--------------------------1------------------------d------------------------------------

(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)(x+100)(x+101)

化简.丫____।_________________।________________________

a(a+。)(a+b^a+b+c)(〃+/?+c\a+。+c+d)

i4.111n

例65.求证：---------1-------------------------1------1------------------------------------------------

a(a+d)(a+d)(a+2d)[a+(n-l)d](a+nd)a(a+nd)

b-cc-aa-b22

例66.化简------------------------1-------------------------1-------------------------1----------------------

(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)b-ac-a

111

例67.化简分式:--5------------+-o---------------H-z----------------

x~+3x+2x~+5x+6x~+7x+12

b-cc-aa-b222

例68.

a1-ab-ac+beb2-ab-be+acc2-bc-ac+aba-bb-cc-a

2a-b-c2b-c-a2c-a-b

例69.化简:-■)---------------------------------------1—----------------------------------------1—---------------------------------------

a-ab-ac+beb-ab-bc+acc-ac-bc+ab

a2-be+b1-ac+c2-ab

例70.化简:

(〃+/?)(〃+c)(b+c)(〃+a)(c+a)(c+0)

9111

例71.若tzlx-11=—b(xy—2),且cib>0,求---F----rr----r+…+(x+2007)(y+2007)

孙(x+l)(y+l)

的值.

例72.设正整数m、n满足加<〃，且"一+——[—++-^—=—

m~+m(m+1)~+mn~+n23

则加+力的值是多少？

方法十、化为真分式：部分分式化，求最值或整数解

将工一化为部分分式.

例73.

X2-9

例74.将下列分式写成部分分式的和的形式：2:-3：2+,6弋.

(X2+1)(X2+3)

将下列分式写成部分分式的和的形式：4T-13/：3x+8,

例75.

(x+l)(x-2)(x-l)

例76.若x+y+zwO,x+ywO,y+zwO,z+xwO,a=---,b-——

y+zx+z

zabc

求证:--------------1----------------1-------------=1o

元+yQ+1Z7+1c+1