第1章 三角形的证明（全章复习与巩固）（培优篇）

第1章三角形的证明（全章复习与巩固）（培优篇）一、单选题1．乐乐发现等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（

）A．50° B．65° C．65°或25° D．50°或40°2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（

）A．②③④ B．①③④C．①②④ D．①②③4．如图，已知点C为线段AB的中点，．按下列步骤作图：（1）分别以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D；（2）作射线AD，并在射线AD上截取；（3）连接CE，设CE的中点为F，连接BF．则BF的长为（

）A． B． C． D．5．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（

）A． B． C． D．6．如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（

）A．9 B．10 C．10.5 D．117．如图，将纸片沿折叠使点落在点处，且平分，平分，若，则的大小为A．44° B．41° C．88° D．82°8．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105° B．115° C．120° D．130°9．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（

）A． B． C． D．10．如图，在直角三角形中，，的角平分线相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④二、填空题11．a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．下列说法中：①能组成三角形；②能组成三角形；③c+h，a+b，h能组成直角三角形；④能组成直角三角形；正确的序号是_________．12．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为______.13．在直角坐标系中，已知，在的边上取两点(点是不同于点的点)，若以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点的坐标为________．14．如图，△ACE中，AC＝AE，延长EC至点B，BD⊥AE交EA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAE，AB＝6，AE＝2，则AD的长为________.15．如图，在中，平分，则______．16．如图，长方形中，，点是射线上一点，将沿折叠得到，点恰好落在的垂直平分线上（直线也是的垂直平分线），线段的长为___________．17．如图，在长方形中，，，点在上，连接．当时，的长为___________；在点的运动过程中，的最小值为___________．18．如图：在中，，，，是的角平分线．（1）则______；（2）若点是线段上的一个动点，从点以每秒的速度向运动______秒钟后是直角三角形．三、解答题19．如图，点P是的外角的平分线上的一点，垂直平分，，求证：．20．在等腰直角中，，P是线段上一点（与点B、C不重合），连接，延长至点Q，使得，过点Q作于点H，交于点M．(1)求证：；(2)若，求的长；(3)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．21．已知：在中，点在上，连接，点在上，且点为与边垂直平分线的交点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点作于点，，若，，求的面积？22．已知：如图，在中，，于点，是上的一动点，点在直线上，且．(1)求证：．(2)如图1，求证：．(3)如图2，如果，，，当正好平分时，直接写出的面积为___________．23．如图，在中，，，，过点作交延长线于，若是的倍．(1)求证：；(2)探究和的数量关系并证明；(3)求出的值（用含的式子表示）．24．已知点是平面直角坐标系中第一象限的点，点，分别是轴负半轴和轴正半轴上的点，连接，，．如图①，若，，且，，在同一条直线上，求的值；如图②，当，时，求的值；如图③，点、、在一条直线上，点是上一点，．若，直接写出的值为______．参考答案1．C【分析】在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，讨论：当BD在ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB.解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，当BD在△ABC内部时，如图1，∵BD是高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=(180°-50°)=65°；当BD在△ABC外部时，如图2，∵BD是高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-40°=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAD=∠ABC+∠ACB,∴∠ACB=∠BAD=25°，综上，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°.故选：C.【点拨】此题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题中注意讨论思想的运用，这是解此题的关键.2．B【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．解：，，，，，设，则，根据勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，设，则，根据勾股定理，得，或（舍去），，，故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．3．C【分析】①根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C；②再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；③只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C；④根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C＋∠ABC＝90°，∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE＋∠AEF＝90°，∠CBE＋∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：C．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．4．C【分析】根据作图可知，为等边三角形，再结合可计算，即可判断，然后在和中，由勾股定理依次计算CE、BF的长即可．解：如下图，连接CD，∵C为线段AB的中点，，∴，∵以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴在中，，，，∵F为CE的中点，∴，∴在中，．故选：C．【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意并综合运用相关知识是解题关键．5．C【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正确，不符合题意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C．【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．6．A【分析】根据垂直平分线的性质，所以周长.解：∵直线m是中边的垂直平分线,∴∴周长∵两点之间线段最短∴∴的周长∵，∴周长最小为故选：A【点拨】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进行推论．7．C【分析】由题意得，那么．如图，连接．根据三角形外角的性质，得，，那么．欲求，需求．由三角形内角和定理得．由平分，平分，得，，那么．由，得，从而解决此题．解：如图，连接．，．平分，平分，，．．．由题意得：．．，，．故选：C．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质是解决本题的关键．8．B【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可．解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图：此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，在△ABG和△AB′G中，，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，AB＝AB′，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，在△ABE′和△AB′E′中，，∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），∴∠AE′B＝AE′B′，∵AE′B′＝∠BAD+AF′E′＝25°+90°=115°，∴∠AE′B＝115°．即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°．故选B．【点拨】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置．9．A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=，令y=0，则x=，则A（，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC==x，∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故选A．【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．10．A【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断②是否正确；通过证明，利用性质判断③是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确；从而得解．解：的角平分线相交于点O，，，===故①正确；延长交于H，如图所示：，又，，，，，，，，故②正确；，，，，，，又，，，，，故③错误；同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，，故④正确；因此正确的有：①②④；故选A．【点拨】此题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键．11．②③##③②【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可．解：，，是的三边，且，是斜边上的高，①，不符合三角形的两边之和大于第三边；∴不能组成三角形，①错误；②∵，；又、、能组成三角形，，；，，，组成三角形（这里明显是最长边）；，，能组成三角形，②正确；③，（直角三角形面积两直角边乘积的一半斜边和斜边上的高乘积的一半），，，，，，，、、能组成直角三角形；③正确；④不符合三角形的两边之和大于第三边；，，不能组成直角三角形，④错误．正确的序号是②③．故答案为：②③．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．12．1【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可．解：过点P作交于点F，如图，∴，，是等边三角形，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴；∴，，∵，，∴，∵，故答案为：【点拨】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键．13．或或或【分析】根据全等三角形的性质，分四种情况讨论，①如图1，过点作，交于点，；②如图2，由①可知，点位置互换，亦满足题意，此时，，③如图3，作的平分线交于点，在上截取，连接，；④如图4，在上截取，取的中点，则，由得出的坐标．解：①如图1，过点作，交于点，过点作，垂足为，连接，此时，∵，∴是的中位线，∴，∴，②如图2，由①可知，点位置互换，亦满足题意，此时，，③如图3，作的平分线交于点，在上截取，连接，此时，过点作，垂足为，垂足为，则，由三角形面积公式得，，即，，∴，∴点，④如图4，在上截取，取的中点，则，过点作，垂足为，在中，，，∴，∴点，故答案为：或或或．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．14．2【分析】延长AD至点G，使得AD=DG，连接BG，即有BD垂直平分AG，则有AB=BG，∠BAD=∠BGD；再证明，则有∠GBE=∠ACE，根据AC=AE，有∠ACE=∠AEC，进而有∠GBE=∠AEC，则BG=GE，即可求解．解：延长AD至点G，使得AD=DG，连接BG，如图，∵BD⊥AG，AD=DG，∴BD垂直平分AG，∴AB=BG，∵AB=6，∴BG=6，∴∠BAD=∠BGD，∵∠BAD=∠CAE，∴∠CAE=∠BGD，∴，∴∠GBE=∠ACE，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC，∴∠GBE=∠AEC，∴在△GBE中，有BG=GE，∵BG=6，∴GE=6，∵AE=2，AD=DG，GD+AD+AE=GE，∴AD=2，故答案为：2．【点拨】本题考查了垂直平分线的性质、平行的判定与性质、等角对等边以及等边对等角的知识，构造辅助线BG，证明BG=GE是解答本题的关键．15．【分析】作出如图的辅助线，证明，推出，，再证明是垂直平分线，利用勾股定理和面积法求得和，再求得的长，再利用面积法求得，据此求解即可．解：在上取点E，使，作于点F，连接交于点G，如图，∵平分，∴又∵，∴，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∵平分，，∴是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∵平分，∴点D到和边上的距离相等，∴，即，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．16．或15【分析】设直线与交于点，分两种情况讨论：当点在线段上时，设，设；当点在射线上时，设，分别利用勾股定理求解即可．解：根据题意，四边形为长方形，直线是、的垂直平分线，则，，设直线与交于点，可分两种情况讨论：①如下图，当点在线段上时，设，在中，∵，，，∴，∵，∴，∴在中，可有，即有，解得，即；②如下图，当点在射线上时，设，在中，∵，，，∴，∵，∴，∴在中，可有，即有，解得，即．综上所述，线段的长为或15．故答案为：或15．【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用分类讨论的思想分析问题．17．

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##【分析】当时在中，由勾股定理列出的方程便可求得；在线段下方作，过点E作于点F，连接，求出此时的的长度便可．解：∵四边形是矩形，，，∴，，，∴，当时，则，∵，∴，∴；在线段下方作，过点E作于点F，连接，∴，∴，当D、E、F三点共线时，的值最小，此时，∴，∴，，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为．故答案为：；．【点拨】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值．18．

6或【分析】（1）过点作于，利用角平分线的性质得，再根据面积法可得答案；（2）分或两种情形，分别画出图形，利用勾股定理可得答案．解：（1）如图，过点作于，在中，由勾股定理得，，，，是的角平分线，，设，则，解得，即，故答案为：；（2）如图，当时，则，，，，设秒后是直角三角形，则，在中，由勾股定理得，，解得，当时，由（1）得，，，，，故答案为：6或．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．19．见分析【分析】作于点H，由角平分线的性质得，由线段的垂直平分线的性质得，即可证明得即可．解：证明：如图：作于点H，∵是的平分线，，∴，∵垂直平分，∴，在和中，，∴，∴．【点拨】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等、线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．20．(1)见分析 (2) (3)，证明见分析【分析】（1）由直角三角形两个锐角互余即可得出，，从而得出；（2）连接，．由题意易得出为线段的垂直平分线，即得出，，，从而由勾股定理可求出．进而易证，得出，再根据勾股定理可求出．又易证，即得出，从而由求解即可；（3）作于点E，易证，即得出．再根据是等腰直角三角形，即得出，从而得出．解：（1）∵，，∴，，∴；（2）如图，连接，．∵，，∴为线段的垂直平分线，∴，，，∴．又∵，，∴，∴，∴．∵，，∴，∴，∴；（3）．证明如下，如图，作于点E，由（2）可知，又∵，∴，∴．∵是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴．【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．21．(1)见详解 (2)的面积为5【分析】（1）连接、，由题意易得，则有，，，然后根据三角形内角和及角的和差关系可求证；（2）作，使，点M在直线上，过点D作于点N，则，先根据得到和，再结合（1）的结论证明，进一步证明以及，最后根据“”证明，然后问题可求解．解：（1）证明：连接、，如图所示：∵点为与边垂直平分线的交点，∴，∴，，，在中，，∴，即，∴，∵，∴；（2）解：作，使，点M在直线上，过点D作于点N，则，如图所示：∵，∴，∴，由（1）得，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．22．(1)见分析 (2)见分析 (3)8【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出，根据，得出，根据三角形的外角性质得出，即可证明结论；（2）根据已知条件先证明，得出，证明，根据，得出，得出，即可证明结论；（3）过点E作于点G，连接，